(共31张PPT)
第5课时 比例线段与相似三角形的性质、判定
期末提分练案
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1
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C
B
C
5
C
C
6
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6
4
10
8 cm、10 cm
11
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见习题
见习题
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15
见习题
4
16
见习题
1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A．1∶9 B．1∶25
C．9∶25 D．3∶5
C
【点拨】∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABC∶S△DEF＝BC2∶EF2.
又∵BC＝3，EF＝5，
∴S△ABC∶S△DEF＝9∶25.
2．已知两个相似三角形的周长比为2∶3，它们的面积之差为30 cm2，那么它们的面积之和是( )
A．74 cm2 B．76 cm2
C．78 cm2 D．80 cm2
【点拨】∵两个相似三角形的周长比为2∶3，∴这两个相似三角形的相似比为2∶3，∴它们的面积比为4∶9.设这两个三角形的面积分别为4x cm2，9x cm2，∵它们的面积之差为30 cm2，
∴9x－4x＝30，解得x＝6，∴它们的面积之和是9×6＋4×6＝78(cm2)．
【答案】C
3．【2020·宁波改编】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，过点B作CD的平行线交DE于F.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
B
4．点E是正方形ABCD的边CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )
A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90°
C．P是BC的中点 D．BP∶BC＝2∶3
C
5．如图，在正方形网格中有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与①相似的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
6．若 ，2b＋3d－5f＝9，则2a＋3c－5e＝________．
【点拨】∵
∵2b＋3d－5f＝9，
∴2a＋3c－5e＝ ×9＝6.
6
7．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC.若 ，AC＝10，则EC＝________．
4
8．已知两个相似三角形对应的角平分线的比为4∶5，周长和为18 cm，那么这两个三角形的周长分别是____________．
8 cm、10 cm
9．如图，线段AB被点C黄金分割，且AB＝2，AC
10．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝ AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于______．
11．如图，已知在矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF后，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为________．
【点拨】设AD＝x，∵四边形ABEF为正方形，
∴AF＝AB＝EF＝1，∴FD＝x－1.
∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴DF∶AB＝EF∶AD，即AB·EF＝AD·DF，∴1＝(x－1)x，整理得x2－x－1＝0，解得x＝ (负值舍去)．
12．正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于F，若DE＝12，则EF＝________．
4
13．如图，已知AD·AB＝AF·AC，求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴
又∵∠A＝∠A，
∴△ABF∽△ACD.
∴∠B＝∠C.
14．【2020·台州改编】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M，E是线段CM上的点，连接BE.过点E作BE的垂线交AD于点F，连接BF，∠EFB＝∠EDB.求证：△BEF∽△BCA.
证明：由题意得AC＝AD，BC＝BD，
∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACD＋∠CAB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAB.
∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD.∵∠EFB＝∠EDB，
∴∠EFB＝∠BCD. ∴∠EFB＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA.
15．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长；
(2)求证：AM2＝AD·DM；
证明：∵AM2＝( －1)2＝6－2 ，
AD·DM＝2×(3－ )＝6－2 ，
∴AM2＝AD·DM.
解：能．点M是AD的黄金分割点．
(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
16．【2020·菏泽】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD＋CD.
(1)如图①，过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE.
证明：如图，连接CE.
∵AE∥DC，∴∠OAE＝∠OCD，
又∵OA＝OC，∠AOE＝∠COD，∴△OAE≌△OCD，
∴AE＝CD，OE＝OD.
∵OB＝OD＋CD＝OE＋BE，
∴CD＝BE，∴AE＝BE.
(2)如图②，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′.
①求证：BD′∥CD；
证明：过A作AF∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，
由(1)得，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，
由翻折的性质得∠D′BA＝∠ABE，
∴∠D′BA＝∠BAE，
∴BD′∥AF，∴BD′∥CD.
②若AD′∥BC，求证：CD2＝2OD·BD.
证明：∵AD′∥BC，BD′∥AF，
∴四边形AFBD′为平行四边形，∴BD′＝AF，
∵BD′＝BD，∴AF＝BD.
∵AE＝BE，∴EF＝DE.
∵AF∥CD，∴∠BEF＝∠CDE，∠BFE＝∠BCD.
