人教版第二十二章二次函数 22.3实际问题与二次函数尖子生培优练习（（word版 带解析））

22.3实际问题与二次函数尖子生培优练---2021--2022学年人教版（2012）九年级上学期第二十二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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一、单选题
1．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后1s和点火后3s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度为145m
D．点火后10s的升空高度为139m
3．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示下列结论：①小球抛出秒时速度为；②小球在空中经过的路程是；③小球的高度时，；④小球抛出秒后，速度越来越快其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．②③
4．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，中，，且，设直线 x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）
A． B．
C． D．
6．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．不能确定
7．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
8．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝-6t2＋15t，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．1.25s B．2.25s C．0.25s D．0.75
10．有一块缺角矩形地皮（如图），其中．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的实验大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
11．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
12．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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二、填空题
13．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积（单位：平方米）随矩形一边长（单位：米）的变化而变化．则与之间的函数关系式是_____．（不用写自变量的取值范围）
14．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就到达警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升___小时水位能由正常水位到达拱桥顶．
15．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上．点从点出发，以的速度向左运动，运动到点时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积与时间之间的函数关系式为___________________．
16．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：___（化简为一般式）．
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三、解答题
17．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？（结果保留两位小数）
18．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
19．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
20．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当3≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
21．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料，开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍．若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品售价为每盒40元时，每天可卖出150盒．如果每盒的售价每涨1元（售价每盒不能高于45元），那么每天少卖10盒．设每盒涨价x元（x为非负整数），每天销售y盒．
（1）求该产品每盒的成本（成本＝原料费+其它成本）；
（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）如何定价才能使每天的利润最大且每天销量较大？每天的最大利润是多少？
22．如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
23．如图，点是y轴正半轴上的点，点A的坐标为，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，，，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E．
（1）点B的坐标为_____________；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由．
24．某旅游景点未来15天内，旅游人数y与时间x的关系如下表：每张门票z与时间x之间存在如图所示的一次函数关系（1≤x≤15，且x为整数），请结合上述信息解决下列问题：
时间x（天） 1 4 7 10 …
人数y（人） 320 350 380 410 …
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求z与时间x的函数关系式．
（3）求未来15天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？（尽量增加景点的客流量）
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
解：由题意得：，
故选B．
2．C
解：A、当t=1时，h=24；当t=3时，h=64；所以点火后1s和点火后3s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时，h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、由h＝﹣t2＋24t＋1=﹣（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
D、当t=10时，h=141m，此选项错误；
故选：C．
3．B
解：①小球抛出秒时达到最高点即速度为；故①正确；
②由图象知小球在空中达到的最大高度是；故②错误；
③设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故③错误；
④小球抛出秒后速度越来越快；故④正确；
故选：．
4．C
