宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第一学期期中质量检测
高二数学试卷（北师大版）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 以为圆心，为半径的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
2. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3. 若直线与圆相切，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 双曲线的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
5. 已知两条直线和，若，则实数的值为( )
A．或 B． C． D．
6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是( )
C.
D.
黄金分割起源于公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前世纪，古希腊数学家欧
多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前年前后欧几里得撰写《几何原本》时
吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割
的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大
部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数. 已知焦点在轴上的椭圆
的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为( )
A． B． C． D．
8. 已知点A（1，3）与点B关于直线对称，则点B的坐标为( )
A．（3，3） B．（2，2）
C．（，） D．（3，2）
9. 若圆上总存在两个点到坐标原点的距离为，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10．已知,分别为双曲线的左,右焦点，双曲线上的点
满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点均在第一象限，且，，，则直线的斜率为( )
A． B．
C． D．
12．已知,分别为椭圆的左,右焦点，过原点的直线与椭圆交于两点，且四点共圆，则四边形的面积为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.
13. 两平行直线，之间的距离为 ．
14. 已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数的值为 ．
15. 设分别为椭圆的左,右焦点，若直线
上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为 ．
若关于的不等式的解集为，且，则实
数的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. （本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．
（Ⅰ）求点的坐标及；
（Ⅱ）求向量在方向上的投影数量．
(
x
y
z
B
D
O
（A）
F
E
) (
x
y
z
B
D
O
（A）
F
E
)
18. （本小题满分12分）
已知在中，，，．
（Ⅰ）求边的垂直平分线的方程；
（Ⅱ）求的外接圆的方程．
(
2
3
6
3
h
)
19. （本小题满分12分）
某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）．
（Ⅰ）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；
（Ⅱ）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？请说明理由．
(
6
2
3
)
20. （本小题满分12分）
已知点，，动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）直线与点的轨迹交于两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程．
21. （本小题满分12分）
已知圆，两条直线，，．
（Ⅰ）证明：直线均与圆相交；
（Ⅱ）设直线交圆于两点，直线交圆于两点，求的最大值．
22. （本小题满分12分）
已知椭圆经过点和．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点的直线与相交于,两点（不经过点），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．宿州市十三所重点中学 2021—2022 学年度第一学期期中质量检测
高二数学试卷（北师大版）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B A B A A B C B C D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
17 6
13. ； 14. 8； 15.[ ,1) 5； 16. .
10 3 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（Ⅰ）由已知 B（1 1,0,1），C（1 1,1,1），D（0,1,0），
E 1因为 是棱 B1C1的中点，所以 E（1，，1），2
F 1 1是侧面CDD1C1的中心，所以 F（ ，1，），2 2
EF 1- 1 2 1 -1 2 1- 1 2 3所以， （ ） （ ） （ ） ． ………………5分
2 2 2 2
（Ⅱ）根据正方体的性质得：向量 EF 在DC1 方向上的投影向量为C1F，
因为 EF ,DC1 EFC1，
所以，向量 EF 在DC1 方向上的投影数量为
EF cos( EFG) FC 21 ………………10分2
1 1 1
18. 解：（Ⅰ） 边 AB的中点坐标为 (2,0)，直线 AB的斜率为 ，
4 0 2
因此，边 AB的垂直平分线的斜率为 2，
从而，边 AB的垂直平分线的方程为 y 2(x 2)，即 y 2x 4 .
………………6分
（Ⅱ） 边 AC的垂直平分线的方程为 x 1，
x 1 x 1
由（Ⅰ）联立方程组 ，得 ，
y 2(x 2)
y 2
即 ABC 2的外接圆圆心为 (1, 2)，从而半径为 (1 0) ( 2 1)2 10，
2
因此， ABC的外接圆的方程为 (x 1) (y 2)2 10 . ………………12分
1
19. 解：（Ⅰ） 由图得 A（3， 3），
2
设抛物线的标准方程为 x 2py（p 0）.
将点 A的坐标代入上式，得9 6p，即 2p 3 .