在△BEF和△CDE中，
∴△BEF≌△CDE，∴∠BFE＝∠CED，
∴∠CED＝∠BCD，
又∵∠BDC＝∠CDE，∴△BCD∽△CED，
∴ ，即CD2＝BD·DE，
∵OE＝OD，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD·BD.(共26张PPT)
第8课时 解直角三角形的应用
期末提分练案
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1
2
3
4
D
C
5
A
9.5
6
7
8
9
95
566
10
见习题
见习题
见习题
11
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见习题
1．【中考·长春】如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为( )
A．3sin α米 B．3cos α米
C. D.
A
2．【中考·杭州】如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于( )
A．asin x＋bsin x B．acos x＋bcos x
C．asin x＋bcos x D．acos x＋bsin x
【答案】D
【点拨】如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵OC⊥OB，∴四边形AEOF是矩形，∴AE＝FO.∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠OBC＝90°，∵OC⊥OB，∴∠OBC＋∠BCO＝90°，∴∠ABF＝∠BCO＝x.∵AB＝a，BC＝b，
∴AE＝FO＝FB＋BO＝acos x＋bsin x.
3．【中考·济南】某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105 m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向(如图)．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为(参考数据：tan 37°≈ ，tan 53°≈ )( )
A．225 m B．275 m
C．300 m D．315 m
C
4．【2020·济宁】如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶ ，则斜坡AB的长是________米．
5．【中考·枣庄】如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为________m．(精确到0.1 m．参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
【答案】9.5
【点拨】如图，过D作DE⊥AB于E，则四边形BCDE是矩形．∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵DE＝BC＝6 m，
∴AE＝DE·tan 53°≈6×1.33＝7.98(m)，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD≈7.98＋1.5≈9.5(m)．
6．【2020·甘孜州改编】热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度约为________米．(结果精确到1米，参考数据： ≈1.73)
95
7．【中考·宁波】如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．(精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
【答案】566
8．【2021·长春德惠期末】某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时．一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边10米的O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东60°的A点行驶到北偏东30°的B点，所用时间为1秒．
(1)求该车从A点到B点的平均
速度(结果保留根号)；
解：由题意，得∠AOC＝60°，∠BOC＝30°，OC＝10米，
∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－30°＝30°.
在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠OAC＝30°.
∴∠AOB＝∠OAC，∴AB＝OB.
(2)问该车是否超速？
解：∵36千米/时＝10米/秒， ＞10，
∴该车超速了．
9.【2020·遂宁】在数学实践与综合课上，某兴趣小组用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到点A时，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，
已知1号楼的高度为20米，
且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，tan 67°≈2.36)
解：过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N，
由题意得MB＝EC＝20米，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60米，
∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(米)．
∴AN＝FN·tan ∠AFN≈16.95×tan 40°≈14.24(米)，
∴FD＝NB＝AB－AN≈60－14.24≈45.8(米)．
答：2号楼的高度约为45.8米．
10．【中考·张家界】天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A－B－C路线对索道进行检修维护．如图，已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°，求本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多
少米．(结果精确到1米，参考
数据： ≈1.732)
∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1＋A1B1＝400 ＋250≈943(米)．
答：检修人员上升的垂直高度CA1是943米．
11．【中考·本溪】如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1 000 m，E在BD的中点处．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点B，A之间的距离．(结果保留根号)(共22张PPT)
第6课时 相似三角形的应用与位似图形
期末提分练案
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1
2
3
4
B
D
C
5
A
A
6
7
8
9
A
60
10
10.8 m
4m
见习题
11
12
13
见习题
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见习题
见习题
1．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB进行某种变换得到的，则△OAB各顶点变化情况是( )
A．横坐标和纵坐标都乘2
B．横坐标和纵坐标都加2
C．横坐标和纵坐标都除以2
D．横坐标和纵坐标都减2
A
2．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AO∶AD等于( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶13
B
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－1，－1)．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为( )
A．(－8，4)
B．(8，－4)
C．(8，4)或(－8，－4)
D．(－8，4)或(8，－4)
D
4．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠(即点E，C，A在一条直线上)，量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB的高度为( )
A．2米 B．3米
C．4.5米 D．5米
C
5．《九章算术》是中国古代的数学著作．书中有一题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方几何？”意思如下：如图，点M，点N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为( )
A．280步 B．140步
C．300步 D．150步
【答案】A
【点拨】∵点M，点N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，
∴AM＝ AD，AN＝ AB，AD＝AB，∴AM＝AN.
