河北省石家庄市2022届高三上学期10月联考数学试题（Word版，含答案）

石家庄2021-2022学年度高三年级第一学期10月联考
数学试卷
（时间：120分钟 分数： 150分）
一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数，则“函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（ ）
A． B． C． D．
5．若直线与圆相交于两点，且（为原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，经过点的直线l与该曲线交于A B两点，且点P恰好为AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
9．设正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值为 D．的最大值为
10．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆的方程为 B．直线的方程为
C．均与圆相切 D．四边形的面积为
11．已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（ ）
A．△周长的最小值为
B．△面积的最大值为
C．若△的面积为，则△为直角三角形
D．若直线与的斜率之积为，则△为等腰三角形
12．已知函数，其中，若不等式有解，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C．方程有唯一解 D．方程有唯一解
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量满足，，且，则与的夹角为_________．
14．在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．
15．已知数列的前项和为，满足，（），则数列的通项公式为_________．
16．已知双曲线（）的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若△的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为_________．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前2021项和．
18．（12分）△中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，△的面积为，求△的周长．
19．（12分）已知正项数列的前n项和为，满足（，），且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程及的值；
（Ⅱ）设为坐标原点，过点的直线与相交于两点，为的中点，且，求直线的方程．
21．（12分）已知函数（），．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）设为坐标原点，椭圆（）的右焦点为，过的直线与C交于两点，且当与轴垂直时，线段长度为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值．
数学试卷（参考答案）
一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1-4．CDAB 5-8．AABB
二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
9．BC 10．AC 11．ABC 12．BD
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】（Ⅰ）设的公差为，由，得.
解得，，所以 （3分）
当时，，，也符合上式
所以. （6分）
（Ⅱ）
注意取偶数时，，所以 （8分）
（10分）
18．【解析】（Ⅰ）由及正弦定理得，
所以，∴，
又∵，∴. （4分）
又∵，∴. （6分）
（Ⅱ）由，，根据余弦定理得，
由的面积为，得. （9分）
所以，得，
所以△周长. （12分）
19．【解析】（Ⅰ）当时，由，故
整理得
由于数列为正项数列，所以（常数）
所以是以为首项，1为公差的等差数列 （3分）
所以
所以 （5分）
易见也适合该式，故 （6分）
（Ⅱ）由于 （7分）
所以
（12分）
20．【解析】（Ⅰ）由， 从而
故抛物线的方程为 （3分）
将代入得 （4分）
（Ⅱ）易知，设
显然直线的斜率存在，设直线
联立，消去得
由，解得且 （5分）
从而 （6分）
由，知
从而 ，即 （8分）
由是的中点，
故，整理得 （9分）
代入得，解得，均满足
所以直线的方程为或 （12分）
21．【解析】（Ⅰ）
当时，，故在上单调递增 （2分）
当时，令，得，
从而时，，递增；时，，递减
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上递增，在上递减 （5分）
（Ⅱ）不等式，即
因为，所以 （6分）
令 （7分）
令，则，故在上递增，在上递减
所以，即 （9分）
令，则
设，则
由，故在上单调递减，在上单调递增
所以，即的最小值为
所以实数的取值范围为 （12分）
22．【解析】（Ⅰ）由题意
当与轴垂直时，线段长度为1，故点代入椭圆方程可得
联立方程组得
所以椭圆C的方程为 （4分）
（Ⅱ）当与轴垂直时，由，此时
当与轴不垂直时，因为，所以
设点，直线的方程为
所以
又，所以 （6分）
联立直线和椭圆方程，消去得
所以，
代入上式得 （8分）
（Ⅲ）=
设直线为，联立方程组消去得
所以，，.
所以= （10分）
由，当且仅当即时取等
从而
所以△面积的最大值为 （12分）
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高三数学 第9页（共9页）