河北省保定市重点中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版，含答案）

数学试卷
一、单选题：
1．已知函数的导函数为，且满足，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．已知数列满足，则 （ ）
A．67 B．115 C．31 D．127
3．已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为 （ ）
A．－40 B．－39 C．－38 D．－14
4．已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交
于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为 (　　)
A． B．1 C． D．2
8．数列的首项为1，数列为等比数列，且，若，则（ ）
A．1008 B．1024 C．201 D．2020
二、多选题：
9．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是 (　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx
10．如图，在三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，
AD＝BD，则下列结论中一定成立的是 (　　)
A．AC＝BC B．AB⊥VC C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
11．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则 (　　)
A． B． C．x＝1为极小值点 D．x＝1为极大值点
12．已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点、在上，点、在上，且，，，，为坐标原点，记、的面积分别为、，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
三、填空题：
13．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是________．
14．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
15．已知，分别是具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，点是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则______．
16．已知曲线C1：f(x)＝－ex－2x，曲线C2：g(x)＝ax＋cosx.
(1)、若曲线C1在x＝0处的切线与曲线C2在x＝处的切线平行，则实数a＝________；
(2)、若曲线C1上任意一点处的切线为l1，总存在C2上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：
17．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝DC，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：GF⊥平面PCB；
（2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？
若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
19．已知数列满足，，
（1）求，；
（2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．
20．已知函数，是的导函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若有两个极值点、，求实数的取值范围.
21．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
22．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．
(1)、求函数f(x)的单调区间；
(2)、若函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，
函数在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
参考答案
1—4：CDAC 5—8：BBAD 9．AC 10．ABD 11．BC 12．ABD
13．22 14． 15． 16．(1)－2　(2)
17．（1）；（2）
【分析】（1）先求出函数的导数，得到，求出即可；
（2）首先求出函数的导函数，则问题等价于在，上恒成立，根据二次函数的性质只要，解出即可．
【详解】解：（1）因为所以，
当时，得，解得；
（2）因为所以，
所以，因为函数在区间上单调递增，
等价于在上恒成立，
因为，对称轴为，开口向下，
所以只要，即解得，所以的取值范围是：．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）M为AP中点.
【分析】（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB;
（2）建立平面PAC的法向量，根据空间向量数量积公式，求得平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标.
【详解】（1）证明：因为ABCD是边长为2的正方形，故，
又PD⊥底面ABCD，故以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则G（1，0，0），P（0，0，2），A （2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（1，1，1），
故＝（0，1，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PCB的法向量为＝（x，y，z），
则，即，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∴∥，故GF⊥平面PCB．
（2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为＝（0，1，1），＝（2，0，﹣2），
设平面PAB的法向量，则，即，
令＝1，则＝0，＝1，故，故cos＜，＞＝＝＝，.
由平面与平面的夹角为锐角，因此平面PAB与平面PCB夹角的余弦值为．
（3）解：设＝λ，则M（2﹣2λ，0，2λ），则＝（2﹣2λ，0，2λ），
∵DM与PC所成角为60°，＝（0，2，﹣2），.
∴cos60°＝|cos＜，＞|＝||＝||，
解得λ＝，故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60°，
点M的坐标为（1，0，1），M为AP中点．
19．（1）， ；（2）证明见解析； ；（3） 证明见解析．
【分析】（1）由递推关系式计算；
（2）由的递推关系求得的递推关系，再由等比数列定义证明，并求得通项公式；
（3）由（2）得，然后由裂项相消法求得和后得证不等式．
【详解】（1）由数列的递推关系，易知，．
（2）
．∵，∴数列的各项均不为0，
∴，即数列是首项为，公比为的等比数列，．
（3）由（2）知．
∴．
20．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）求得，然后分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可解原不等式；
（2）分析可知方程有两个不等的实根，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用已知条件可出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，知，所以.
当时，不等式无解；
当时，不等式的解集为为；
当时，不等式的解集为为；
（2）设.则、是方程的两个实数根，且.
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，
所以方程不可能有两个实数根；当时，由，得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.
所以当时，方程才能有两个实数根，
所以，得，得，
故实数的取值范围是.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程.
（2）设，根据角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后设出直线BC的方程并与椭圆方程联立消元法写韦达及根据交轨法即可求出点D的轨迹方程.
【详解】（1）设，BC中点为()，F(2，0)，
则有，，两式相减，得 ，
即， ①
F(2，0)为三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直线BC的方程为.
（2）由AB⊥AC得，所以 ②
设直线BC方程为，与椭圆方程联立消元，得，
所以，， ，
代入②式得，解得(舍)或，
所以，所以直线过定点，
设，则，即，
所以所求点D的轨迹方程是.
22．【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝，
当a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；当a＝0时，f(x)为常函数．
(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，
f ′(x)＝(x>0)．∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即m<－5且m<－9，即m<－9，
由g′(3)>0，即m>－. ∴－即实数m的取值范围是.