依题意得Rt△AEM∽Rt△FAN，∴ME∶AN＝AM∶FN，
即AM2＝80×245＝19 600，解得AM＝140步，
∴AD＝2AM＝280步．
6.如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为(1，t)，AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′＝2AB.已知mn＝3(m，n为正数)，在以m，n为坐标(记为(m，n))的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于( )
A
7．如图，A，B两建筑物之间有一池塘，要测量A，B之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝ AO，连接BO并延长到点D，使OD＝ BO.测得C，D间的距离为30 m，则A，B两建筑物之间的距离为________m.
60
8．如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是________．
【点拨】∵AB∶BC＝1∶8，
∴AB∶AC＝1∶9.
∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，
∴AB∶AC＝BE∶CD＝1∶9.
∵BE＝1.2 m，∴CD＝10.8 m.
10.8 m
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积为________．
【点拨】∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2.
∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m.
4m
10．已知△ABC与△A′B′C′位似，且A(－1，2)，B(－2，2)，C(－1，4)，A′(0，0)，B′(2，0)，C′(0，－4)，在如图所示的坐标系中画出位似中心，并写出△ABC与△A′B′C′的位似比．
解：如图，点P即为位似中心．
△ABC与△A′B′C′的位似比＝1∶2.
11．如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．以点O为位似中心，把△ABC按位似比2∶1放大，得到对应的△A′B′C′.
(1)请在第一象限内画出△A′B′C′.设D(a，b)为线段AC上一点，则点D经过上述变换后得到的对应
点D′的坐标为________(用含a，
b的式子表示)；
解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2a，2b)
(2)求△A′B′C′的面积．
12．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树．(不计宣传栏的厚度)
解：如图，延长AF交DE于G.
∵BC∥ED，AF⊥BC，∴△ABC∽△ADE，AG⊥DE.
∴AF∶AG＝BC∶DE.
∵AF＝3米，FG＝12米，∴AG＝AF＋FG＝15米．
∴3∶15＝10∶DE，∴DE＝50米．
50÷2＝25，25＋1＝26.
答：DE处共有26棵树．
13．如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12 m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知王华的身高是1.6 m，如果两个路灯之间的距离为18 m，且两路灯的高度
相同，求路灯的高度．
解：由题意知AB＝18 m，MP＝NQ＝1.6 m，AP＝QB＝(18－12)÷2＝3(m)．
∵∠DAB＝∠DAB，∠APM＝∠ABD＝90°，
∴△AMP∽△ADB，
∴AP∶MP＝AB∶BD，即3∶1.6＝18∶DB，
解得DB＝9.6 m.
答：路灯的高为9.6 m.(共18张PPT)
第2课时 反比例函数图象与几何图形结合
期末提分练案
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1
2
3
4
B
－6
5
C
见习题
6
见习题
1．如图，反比例函数y＝ (x>0)的图象经过正方形OCDF的对角线的交点A，则正方形OCDF的面积为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
C
2．【2020·黔西南州】如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为( )
B
3．如图，正比例函数y1＝－2x的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为6，则k的值为________．
【点拨】由题意可设A(m，－2m)，其中m<0.
∵AC＝AO，∴△ACO是等腰三角形，
∴易得CO＝－2m，
∴易得S△ACO＝ ×(－2m)×(－2m)＝6，
∴m2＝3.由题意得k＝－2m2，∴k＝－6.
【答案】－6
4．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△ABD与△ACD的面积分别为10和20，双曲线y＝(x<0)恰好经过BC的中点E，则k的值为________．
5．【中考·盘锦】如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝－ 的图象上，点B在第一象限y2＝ 的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ ，S矩形OCBE＝ S矩形ODAE.
