第十五章 分式 综合复习大全（含解析）
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分式综合复习大全
知识梳理
一、分式的概念：
两个整式A.B相除，即A÷B时，可以表示为A/B。
如果B（分母）中含有字母，那么A/B叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、公式：
（1）分式乘分式： 分式除以分式：
分式的乘方：
（2）在进行分式的乘除法运算时，若分子与分母是多项式，应先将多项式分解因式，然后再进行计算
（3）分式的加减：① ②
（4）整数指数幂：①； ②
（5）小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中是第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的一个零）
巩固练习
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．某种细胞的直径是0.00000024m，将0.00000024用科学记数法表示为（
A．2.4×10﹣7 B．2.4×10﹣8 C．0.24×10﹣7 D．24×10﹣8
2．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为 cm．
二．分式有意义的条件（共2小题）
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
4．若式子+有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠3且x≠4 C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠﹣3且x≠﹣5
三．分式的值为零的条件（共1小题）
5．若代数式值为零，则（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．x≠1
四．分式的值（共2小题）
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣1
7．已知x2﹣5x﹣6＝0，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
五．分式的基本性质（共3小题）
8．若把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
9．如果x、y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．变为原来的 D．不变
10．下列从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝x﹣y D．＝
六．最简分式（共2小题）
11．给出下列分式：、、、，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
七．分式的乘除法（共2小题）
13．化简的结果是（ ）
A．m B． C．﹣m D．
14．已知m，n是非零实数，设k＝＝，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
八．分式的混合运算（共2小题）
15．化简：÷（﹣a﹣1）．
16．计算：．
九．分式的化简求值（共10小题）
17．先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
化简求值：（+1） ，其中x＝1．
化简：+÷，并挑选合适的值代入求值．
先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．
（﹣）÷先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
先化简，再求值：，其中m＝．
先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中a满足a2﹣a﹣2＝0．
先化简，再求值：（﹣x+1）÷，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．
一十．负整数指数幂（共1小题）
27．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0
一十一．分式方程的解（共4小题）
28．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
29．若关于x的方程＝无解，则m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．﹣1或﹣
30．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 ．
31．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
一十二．解分式方程（共6小题）
32．解方程：
（1）； （2）．
解方程：﹣＝1．
34．解方程：
（1）+1＝； （2）﹣1＝．
35．解分式方程：
（1）﹣＝． （2）+＝．
36．分式方程的解是 ．
37．解方程：
（1）； （2）．
一十三．换元法解分式方程（共1小题）
38．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为 ．
一十四．分式方程的增根（共7小题）
39．关于x的分式方程的增根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝1
40．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
41．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
42．如果方程有增根，则k＝ ．
43．解方程：．
44．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
45．当m＝ ，方程会产生增根．
一十五．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
46．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
47．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 ．
一十六．分式方程的应用（共2小题）
49．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
50．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．某种细胞的直径是0.00000024m，将0.00000024用科学记数法表示为（ ）
A．2.4×10﹣7 B．2.4×10﹣8 C．0.24×10﹣7 D．24×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000024＝2.4×10﹣7；
故选：A．
2．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为 2×10﹣7 cm．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．在本题中a应为2，10的指数为﹣7．
【解答】解：0.000 000 2cm＝2×10﹣7cm．
故答案为：2×10﹣7．
二．分式有意义的条件（共2小题）
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
4．若式子+有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠3且x≠4 C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠﹣3且x≠﹣5
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，x﹣4≠0，
∴x≠3且x≠4，
故选：B．
三．分式的值为零的条件（共1小题）
5．若代数式值为零，则（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．x≠1
【分析】根据分式值为0时分子为0，分母不为0列式计算可求解．
【解答】解：由题意得|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1，
故选：B．
四．分式的值（共2小题）
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣1
【分析】直接利用分式的性质化简，在把已知数据代入得出答案．
【解答】解：
＝
＝，
＝1﹣，
∵，
∴＝，
∴原式＝1﹣＝﹣．
故选：C．
7．已知x2﹣5x﹣6＝0，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由x2﹣5x﹣6＝0得到x2＝5x+6，代入分式中即可求解．
