2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质 讲义

2021-2022学年第一学期新教材人教A版必修一数学
4.2.2指数函数的图像和性质基础练习
形如叫指数函数.
性质：
1.定义域是;
2.值域是；
3.过定点；
4.时，函数在上是增函数；时，函数在上是减函数；
5.在的情况下，当
在的情况下，当
6.函数图像绕点逆时针旋转，底数逐渐变大.
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)和；(2)与；(3)和.
比较指数幂大小的3种类型及处理方法
　　　　
【针对性练习1】.
比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)与且．
【例2】求解下列不等式：
(1)已知≥，求实数的取值范围；
(2)若(a＞0且a≠1)，求的取值范围．
【针对性练习2】方程＝的解为________．
【针对性练习3】设，则关于的不等式的解集为________．
【例3】判断的单调性，并求其值域．
【针对性练习4】画出函数的图象，并根据图象求函数的单调区间．
【针对性练习5】已知函数，若直线与函数的图象只有个交点，则的取值范围是 .
【例4】已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【针对性练习6】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的奇偶性；
(3)证明：.
【课后自主测试】
1.函数且的图象恒过定点(　　)
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，1) D．(0，2)
2.设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A． B．
C． D．
3.已知定义在R上的函数，为常数，若为偶函数，
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数的值域．
4.函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1)
5.不等式的解集是________．
6.解关于的方程：.
7.求函数的定义域.
8.求函数的定义域,单调区间和值域.
4.2.2指数函数的图像和性质基础练习参考答案
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；(2)与；(3)1.50.3和0.81.2.
解: (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.
(2)解法一：指数函数y＝与y＝的图象(如图)，
由图知>.
解法二：考察幂函数，
在是增函数，
(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞0.81.2.
比较指数幂大小的3种类型及处理方法
　　　　
【针对性练习1】.
比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1，1.250.2；
(2)1.70.3，0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)．
解：(1)∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝＝1.250.2，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0a0.6.当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．∵0.5<0.6，∴a0.5a0.6；当a>1时，a0.5【例2】求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
【解】(1)因为，所以由3x≥可得：3x≥3，因为y＝3x为增函数，故x≥1.
①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由可得－2x＜x－1，解得x＞.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由可得－2x＞x－1，解得x＜.
综上，当0＜a＜1时，x＞；当a＞1时，x＜.
【针对性练习2】方程4×22x＝的解为________．
解析：∵4×22x＝，∴，∴.
答案：8
【针对性练习3】设0解析：因为0答案：
【例3】判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
【解】令u＝x2－4x+1，则原函数变为.
∵u＝x2－4x+1＝(x－2)2－3在(－∞，2]上递减，在(2，＋∞)上递增，又∵
在(－∞，＋∞)上递减，
∴f(x)＝在(－∞，2]上递增，在(2，＋∞)上递减．
∵u＝x2－4x+1＝(x－2)2－3≥－3，
∴，u∈[－3，＋∞)，
∴0＜≤，
∴原函数的值域为
【针对性练习4】画出函数的图象，并根据图象求函数的
单调区间．
解：的图象如图所示．
由图象可得函数y＝2－|x|的单调递增区间为(－ ∞，0]，单调递减区间为(0，＋∞)．
【针对性练习5】已知函数f(x)＝|2x－1|，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m的取值范围是 .
解：若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，
即实数m的取值范围是{m|m≥1或m＝0}．
[答案]　{m|m≥1或m＝0}
【例4】已知定义在R上的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解】(1)∵的定义域为R，且为奇函数，
∴，即
(2)由(1)知，故在R上为减函数．
(3)∵为奇函数，
∴可化为．
由(2)知在R上单调递减，
∴，
即对于一切恒成立，
∴
∴的取值范围是
【针对性练习6】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的奇偶性；
(3)证明：.
解：(1)由题意得，即x≠0，
∴的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
令g(x)＝＋，(x)＝x，
则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＝－g(x)，
(－x)＝(－x)＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴为偶函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
课后自主练习
1.函数f(x)＝3－ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(　　)
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，1) D．(0，2)
解：选A　依题意，由x＋1＝0得，x＝－1，将x＝－1代入f(x)＝3－ax＋1得，
f(x)＝3－a0＝2，所以函数f(x)＝3－ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(－1，2)．
2.设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．cC．b【答案】选C　
解：由于指数函数y＝2x为R上的增函数，a＝＝20.2<＝c，
幂函数y＝x0.2为(0，＋∞)上的增函数，则a＝＝20.2>＝b.因此，b3.已知定义在R上的函数，为常数，若为偶函数，
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数的值域．
解：(1)
,
(2),利用单调性定义，可得函数在上单调递增;
(3)函数在上单调递增,所以，
函数的值域为.
4.函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选A　由已知得，的定义域为R.
设则.
因为在(－∞，1)上为减函数，
又因为在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，1)上为增函数，故选A.
5.不等式的解集是________．
解析：由得，
解得.
答案：
6.解关于的方程：.
解：令，原方程可化为
7.求函数的定义域.
解：由解得
所以函数的定义域为
8.求函数的值域.
解：，
在上是减函数，当时，，
函数的值域是.
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