(1)求点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的表达式．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与坐标原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．设AB所在的直线表达式为y＝ax＋b(a≠0)，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度．
(1)如果菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，求m的值；
解：∵点D的坐标为(4，3)，点C和坐标原点O重合，
∴CD＝
∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝CD＝5，
∴点A的坐标为(4，8)，点B的坐标为(0，5)．
∵点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，
∴k＝4×8＝32，
(2)在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(共25张PPT)
第9课时 用样本估计总体
期末提分练案
平均值
方差
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1
2
3
4
B
C
5
A
C
6
7
8
9
甲
300
10
12
5.8；5 800
见习题
B
11
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见习题
1．某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂这10万件产品中合格品约为( )
A．9.5万件 B．9万件
C．9 500件 D．5 000件
A
2．去年某校有1 500人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中随机抽取了200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有( )
A．400名 B．450名
C．475名 D．500名
B
3．某校对460名九年级学生进行跳绳技能培训，以提高学生的跳绳成绩．为了解培训的效果，随机抽取了40名学生进行测试，测试结果分成“不合格”“合格”“良好”“优秀”四个等级，并绘制了如图所示的统计图，从图中可以估计该校460名九年级学生中跳绳成绩“优秀”的有( )
A．10名 B．16名
C．115名 D．150名
【答案】C
【点拨】根据统计图可知抽取的40名学生中跳绳成绩为“优秀”的有10名，∴抽取的40名学生中跳绳成绩为“优秀”的所占百分比为 ×100%＝25%，∴估计该校460名九年级学生中跳绳成绩“优秀”的有460×25%＝115(名)．
4．为了解甲、乙两人的射击水平，随机让甲、乙两人各射击5次，命中的环数(单位：环)如下：
甲：7 9 8 7 9
乙：7 8 9 8 8
计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0.8，由此可知( )
A．甲的成绩比乙稳定
B．乙的成绩比甲稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【点拨】由题意得s乙2＝ × [(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2]＝0.4，∵s甲2＝0.8，
∴s甲2＞s乙2，∴乙的成绩比甲稳定．
【答案】B
5．为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数直方图(每小组的时间包含最小值，不包含最大值)，根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数
占全校人数的百分比为( )
A．50% B．55% C．60% D．65%
【答案】C
【点拨】m＝40－5－11－4＝20，该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分比为 ×100%＝60%.
6．【2020·台州改编】甲、乙两名同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个)，训练成绩(投中个数)的方差分别为s甲2＝5，s乙2＝6.2，则________的训练成绩更稳定．
甲
7．某校七年级共有1 000名学生，为了解这些学生的视力情况，随机抽查了20名学生的视力，对所得数据进行整理．若数据在4.85～5.15这一小组的频率为0.3，则可估计该校七年级学生视力在4.85～5.15范围内的有______名．
300
8．为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果绘制成如下折线统计图：
由此估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有____________天．
【点拨】由折线统计图可知，10天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有4天，所以估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有30× ＝12(天)．
【答案】12
9.某校在“爱护地球，绿化祖国”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
则这100名学生平均每人植树____________棵；若该校共有1 000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是____________棵．
植树数量/棵 4 5 6 8 10
人数 30 22 25 15 8
【点拨】这100名学生平均每人植树(4×30＋5×22＋6×25＋8×15＋10×8)÷100＝5.8(棵)，所以估计该校1 000名学生的植树总数是5.8×1 000＝5 800(棵)．
【答案】5.8；5 800
10．为估计一次性筷子的用量，2020年某市从600家高、中、低档饭店抽取10家进行调查，这些饭店每天消耗的一次性筷子的盒数分别为0.7，4.2，2.3，1.8，3.2，1.9，1.4，2.3，3.9，2.1.
(1)通过对样本的计算，估计2020年该市饭店每天消耗多少盒一次性筷子；
解：样本平均数为 ×(0.7＋4.2＋2.3＋1.8＋3.2＋1.9＋1.4＋2.3＋3.9＋2.1)＝2.38(盒)，
所以估计2020年该市饭店每天消耗600×2.38＝1 428(盒)一次性筷子．
(2)若生产一套中小学生桌椅需要木材0.07 m3，求2020年该市饭店使用的一次性筷子所用的木材可以生产多少套学生桌椅．(每年按350个营业日计算，计算中需要的有关数据：每盒筷子500双，每双筷子需要木材10 cm3)
解：10 cm3＝0.000 01 m3.
0.000 01×500×1 428×350÷0.07＝35 700(套)．
故2020年该市饭店使用的一次性筷子所用的木材可以生产35 700套学生桌椅．
11．【2020·重庆A卷】为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a 7 45%
八年级 7.5 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中的a，b，c的值；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
解：a＝7，b＝7.5，c＝50%.
