广东省九校2022届高三上学期11月联考数学试题（PDF版，含答案）

2022 届高三·十一月·九校联考
数学试题
（满分 150分.考试时间 150分钟.）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡
上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无
效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知 z =1 i (其中 i 为虚数单位)，则 z ( z + i) =
A． 1+ i B．3+ i C．1 i D. 3 i
2
2. 设集合 A ={(x, y) | x + y = 6}，B = (x, y) | y = x ，则 A B =
A．{(2,4)} B．{( 3,9)} C．{(2,4),( 3,9)} D.
1
3. 已知a R ，则“ a 1”是“ 1”的
a
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图
象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装
饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为 4的等边三角形 ABC，如图 1，上边中间莲
花形的两端恰好都是 AB边的四等分点（E、F点），则CE CF =
图 1
A．11 B．12 C．9 D. 16
3
5.已知函数 f (x) = sin(2x + )的部分图象如图 2所示，且经过点 A( , ) ，则
4 2
第 1 页 共 6 页

A． f (x) 关于点 ( ,0)对称 B． f (x) 关于直线 x = 对称
3 3

C． f (x + ) 为偶函数 D． f (x + ) 为奇函数
6 12
图 2
6.已知 Sn 为数列{a nn}的前 项和， a1 = 2， an+1 = Sn ，那么 a6 =
A．-64 B．-32 C．-16 D.-8
x2 y2 1
7.已知椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别是F、F ，离心率为 ，点 A是椭圆上位于 x1 2 轴上方的
a2 b2 2
一点，且 |AF1|=|F1F2 |，则直线 AF1 的斜率为
3 2
A． B． 3 C． D. 1
3 2
ln 3 1
8.已知a,b,c (0,1),且a2 2 ln a 1 = ,b2 2 ln b 1 = ,
3 e
c2
ln
2 ln c 1 = ，则

A． c b a B．a c b C． a b c D.c a b
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得
到如下频率分布直方图（图 3）：
图 3
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是
第 2 页 共 6 页
A．该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为 6%
B．该地农户家庭年收入的中位数约为 7.5万元
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5万元
10.设正实数 x ， y 满足2x+ y =1，则
1 1
A． x (0, ) B． xy的最大值为
2 4
2 2 1
C． x + y 的最小值为 D．4x + 2y 的最小值为4
5
11. 如图 4，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E,F,G分别为 AB,AD,B1C1的中点，以下说法正
确的是
D C1 1
G
A．三棱锥C EFG的体积为 2 A1 B1
B． A1C ⊥平面EFG
2 C
C．异面直线EF 与 AG所成的角的余弦值为
D
F
3
A
E B
D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3 3
图 4
x,0 x 1
12．已知 f (x)是周期为4的奇函数，且当0 x 2时，f (x)= ，设 g(x)= f (x)+ f (x +1)，
2 x,1 x 2
则
A． g(2022) = 1 B．函数 y = g(x)为周期函数
C．函数 y = g(x)的最大值为 2 D．函数 y = g(x)的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.已知多项式 (x +1)3 + (x 1)4 = x4 + a x3 + a x21 2 + a x + a a =3 4，则 1 ________．
14.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为b ，则 a 2b的概率
为________．
15.已知 f (x) 为奇函数，当 x 0时， f (x) = ln x + x2 ，则曲线 y = f (x)在点 ( 1, f ( 1))处的切线方程是
________．
第 3 页 共 6 页
16.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，
2
对折次数 n 与纸的长边 (cm) 和厚度 x(cm)有关系： n log2 .现有一张长边为30cm ,厚度为 0.05cm
3 x

的矩形纸，根据以上信息，当对折完 4次时， 的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次.
x
（本题第一空 2分，第二空 3分.）（参考数值： lg2 0.3 , lg3 0.48）
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知{an}是等差数列， a1 = 2,a2 + a3 + a4 =18.
（1)求{an}的通项公式；
（2)设 ab =| ( 2) n 1000 |,求数列{bn}的前 15项和Tn 15 .
18. （12 分）
某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取 80元，对于提供的软件服务每次 10元；
方案二：软件服务公司每日收取 200元，若每日软件服务不超过 15次，不另外收费，若超过 15次，超过部
分的软件服务每次收费标准为 20元．
（1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系式；
（2）该工厂对过去 100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图 5所示的条形图，依据该统计数据，把
频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
图 5
第 4 页 共 6 页
19.（12分）

