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4.1 指数
【学习要求】
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化.
3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1、根式及相关概念
1）a的n次方根的定义
(1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x不存在
2）根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a，＝(其中n>1且n∈N*)．
3）根式的性质(n＞1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根．
2、指数幂及其运算性质
1）分数指数幂的意义
正数的正分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1)
正数的负分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
2）有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【高频考点】
高频考点1. 根式与分数指数幂的互化
【方法点拨】把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
【例1】（2021·上海高一专题练习）下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是______（只填序号）.①②③④
【变式1-1】（2021 沙坪坝区校级开学）（）化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2020秋 张家口月考）将根式化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021·全国）化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021 镇海区校级期末）下列式子的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 . 指数式的化简与运算
【方法点拨】利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【例2】（2021·上海高一专题练习）计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）
【变式2-1】（2021·浙江课时练习）计算下列各式：
（1）.（2）.
（3）.
【变式2-2】（2021·湖北高一课时练习）计算或化简：
（1）－10＋；（2）·.
【变式2-3】（2021·江苏）计算化简
（1）；（2）．
【变式2-4】（2021 徐州期末）化简（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得（ ）
A．b2 B．b2 C． D．
高频考点3 . 根据指数式求参
【方法点拨】根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.
【例3】（2021 诸暨市校级月考）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．R
【变式3-1】（2021 广东学业考试）已知x4，则x等于（ ）
A． B．±8 C． D．
【变式3-2】（2021 东莞市校级月考）若2x＝8，则3x＝（ ）
A．27 B．24 C．9 D．18
【变式3-3】（2021 聊城期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【变式3-4】（2021·上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
高频考点4. 指数式的给条件求值问题（整体代换法）
【方法点拨】利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：
(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.
【例4】（2021·南京高一月考）已知，则下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021 郑州月考）若10x＝3，10y＝4，则103x﹣2y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【变式4-2】（2021·江苏南京·）设是非零实数，已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式4-3】（2021·浙江高一期中）若，则________．
【变式4-4】（2021 亭湖区校级月考）已知2，求的值为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．14
高频考点5 . 指数幂等式及幂的方程问题
【方法点拨】指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例5】（2021·山东高一课时练习）解下列方程．
（1）； （2）； （3）.
【变式5-1】（2021 兴庆区校级期末）方程的解是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【变式5-2】（2021 浦东新区校级月考）方程2x+2﹣3 2﹣x+4＝0的解是 ．
【变式5-3】（2021 青浦区期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是 ．
【变式5-4】（2021·广东高一期中）解下列方程：（1）；（2）.
高频考点6 . 利用根式的性质化简或求值
【方法点拨】1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对与()n的进一步认识
(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)．
(2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝.
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
3.对形如的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．
将复合根式先化为(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为＝＝±，
也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式可化简．
【例6】（1）（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）若代数式有意义，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·湖北高一期中）化简：①；
②）
【变式6-1】（2021·上海闵行）当时，=___________.
【变式6-2】（2021·浙江高一课时练习）化简：__________.
【变式6-3】（2021·海南高一课时练习）化简：－＝________.
【变式6-4】（2021·上海高一月考）计算：（1）；（2）.
高频考点7. 指数幂等式的证明
【方法点拨】指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.
【例7】若k，m，p为整数，且2×4k﹣p＝4m﹣p+1，求证：m＝p＝k．
【变式7-1】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求证：（ax2+by2+cz2）．
【变式7-2】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求证：（）mn＝2n．
【变式7-3】已知27x＝67，81y＝603，求证：4y﹣3x＝2．
【变式7-4】（2021·上海课时练习）若实数x，y同时满足方程和，求证：=27.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏·高一课时练习）计算的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2021 昆明期末）设a＞0，则下列各式正确的是（ ）
A． B．（a﹣2）2＝1 C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）下列式子的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.（2021 阎良区校级自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（ ）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
5．（2021·湖北·高一月考）已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．（2021·山东·高一月考）网络上盛极一时的数学恒等式“，，”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是以为极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2．01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（ ）倍．
A．1.69 B．1.78 C．1.96 D．2.8
7．（2021·江苏·高一课时练习）若，，且，则（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
8．（2021 西安模拟）已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（ ）
A．120 B．210 C．336 D．504
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一开学考试）下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )
A．和 B．和 C．和 D．和 E.和
10．（2021 路南区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．，a＞0，b＞0
C． D．已知x2+x﹣2＝2，则x+x﹣1＝2
11．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知，下列各式中正确的是（ ）
A．；B．；C．；D．；
12．（2020·江苏·金沙中学高一月考）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021 江西高一期中）（1）化简________.