解：已知平均每个季度增长的百分率为，
则关于的函数表达式是：．
故选：C．
5．D
解：如图示，
∵中，，且，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故与之间的函数关系的图象自变量的范围为0≤t≤5、开口向上的二次函数图象；
故选：．
6．C
设窗框的长为，
根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即
故选C．
7．A
【解】
∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故选：A．
8．C
解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
9．A
解：∵y＝-6t2＋15t= 6（t 1.25）2＋9.375，
∴该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25s．
故选A．
10．A
解：如图，作DG⊥AB于G，EF⊥BC于F，DG，EF交于O，设CN=x，
那么∠EDO=∠EDC-90°=45°，
因此△EOD是等腰直角三角形，同理△EQR，△RPD均为等腰直角三角形，
∴EO=OD=AB-CD=20，RP=DP=CN=x，EQ=QR=AM=EO-RP=20-x，AE=BC-OD=60，
如果设阴影部分MRNB的面积为y，
那么y=MR RN=（AE+QR） （CD+RP）=（80-x）（x+90）=7200-10x-x2
因为y是x的开口向下的抛物线，其对称轴为直线x=-5，
所以当x≥0时，二次函数为减函数，
所以此函数的最大值就是当x=0时，y=7200，
故选：A．
11．C解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
12．A
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
13．
【解】
∵矩形周长为60米，一边长米，
∴另一边长为（30－x）米，
∴矩形的面积．
故答案为：．
14．20
解：由题意，设抛物线的解析式为，，，
将，，代入可得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：，，
即：正常水位AB距离桥顶4米，
∴（小时），
故答案为：20．
15．
解：∵是等腰直角三角形，
，
∴重叠部分也是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【解】
根据题意，将阴影部分平移，如图，
则．
故答案为：．
17．【解】（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是矩形，四边形EFCD是矩形，
∴AB=CD=EF=x，
∴BC=24-3x，
∴S=AB×BC=x（24-3x）=，
∵24-3x＞0， 24-3x≤10，
∴≤x＜8，
∴S=，≤x＜8；
（2）根据题意，得=45，
解得，
∵≤x＜8，
∴舍去，
∴AB=5（米）；
（3）∵S=
=，
∴对称轴为直线x=4，
∵≤x＜8，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴当x=时，S有最大值，
∴S=≈46.67．
即当AB=米时，S的最大值为46.67．
18．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128＋8x）件，
则y＝（128＋8x）（100﹣x﹣80）
＝﹣8x2＋32x＋2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2＋32x＋2560；
（2）∵y＝﹣8x2＋32x＋2560＝﹣8（x﹣2）2＋2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
19．解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（12，0）代入得出，0=a（12+6）2+4，
解得：，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：．
故答案为：．
20．解：（1）依题意，当时，；时，，
当时，设，
则有，解得，
与的关系式为：．
（2）依题意，
，
，
整理得，，
当时，
随增大而增大，
时，取最大值，
当时，
，
，
时，取得最大值，此时，
综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元．
（3）依题意，
，
第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，
对称轴，得，
故的取值范围为．
21．解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元，
根据题意，得，
解得： ，
∴，
∴每盒产品的成本为：(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
（2）∵每盒的售价每涨1元，那么每天少卖10盒．
∴y与x的函数关系式为：，
又∵售价每盒不能高于45元，x为非负整数，
∴自变量x的取值范围为：（x为非负整数）；
（3）设每天的利润为w元，
则有：
，
∴w是关于x的一元二次方程，x为非负整数
∴当时，取得最大值为，
∴每盒定价为：42或43(元)，
答：定价为42.或43元时才能使每天的利润最大且每天销量较大，每天的最大利润是1560元．
22．解：如图所示，以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵CD＝200，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴设这条抛物线的解析式为，
∵AB＝100，AB与CD的距离为150，
∴点B的坐标为（50，150），
抛物线经过点，
，
解得：，
，
当时，取得最大值，此时，
即拱门的最大高度是200米．
23．【详解】（1）作垂足为F，
∵，
∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCF=∠OAC，
又∵∠AOC=∠CBF=90°，，
∴，
∴，，
∴，所以点B的坐标为；
（2）设抛物线的函数表达式为，
由题意得：，解得：。
所以抛物线的函数表达式为即；
（3）由对称性得，易知，
所以，
设直线AC的表达式为：，
由题意得：，解得，，
所以直线AC的表达式为：；
如图，假设存在点P，设．作轴交AC于Q，则．
所以，，
所以，，
所以，，整理得：，
解得：，
当时，，
此时点P坐标为
当时，，此时点P坐标为
综上所述，AC上方抛物线上存在点P，使得，点P的坐标为或．
24．（1）y＝10x＋310（1≤x≤15，且x为整数）；（2）z＝－x＋50（1≤x≤15，且x为整数）；（3）未来15天中第10天门票最多，最多是16400元
解：（1）由题意可知：y是关于x的一次函数，
∴设y＝kx＋b，
将（1，320）、（4，350）代入，
得，
解得，
∴y关于x的函数关系式为y＝10x＋310（1≤x≤15，且x为整数）；
（2）设z＝mx＋n，
将点（1，49）、（15，35）代入，
得，
解得，
∴z与时间x的函数关系式为z＝﹣x＋50（1≤x≤15，且x为整数）；
（3）设第x天的门票收入为w，
则w＝yz
＝（10x＋310）（﹣x＋50）
＝﹣10x2﹣310x＋500x＋15500
＝﹣10x2＋190x＋15500，
∵﹣10＜0，
∴w有最大值，
∵对称轴为直线，10－9.5＝9.5－9＝0.5，
当x＝10或9时，w取得最大值，最大值为16400，
又∵10＞9，
∴未来15天中第10天的门票收入最多，最多是16400元．