【解答】解：根据题中条件，易得：x≠0，
由x2﹣5x﹣6＝0得：x2＝5x+6，
把x2＝5x+6代入得：
＝
＝．
故选：B．
五．分式的基本性质（共3小题）
8．若把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【解答】解：把分式中的x和y都扩大为原来的5倍可得，
＝＝5×，
所以原分式的值扩大5倍，
故选：A．
9．如果x、y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．变为原来的 D．不变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝，
故选：A．
10．下列从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝x﹣y D．＝
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、，故A不符合题意．
B、当m＝0时，此时无意义，故B不符合题意．
C、＝x+y，故C不符合题意．
D、，a必定不为0，故D符合题意．
故选：D．
六．最简分式（共2小题）
11．给出下列分式：、、、，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【解答】解：∵＝、、＝＝2a+b、＝﹣1，
∴最简分式是共1个．
故选：A．
12．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、是最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，故不是最简分式，不合题意；
C、＝，故不是最简分式，不合题意；
D、原式＝＝，故不是最简分式，不合题意；
故选：A．
七．分式的乘除法（共2小题）
13．化简的结果是（ ）
A．m B． C．﹣m D．
【分析】根据分式的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝×
＝﹣m，
故选：C．
14．已知m，n是非零实数，设k＝＝，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
【分析】根据分数除法的运算法则解答即可．
【解答】解：，
又∵，
∴，
∴k2＝k+3，
故选：D．
八．分式的混合运算（共2小题）
15．化简：÷（﹣a﹣1）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝
＝．
16．计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
九．分式的化简求值（共10小题）
17．先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先化简分式时，有公因数（式）就先提取公因数（式），括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分母是x+2，则原式可以化简为÷＝÷＝．注意整个过程中分母不能为0，即x（x﹣2）≠0，x2﹣4≠0．所以x≠±2，x≠0．将x＝5代入求解得．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝．
∵x2﹣4≠0，x（x﹣2）≠0
∴x≠0，x≠±2，
∴当x＝5时，原式＝．
答：原式的值为．
18．化简求值：（+1） ，其中x＝1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝1时，
原式＝1．
19．化简：+÷，并挑选合适的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝，
由分式有意义的条件可知：a＝4，
∴原式＝＝4．
20．先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值求出并代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝2（a+3），
＝2a+6，
∵，
∴5≤a＜6，
∴a＝5，
∴原式＝10+6＝16．
21．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
当时，原式＝．
22．（﹣）÷先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2、3、4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝x+2，
∵（x﹣2）（x+2）（x﹣4）≠0，
∴x≠2，﹣2，4，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
23．先化简，再求值：，其中m＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及绝对值的性质化简原式得出m的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当m＝＝3+1+2﹣7＝2﹣3时，
原式＝
＝
＝．
24．先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中a满足a2﹣a﹣2＝0．
【分析】先算括号内的加法和减法，再把除法变成乘法，最后求出符合的a代入，即可求出答案．
【解答】解：（a+）÷（a﹣2+）
＝÷
＝
＝，
a2﹣a﹣2＝0，
解得：a＝2或﹣1，
根据分母（a+1）（a﹣1）得：a＝﹣1不行，
当a＝2时，原式＝＝3．
25．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣x+1）÷
＝
＝
＝
＝﹣，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
取x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝﹣＝﹣．
26．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由平方根的概念得出a的值，选择使分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]
＝
＝
＝﹣，
∵a是4的平方根，
∴a＝±2，
又a＝2时分式无意义，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝0．
一十．负整数指数幂（共1小题）
27．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5＝2a5错误；
B、中a6×a4＝a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4＝0，错误；
故选：C．
一十一．分式方程的解（共4小题）
28．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
【分析】先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．
【解答】解：＝+1，
去分母得，ax＝2+x﹣1，
整理得，（a﹣1）x＝1，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝1，
解得，a＝2；
当整式方程无解时，a＝1，
故选：D．
29．若关于x的方程＝无解，则m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．﹣1或﹣
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到整式方程无解和整式方程有解，而此解恰是分式方程的增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2﹣x＝﹣mx，即（1﹣m）x＝2，
当1﹣m＝0，即m＝1时，方程无解；
当1﹣m≠0，即m≠1时，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：2﹣1＝﹣m，
解得：m＝﹣1，
综上，m＝﹣1或1．
故选：B．
30．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 0.5或1.5 ．
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：＝2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
31．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．
【解答】解：去分母得，2x﹣b＝3x﹣6，
∴x＝6﹣b，
∵x≥0，
∴6﹣b≥0，
解得，b≤6，
又∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
