北师大版九年级数学上册第四章相似图形培优试题（Word版，附答案）

相似图形培优试题
一、选择题
1、已知：如图， ，BD： ：5，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短
3、如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠ B.AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为S，则△BCD的面积为（ ）
A. S B. 2S C. 3S D. 4S
4、如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且 ， ．若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
5、如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点B的坐标为（﹣5，1），则点D的坐标为（ ）
A. （4，﹣2） B. （6，﹣2） C. （8，﹣2） D. （10，﹣2）
6、在 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角 的余弦值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 扩大4倍 D. 没有变化
7、如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A. AE⊥AF B. EF∶AF=∶1 C. AF2=FH·FE D. FB∶FC=HB∶EC
8、如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EF∥BC，若 AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A. 若 m＞1，n＞1，则 2S△AEF＞S△ABD B. 若 m＞1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
C. 若 m＜1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD D. 若 m＜1，n＞1，则 2S△AEF＜S△ABD
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝4 .E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
10、如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤S△BEC：S△BGC＝ 。其中正确的结论是（　　)
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②④⑤
二、填空题
1、已知线段a=3，b=27，则a，b的比例中项线段长等于________.
2、如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上 ， 两个端点之间的距离为 ， ，则容器的内径是________.
3、在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：把三角形ABC缩小，得到△AB1C1 ， 则点C的对应点C1的坐标为 .
4、如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则 的值为 ．
5、如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x.
（ 1 ）AE的长为________（用含x的代数式表示）；
（ 2 ）设EK＝2KF，则 的值为________.
6、如图，在矩形ABCD中，AD＝ AB ， ∠BAD的平分线交BC于点E ， DH⊥AE于点H ， 连接BH并延长交CD于点F ， 连接DE交BF于点O ， 下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF ， 其中正确的有________．
三、解答题
1、如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．

2、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3 ， AF=2 ， 求AE的长．
3、如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 , ,如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
4、如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
5、感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，求DE的长
6、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
7、已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
8、如图 ，在 中， ， ，点D是AC的中点，连接BD，过点C作CE平分 交BD于点E，点F在AB上，且
（1）求证： ；
（2）如图②，过点A作 交BD的延长线于点G，
①若 ，求CF； ②设CF交BD于H，求 的值.
9、如图
（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝ ，则 的值是________；
（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD， 的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝ ，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．
答案解析部分
一、单选题
1. C 2. C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.D 9.C 10.C
二、填空题
1.9 2. 15cm 3. (2，3)或(0，-1) 4. 5. ；x 6. ①②③④
三、解答题
1.【答案】 解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）＝ ，即DG＝ ＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
2.【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴ ，
∴DE= ．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= ．
3.【答案】 解：设 关于点 的对称点为 ,由光的反射定律知，延长 相交于 ，
连接 并延长交 于 ,
∥ , ∽ ,
,
即 ,
,
.
答：楼的高度 为32米。
4.【答案】 解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ ，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝ ，AC＝ BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝ ，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT cos30°＝3，AN＝PA cos30°＝ ，PN＝ PA＝ ，PC＝ PA＝ ，
∴BN＝AB﹣AN＝ ，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴ ，
∴ ，
∴CM＝ ，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴ ，
∴AF＝ AC＝ ．
故答案为 ．
5.【答案】 解：感知：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= ．
6.【答案】 （1）解：PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM= BD，PN= AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN.
（2）解：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PM∥BD；
PN= AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN
（3）解：PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴ =k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PN= AE．
∴PM=kPN．
7.【答案】 答：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∴BC=BC′，BA=BA′．∵∠A′BC′=∠ABC=60°，∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．∴∠BAA′=∠BC′C=60°．∵∠A′C′B=90°，∴∠DC′A′=30°．∵∠AC′D=∠BC′C=60°，∴∠ADC′=60°．∴∠DA′C′=30°．∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．∴AD=DC′，DC′=DA′．∴AD=A′D．（2）仍然成立：AD=A′D．证法一：利用相似．如图2﹣1．由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）∴∠1=∠3．设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC∴△BOC∽△DOA．∴∠2=∠4，= ． 连接BD，∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA．∴∠5=∠6．∵∠ACB=90°，∴∠2+∠5=90°．∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．∵BA=BA′，∠ADB=90°，∴AD=A′D．证法二：利用全等．如图2﹣2．过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴∠4=∠5．∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6．∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．在△ADE与△A′DC′中，∴△ADE≌△A′DC′（ASA），∴AD=A′D．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．在Rt△ACB和Rt△AC′B中， ． ∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．∴∠ABC=∠ABC′=60°．∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
8.【答案】 （1）解：如图①， ， ，
，
平分 ，
，
，
在 和 中，
≌ ，
；
（2）解：①如图②，延长CE，交AB于点M，
，CM平分 ，
是AB的中点， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
≌ ，
，
，
②由①可知， ， ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
由勾股定理得： ，
，
，
， ，
，
∽ ，
.
9.【答案】 （1）
（2）解： 的值不变化，值为 ；理由如下：
由（1）得：DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴ ＝ ＝
（3）解：作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图3所示：
则四边形DMCN是矩形，
∴DM＝CN，DN＝MC，
∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝ AD＝ ×3＝ ，DE＝ AE＝ ，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣ ＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝
∴BC＝ AC＝ ，
∵△ACD的面积＝ AC×DM＝ CD×AE，
∴CN＝DM＝ ＝ ，
∴BN＝BC+CN＝ ，AM＝ ＝ ＝ ，
∴DN＝MC＝AM+AC＝
∴BD＝ ＝ ＝