4.4探索三角形相似的条件 同步练习 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步练习（附答案）
1．如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
2．能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（　　）
A． B．且∠A＝∠C′
C．且∠B＝∠A′ D．且∠B＝∠B′
3．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16； ④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
4．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（　　）
A．B．C．D．
5．已知点A，C在直线BD的同侧，且AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，现有点P在直线BD上，并且满足△ABP与△CDP相似，则这样的点P的个数为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
6．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是（　　）
A．∠A＝∠A′＝45°38′，∠C＝26°22′，∠C′＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，B′C′＝8，A′C′＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，A′B′＝
D．AB＝AC，A′B′＝A′C′，∠A＝∠A′＝40°
7．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①；②S△BCE＝30；③S△ABE＝9；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②③
8．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
9．如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是　 　，符合条件的格点三角形共有　 　个．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A1、B1处，得四边形A1B1NM，点B1在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB1，则下列结论：
①∠MNB1＝∠ABB1；
②△MEN∽△BCB1；
③；
④若点B1是CD的中点，则AM＝，
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）
11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为　 　．
12．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．
13．如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
15．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，
∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．
小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．
请回答：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝　 　．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴＝　 　．
∵AP＝1，
∴PC＝．
∴PB＝　 　．
参考小军的思路，解决问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；
16．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
17．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，EF⊥AB．求证：△CDF∽△ECF．
18．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交直线AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4时，求点E的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
20．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD CE，求证：△ABD∽△ECA．
22．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．
参考答案
1．解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，A选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
2．解：能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是，且∠B＝∠A'；
理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
故选：C．
3．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC，
∵点E是OA的中点，
∴CE＝3AE，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴BC＝3AF，
∴FD＝2AF，
所以结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，
CE＝3AE，
∴＝32，
∴S△BCE＝9S△FAE＝36，
所以结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3EF，
∴S△BCE＝3S△ABE，
∴S△ABE＝12，
所以结论③错误；
④假设△AEF∽△ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD，
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线，
∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，
所以结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②．
故选：B．
4．解：A、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意．
D、可得∠BDE＝∠ACB，∠B＝∠B，剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．
故选：C．
5．解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D＝∠B＝90°，
设DP＝x，分三种情况：
①当点P在线段BD上时，
当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP，
∴＝，
解得：DP＝2或12，
当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△PAB，
∴，
解得：DP＝5.6；
②当点P在线段BD的右侧，如图1所示：
当时，△PCD∽△PAB，
即，
解得：x＝28；
当时，△PCD∽△APB，
即，
解得：x＝﹣7±（负值舍去），
∴PD＝﹣7+；
③当点P在线段BD的左侧时，如图2所示：
当时，△PCD∽△APB，
即，
解得：x＝7±（负值舍去），
∴PD＝7+；
综上所述：当DP＝5.6或2或12或28或﹣7+或7+时，△ABP与△CDP相似，即这样的点P的个数有6个；
故选：C．
6．解：A项满足三个角对应相等的条件；
B项满足三边对应成比例；
D项满足两边对应成比例且夹角相等；
只有C不满足任何一个条件；
故选：C．
7．解：∵在 ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝3，＝，
∴S△BCE＝27；故②错误；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：B．
8．解：∵△ABC是等边三角形，＝，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，
设AD＝x，AC＝3x，
则BC＝3x，CD＝2x，
∵AE＝BE＝x，
∴，，
∴，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
9．解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，
Rt△ABC的三边为1：2：的直角三角形，
∵相似，直角边为1：2，
∴直角边最长应为与2，如图中4个，
每旋转90°又有4个，
∴共4×4＝16（个）．
故答案为：10；16．
10．解：由折叠可知：∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，
∴∠BNM+∠B1BN＝90°，
∵∠ABB1+∠B1BN＝90°，
∴∠BNM＝∠ABB1，
∴∠MNB1＝∠ABB1，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME＝90°，
由折叠的性质可得：MN⊥BB1，
∴∠MNE+∠B1BN＝90°，
∴∠NME＝∠BB1N，
∴△MEN∽△BCB1，故②正确；
由②可知：＝，
∵ME＝AB＝2，BC＝4，
∴＝＝，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB1，
∴＝＝，
∴NE＝B1C，
若点B1是CD的中点，则B1C＝DC，
∴NE＝DC＝×2＝，
设BN＝x，则NC＝4﹣x，B1N＝x，
在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2＝（4﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AM＝BE＝BN﹣NE＝﹣＝，故④不正确．
故答案为：①②③．
11．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
12．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
13．证明：∵AD AC＝AB AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
14．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）证明：∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED＝∠CDA，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA
即∠AED＝∠ADB．
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
15．阅读材料：
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴．
∵∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°．
∴CB＝AC，
∴＝．
∵AP＝1，
∴PC＝AP＝．
∴PB＝PC＝2．
故答案为：∠PBC；；2；
解决问题：
解：过点A作AD⊥BC于D，如图2所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，
∴AD＝AC，CD＝AD，
∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，
∵∠PCB＝∠PBA，
∴∠PCA＝∠PBC．
∵∠PAC＝∠PCB，
∴△ACP∽△CBP．
∴＝＝，
设AP＝a，则PC＝，
∴PB＝3a．
∴．
16．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
17．证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴AF＝CF，∠A+∠B＝90°．
∴∠A＝∠DCF．
∵EF⊥AB，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠DCF，
∴△CDF∽△ECF．
18．解：（1）当t＝4时，PC＝4，
过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：
∵A（2，0），C（0，3），
∴OA＝2，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，
∴∠BPC＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠BCP＝90°，
∴△PBC∽△BEH，
∴＝，即＝，
解得：BH＝6，
∴AE＝BH＝6，
∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，
∴点E的坐标是（8，0）；
（2）存在，理由如下：
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE
∴＝，
∴＝，
∴AE＝t，
当点P在点O上方时，如图2所示：
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
解得：t1＝，t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，如图3所示：
①若＝，
则△OPE∽△ABE，＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
整理得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．
19．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
20．解：△ABC与△ADE相似．理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵在△AHE和△DHC中，∠2＝∠3，∠AHE＝∠DHC
∴∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中
∵∠E＝∠C，
∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
21．证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝BD CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA．
22．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△ABD∽△CBE，
∴
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE