2021--2022学年数学 人教A（2019）选择性必修第一册3.3 抛物线 基础达标练习word版含答案

3.3抛物线基础达标练第三章圆锥曲线的方程---2021--2022人教A（2019）选择性必修第一册高二上学期
一．选择题（共8小题）
1．已知点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
2．抛物线，是焦点，则表示　　
A．到准线的距离 B．到准线距离的
C．到准线距离的 D．到轴的距离
3．是抛物线的一条焦点弦，，则中点的横坐标是　　
A．2 B． C． D．
4．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心的轨迹方程是　　
A． B． C． D．
5．正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且到平面的距离与到直线距离相等，则动点的轨迹为　　
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
6．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得为坐标原点），则抛物线的方程为　　
A． B． C． D．
7．已知抛物线，斜率为2的直线与抛物线交于，两点，且弦中点的纵坐标为1，则抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，交于点，且，则　　
A．2 B． C．5 D．
二．多选题（共4小题）
9．已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上 B．
C． D．
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
11．抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是　　
A．的最小值是2
B．动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线，使得，两点关于直线对称
D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
12．已知抛物线的焦点为，直线1经过点交于，两点，交轴于点，若，则　　
A．
B．点的坐标为，
C．
D．弦的中点到轴的距离为
三．填空题（共4小题）
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，如图所示，沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则　　．
14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，，，两点，如果，那么等于 　　．
15．已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点在直线上，若为坐标原点），则的面积为 　　．
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限内交于点，，为坐标原点，若，则的面积为 　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
18．已知直线经过两点，．
（1）求直线关于直线对称的直线方程；
（2）直线上是否存在点，使点到点的距离等于到直线的距离，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由．
19．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与定直线的距离相等．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线交轨迹于点，，求的面积．
20．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．过做抛物线的两条切线，切点分别为，．若．
（1）求抛物线的方程；
（2），，过任做一直线交抛物线于，两点，当也变化时，求的最小值．
22．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
解：由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
可得点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
则点的轨迹方程为，
故选：．
2．抛物线，是焦点，则表示　　
A．到准线的距离 B．到准线距离的
C．到准线距离的 D．到轴的距离
解：根据抛物线方程可知准线方程为，
焦点，
到准线距离，
则表示到准线距离的
故选：．
3．是抛物线的一条焦点弦，，则中点的横坐标是　　
A．2 B． C． D．
解：设，，，根据抛物线的定义可知
，
，
故选：．
4．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，那么动圆的圆心的轨迹方程是　　
A． B． C． D．
解：令点坐标为，，动圆的半径为，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，，，
在直线的右侧，故到定直线的距离是，
所以，即，
化简得：．
故选：．
5．正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且到平面的距离与到直线距离相等，则动点的轨迹为　　
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
解：平面，表示到直线距离相等
平面平面，到平面的距离等于到的距离
到平面的距离与到直线距离相等，
等于到的距离
根据抛物线的定义，可知动点的轨迹为抛物线
故选：．
6．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得为坐标原点），则抛物线的方程为　　
A． B． C． D．
解：设，，，，
联立直线与抛物线方程，整理可得，
由韦达定理可得，，，
为的中点，
，
设，，
，
，
又点在抛物线上，
，即，解得或，
抛物线的标准方程为．
故选：．
7．已知抛物线，斜率为2的直线与抛物线交于，两点，且弦中点的纵坐标为1，则抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
解：抛物线的焦点为，，
设，，，，线段的中点的纵坐标为1，，
则，，
两式相减可得：，
，，
，
故选：．
8．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，交于点，且，则　　
A．2 B． C．5 D．
解：如图，过点做垂直于准线，由抛物线定义得，
因为，所以，所以，
