专题11 抛物线 同步学案（含解析）

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专题11抛物线
考点一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
考点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
重难点技巧：　p的几何意义是焦点到准线的距离．
题型一：抛物线的定义（方程、最值）
例题1（2021·全国高二课时练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离（ ）．
A． B． C． D．
详解因为抛物线所以抛物线焦点，准线方程，
点到准线距离为，到轴距离，故选：D
举一反三：
【变式1】（2021·东城·北京二中高二月考）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，
由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.故选：B
【变式2】（2021·全国高二课时练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．故选：B．
题型二：抛物线的四种标准方程
例题2（2021·全国高二课时练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】
依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．
举一反三：
【变式1】（2021·吉林农安·高二期末（理））已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】抛物线的准线与圆相切，
可得，解得．故选：B．
【变式2】（2021·四川省内江市第六中学（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以椭圆中，，．故选：C．
题型三：抛物线焦半径的公式
例题3（2021·全国）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【详解】由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．故选：B.
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【详解】依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．故选：C.
【变式2】（2021·全国高二课时练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，设A和B是C上的两点，且M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到y轴的距离的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：因为C的方程为y2＝4x，所以F（1，0），
过A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为E，过B作准线的垂线，垂足为D，过M作准线的垂线，垂足为K，
根据抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝|AE|+|BD|≥|AB|＝6，
则|MK|＝（|AE|+|BD|）≥3，
所以，线段MN的中点M到C的准线x＝﹣1的距离最小值为3，
故点M到y轴的距离最小值为3﹣1＝2.
故选：A.
题型四：抛物线的方程常见求法
例题4（2021·东城·北京二中高二月考）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
举一反三：
【变式1】（2021·哈密市第十五中学（理））根据条件求下列方程.
（1）顶点在原点，准线方程是的抛物线方程；
（2）已知双曲线过点并且与有共同的渐近线，求双曲线的标准方程.
【详解】(1)∵ 抛物线的顶点在原点，准线方程是，
∴ 可设抛物线的方程为，且p=4，
∴ 抛物线的标准方程为，
(2)∵双曲线与双曲线有共同的渐近线，
∴ 可设双曲线方程为，
又双曲线过点，∴ ，∴ ，
故双曲线的标准方程.
【变式2】（2021·全国高二专题练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
（2）过点P(2，-4)；
（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
【详解】（1）双曲线方程为，其左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为，，解得p=6，
所以所求抛物线方程为为y2=-12x；
（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，
将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，
所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；
（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为，
由抛物线定义得，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，
从而得 或，解得p=±1或p=±9，
所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
考点三　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
考点四　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点五　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝.
题型五：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
例题5（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或故选：D
【变式2】（2017·河南信阳·高二期末（理））抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
【详解】将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B.
题型六：抛物线的对称性
例题6（2021·全国高二单元测试）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：不妨设抛物线的方程为，令点在第一象限，点在第二象限．
根据抛物线的对称性，得点的纵坐标为，代入抛物线的方程得，即点．
又点．因为点，都在以坐标原点为圆心的圆上，所以，解得或（舍去），
则抛物线的焦点到准线的距离为4．故选：B．
举一反三：
【变式1】（2021·中国农业大学附属中学）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设三角形其中一个顶点为，
因为三角形是正三角形，
所以，即，解得，
所以三角形的两个顶点为，
所以三角形的面积为，故选：A
【变式2】（2021·全国高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.故选：C
题型七：抛物线的弦长问题
例题7．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．故选：D．
举一反三：
【变式1】（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（文））过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.故选：D
【变式2】（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线：相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【详解】，又，
，
，
直线方程为，代入抛物线方程，得：
，
，
，故选：C.
题型八：抛物线的焦点弦性质问题
例题8（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
【详解】设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．故选：A.
举一反三：
【变式1】（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
解：依题意得，抛物线的方程是，直线的方程是．联立
消去，得，即．设，，则，所以．
故选：D．
【变式2】（2021·四川自贡·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于、两点，、两点分别为、两点在直线上的射影，而且，为线段的中点.则下列命题（ ）
① ②等腰直角三角形
③直线的斜率为
④的面积为4（为坐标原点），其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】根据题意可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得直线BA的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+1设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,将直线AB与抛物线方程联立得y2-4my-4=0所以.
对于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正确;
对于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不会∠C或∠D为直角,故B不正确;
对于③:因为,所以,即，
因为所以解得,所以，
所以直线的斜率为.故③正确；
对于④:由題意可得，
点O到直线AB的距离，
所以，故④错误.故选:B
题型九：直线与抛物线的位置关系
例题9（2021·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线：，过其焦点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以直线AB为，将其代入抛物线方程可得，
设，则，因为线段中点的纵坐标为1，所以，所以准线方程为，故选：B
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
【详解】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，故选：D.
【变式2】（2021·全国高二课时练习）已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中．
为垂心，，，
即，解得，
直线的方程为，即．
故选：C．
题型十：抛物线的定值、定点、定直线问题
例题10（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为．
由，消去，得．
设，，则，．
由，
得，解得或（舍去），
∴抛物线的标准方程为．
（2）设的中点为点，则．
假设在轴上存在满足条件的点，连接．
∵为正三角形，∴，即，
解得，∴，∴．
又，
∴在轴上不存在一点，使为正三角形．
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二课时练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
解：（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
【变式2】（2021·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条弦，设、所在直线的斜率分别为、，当、变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）∵动圆过定点，且与直线相切，
∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.
（2）∵直线与抛物线有两个不同的交点
∴直线的斜率必不为0.
∴设其方程为，并设点，点，与抛物线联立得：.
∴整理得：，其中，，且
∵
.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴或.
当时，直线的方程可化为：，过定点；
当时，直线的方程可化为：，过定点，即点不合题意，舍去.
∴直线必过定点.
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