即6﹣b≠2，b≠4，
则b的取值范围是b≤6且b≠4，
故选：B．
一十二．解分式方程（共6小题）
32．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以x﹣2得x﹣3+x﹣2＝3，
解整式方程得，x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0
∴x＝4是原方程的解．
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）（2x+3）得：2x2﹣x﹣6＝2（x﹣2）（x﹣1），
整理得：5x＝10，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
33．解方程：﹣＝1．
【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
34．解方程：
（1）+1＝；
（2）﹣1＝．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
35．解分式方程：
（1）﹣＝．
（2）+＝．
【分析】（1）方程两边同乘以x2﹣4，将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验根即可；
（2）方程两边同乘以2x+6，将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验根即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x2﹣4，得
2（x+2）﹣4＝x﹣2，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x2﹣4＝4﹣4＝0，
∴x＝﹣2是方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）方程两边同乘以2x+6，得
4+3（x+3）＝7，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2x+6＝﹣4+6＝2≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
36．分式方程的解是 x＝﹣1 ．
【分析】根据分式方程，可以先去分母变为整式方程进行解答，解出整式方程的根注意要进行检验．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣1得，
x2﹣1＝0
则（x+1）（x﹣1）＝0
∴x+1＝0或x﹣1＝0
得，x＝﹣1或x＝1．
检验：x＝﹣1时，x﹣1≠0；x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1舍去．
故分式方程的根为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
37．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】先将分式化简为整式求解，然后进行验算．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣7）得：
x﹣8+1＝8（x﹣7），
x﹣7＝8x﹣56，
7x＝49，
x＝7，
检验：x﹣7＝0，x＝7为增根，
∴原方程无解．
（2）方程两边同时乘以x2﹣4得：
x（x+2）+1＝x2﹣4，
x2+2x+1＝x2﹣4，
2x＝﹣5，
x＝﹣，
经检验，x＝﹣为原方程的解．
一十三．换元法解分式方程（共1小题）
38．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为 y2+2y+1＝0 ．
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．
【解答】解：∵，
∴y++2＝0，
整理得：y2+2y+1＝0．
故答案为：y2+2y+1＝0．
一十四．分式方程的增根（共7小题）
39．关于x的分式方程的增根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到答案．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
故选：D．
40．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
【分析】方程两边都乘以（x﹣3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x﹣3＝0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得：a+1＝2（x﹣3），
a+1＝2x﹣6，
a＝2x﹣6﹣1，
a＝2x﹣7．
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴a＝2x﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
41．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝﹣2代入整式方程计算即可求出k的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x+2+k（x﹣2）＝6，
由分式方程的增根为x＝﹣2，
代人得到﹣4k＝6，
解得：k＝﹣，
故选：A．
42．如果方程有增根，则k＝ 1 ．
【分析】先化简原式，再将x＝2代入求解．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
43．解方程：．
【分析】方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），
得，3x2﹣x（x+2）＝x2+x﹣2，
整理得，x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1不是原方程的根，
当x＝2时，（x+2）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
∴原方程的根是x＝2．
44．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】根据增根的定义求出a值．
【解答】解：两边同乘（x﹣1）得：ax＝4+x﹣1．
∴（a﹣1）x＝3．
∵方程有增根．
∴x＝1．
∴a＝4+1﹣1．
∴a＝4．
故选：D．
45．当m＝ ﹣3或5 ，方程会产生增根．
【分析】用含m的代数式表示x的值，通过x＝0或x＝1时为增根求m的值．
【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，
3（x﹣1）+6x＝x+m，
∵方程有增根，
∴x＝0或x＝1，
把x＝0代入3（x﹣1）+6x＝x+m，
解得m＝﹣3，
把x＝1代入3（x﹣1）+6x＝x+m，
解得m＝5，
故答案为：﹣3或5．
一十五．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
46．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合结账时甲购买的件数比乙多4件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，
依题意得：﹣4＝．
故选：B．
47．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由原计划每周生产的疫苗数结合五天后提高的速度，可得出五天后每天生产1.25x万支疫苗，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前3天完成任务（前五天按原工作效率），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵原计划每天生产x万支疫苗，五天后以原来速度的1.25倍生产，
∴五天后每天生产1.25x万支疫苗，
依题意，得：．
故选：D．
48．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 +＝18 ．
【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间＝18天．
【解答】解：采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，
∴所列方程为：+＝18．
一十六．分式方程的应用（共2小题）
49．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣50＝40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
50．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