（2）若，则化简________.
14．（2021 广东高一期末）设，则_________.
15．（2021·全国·高一专题练习）化简方程，使结果不含根式，则方程为______．
16．（2021春 延吉市校级期末）已知10m＝2，10n＝3，则的值为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·郑州·高一专题练习）计算下列各式：
（1）；（2）.
18．（2021 诸暨市校级期中）求下列各式的值：
（1）解方程4x﹣2x+1﹣8＝0；（2）2﹣1．
19．（（2021·浙江高一课时练习）（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
20．（2021秋 丹徒区校级月考）化简下列式子：（1）；（2）；
（3）
21．（2021.上海高一期中）设，且x，y，a均为正数，
求证：．
22．（2021 张家口月考）化简求值（需要写出计算过程）．
（1）若100a＝4，10b＝25，求2a+b的值；（2）化简并求值．
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4.1 指数
【学习要求】
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化.
3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1、根式及相关概念
1）a的n次方根的定义
(1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x不存在
2）根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a，＝(其中n>1且n∈N*)．
3）根式的性质(n＞1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根．
2、指数幂及其运算性质
1）分数指数幂的意义
正数的正分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1)
正数的负分数指数幂 (a＞0，m，nN*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
2）有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【高频考点】
高频考点1. 根式与分数指数幂的互化
【方法点拨】把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
【例1】（2021·上海高一专题练习）下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是______（只填序号）.①②③④
【答案】③
【解析】对于①，，故①错误；对于②，当y<0时，，故②错误；
对于③，，故③正确；对于④，，故④错误. 故答案为：③.
【变式1-1】（2021 沙坪坝区校级开学）（）化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．
【解析】解：．故选：B．
【变式1-2】（2020秋 张家口月考）将根式化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用有理数指数幂及根式的运算性质化简．
【解析】解：，故选：A．
【变式1-3】（2021·全国）化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】。故选：B
【变式1-4】（2021 镇海区校级期末）下列式子的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解析】解：对于选项A：当y＜0时，，所以选项A错误，
对于选项B：当x≠0时，，所以选项B错误，
对于选项C：当x＞0时，，所以选项C正确，
对于选项D：当x＞0时，无意义，所以选项D错误，故选：C．
高频考点2 . 指数式的化简与运算
【方法点拨】利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【例2】（2021·上海高一专题练习）计算下列各式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）
【答案】(1)；(2)100；(3)3；(4)；(5).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
(4)原式.
(5)原式.
【变式2-1】（2021·浙江课时练习）计算下列各式：（1）.
（2）.（3）.
【答案】（1）；（2）100；（3）.
【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.（2）利用指数的运算性质即可求解.
（3）利用指数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【点睛】本题考查了指数的运算性质，需熟记指数的运算性质，属于基础题.
【变式2-2】（2021·湖北高一课时练习）计算或化简：
（1）－10＋；（2）·.
【答案】（1）－；（2）
【解析】（1）原式
;
（2）原式.
【变式2-3】（2021·江苏）计算化简
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1），
（2）．
【变式2-4】（2021 徐州期末）化简（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得（ ）
A．b2 B．b2 C． D．
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解析】解：（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）a﹣3﹣1﹣（﹣4）b2．故选：A．
高频考点3 . 根据指数式求参
【方法点拨】根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.