在平面四边形 ABCD中， ABC = ， ADC = ，BC = 4.
3 2
（1）若 ABC的面积为2 3，求 AC ；

（2）若 AD = 3 3, ACB = ACD + ，求 tan ACD .
6
图 6
20.（12分）
如图 7，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC = 90 ， AB = AC = AA1 = 2，M 为 AB 的中点,N 为B1C1的中
点,P 是 BC1与B1C 的交点.
（1）证明： A1C ⊥ BC1；
（2）在线段 A1N 上是否存在点Q，使得PQ / /平面A1CM 若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明
理由．
C1 A1
Q
N
B1
P
C A
M
B
图 7
第 5 页 共 6 页
21.（12分）
已知抛物线C : y2 = 2px(p 0)上的点P(1, y0)(y0 0)到其焦点的距离为2 .
（1）求点P 的坐标及抛物线C 的方程；
1
（2）若点M、N 在抛物线C 上，且 kPM kPN = ，求证：直线MN 过定点.
2
22.（12分）
已知函数 f (x) = ax + ln x
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）若 x1 , x2 (x1 x2 )是 f (x)的两个零点.证明：
2 2 1+ ea
（i） x1 + x2 ； （ii） x x .
a 2 1

a
第 6 页 共 6 页
2022 届高三·十一月·九校联考
数学答案及评分标准
一、选择题：每小题 5分，共 40分.
1．B 2．C 3．A 4．A
5．C 6．B 7．B 8．D
二、选择题：每小题 5分，共 20分.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．ABC 10．AC 11． BD 12．ABD
三、填空题：每小题 5分，共 20分.
1
13． 3 14．
4
15．3x y + 2 = 0 16．64； 6 （本题第一空 2分，第二空 3分.）
四、解答题：共 70分.
17.（10分）
a1 = 2 a1 = 2
解：（1）设等差数列{an}的公差为d ，由条件得 ，解得 .
a2 + a3 + a4 = 3a1 + 6d =18 d = 2
故 an = 2n . ……2分

n 1000 2
n ,1 n 9
(2)由(1)可知bn =| 2 1000 |= ，其中n N * ……4分
2n 1000,10 n 15
故{bn}的前15项和
T15 =（1000 2
1）+（1000 22）+ +（1000 29）+（210 1000）+ +（215 1000） ……6分
= 3000 （21 +22 + +29）+（210 +211 + +215）
2（1 1－29） 21（0 1－26）
= 3000 + ＝66490 . ……10分
1－2 1－2
18.（12分）
解：（1）由题可知，方案一中的日收费 y 与 x的函数关系式为 y =10x +80，x N ． ……2分
200,x 15,x N
方案二中的日收费 y 与x的函数关系式为y = ． ……4分
20x 100,x 15,x N
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X 的分布列为
X 210 220 230 240 250
P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
所以E(X) = 210 0.1+ 220 0.4 + 230 0.1+ 240 0.2 + 250 0.2 = 230 （元 )． ……7分
方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为
Y 200 220 240
P 0.6 0.2 0.2
答案 第 1 页 共 7 页
E(Y) = 200 0.6 + 220 0.2 + 240 0.2 = 212（元 )． ……10分
所以从节约成本的角度考虑，选择方案二． ……12分
19.（12分）

解：（1）在△ ABC中，BC = 4， ABC = ，
3
1
∴ S ABC = AB BC sin ABC = 2 3 ，可得 AB = 2 ， ……2分
2
在△ ABC中，由余弦定理得 AC2 = AB2 + BC2 2AB BC cos ABC =12，
AC = 2 3 . ……5 分

（2）设 ACD = ，则 ACB = ACD + = + ，
6 6
AD 3 3
在Rt△ACD中， AD = 3 3 ，易知： AC = = ， ……8分
sin sin