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分式综合复习大全
知识梳理
一、分式的概念：
两个整式A.B相除，即A÷B时，可以表示为A/B。
如果B（分母）中含有字母，那么A/B叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、公式：
（1）分式乘分式： 分式除以分式：
分式的乘方：
（2）在进行分式的乘除法运算时，若分子与分母是多项式，应先将多项式分解因式，然后再进行计算
（3）分式的加减：① ②
（4）整数指数幂：①； ②
（5）小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中是第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的一个零）
巩固练习
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．某种细胞的直径是0.00000024m，将0.00000024用科学记数法表示为（
A．2.4×10﹣7 B．2.4×10﹣8 C．0.24×10﹣7 D．24×10﹣8
2．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为 cm．
二．分式有意义的条件（共2小题）
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
4．若式子+有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠3且x≠4 C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠﹣3且x≠﹣5
三．分式的值为零的条件（共1小题）
5．若代数式值为零，则（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．x≠1
四．分式的值（共2小题）
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣1
7．已知x2﹣5x﹣6＝0，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
五．分式的基本性质（共3小题）
8．若把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
9．如果x、y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．变为原来的 D．不变
10．下列从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝x﹣y D．＝
六．最简分式（共2小题）
11．给出下列分式：、、、，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
七．分式的乘除法（共2小题）
13．化简的结果是（ ）
A．m B． C．﹣m D．
14．已知m，n是非零实数，设k＝＝，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
八．分式的混合运算（共2小题）
15．化简：÷（﹣a﹣1）．
16．计算：．
九．分式的化简求值（共10小题）
17．先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
化简求值：（+1） ，其中x＝1．
化简：+÷，并挑选合适的值代入求值．
先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．
（﹣）÷先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
先化简，再求值：，其中m＝．
先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中a满足a2﹣a﹣2＝0．
先化简，再求值：（﹣x+1）÷，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．
一十．负整数指数幂（共1小题）
27．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0
一十一．分式方程的解（共4小题）
28．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
29．若关于x的方程＝无解，则m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．﹣1或﹣
30．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 ．
31．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
一十二．解分式方程（共6小题）
32．解方程：
（1）； （2）．
解方程：﹣＝1．
34．解方程：
（1）+1＝； （2）﹣1＝．
35．解分式方程：
（1）﹣＝． （2）+＝．
36．分式方程的解是 ．
37．解方程：
（1）； （2）．
一十三．换元法解分式方程（共1小题）
38．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为 ．
一十四．分式方程的增根（共7小题）
39．关于x的分式方程的增根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝1
40．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
41．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
42．如果方程有增根，则k＝ ．
43．解方程：．
44．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
45．当m＝ ，方程会产生增根．
一十五．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
46．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
47．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 ．
一十六．分式方程的应用（共2小题）
49．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
50．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．某种细胞的直径是0.00000024m，将0.00000024用科学记数法表示为（ ）
A．2.4×10﹣7 B．2.4×10﹣8 C．0.24×10﹣7 D．24×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000024＝2.4×10﹣7；
故选：A．
2．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为 2×10﹣7 cm．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．在本题中a应为2，10的指数为﹣7．
【解答】解：0.000 000 2cm＝2×10﹣7cm．
故答案为：2×10﹣7．
二．分式有意义的条件（共2小题）
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
4．若式子+有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠3且x≠4 C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠﹣3且x≠﹣5
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，x﹣4≠0，
∴x≠3且x≠4，
故选：B．
三．分式的值为零的条件（共1小题）
5．若代数式值为零，则（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．x≠1
【分析】根据分式值为0时分子为0，分母不为0列式计算可求解．
【解答】解：由题意得|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1，
故选：B．
四．分式的值（共2小题）
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣1
【分析】直接利用分式的性质化简，在把已知数据代入得出答案．
【解答】解：
＝
＝，
＝1﹣，
∵，
∴＝，
∴原式＝1﹣＝﹣．
故选：C．
7．已知x2﹣5x﹣6＝0，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由x2﹣5x﹣6＝0得到x2＝5x+6，代入分式中即可求解．