2
所以该段抛物线 A1OA所在抛物线的方程为 x 3y . ………………6分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：将 x 1.5代入抛物线的标准方程，
得 y 0.75，则5 0.75 4.25 4.5 .
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，
车与集装箱的总高也会高于 BD ,
所以，此车不能安全通过隧道. ………………12分
20. 解：（Ⅰ） 由 MF1 MF2 2，且2 2 3，知动点M 的轨迹是一个以点 F1，F2为
x2 y2
焦点的双曲线，设其方程为 2 2 1(a 0,b 0)，设焦距为 2c，a b
则 a 1， c 3 ，b 2 ，
M x2 y
2
所以，动点 的轨迹方程为 1 . ………………4分
2
（Ⅱ）（法一）
当直线 l斜率不存在时，直线方程为 x 2，显然不符合题意；
当直线 l斜率存在时，设直线方程为 y k(x 2) 1， A(x1, y1)， B(x2 , y2 )
y k(x 2) 1
由 y2 消去 y得 (2 k
2 )x2 2k(1 2k)x (1 2k)2 2 0，
2
x 1 2
当 2 k 2 0，即 k 2时，显然不符合题意；
当 2 k 2 0，即 k 2 时，
x x 2k(1 2k)1 2 2 ………………8分2 k
因为点 A 2,1 x x 2k(1 2k)为中点，所以 1 2 2 4，解得 k 4，2 k
所以直线方程为 y 4(x 2) 1，即 4x y 7 0 . ………………12分
（法二）
设双曲线与直线交于 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )两点，
2
则 x1 x2 4， y1 y2 2，因为 P ,Q两点在双曲线上，
y 22
x 1 1 1 2
所以 ， ………………8分
y 2 x 2 2 1
2 2
1
两式相减得 (x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y2 )(y1 y2 ) 0，2
k y1 y即 2PQ 4，x1 x2
因此 PQ：y 1 4(x 2)，即 4x y 7 0，
经检验可知成立.
所以，以点 A 2,1 为中点的弦所在的直线方程为4x y 7 0 .
………………12分
21.解：（Ⅰ） 两条直线 l1 :mx y 2m 0， l2 : x my 2 0均恒过定点M (2，0)，
因为M (2，0)在圆C : x2 y2 6x 2y 6 0内，
所以，直线 l1， l2 均与圆C相交. ………………4分
（Ⅱ）易知 l1 l2 ，设点M (2，0)到直线 l1， l2 的距离分别为 d1，d2，
则 d 2 21 d2 2，从而
AB 2 4 d 2 EF 2 4 d 21 ， 2 ，
AB EF 2 4 - d 2所以 1 2 4 - d
2
2 ， ………………8分
AB EF 2 2 4 - d 2（ ） （ 1 2 4 - d
2
）22
24 8 4 d 21 4 d
2
2
24 4(4 d 21 4 d
2
2 )
48，
2 2
当且仅当 4 d1 4 d2 ，即 d1 d2 1时等号成立，
所以 AB EF 的最大值为 4 3 . ………………12分
3
b 1
22. 解：（Ⅰ） 由题意可得： 3 ，
1
2
4
a b2
1
a2 4
解得： ，
2 b 1
x2
所以椭圆 C 2的方程为 y 1 . ………………4分
4
（Ⅱ）易知直线 l斜率存在，设其为 k，则
l的方程为 y 1 k(x 2)，由题意知 k 0且 k 1 .
设 P（x1, y1），Q（x2 , y2）,
x2
y2 1
联立方程组 4 ，
y 1 k(x 2)
消去 y整理得
(1 4k 2 )x2 8k(2k 1) 16k(k 1) 0
所以
x 8k(2k 1) 16k(k 1)1 x2 1 4k 2
， x1x2 2 ………………8分1 4k
y 1 y
所以 k k 1 2 11 2 x1 x2
kx1 2k 1 1 kx2 2k 1 1
x1 x2
2k (2k 2)( 1 1 ) 2k (2k 2) x1 x2
x1 x2 x1x2
2k 8k(2k 1) (2k 2) 2k (2k 1)
16k(k 1)
1 .
即 k1 k2为定值 1 .
………………12分
（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）
4
