11.3 角的平分线的性质(2)

(共18张PPT)
角的平分线的性质(2)
复习
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距
离相等。
O
A
B
E
P
D
C
∴PD= PE
几何语言描述：
∵OC平分∠AOB，
PD⊥OA， PE⊥OB
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，
且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
E
B
A
P
D
C
N
1
2
M
证明：过点P作PE⊥BM于E,PD ⊥BC于D
∵ ∠1=∠2
∴PE=PD
∵ AB+BC=2BD
∴AE=CD
在△APE和△CPD中
AE=CD
∠AEP=∠CDP
PE=PD
∴ △APE ≌ △CPD
∴ ∠EAP=∠DCP
∴∠BAP+∠BCP=180°
1.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
复习
F
D
A
B
P
C
E
探究
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
O
A
B
E
P
D
猜测：
点P在∠AOB的平分线上
你能证明你的猜测吗？
归纳
O
A
B
E
P
D
角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
OP是∠AOB的平分线。
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且PD= PE，
新授
O
A
B
E
P
D
C
∴ OC平∠AOB
几何语言描述：
2.如图，要在S区建一个集贸市场，使
它到公路，铁路距离相等，离公路与
铁路的交叉处500米。这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？
巩固
公路
铁路
S
范例
例1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥
AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
A
B
C
F
E
D
巩固
3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，且BE=
CF。
求证：AD平分∠BAC。
A
B
C
D
E
F
范例
例2.如图，△ABC的角平分线BM、CN
相交于点P。
求证：点P也在∠A的平分线上。
A
B
C
P
E
E
F
M
N
辅助线作法：
见角平分线就作
两边垂线段。
归纳
三角形角平分线的交点性质：
A
B
C
P
M
N
G
三角形的三条角平分线交于一点。
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P在∠A的平分线上。
巩固
F
D
A
B
P
C
G
5.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A 1处
B 2处
C 3处
D 4处
巩固
l3
l1
l2
小结
2、三角形角平分线的交点性质：
1、角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
1.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求S△ABC 。
作业
A
B
C
O
M
N
G
D
2.如图，在四边形ABCD中， ∠ B=
∠C=90°，M是BC的中点，DM平分
∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB。
作业
D
A
B
C
M