【解答】解：根据题中条件，易得：x≠0，
由x2﹣5x﹣6＝0得：x2＝5x+6，
把x2＝5x+6代入得：
＝
＝．
故选：B．
五．分式的基本性质（共3小题）
8．若把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【解答】解：把分式中的x和y都扩大为原来的5倍可得，
＝＝5×，
所以原分式的值扩大5倍，
故选：A．
9．如果x、y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．变为原来的 D．不变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝，
故选：A．
10．下列从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝x﹣y D．＝
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、，故A不符合题意．
B、当m＝0时，此时无意义，故B不符合题意．
C、＝x+y，故C不符合题意．
D、，a必定不为0，故D符合题意．
故选：D．
六．最简分式（共2小题）
11．给出下列分式：、、、，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【解答】解：∵＝、、＝＝2a+b、＝﹣1，
∴最简分式是共1个．
故选：A．
12．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、是最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，故不是最简分式，不合题意；
C、＝，故不是最简分式，不合题意；
D、原式＝＝，故不是最简分式，不合题意；
故选：A．
七．分式的乘除法（共2小题）
13．化简的结果是（ ）
A．m B． C．﹣m D．
【分析】根据分式的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝×
＝﹣m，
故选：C．
14．已知m，n是非零实数，设k＝＝，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
【分析】根据分数除法的运算法则解答即可．
【解答】解：，
又∵，
∴，
∴k2＝k+3，
故选：D．
八．分式的混合运算（共2小题）
15．化简：÷（﹣a﹣1）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝
＝．
16．计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
九．分式的化简求值（共10小题）
17．先化简，然后从﹣2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先化简分式时，有公因数（式）就先提取公因数（式），括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分母是x+2，则原式可以化简为÷＝÷＝．注意整个过程中分母不能为0，即x（x﹣2）≠0，x2﹣4≠0．所以x≠±2，x≠0．将x＝5代入求解得．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝．
∵x2﹣4≠0，x（x﹣2）≠0
∴x≠0，x≠±2，
∴当x＝5时，原式＝．
答：原式的值为．
18．化简求值：（+1） ，其中x＝1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝1时，
原式＝1．
19．化简：+÷，并挑选合适的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝，
由分式有意义的条件可知：a＝4，
∴原式＝＝4．
20．先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值求出并代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝2（a+3），
＝2a+6，
∵，
∴5≤a＜6，
∴a＝5，
∴原式＝10+6＝16．
21．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
当时，原式＝．
22．（﹣）÷先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2、3、4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝x+2，
∵（x﹣2）（x+2）（x﹣4）≠0，
∴x≠2，﹣2，4，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
23．先化简，再求值：，其中m＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及绝对值的性质化简原式得出m的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当m＝＝3+1+2﹣7＝2﹣3时，
原式＝
＝
＝．
24．先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中a满足a2﹣a﹣2＝0．
【分析】先算括号内的加法和减法，再把除法变成乘法，最后求出符合的a代入，即可求出答案．
【解答】解：（a+）÷（a﹣2+）
＝÷
＝
＝，
a2﹣a﹣2＝0，
解得：a＝2或﹣1，
根据分母（a+1）（a﹣1）得：a＝﹣1不行，
当a＝2时，原式＝＝3．
25．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣x+1）÷
＝
＝
＝
＝﹣，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
取x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝﹣＝﹣．
26．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由平方根的概念得出a的值，选择使分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]
＝
＝
＝﹣，
∵a是4的平方根，
∴a＝±2，
又a＝2时分式无意义，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝0．
一十．负整数指数幂（共1小题）
27．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5＝2a5错误；
B、中a6×a4＝a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4＝0，错误；
故选：C．
一十一．分式方程的解（共4小题）
28．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
【分析】先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．
【解答】解：＝+1，
去分母得，ax＝2+x﹣1，
整理得，（a﹣1）x＝1，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝1，
解得，a＝2；
当整式方程无解时，a＝1，
故选：D．
29．若关于x的方程＝无解，则m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．﹣1或﹣
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到整式方程无解和整式方程有解，而此解恰是分式方程的增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2﹣x＝﹣mx，即（1﹣m）x＝2，
当1﹣m＝0，即m＝1时，方程无解；
当1﹣m≠0，即m≠1时，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：2﹣1＝﹣m，
解得：m＝﹣1，
综上，m＝﹣1或1．
故选：B．
30．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 0.5或1.5 ．
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：＝2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
31．若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．
【解答】解：去分母得，2x﹣b＝3x﹣6，
∴x＝6﹣b，
∵x≥0，
∴6﹣b≥0，
解得，b≤6，
又∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