【例3】（2021 诸暨市校级月考）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．R
【分析】先对进行化简，然后根据绝对值方程|m|＝﹣m则m≤0进行求解即可．
【解析】解：∵，∴|2a﹣1|＝1﹣2a则2a﹣1≤0解得a故选：B．
【变式3-1】（2021 广东学业考试）已知x4，则x等于（ ）
A． B．±8 C． D．
【分析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．
【解析】解：由x4，得，即，∴，得x．故选：A．
【变式3-2】（2021 东莞市校级月考）若2x＝8，则3x＝（ ）
A．27 B．24 C．9 D．18
【分析】根据指数幂的计算即可．
【解析】解：由2x＝8，可得x＝3．则33＝27．故选：A．
【变式3-3】（2021 聊城期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【分析】根据，以及|a|可得．
【解析】解：∵||，∴1﹣3a≥0，∴a．故选：B．
【变式3-4】（2021·上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【解析】由>0知①有意义；由<0知②无意义；③中开奇数次方根，所以有意义；当a<0时，a5<0，此时④无意义.故选:B.
高频考点4. 指数式的给条件求值问题（整体代换法）
【方法点拨】利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：
(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.
【例4】（2021·南京高一月考）已知，则下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A选项：，∴，
又，∴，∴，故A错误；
B选项：，∴，故B正确；
C选项：，，，
，，故C错误；
D选项：，故D错误，故选：B.
【变式4-1】（2021 郑州月考）若10x＝3，10y＝4，则103x﹣2y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】由有理数指数幂的运算性质可知103x﹣2y，代入已知条件即可求出结果．
【解析】解：103x﹣2y，故选：C．
【变式4-2】（2021·江苏南京·）设是非零实数，已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为，所以，所以 ，，
所以 ，故选：A
【变式4-3】（2021·浙江高一期中）若，则________．
【答案】
【解析】，所以，
所以．故答案为：．
【变式4-4】（2021 亭湖区校级月考）已知2，求的值为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．14
【分析】对原等式两边同时3次方，再利用有理数指数幂的运算性质即可得出．
【解析】解：∵2，∴两边同时3次方得：（）3＝8，
化简得：ee3（ee）＝8，
又∵2，∴8+6＝14，故选：D．
高频考点5 . 指数幂等式及幂的方程问题
【方法点拨】指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例5】（2021·山东高一课时练习）解下列方程．
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）指数式化为对数式，根据对数的性质进行计算可得答案；
（2）根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；
（3）化为关于的一元二次方程，解得 或,进一步可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以，
所以方程的解集为 .
（2）因为 ，所以 ， 所以，所以 ，
所以方程的解集为.
（3）因为 ，所以 ，
所以 ， 所以或 ， 所以或，
所以方程 的解集为.
【点睛】本题考查了指数式化对数式，对数的性质，根式化分数指数幂，简单的指数方程的解法，属于基础题.
【变式5-1】（2021 兴庆区校级期末）方程的解是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】化简指数方程为3x﹣1＝3﹣2，即可解出．
【解析】解：∵方程，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，方程的解是x＝﹣1．
故选：B．
【变式5-2】（2021 浦东新区校级月考）方程2x+2﹣3 2﹣x+4＝0的解是 ．
【分析】由2x+2﹣3.2﹣x+4＝0，可得（2 2x﹣2）（2 2x+3）＝0解出x即可．
【解析】解：∵2x+2﹣3.2﹣x+4＝0，∴4 22x+4 2x﹣3＝0，
∴（2 2x﹣2）（2 2x+3）＝0，∴2x+1＝1，∴x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．
【变式5-3】（2021 青浦区期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是 ．
【分析】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可．
【解析】解：由4x﹣10 2x+16＝0得（2x）2﹣10 2x+16＝0，设t＝2x，则t＞0，
则原方程等价为t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，解得t＝2或t＝8．
由t＝2x＝2，解得x＝1．由t＝2x＝8，解得x＝3．
故方程的解集为{1，3}．故答案为：{1，3}．
【变式5-4】（2021·广东高一期中）解下列方程：（1）；（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）方程两边化为以为底数的幂值，根据指数函数的单调性可得结果；
（2）化为关于的一元二次方程，解得，从而可得结果.
【详解】（1）由得，
所以，解得，所以原方程的解集为.
（2）由得，
得，得，解得.所以原方程的解集为
【点睛】本题考查了指数方程的解法，属于基础题.
高频考点6 . 利用根式的性质化简或求值
【方法点拨】1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对与()n的进一步认识
(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)．
(2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝.
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
3.对形如的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．
将复合根式先化为(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为＝＝±，
也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式可化简．
【例6】（1）（2021·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）若代数式有意义，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·湖北高一期中）化简：①；
②）
【答案】（1）B（2）B（3）①；②）.