八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由略．
(3)若该校七、八年级共1 200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
解：∵七年级合格人数是18人，八年级合格人数是20－2＝18(人)，
∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1 200× ＝1 080(人)．(共33张PPT)
第4课时 一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的应用
期末提分练案
－p
q
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1
2
3
4
C
A
D
5
C
A
6
7
8
9
C
4；－5
100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260
10
2
4
11
12
13
14
见习题
见习题
答案显示
15
见习题
见习题
见习题
16
见习题
1．下列一元二次方程中两根之和为－4的是( )
A．x2－4x＋4＝0 B．x2＋2x－4＝0
C．x2＋4x－5＝0 D．x2＋4x＋10＝0
C
2．若－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则此方程的另一个根等于( )
C
3．【2021·宜宾叙州区期末】为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A．300(1－x)2＝243 B．243(1－x)2＝300
C．300(1－2x)＝243 D．243(1－2x)＝300
A
4．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )
A．－1或5 B．1
C．5 D．－1
D
【点拨】设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝a，x1·x2＝2a，∵x12＋x22＝5，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝5，∴a2－4a－5＝0，∴a1＝5，a2＝－1，当a＝5时，Δ<0，舍去；当a＝－1时，Δ>0，∴a＝－1.
5．某同学参加了学校统一组织的实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，设每节课每名同学教会x名同学做实验，则x的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
A
6．如图，要利用一面墙(墙长25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则AB，BC的长分别为( )
A．18米，18米 B．18米，20米
C．20米，20米 D．16米，20米
【答案】C
【点拨】设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米，根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x＝5舍去，∴AB＝20米，BC＝20米．
7．【2020·邵阳改编】若方程x2－4x－5＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．
4
－5
8．小明的妈妈周三在商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了________瓶酸奶．
【答案】4
【点拨】设她周三买了x瓶酸奶，根据题意得 ＝10＋2，化简得x2＋6x－40＝0，解得x1＝4，x2＝－10(舍去)．经检验，x＝4是原方程的解．∴她周三买了4瓶酸奶．
9．某市准备加大对雾霾的治理力度，2020年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元，求这两个季度计划投入资金的平均增长率．设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为___________________________．
100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260
10．【中考·内江】已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足 ＝3，则k的值是________．
2
【点拨】∵x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.
∴
解得k＝2.经检验，k＝2满足题意． ∴k＝2.
11．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵(x－3)(x－2)＝|m|，
∴x2－5x＋6－|m|＝0，
∵Δ＝(－5)2－4(6－|m|)＝1＋4|m|，|m|≥0，
∴Δ＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
解：设另一个根为x0.
∵方程的一个根是1，
∴由根与系数的关系得1＋x0＝5，解得x0＝4.
∴1·x0＝1×4＝6－|m|，
解得m＝±2.
即m的值为±2，方程的另一个根是4.
12．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(1)已知a，c异号，试探究此方程根的情况；
解：∵a，c异号，a≠0，b2≥0，
∴Δ＝b2－4ac＞0，
∴此方程有两个不等实数根．
(2)若该方程的根是x1＝－1，x2＝3，试求方程a(x＋2)2＋bx＋2b＋c＝0的根．
解：根据题意得x1＋x2＝－ ＝－1＋3＝2，
x1x2＝ ＝－1×3＝－3，即b＝－2a，c＝－3a，
则a(x＋2)2＋bx＋2b＋c＝0可变形为
a(x＋2)2－2ax－4a－3a＝0，
整理得x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，
即方程a(x＋2)2＋bx＋2b＋c＝0的根为x＝1或x＝－3.
13.【2021·六安期末】已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
解：∵方程有两个实数根，
∴[－(2k－1)]2－4k2≥0，
解得k≤ .
(2)若|x1＋x2|＝ x1x2－1，求k的值．
解：∵方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2.
∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2k－1|＝k2－1.
14．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)该商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？
解：由题意得(60－x－40)(10x＋100)＝2 090，
整理得x2－10x＋9＝0，
解得x1＝1，x2＝9，
∵要让顾客得到更大的实惠，∴x＝9.
答：这种干果每千克应降价9元．
15．某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆，则每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数表达式；
解：当x≤5时，y＝30；
当5解：当x≤5时，(32－30)x＝2x≤10<25，不合题意；
当5∴x2＋15x－250＝0.
解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
16．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
(1)经过多少秒，四边形PBCQ的面积为33 cm2
解：设经过x s，四边形PBCQ的面积为33 cm2，则AP＝3x cm，CQ＝2x cm，所以PB＝(16－3x)cm.
由题意得(16－3x＋2x)×6× ＝33.
解得x＝5，所以经过5 s，四边形PBCQ的面积为33 cm2.