即6﹣b≠2，b≠4，
则b的取值范围是b≤6且b≠4，
故选：B．
一十二．解分式方程（共6小题）
32．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以x﹣2得x﹣3+x﹣2＝3，
解整式方程得，x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0
∴x＝4是原方程的解．
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）（2x+3）得：2x2﹣x﹣6＝2（x﹣2）（x﹣1），
整理得：5x＝10，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
33．解方程：﹣＝1．
【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
34．解方程：
（1）+1＝；
（2）﹣1＝．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
35．解分式方程：
（1）﹣＝．
（2）+＝．
【分析】（1）方程两边同乘以x2﹣4，将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验根即可；
（2）方程两边同乘以2x+6，将方程转化为整式方程，解方程可求解x值，再验根即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x2﹣4，得
2（x+2）﹣4＝x﹣2，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x2﹣4＝4﹣4＝0，
∴x＝﹣2是方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）方程两边同乘以2x+6，得
4+3（x+3）＝7，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2x+6＝﹣4+6＝2≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
36．分式方程的解是 x＝﹣1 ．
【分析】根据分式方程，可以先去分母变为整式方程进行解答，解出整式方程的根注意要进行检验．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣1得，
x2﹣1＝0
则（x+1）（x﹣1）＝0
∴x+1＝0或x﹣1＝0
得，x＝﹣1或x＝1．
检验：x＝﹣1时，x﹣1≠0；x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1舍去．
故分式方程的根为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
37．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】先将分式化简为整式求解，然后进行验算．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣7）得：
x﹣8+1＝8（x﹣7），
x﹣7＝8x﹣56，
7x＝49，
x＝7，
检验：x﹣7＝0，x＝7为增根，
∴原方程无解．
（2）方程两边同时乘以x2﹣4得：
x（x+2）+1＝x2﹣4，
x2+2x+1＝x2﹣4，
2x＝﹣5，
x＝﹣，
经检验，x＝﹣为原方程的解．
一十三．换元法解分式方程（共1小题）
38．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为 y2+2y+1＝0 ．
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．
【解答】解：∵，
∴y++2＝0，
整理得：y2+2y+1＝0．
故答案为：y2+2y+1＝0．
一十四．分式方程的增根（共7小题）
39．关于x的分式方程的增根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到答案．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
故选：D．
40．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
【分析】方程两边都乘以（x﹣3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x﹣3＝0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得：a+1＝2（x﹣3），
a+1＝2x﹣6，
a＝2x﹣6﹣1，
a＝2x﹣7．
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴a＝2x﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
41．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝﹣2代入整式方程计算即可求出k的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x+2+k（x﹣2）＝6，
由分式方程的增根为x＝﹣2，
代人得到﹣4k＝6，
解得：k＝﹣，
故选：A．
42．如果方程有增根，则k＝ 1 ．
【分析】先化简原式，再将x＝2代入求解．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
43．解方程：．
【分析】方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），
得，3x2﹣x（x+2）＝x2+x﹣2，
整理得，x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1不是原方程的根，
当x＝2时，（x+2）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
∴原方程的根是x＝2．
44．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】根据增根的定义求出a值．
【解答】解：两边同乘（x﹣1）得：ax＝4+x﹣1．
∴（a﹣1）x＝3．
∵方程有增根．
∴x＝1．
∴a＝4+1﹣1．
∴a＝4．
故选：D．
45．当m＝ ﹣3或5 ，方程会产生增根．
【分析】用含m的代数式表示x的值，通过x＝0或x＝1时为增根求m的值．
【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，
3（x﹣1）+6x＝x+m，
∵方程有增根，
∴x＝0或x＝1，
把x＝0代入3（x﹣1）+6x＝x+m，
解得m＝﹣3，
把x＝1代入3（x﹣1）+6x＝x+m，
解得m＝5，
故答案为：﹣3或5．
一十五．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
46．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合结账时甲购买的件数比乙多4件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，
依题意得：﹣4＝．
故选：B．
47．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由原计划每周生产的疫苗数结合五天后提高的速度，可得出五天后每天生产1.25x万支疫苗，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前3天完成任务（前五天按原工作效率），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵原计划每天生产x万支疫苗，五天后以原来速度的1.25倍生产，
∴五天后每天生产1.25x万支疫苗，
依题意，得：．
故选：D．
48．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 +＝18 ．
【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间＝18天．
【解答】解：采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，
∴所列方程为：+＝18．
一十六．分式方程的应用（共2小题）
49．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣50＝40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
50．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
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