则直线方程为，
联立消去得，
设，，，，所以，
得．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上 B．
C． D．
解：由抛物线，则，准线方程为，
设直线的方程为，，，，，
则，
因为，所以，
联立，消整理得：，
则，，
所以，则，（正值舍去），
所以，，
由，则，，
所以切线得斜率，则切线得方程为，
即，
所以切线得斜率，则切线得方程为，
即，
所以，所以，故，故正确，
联立，解得，所以，
所以点位于抛物线的准线上，故正确，
，所以，
所以，故正确，
，故错误．
故选：．
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，则与相交，故对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故正确．
故选：．
11．抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是　　
A．的最小值是2
B．动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线，使得，两点关于直线对称
D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
解：：当垂直于准线时，的值最小，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：等于到准线的距离为，所以正确；
：设则，所以，当时，的最小值为，所以不正确；
：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，，
联立可得：，
△，所以，
所以，，
所以，的中点为，
由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以不正确；
：设，，，，，，
设直线的方程为：，
所以，切线方程分别为：，即，
同理可得：，
两式联立求出，可得，
因为，在抛物线上，
，整理可得：，
所以，
所以，不在准线上，所以不正确．
故选：．
12．已知抛物线的焦点为，直线1经过点交于，两点，交轴于点，若，则　　
A．
B．点的坐标为，
C．
D．弦的中点到轴的距离为
解：由焦点，可得，故正确；
过作垂直于轴，垂足为，则，
因为，所以，所以，
所以，即，
，故错；
如图，，在准线上的投影分别为，，作于，
，
则，，解得．
，故正确；
弦的中点到轴的距离为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，如图所示，沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则　　．
解：沿直线发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点，
抛物线的焦点是，
，
故答案为：4
14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，，，两点，如果，那么等于 　　．
解：抛物线，
，焦点，
，
由抛物线定义可得，．
故答案为：10．
15．已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点在直线上，若为坐标原点），则的面积为 　　．
解：设直线的方程为，点，，，，线段的中点为，，
联立消去得，△，
，，
因为若，所以，即，
所以，即或2，
又时不满足△，．
故直线的方程为，直线与轴交于，
．
故答案为：，
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限内交于点，，为坐标原点，若，则的面积为 　　．
解：由，知：为的中点，设，，，，
则，，
设直线的方程为，代入抛物线方程，
整理得，
由直线与抛物线有两个不同的交点，知△，得，
由韦达定理得，所以，因为，所以，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
解：（1）曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，
曲线的方程为；
（2）由抛物线的定义结合可得，到准线的距离为2，
即的横坐标为1，代入抛物线方程可得，即，
同理可得，故直线的斜率，
故的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离为
18．已知直线经过两点，．
（1）求直线关于直线对称的直线方程；
（2）直线上是否存在点，使点到点的距离等于到直线的距离，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由．
解：（1）直线的斜率为，
由点斜式得直线的方程为，即．
点关于对称的点为
将已知直线的、互换即得对称直线方程
直线关于直线对称的直线方程为．
（2）假设存在符合条件的点，因为点到点的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点在抛物线上，
又点在直线上，由，
消去得，，解得，，
则，，
存在符合条件的点，其坐标分别为或．
19．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与定直线的距离相等．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线交轨迹于点，，求的面积．
解：（1）设，
由抛物线定义知点的轨迹为抛物线，
其方程为：．
（2），代入，消去，得，
设，，，，则
的面积：
．
20．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，
以轴为对称轴，且经过点，
故可设抛物线的方程为，
把点的坐标代入，可得，求得，
故抛物线的方程为．
（2）如图：由，可得，
△，，且，．
设抛物线上存在点，，使得直线，分别于轴交于，两点，
且，
则，．
，
，
故存在点，使得成立．
21．过做抛物线的两条切线，切点分别为，．若．
（1）求抛物线的方程；
（2），，过任做一直线交抛物线于，两点，当也变化时，求的最小值．
解：（1），
由抛物线的对称性，，
，
．
，．
．
（2）设的方程为：，代入抛物线方程可得：，．△，
设，，，，
，，
，
时，．
22．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点．
解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，
再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，
所以由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为，，
联立，整理可得：，
可得：，，
，，
解得，
所以直线的方程为：，
所以直线恒过定点．