河北省秦皇岛第一高级中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版，含答案）

秦皇岛第一高级中学2021—2022学年第一学期第一次月考
高二数学
说明：1、考试时间120分钟，满分150+5=155分；
2、将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题卡上。
第I卷（选择题 共70分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是　　
A．对立事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．互斥但不对立事件
2.若=(2，3，m)，=(2n，6，8)，且，为共线向量，则m+n的值为（　　）
A.7　　 B. C.6 D.8
3．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1到5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：
522 553 135 354 313 531 423 521 541 142
125 323 345 131 332 515 324 132 255 325
则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是　　
A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4
5. 甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解出问题的概率是,乙解出此问题的概率是,那么至少有一人解出此问题的概率是( )
A. 0.92 B. 0.98 C. 0.9 D. 0.88
6．已知平面，其中点，2，，法向量，1，，则下列各点中不在平面内的是　　
A．，2， B．，5， C．，4， D．，，
7.如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，则向量的长度为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
9. 在三棱柱中，侧棱底面，所有棱长都为1，，分别为棱和的中点，若经过点，，的平面将三棱柱分割成两部分，则这两部分体积的比值为　　
A． B． C． D．
10. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值。在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11．给出下列命题，其中是正确的是（ ）
A. 直线的方向向量为，，，直线的方向向量，1，，则与垂直；
B. 直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则；
C. 平面、的法向量分别为，1，，，0，，则；
D. 平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则．
12. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件
C. D.
13. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的1000名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2；你是否经常吸烟？按调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）；摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案，最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正确的是　　
A．估计被调查者中的有510人吸烟
B．估计约有10人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有的中学生吸烟
D．估计该地区约有的中学生吸烟
14. 如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则　　
A．
B．点在平面内的射影为的垂心
C．二面角的余弦值为
D．若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
第II卷（非选择题 共95分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.）
15. 复数，则　　．
16．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则的值为　　．
17. 如图，正三棱柱中，，，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为 　　．
18. 已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 。
四、解答题（本题共5小题，共70分，每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面．
20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．
乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
（1）求证：为的中点；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
23.已知在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.
（1）求证：在四棱锥A-BCDE中，AB⊥AC；
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为 若存在，找出点F的位置；若不存在，说明理由；
（3）若点F为线段AC的中点，求点C到平面BEF的距离.
五、附加题：（本题共5分，直接将答案填在答题卡相应位置，不需要解答过程）
24. 如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的正弦值为　　．
高二数学 第一次月考答案
一．单选题
1. ． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．．
8．【解答】解：易知是边长为6的等边三角形，所以，的外接圆直径为，
平面，所以，该球的直径为，，
因此，该球的表面积为．
故选：．
9．解：如图，
取的中点，连接，，可得且，
则四边形为平行四边形，则，
取的中点，连接，可得，则平面为经过点，，的平面，
，
，，
，
被平面所截另一部分多面体的体积为，
可得这两部分体积的比值为．
故选：．
10．【解答】解：设为直线上任意一点，过作，垂足为，
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．．
12．【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（A），
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（B），
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（C），
事件包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
，
（A）（B），事件、是相互独立事件，故正确；
事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；
（A）（B）（C），故正确；
包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
．故错误．
故选：．
13．【解答】解：随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，
所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，
回答问题2且回答的“是”的学生人数为，
由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，
估计被调查者中吸烟的人数为．
故选：．
14．【解答】解：对于，，
，平面，
平面，，故正确；
对于，设在底面上的射影为，则底面，，
由知，，连接并延长，交于，
，平面，则，
同理可证，，即点在平面内的射影为的垂心，故正确；
对于，由知，，，为的中点，
连接，又，，
则为二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，由，得，则，
在中，有，故正确；
对于，三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且，．
把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为，
则其外接球的表面积，故错误．
故选：．
3．填空题（共3小题）
15. 1 16．． 17．．
18．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，
因为，
故可得：，
所以：三角形为等边三角形，
故是的中心，
连接，则平分，
所以；
所以，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，
所以．
即的最大值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
19．
【解答】证明：（1）在平面中，
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面．
解：（2）在平面中，，，，
在平面中，，为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，
又，平面，平面，
平面．
20.【解答】解：（1）
设事件为“第二次取出的是红球”， 为“两次取出的颜色不同”，
则，．
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
（2）
21．【解答】（1）证明：如图，设，
为正方形，为的中点，连接，
平面，平面，平面平面，
，则，即为的中点；
（2）解：取中点，
，，
平面平面，且平面平面，
平面，则，连接，则，
由是的中点，是的中点，可得，则．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
由，，得，0，，，0，，，0，，，4，，，4，，，2，，
，．
设平面的一个法向量为，
则由，得，取，得．
，平面的一个法向量为．
直线与平面所成角的正弦值为．
22．
【解答】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁．
设第80百分位数为，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
（2）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙．
对应的样本空间为：
，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），，乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10．
23．（1）由题可知，BE=CE=2，又BC=2，可得CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，可得CE⊥平面ABE，可得AB⊥CE.又AB⊥AE，可得AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.
（2）F为线段AC的中点.
易知△ABE和△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，可得平面ABE的一个法向量为m=(0，1，0).
假设在线段AC上存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为.A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(-1，2，0)，E(-1，0，0)，=(1，0，1)，=(-1，2，-1)，设=λ，则+λ=(1-λ，2λ，1-λ)，又=(2，0，0)，设平面BEF的法向量为n=(x，y，z)，可得，即得，可得当y=1时，n=(0，1，)，那么可得cos=，可得λ=，即当点F为线段AC的中点时，二面角A-BE-F的余弦值为.
（3）当F为中点时，由（2）知n=(0，1，-2)，所以
24. 附加题：