在△ ABC中， BAC = ACB ABC = ，
2
4 3 3
BC AC =
由正弦定理得 = ，即 3 ， ……10分
sin BAC sin ABC sin sin
2 2
3 3
2sin = 3sin( ) = 3cos ，可得 tan = ，即 tan ACD = . ……12分
2 2 2
20.（12分）
解：(1)解法一：连结 AC ，在直三棱柱 ABC A1B1C1 1中，有 AA1 ⊥面ABC
因为 AB 面ABC ,所以 AA1 ⊥ AB，
△BAC中， BAC = 90 ，即 AB ⊥ AC ，
因为 AA1 AC = A,所以 AB ⊥面ACC1A1 ……2分
因为 A1C 面ACC1A1,所以 AB ⊥ A1C
在四边形 AA1C1C 中， AA ⊥ AC , AC = AA1 = 21 ，所以四边形 AAC C 为正方形，所以 A1C ⊥ AC1 1 1
因为 AB AC1 = A,所以 A1C ⊥面ABC1 ……4分
因为BC 面ABC ,所以 A1 1 1C ⊥ BC1. ……5分
解法二：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，因为 BAC = 90 ，以点 A为坐标原点， AB、CA、AA1方向分别为
答案 第 2 页 共 7 页
z
x、y、z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 A xyz .
C1 A1
Q
因为 AB = AC = AA1 = 2，所以 N B1
A1 (0,0,2)、C (0, 2,0)、B(2,0,0),C1 (0, 2,2) , ……2分
P
所以BC = ( 2, 2,2)， A1C = (0, 2, 21 ) C A
y
M
A1C BC1 = (0, 2,2) ( 2, 2, 2) = 0 所以 B
x
A1C ⊥ BC1. ……5分
(2) 解法一：存在线段 A1N 上靠近N 的三等分点Q，满足PQ / /平面A1CM .
证明如下：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，因为 BAC = 90 ，以点 A为坐标原点， AB、CA、AA1方向分别为
x、y、z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 A xyz . ……6 分
因为 AB = AC = AA1 = 2，M 为 AB的中点,N 为B1C1的中点,P 是BC1与B1C 的交点，所以
A1 (0,0,2)、C (0, 2,0)、P(1, 1,1),M (1,0,0), N (1, 1,2),
设 A1Q = t A1N(0 t 1)，所以Q(t, t,2) ……8分
所以PQ = (t 1,1 t,1)， A1C = (0, 2, 2)， A1M = (1,0, 2)
设 n = (x, y, z)为平面 A1CM 的法向量，则
n A 2y 2z = 01C = 0
即
n A M = 0 x 2z = 01
取 z =1得 x = 2, y = 1可得平面 A1CM 的一个法向量为n = (2, 1,1) . ……10分
若 PQ / /平面ACM ，则PQ ⊥ n ，所以PQ n = (t 1,1 t,1) (2, 1,1) = 0，即2(t 1) (1 t) +1= 01
2
解得 t = ，所以存在线段 A1N 上靠近 N 的三等分点Q，使得PQ / /平面A1CM . ……12分
3
解法二：存在线段 A1N 上靠近N 的三等分点Q，满足PQ / /平面A1CM .
证明如下：取 A1B1中点H ，连结BH 、C1H 、MH .
在正方形 AA1B1B中，M 为 AB 的中点,所以 BH A1M
答案 第 3 页 共 7 页
C1 A1
Q
因为 A1M 平面A1MC , BH 平面A H1MC
N
B1
所以BH / /平面A1MC ……6分
P
在正方形 AA1B1B中，M 为 AB 的中点, H 为 A1B1中点，所以 C A
M
MH / /AA1. B
因为 AA / /C C且 AA = C C，所以MH / /CC1 1 1 1 1,MH = C1C ，所以四边形MHC1C 为平行四边形，所以
C1H / /CM
因为CM 平面A1MC ,C1H 平面A1MC ,所以C1H / /平面A1MC ……8分
因为C1H BH = H ,C1H 平面BHC1,BH 平面BHC1
所以平面BHC1 / /平面A1MC， ……10分
记C1H A1N =Q ，则Q为△BAC的重心，即Q为线段 A1N 上靠近 N 的三等分点，且 PQ 平面BHC1，
所以PQ / /平面A1CM ，所以存在线段 A1N 上靠近 N 的三等分点Q，使得PQ / /平面A1CM . ……12分
21.（12分）
p p
解：（1）抛物线的焦点F ( ,0)，准线为 x = ，因为点P(1, y0)(y0 0)到其焦点的距离为2 ，
2 2
p
所以1+ = 2 ，解得 p = 2，所以抛物线的方程为 y2 = 4x， ……2分
2
因为点P(1, y
2
0)(y0 0)在抛物线上，所以 y = 4，解得 y0 = 20 ，所以P (1,2)，
综上，P 点坐标为 (1,2)，抛物线的方程为 y2 = 4x . ……4分
1 1
（2）证明：设直线MN 的方程为 x =my + n，M ( y
2
1 , y1)， N ( y
2
2 , y2 )，
4 4
x = my + n
联立 ，得 y
2 4my 4n = 0，所以 y1 + y2 = 4m， y1 y2 = 4n2 ， ……6分
y = 4x
y
k = 1
2 4
= 4
所以 PM 1 2 y1 + 2 ，同理可得
kPN = ， ……8分
y1 1 y2 + 2
4
1
因 kPM kPN = ，
2
答案 第 4 页 共 7 页
16 1
所以 = ，所以 y y + 2(y + y ) + 36 = 0， ……10分
(y1 + 2)(y2 + 2) 2
1 2 1 2
所以 n+ 2m+9 = 0，即n = 2m+9 (满足 0 )，
直线MN 的方程为 x = my + 2m+9 = m(y + 2) +9 ,
所以直线MN 过定点 (9, 2). ……12分
22.（12分）
1 1+ ax
解:（1） f (x)定义域 (0,+ )， f (x) = + a = ， ……1分
x x
则当 a 0时， f (x) 0， f (x)在 (0,+ )为增函数； ……2分
1 1 1
当 a 0时，令 f (x) = 0，解得 x = ，当 x 0, 时， f (x) 0， f (x)在 0, 为增函数；
a a a
1 1
当 x ,+ 时， f (x) 0， f (x)在 ,+ 为减函数， ……3分
a a
综上， a 0时， f (x)在 (0,+ )为增函数；
1 1
a 0时， f (x)在 0, 为增函数，在 ,+ 为减函数. ……4 分
a a
1
（2）解法一：（i）由（1）可知，要使函数 f (x)有两个零点，需a 0，且 f (x)max = f ( ) 0 ,
a
1 1 2 1
则 a 0,又 x x 0,故0 x x ,则 x 2 1 1 , ……5分 e 1 2a a a
2 1
令 g(x) = f ( x) f (x) ,0 x 则
a a
1 1 2(1+ ax)2
g (x) = a a = 0
2 x 2 , ……6分
+ x ax( + x)
a a
1 1
所以 g(x)在 0, 上单减，所以 g(x1) g( ) = 0 ,又 f (x1 ) = 0，所以
a a
2 2 2
f ( x1) = ln( x1) + a( x1)-f (x1) = g(x1) 0，
a a a
答案 第 5 页 共 7 页
2 2
又 f (x2 ) = 0，所以 x2 x1即 x1 + x2 ； ……7分
a a
2 1+ ea 2 2 1+ ea
（ii）要证 x x ，由（i）可知，只需证 x ，即证2 1 1 + x2 + x2 x1
a a a
1+ 1+ ea 1+ 1+ ea 1 1+ 1+ ea
x ，注意到 ，只需证 f ( ) f (x ……8分 2 2 )
a a a a
1+ 1+ ea
由 f (x2 ) = ax2 + ln x2 = 0，只需证 f ( ) 0，
a
1+ 1+ ea
即证 ln( ) (1+ 1+ ea) 0， ……9分
a
(t 1)2 1 1
令 t =1+ 1+ ea ，则 a = ，因为 a 0 ，所以1 t 2 ，所以上述不等式等价于
e e
et e
ln t 0，即 ln t 0，亦即 ln(2 t) + t 1，对1 t 2恒成立 ……11分
1 (t 1)2 2 t
1 1 t
令φ(t) = ln(2 t) + t ，则φ (t) = +1= 0， t (1,2)
2 t 2 t
所以φ(t)在 (1,2)上单调递减，即φ(t) φ(1) =1，即得证. ……12分
x + x 1
解法二：证明：（i）原不等式等价于 1 2 ，
2 a
因为 ax1 = ln x1①， ax2 = ln x2②，
ln x2 ln x1
由②-①得， a(x2 x1 ) = ln x2 ln x a =1，则 ， ……5分
x2 x1
x + x 1 x + x x x
则 1 2
1 2 2 1 等价于 ，
2 a 2 ln x2 ln x1
因为 x2 x1 0，所以 ln x2 ln x1 0，
x
2 2 1
2(x2 x