(2)经过多少秒，点P和点Q之间的距离是10 cm
解：设经过a s，点P和点Q之间的距离是10 cm.
过点Q作QE⊥AB于E，易得EB＝QC，EQ＝AD＝6 cm，
所以PE＝|PB－BE|＝|PB－QC|＝|16－3a－2a|＝|16－5a|(cm)．
在Rt△PEQ中，PE2＋EQ2＝PQ2，
所以|16－5a|2＋62＝102，即25a2－160a ＋192＝0，
解得a1＝ ，a2＝ ，
所以经过 s或 s，点P和点Q之间的距离是10 cm.(共30张PPT)
第1课时 反比例函数的图象与性质
期末提分练案
x≠0
一
三
减小
二
四
增大
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答案显示
1
2
3
4
A
D
A
5
A
B
6
7
8
9
C
C
－4
10
－5
1
11
12
13
14
4
－12
答案显示
15
－2
3
二、四
16
17
见习题
见习题
18
见习题
1．已知反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是( )
A．k>3 B．k≥3 C．k≤3 D．k<3
A
【点拨】∵反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，∴k－3>0，解得k>3.
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx＋3与反比例函数y＝ 的图象位置可能是( )
A
A B C D
3．关于反比例函数y＝ 的图象，下列说法中，正确的是( )
A．图象的两个分支分别位于第二、四象限
B．图象的两个分支关于y轴对称
C．图象经过点(1，1)
D．当x>0时，y随x的增大而减小
D
4．若A(x1，y1)、B(x2，y2)都在函数y＝ 的图象上，且x1<0A．y1C．y1>y2 D．y1＝－y2
A
【点拨】∵反比例函数y＝ 中k＝2 021>0，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，∵x1<05．如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝ 的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C在函数y＝ (x>0)的图象上，BC∥x轴，若AB＝AC，点A，C的横坐标分别为2，6，△ABC的面积为12，则k的值为( )
A．4 B．8 C．9 D．12
【点拨】过A点作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，
∵点A，C的横坐标分别为2，6，∴点D的横坐标为2，
∴CD＝6－2＝4，∴BC＝8，
∵S△ABC＝ BC·AD＝ ×8·AD＝12，∴AD＝3，
设点C(6，m)，则点A(2，m＋3)，
∵△ABC的顶点A，C在函数y＝ (x>0)的图象上，则k＝6m＝2(m＋3)，解得m＝ ，∴k＝9.
【答案】C
7．【2020·广元】按照如图所示的流程，若输出的M＝－6，则输入的m为( )
A．3 B．1 C．0 D．－1
C
8．如图，矩形OABC的顶点C在反比例函数y＝ 的图象上，且点A坐标为(1，－3)，点B坐标为(7，－1)，则k的值为 ( )
A．3 B．7 C．12 D．21
C
9．若函数y＝(m－4)x|m|－5是反比例函数，则m＝________.
－4
【点拨】∵函数y＝(m－4)x|m|－5是反比例函数，
∴|m|－5＝－1，∴m＝±4，又m－4≠0，∴m＝－4.
10．【2020·益阳】若反比例函数y＝ 的图象经过点(－2，3)，则k＝________．
－5
11．已知反比例函数的图象经过点P(2，－4)，则这个函数的图象位于第________象限．
二、四
12．如图，直线y＝x＋2与双曲线y＝ 相交于点A，点A的纵坐标为3，则k的值为________．
3
【点拨】设A的坐标为(x1，3)．
将(x1，3)代入y＝x＋2，得3＝x1＋2，∴x1＝1，
故A点坐标为(1，3)．将A(1，3)的坐标代入y＝ ，得k＝3.
13.如图，一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝－ 的图象交于点A，B，当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围为______________．
【点拨】∵一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝－的图象交于点A，B.
∴点A(－1，2)，点B(2，－1)，根据图象可知：
当－12时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】－12
14．如图，直线x＝2与反比例函数y＝ 和y＝－ 的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，△PAB的面积是3，则k＝________．
【点拨】如图，设直线x＝2与x轴交于点C，连接OA，OB.
【答案】4
15．一次函数y＝kx＋k＋2(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象对不同的k的取值均相交于同一个点，则m＝_______．
【点拨】由y＝kx＋k＋2＝k(x＋1)＋2可知，一次函数y＝kx＋k＋2(k≠0)的图象一定经过点(－1，2)，∴一次函数y＝kx＋k＋2(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象对不同的k的取值均相交于同一个点(－1，2)，把(－1，2)代入y＝ 得2＝ ，解得m＝－2.