【解析】（1）因为，所以，所以.故选:B.
（2）由有意义，得解得．
所以
所以．故选：B．
（3）①原式 .
②原式，
即
【变式6-1】（2021·上海闵行）当时，=___________.
【答案】
【解析】由，则，故答案为：
【变式6-2】（2021·浙江高一课时练习）化简：__________.
【答案】
【分析】将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果.
【详解】原式
.
故答案为：.
【点睛】本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题.
【变式6-3】（2021·海南高一课时练习）化简：－＝________.
【答案】
【分析】将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果.
【详解】原式＝.故答案为：
【点睛】本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题.
【变式6-4】（2021·上海高一月考）计算：（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
=+-
==||+||-||
=+-（）=2
（2）===
高频考点7. 指数幂等式的证明
【方法点拨】指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.
【例7】若k，m，p为整数，且2×4k﹣p＝4m﹣p+1，求证：m＝p＝k．
【分析】由2×4k﹣p为偶数，且2×4k﹣p＝4m﹣p+1，可得4m﹣p+1为偶数，则4m﹣p为奇数，得到m＝p，进一步得到4k﹣p＝1，有k＝p，则m＝p＝k．
【解析】证明：∵2×4k﹣p为偶数，且2×4k﹣p＝4m﹣p+1，
∴4m﹣p+1为偶数，则4m﹣p为奇数，则m﹣p＝0，即m＝p，
∴4m﹣p+1＝2，则4k﹣p＝1，∴k﹣p＝0，即k＝p．∴m＝p＝k．
【变式7-1】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求证：（ax2+by2+cz2）．
【分析】设ax3＝by3＝cz3＝t3，则t（）＝t，再推导出（ax2+by2+cz2）t．由此能证明（ax2+by2+cz2）．
【解析】证明：∵ax3＝by3＝cz3，且1，∴设ax3＝by3＝cz3＝t3，∴a，b，c，
∵t（）＝t，（ax2+by2+cz2）t．
∴（ax2+by2+cz2）．
【变式7-2】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求证：（）mn＝2n．
【分析】由，得到（）m＝2，由此能证明（）mn＝2n．
【解析】证明：∵a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，∴，
∴（）m＝2，∴（）mn＝[（）m]n＝2n．∴（）mn＝2n．
【变式7-3】已知27x＝67，81y＝603，求证：4y﹣3x＝2．
【分析】根据指数幂的运算法则进行化简即可．
【解析】证明：27x＝67，81y＝603，∴33x＝67，34y＝603，
两式相除得34y﹣3x＝603÷67＝9，即34y﹣3x＝32，∴4y﹣3x＝2.
【变式7-4】（2021·上海课时练习）若实数x，y同时满足方程和，求证：=27.
【分析】由实数指数幂的运算性质，得到，解得，即可得证.
【详解】由实数x，y同时满足方程和，
可得，即，解得，所以.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查计算能力.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏·高一课时练习）计算的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】原式==e，故选：B
2．（2021 昆明期末）设a＞0，则下列各式正确的是（ ）
A． B．（a﹣2）2＝1 C． D．
【分析】根据幂指数运算性质可解决此题．
【解析】解： ，∴A错；（a﹣2）2＝a﹣4，∴B错；a，∴C对；
，∴D错．故选：C．
3．（2021·全国·高一专题练习）下列式子的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据分数指数幂的运算可知，
，，，，故选：C
4.（2021 阎良区校级自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（ ）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
【分析】先把103x转化为53x23x，8x＝23x，然后再化简求值即可．
【解析】解：原方程可化为：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x．故选：B．
5．（2021·湖北·高一月考）已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】因为,则,可得,即可计算的值.
【详解】
.故选:D.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题.
6．（2021·山东·高一月考）网络上盛极一时的数学恒等式“，，”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是以为极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2．01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（ ）倍．
A．1.69 B．1.78 C．1.96 D．2.8
【答案】C
【详解】．故选：C．
7．（2021·江苏·高一课时练习）若，，且，则（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】A
【详解】，则，故，
，，，故，故.故选：A
8．（2021 西安模拟）已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（ ）
A．120 B．210 C．336 D．504
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解析】解：∵3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，∴117，
∴9 3a+3 3a+3a＝117×27，∴13 3a＝117×27，∴3a＝9×27，∴a＝5，
∴（a+1）（a+2）（a+3）＝6×7×8＝336．故选：C．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高一开学考试）下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )
A．和 B．和 C．和 D．和 E.和
【答案】CE
【分析】根据分数指数幂的定义逐一判断，并利用指数幂的运算性质计算是否相等.