1 ) x x
即证 ln x2 ln x ，等价于 ln
2 1 1 0③， ……6 分
x1 + x2 x x1 1+ 2
x1
x
t = 2
2
( (
t 1)
设 ， t 1)，设 g (t ) = ln t ， (t 1)，
x1 1+ t
答案 第 6 页 共 7 页
2
1 2 (t 1)
③等价于 g (t ) 0， g (t ) = = 02 2 ，
t (1+ t ) t (t +1)
所以 g (t )在 (1,+ )上为增函数.
x + x 1
所以 g (t ) g (1) = 0，即 1 2 ； ……7分
2 a
ln x 1 ln x
（ii）设h (x) = ，则h (x) = ，令h 2 (x) = 0，解得 x = e， x x
所以h (x)在 (0,e 上递增，在 (e,+ )上递减，
1
因为 a = h(x)有两个不相等的实根，则 a 0且1 x
e 1
e x2 ， ……8分
1
易知 ln x x 1对 x (0,1) (1,+ )恒成立，则 ln 1 x对 x (0,1) (1,+ )恒成立，
x
x e
所以 ax 1= ln x 1= ln 1 ，因为 x 0，所以 ax2 2x + e 0， ……10分
e x
1 1+ ea 1 1+ ea
又因为a 0， = 4+ 4ae 0，所以 x + 或 x ，
a a a a
1
因为1 x e
1 1+ ea 1 1+ ea
且 a 01 ，所以 x1 + ， x ， e 2

a a a a
x + x 1 x1 + x2 1 1 1+ ea 2 1+ ea
因为 1 2 ，所以 x1
+ ，即 x x . ……12分 2 a 2 a 2 1 a a a
答案 第 7 页 共 7 页