－2
16．如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，若点A的坐标为(3，4)，AB＝2，AD∥x轴，求点C的坐标．
解：∵点A的坐标为(3，4)，AB＝2，∴B(3，2)，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∵AD∥x轴，∴BC∥x轴， ∴C点的纵坐标为2，设C(m，2)，
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，∴k＝2m＝3×4, ∴m＝6, ∴C(6，2)．
17．已知反比例函数图象上两点A(2，3)，B(－2x＋2，y1)的位置如图所示．
(1)求x的取值范围；
解：由反比例函数图象上两点A(2，3)，B(－2x＋2，y1)的位置可知，－2x＋2＞2，
∴x＜0.
(2)若点C(－x，y2)也在该反比例函数的图象上，试比较y1，y2的大小．
解：∵x＜0，∴－x＞0，
∴C点在第一象限，
∵－2x＋2－(－x)＝－x＋2＞0，
∴－2x＋2＞－x，
∴y1＜y2.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝ x的图象经过点A，点A的纵坐标为6，反比例函数y＝ 的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB，求：
(1)这个反比例函数的表达式；
(2)直线AB的表达式．
解：作AD⊥BC于D，易得CD＝4，∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝8.易得点B的坐标为(8，3)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b，(共27张PPT)
第7课时 锐角三角函数与解直角三角形
期末提分练案
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1
2
3
4
B
C
C
5
A
C
6
7
8
9
B
4
10
10
11
12
13
14
见习题
见习题
答案显示
15
见习题
见习题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )
A
2．【2021·长春九中期末】如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是 ，则m的值为( )
A．5 B．4
C．3 D.
B
3．如果△ABC中，sin A＝cos B＝ ，那么下列最确切的结论是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
【点拨】由△ABC中，sin A＝cos B＝ 可知，∠A＝∠B＝45°，所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．
【答案】C
【答案】C
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝ ，则∠A满足( )
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°
C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
【点拨】∵tan 30°＝ ，tan 45°＝1，tan B＝ ，
∴30°＜∠B＜45°，∴45°＜∠A＜60°.
C
6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为( )
B
【点拨】如图，连接BC.设每个小正方形的边长均为1，则AC2＝22＋22＝8，BC2＝12＋12＝2，AB2＝12＋32＝10，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，AB＝6，则BC的长为____________．
4
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，BC＝8，则AB的长为________．
10
9．如图，P(12，a)在反比例函数y＝ 的图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为________．
10．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝ ，则sin A＝________，cos A＝________，tan A＝________．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝BC，则cos B＝________．
12．计算：|－2|＋2sin 30°－(－ )2＋(tan 45°)－1.
13.【2020·安徽改编】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cos A＝ ，求BD的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝ .
(1)求DE，CD的长；
(2)求tan∠DBC的值．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝ ，BE＝2 .求CD的长和四边形ABCD的面积．(共33张PPT)
第3课时 一元二次方程的解法与根的判别式
期末提分练案
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
b2－4ac；
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1
2
3
4
B
D
D
5
C
B
6
7
8
9
B
B
1
10
x1＝8，x2＝－10
C
11
12
13
14
(2x＋1)(x－1)
①③
答案显示
15
3；x2＋2x＋1＝0
13
＝
16
17
见习题
见习题
18
见习题
1．若(a－1)x2＋x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠0 B．a≥0 C．a≠1 D．a≥1
C
2．【2020·南宁】一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( )
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
B
3．关于x的一元二次方程(2－a)x2＋8x＋a2－4＝0的一个根为0，则方程的另一个根为( )
A．2 B．0 C．2或－2 D．－2
D
【点拨】把x＝0代入原方程得a2－4＝0，解得a＝±2.
∵2－a≠0，∴a≠2，∴a＝－2, ∴原方程为4x2＋8x＝0. ∴原方程的两个根分别为x1＝0，x2＝－2.
4．【2021·合肥庐阳区期末】若关于x的一元二次方程kx2－2x＋ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k<4 B．k<4且k≠0
C．k≤4 D．k≤4且k≠0
D
5. 用因式分解法解方程(x＋2)(x－3)＝x＋2时，将原方程转化为两个一次方程是( )
A．x＋2＝0与x－3＝0
B．x＋2＝0与x－4＝0
C．x＋2＝0与x＋3＝0
D．x＋2＝0与x＋4＝0
B
6. 点P的横、纵坐标恰好是方程x2＋4x－21＝0的两个根，则经过点P的反比例函数y＝ 的图象一定在( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【点拨】∵x2＋4x－21＝0，∴(x＋7)(x－3)＝0，∴x＋7＝0或x－3＝0，∴x1＝－7，x2＝3.
