4.1-4.2 指数与指数函数 专题复习卷-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

指数与指数函数专题复习
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中成立的一项（ ）
A． B． C． D．
3．设则的大小关系是
A． B． C． D．
4．函数（）的图象大致为
A． B．
C． D．
5．已知实数x、y满足，则（ ）
A． B． C． D．x、y大小不确定
6．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知函数且，若对于任意恒成立，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，函数的最大值、最小值分别为M，m，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二、多选题(每小题5分，共20分，部分选对得2分，错选得0分)
9、已知函数，实数、满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．、，使
C． D．
10、已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
11、定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ）
A．，且
B．，总有
C．，总有
D．，使得
12、已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周期为4 B．的值域为
C．是偶函数 D．
二、填空题（20分）
13．函数的值域是________
14．函数的递增区间是______________．
15．已知不等式对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．
16．已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
三、解答题（70分）
17．（10分）（1）求值：；
（2）已知，，求的值.
18．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
（1）求函数的解析式；
（2）直接写出函数的奇偶性和单调减区间；
（3）求函数时的解．
19．已知函数（常数．
（1）若，且，求x的值；
（2）若，求证函数在上是增函数；
（3）当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数m的取值范围．
20.已知函数的定义域为，其中为实数．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由
21．已知函数，.
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）设函数，若，对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
22．定义在D上的函数，如果满足；，存在常数，使得成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，函数
（1）若，，判断函数在上是否为有界函数，说明理由；
（2）若函数年上是以7为一个上界的有界函数，求实数a的取值范围．
试卷第4页，共4页
参考答案
1．A
【分析】
由集合的描述得到B集合，利用集合的交补运算即可求.
【详解】
由集合B的描述知：，所以，
∴，
故选：A
2．D
【分析】
利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
3．C
【详解】
由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
4．A
【分析】
由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.
【详解】
因为，
所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；
因为,可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5．C
【分析】
设，证明在上单调递增，即得解.
【详解】
设，
所以，
所以函数在上单调递增，
由题得，
所以.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是通过已知的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性.
6．B
【分析】
先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值.
【详解】
由于为幂函数，
则，
解得：，
则；
函数，
当时，，
故的图像所经过的定点为，
所以，
即，
解得：,
故选：B.
7．A
【分析】
根据，求出的值域，再利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】
由，，
即，
的单调递增区间为.
故选：A
8．D
【分析】
依题意，令，，则为奇函数，根据奇函数的性质计算可得；
【详解】
解：
令，，则，所以为奇函数，
因为，所以，所以，
所以
故选：D
9．CD
【分析】
作出函数的图象，利用绝对值的性质可得出，可判断AC选项的正误，利用基本不等式可判断BD选项的正误.
【详解】
画出函数的图象如下图所示：
当时，，则，
设，则，
因为，可得，可得，
由，可得，可得，
由，可得，则，A错，C对；
由基本不等式可得，所以，则，B错，D对.
故选：CD.
10．BC
【分析】
判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】
的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
11．ABC
【分析】
函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，解出f（x），g（x），对选项一一判定即可得出．
【详解】
∵函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，
可得g（x），f（x）．
对A：f（1），g（2），
∴0＜f（1）＜g（2）．故A正确；
对B：，故B正确；
对C：=，故C正确；
对D：f（2x），2，
∴f（2x）2，故D错误；
故选ABC．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．ACD
【分析】
由奇函数的性质和对称性首先得出，然后可得，函数为周期为4的周期函数，判断A，由图象变换可判断C，由周期性判断D，由奇偶性、对称性、周期性求得值域，判断B．
【详解】
是奇函数，，又的图象关于直线对称，所以，所以，从而，
所以是周期函数，4是它的一个周期，
的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，因此的图象关于轴对称，它是偶函数，
，
时，，，，时，，再由对称性，周期性可得的值域是，
综上ACD正确，B错误．
故选：ACD．
13．
【分析】
先求函数定义域，在定义域范围先求取值范围，再依次求得、的范围，即得结果.
【详解】
函数定义域为，由，有，
故，即值域为.
故答案为：.
14．
【分析】
先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解.
【详解】
因为或，
所以函数的定义域为，
由在上单调递减，在单调递增，
由复合函数单调性质得函数在单调递增，
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：复合函数单调性满足“同增异减”，注意定义域.
15．
【分析】
根据换元法化简得，进一步利用基本不等式，最终求出答案.
【详解】
设，带人得
化简得
因为，当且仅当时，等式成立，
所以.
故答案为： .
【点睛】
本题考的是不等式恒成立的问题，涉及到换元法以及基本不等式，做题时要注意到基本不等式中的当且仅当.
16．
【分析】
根据，，，由求解.
【详解】
因为对，，，
所以只需即可，
因为，，
所以，，
由，
解得
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.
17．（1）6；（2）.
【分析】
（1）利用分数指幂的运算性质求解即可，
（2）利用幂的运算性质将化成含的式子求解即可
【详解】
解：（1）
（2）
18．（1）；（2）为偶函数，单调减区间为；
（3）或
【分析】
（1）由题意可得，再将代入解析式即可求解.
（2）根据奇偶性定义以及复合函数的单调性即可得出结果.
（3）令，解方程即可求解.
【详解】
（1）由题意知，渐近线，
将代入可得，解得，
所以.
（2）函数为偶函数，单调减区间为.
（3），
得，
，，
.
所以函数的零点为或.
19．（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.
【分析】
（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.
（2）化简得到，，计算，得到是增函数.
（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.
【详解】
（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，
即，所以．又由，即，
所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.
（2）在上单调递增.证明：由（1）知，
任取，则，
因为函数在上是增函数，且，所以，又，
所以，即，
所以函数在R上单调递增.
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，
因为在上是增函数，由上式推得，
即对一切有恒成立，设，
令，
则有，，所以，
所以，即的取值范围为.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，．
【分析】
（Ⅰ）由题意可得对任意都成立，分与讨论即可得出答案.
（Ⅱ）由题意，根据题意可得即可. 令,则,令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，
则不等式对任意都成立．
①当时，显然成立；
②当时，欲使不等式对任意都成立，
则，解得．
综上，实数的取值范围为．
（Ⅱ）当时，．
∴当时，．
令．显然在上递增，则．
∴．
令，．
若存在实数满足对任意，都存在，使得成立，则只需．
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则．
解得；
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）代入特殊值求出，检验其奇偶性即可；
（2）利用换元法求出值域，根据二次函数性质求出当时，，只需即可.
【详解】
（1）为偶函数
，，符合题意，
；
（2）
令，，，则，
而在上单调递增，故
另外当时，
由题意：
.
22．（1）是有界函数，理由见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，利用指数函数的性质求得，结合有界函数的定义可得答案；
（2）问题转化为对任意恒成立，，对恒成立，换元后利用函数的单调性求出不等式两边函数的最值即可得答案.
【详解】
（1）若，，
，
，即，
存在常数，使得恒成立，
函数在上为有界函数；
（2）由题意，对任意恒成立，
，即，对恒成立，
，对恒成立，
，对恒成立，
令，，对恒成立，
①对恒成立，只需求在上的最小值，
又在上为增函数，，；
②时，恒成立，
只需求在上的 最大值，在任取，且，
，
，，
，
，即，
函数在上为减函数，
，
.
综上可得，即实数a的取值范围是,
【点睛】
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
答案第1页，共1页