【详解】A不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；B不符合题意，0的负分数指数幂没有意义；C符合题意，；
D不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；
E符合题意，.故选：CE.
【点睛】本题考查分数指数幂的定义，以及指数幂的运算性质，是基础题.
10．（2021 路南区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．，a＞0，b＞0
C． D．已知x2+x﹣2＝2，则x+x﹣1＝2
【分析】选项A，B，C利用有理数指数幂的运算性质化简，即可判断出正误，选项D利用完全平方公式得到（x+x﹣1）＝4，所以x+x﹣1＝±2，从而判断出错误．
【解析】解：对于选项A：，所以选项A错误，
对于选项B：99a，（a＞0，b＞0），所以选项B正确，
对于选项C：，所以选项C正确，
对于选项D：∵（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝4，∴x+x﹣1＝±2，所以选项D错误，故选：BC．
11．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知，下列各式中正确的是（ ）
A．；B．；C．；D．；
【答案】ABD
【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.
【详解】A:,正确；
B:，正确；
C:因知，，，即，错误；
D:，正确. 故选：ABD
【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.
12．（2020·江苏·金沙中学高一月考）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，C错误；
对于D：，故D正确；故选：ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021 江西高一期中）（1）化简________.
（2）若，则化简________.
【答案】 当时， ；当时，.
【分析】（1）由有意义，得到，根据根式的运算性质，即可求解；
（2）由，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）由有意义，可得，即，
所以.
（2）由，
因为，当时，原式；
当时，原式.
【点睛】（1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
14．（2021 广东高一期末）设，则_________.
【答案】
【分析】由已知得，化简代入可得.
【详解】， ，
故答案为：
【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算，适当变形是解题关键，属于基础题.
15．（2021·全国·高一专题练习）化简方程，使结果不含根式，则方程为______．
【答案】
【详解】因为，所以，
即，
，，
，，故答案为：.
16．（2021春 延吉市校级期末）已知10m＝2，10n＝3，则的值为 ．
【分析】利用指数幂的运算法则进行指数的运算即可．
【解析】解：∵10m＝2，10n＝3，
∴10，故答案为：．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·郑州·高一专题练习）计算下列各式：
（1）；（2）.
【答案】（1）112；（2）.
【详解】（1）原式=；
（2）原式.
18．（2021 诸暨市校级期中）求下列各式的值：
（1）解方程4x﹣2x+1﹣8＝0；（2）2﹣1．
【分析】（1）令t＝2x，t＞0，则原方程可化为t2﹣2t﹣8＝0，解二次方程可求t，进而可求x；
（2）直接由有理指数幂的运算性质求解即可．
【解析】解：（1）4x﹣2x+1﹣8＝0，令t＝2x，t＞0，
则原方程可化为t2﹣2t﹣8＝0，∴t＝4，即x＝2；
（2）2﹣1．
19．（（2021·浙江高一课时练习）（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简；
（2）观察题中式子的特点，令，，将用表示出来，简化运算.
【详解】（1）由，得，
∴.
（2）令，，则，，
，.
∴.
【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题.
20．（2021秋 丹徒区校级月考）化简下列式子：（1）；（2）；
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】由平方差公式、完全平方式，利用根式的化简即可求解.
【详解】(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)，
.
21．（2021.上海高一期中）设，且x，y，a均为正数，求证：．
【分析】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论．
【解析】解：
，
设，则，
即t，∴成立．
22．（2021 张家口月考）化简求值（需要写出计算过程）．
（1）若100a＝4，10b＝25，求2a+b的值；（2）化简并求值．
【分析】利用有理数指数幂及根式的运算性质求解．
【解析】解：（1）∵100a＝4，10b＝25，
∴100a×10b＝102a+b＝100，∴2a+b＝2．
（2）|π﹣5|﹣（2﹣π）＝5﹣π﹣2+π＝3
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