∵点P的横、纵坐标恰好是方程x2＋4x－21＝0的两个根，∴P的坐标为(－7，3)或(3，－7)，即k＝－21. 故经过点P的反比例函数y＝ 的图象一定在第二、四象限．
7．方程2x2－6x＋3＝0较小的根为p，方程2x2－2x－1＝0较大的根为q，则p＋q等于( )
A．3 B．2 C．1 D．2
【答案】B
8．若a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a，b，4，则n的值为( )
A．8 B．7
C．8或7 D．9或8
C
9．若关于x的一元二次方程x2－2mx－m＋2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则m的值是_____．
1
【点拨】∵二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，－2m，－m＋2，它们的和是0，∴1－2m－m＋2＝0，解得m＝1.
10．若规定运算a*b＝b2－a2，则方程(x＋1)*9＝0的解为__________________．
x1＝8，x2＝－10
【点拨】∵a*b＝b2－a2，∴方程(x＋1)*9＝0变为92－(x＋1)2＝0，移项得(x＋1)2＝81，两边直接开平方得x＋1＝±9，则x＋1＝9或x＋1＝－9，解得x1＝8，x2＝－10.
11．若x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，则判别式Δ＝b2－4ac和平方式M＝(2a＋b)2的关系是Δ________M．(填“>”“<”或“＝”)
＝
【点拨】∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，∴a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，∴Δ＝b2－4ac＝(－a－c)2－4ac＝a2－2ac＋c2＝(a－c)2，M＝(2a＋b)2＝(2a－a－c)2＝(a－c)2，∴Δ＝M.
12. 若矩形的长和宽恰好是一元二次方程x2－17x＋60＝0的两个根，则矩形对角线的长为________．
13
13．关于x的方程ax2＋2x－a＋2＝0有以下三个结论：①当a＝0时，方程只有一个实数解；②当a≠0时，方程有两个不相等的实数解；③当a是任意实数时，方程总有负数解．其中正确的是________．(填序号)
【点拨】①当a＝0时，原方程化为2x＋2＝0，解得x＝－1，所以方程只有一个实数解，所以①正确；
【答案】①③
②当a≠0时，原方程为一元二次方程，且Δ＝4－4a(－a＋2)＝4a2－8a＋4＝4(a－1)2≥0，所以方程有两个不相等的实数解或两个相等的实数解，所以②错误；
③当a＝0时，方程的解为x＝－1；当a≠0时，原方程可化为(ax－a＋2)(x＋1)＝0，解得x1＝ ，x2＝－1.所以方程总有负数解．所以③正确．
故①③正确．
14．已知公式：ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)可用来进行因式分解，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，试分解因式：2x2－x－1＝______________．
(2x＋1)(x－1)
15．在一元二次方程ax2＋bx＋1＝0中，若系数a，b可以在0，1，2，3中取值，则其中有实数根的方程共有________个，写出其中有两个相等实数根的一元二次方程：____________________．
3
x2＋2x＋1＝0
16．解下列方程．
(1)x2－3x－18＝0 (配方法)；
(2)2x2＋6＝7x (公式法)；
解：∵2x2＋6＝7x,
∴2x2－7x＋6＝0，
∴a＝2，b＝－7，c＝6，
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×6＝1.
解：∵(x－2)2－3(x－2)＝0，
∴(x－2)(x－2－3)＝0，
即(x－2)(x－5)＝0.
∴x－2＝0或x－5＝0，
∴原方程的解为x1＝2，x2＝5.
(3)【2021·合肥庐阳区期末】(x－2)2－3(x－2)＝0(因式分解法)．
∵a2＋2a－3＝0，∴a2＋2a＝3.
∴原式＝2(a2＋2a)＝6.
18．阅读材料：在学习了解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：令|x|＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0.
解得y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫作“换元法”．换元法的解题特征是将原方程中某个固定结构作为一个整体，通过引入辅助元将其代换，使原方程简化(降次)．
请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；
解：令x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，解得a＝1或a＝9.
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
