2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册第 3 章　幂 指数与对数 解答题题型(word含答案解析）

【学生版】
高一数学《第 3 章　幂 指数与对数》章节复习解答题训练
1、化简。
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
2、计算：（1）．
（2）若，求．
【提示】
【答案】
【解析】
3、（1）求表达式的值；
（2）已知，求的值。
4、（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
5、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
6、已知命题p：对数有意义；命题q：实数t满足不等式.
（1）若命题p为真，求实数的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围
7、因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.
（1）对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果，，，，那么；
（2）请你运用上述对数运算性质，计算的值；
（3）对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为，所以是一个4位数，我们取，请你运用上述对数运算性质，判断的位数是多少？
8、阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
理由如下：设，，所以，，所以，
由对数的定义得:，又因为，所以
解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式：__.
（2）仿照上面的材料，试证明：.
（3）拓展运用：计算
【教师版】
高一数学《第 3 章　幂 指数与对数》章节复习解答题训练
1、化简。
【提示】注意：初中公式与化简要求；
【答案】
【解析】原式=
=
=
=
【说明】本题了结合“平方差公式”阶梯法递进化简。
2、计算：（1）．
（2）若，求．
【提示】（1）根据对数的运算法则及性质计算可得；（2）根据对数的运算法则求出，再根据乘法公式计算可得；
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1）原式=
，
（2）
即
=
3、（1）求表达式的值；
（2）已知，求的值。
【解析】（1）．
（2）因为，
所以，所以．
4、（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
【提示】（1）根据条件可得出，从而可得出，进而可得出的值；
（2）根据对数的换底公式和对数的运算即可用，表示出和．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1），，，，
且，；
（2），，，
．
5、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
【解析】方法1、设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，
∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
方法2、令ax＝by＝cz＝t，
∵a，b，c是不等于1的正数，∴t＞0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋＝，
∵＋＋＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
6、已知命题p：对数有意义；命题q：实数t满足不等式.
（1）若命题p为真，求实数的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围
【提示】先根据真数大于零得命题为真时的范围，再根据充分不必要条件得的范围包含关系，解得结果；
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由对数式有意义得－2t2＋7t－5>0，解得1（2）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴1方法1：因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0两根为1，a＋2，故只需a＋2>，解得a>.
即a的取值范围是.
方法2：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.
即a的取值范围是.
【说明】本题考查命题之间的充分必要关系。本题中命题p是命题q的充分不必要条件，则指命题p的解集是命题q的解决的真子集，通过集合间包含关系，利用数轴，得到答案
7、因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.
（1）对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果，，，，那么；
（2）请你运用上述对数运算性质，计算的值；
（3）对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为，所以是一个4位数，我们取，请你运用上述对数运算性质，判断的位数是多少？
【提示】（1）根据指数与对数的互化有，.可得证；（2）由化简可得答案；（3）设的位数为，则，两边取常用对数可解得答案.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）位数为16.
【解析】（1）设，则.根据对数定义有，.
因此.
（2）由可得：
.
（3）设的位数为，则，
所以，即.
因为，所以.由得.
因为，所以
8、阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
理由如下：设，，所以，，所以，
由对数的定义得:，又因为，所以
解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式：__.
（2）仿照上面的材料，试证明：.
（3）拓展运用：计算
【提示】（1）利用指数是与对数式的对应关系；（2）把对数的差运算转化为指数的商运算；（3）利用（2）的结论；
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）2.
【解析】（1）将指数转化为对数式：，故答案为：.
（2）证明：设，，所以，，所以
，由对数的定义得，又因，
所以；
（3），故答案为：2.
【说明】本题理解着力指数对数的逆运算关系，对数对应指数，真数对应幂，乘对应加，商对应差；深刻的领会为后续学习指对函数打好基础
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）