(共17张PPT)
1.元素
一般地,把① 研究对象 统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合
一些元素组成的② 总体 叫做集合,简称为集,常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
1 | 元素与集合的含义
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
∈
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a⑥ A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a⑦ A a不属于集合A
2 | 元素与集合的关系
3.集合相等
构成两个集合的元素是一样的.
4.集合中元素的特性
③ 确定性 、④ 互异性 和⑤ 无序性 .
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N+ Z Q R
3 | 常用数集
4 | 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
(1)定义:用集合所含元素的⑧ 共同特征 表示集合的方法称为描述法;
(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的⑨ 共同特征 .
根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集.
有限集:集合中元素的个数是有限的.
无限集:集合中元素的个数是无限的.
5 | 集合的分类
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.我们班所有的“帅哥”可以构成一个集合. ( )
2.元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的. ( )
3.由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素. ( )
提示:由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合中有2个元素.
4.0∈N,但0 N*. ( √ )
5.{(1,2)}={x=1,y=2}. ( )
提示:{(1,2)}中含有(1,2)这一个元素,{x=1,y=2}中含有x=1,y=2两个元素.
6.{x∈R|x>1}={y∈R|y>1}. ( √ )
提示:{x∈R|x>1}与{y∈R|y>1}均表示大于1的实数构成的集合,元素完全相同,是相
等的集合.
1 | 如何破解集合中元素的互异性问题
在解决集合中的求值问题时,忽视元素的互异性会导致所求的值不符合题意,
考虑到元素的互异性,就要根据集合中的元素彼此不同列出许多不等式.如含三个
元素的集合,利用元素的互异性就要列出三个不等式,给解题增加许多麻烦,破解集
合中元素的互异性问题,往往采用先求值再检验的办法,即先根据条件列出关系式,
解出字母的所有可能值,再代入集合中的各元素,利用元素的互异性进行检验.
(★★☆)已知集合A中含有三个元素:a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
解析 当a+1=1时,a=0,则3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当3a=1时,a= ,则a+1= ,a2+1= ,符合题意;
当a2+1=1时,a=0,则a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上可知,实数a的值为 .
易错警示
解题时忽视集合中元素的互异性,认为a=0也符合题意,导致解题错误.
跟踪训练1(★★☆)已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,求a的取值范围.
解析 由集合中元素的互异性知a-3≠2a-1,解得a≠-2,故实数a的取值范围是
a≠-2.
思路点拨
根据集合中元素的互异性列出关系式,求出a的取值范围.
描述法表示集合时要含有代表元素和公共属性两个部分,识别描述法表示的
集合时,不仅要看公共属性,即看元素满足什么条件(共同特征),还要看代表元素,代
表元素不同,表示的集合不同,例如{x|p(x)}表示数集,{(x,y)|y=p(x)}表示坐标平面内
的点集.
2 | 描述法表示集合时对代表元素的理解
(★★☆)用列举法表示下列集合.
(1)A={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(2)B={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
解析 (1)因为y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N,所以x=0,1,2时,y=6,5,2,符合题意.
所以A={2,5,6}.
(2)(x,y)满足条件y=-x2+6,x∈N,y∈N,
则应有 所以B={(0,6),(1,5),(2,2)}.
思路点拨
确定代表元素 由代表元素确定集合的类型 判断集合的关系.
跟踪训练2(★★☆)已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},它们三个集合相等吗 试说明理由.
解析 它们表示互不相等的集合.理由如下:
集合A中的代表元素是自变量x,其取值范围是R,所以A=R;
集合B中的代表元素是函数值y,其取值范围是y≥3,所以B={y|y≥3};
集合C中的代表元素是坐标平面内的点(x,y),这些点在抛物线y=x2+3上,所以C={P|P
是抛物线y=x2+3上的点},这是个点集.
陷阱分析 理解用描述法表示集合时,忽视代表元素会导致对集合理解错误,解题
时要关注代表元素.
求解集合中的参数问题,常先用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后再用集
合中元素的互异性检验参数的值是否符合题意.解题时要注意:
1.列等式时要考虑到集合中元素的无序性,集合中元素的无序性主要体现在:①给
出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;②给出两集合相同,则其中的
元素不一定按顺序对应相等.
2.集合中元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互
不相同.
3 集合中参数问题的解法
(★★★)已知集合M中含有三个元素:2,a,b,集合N中含有三个元素:2a,2,b2,且M与N
中包含的元素相同,求a,b的值.
解析 由M与N包含的元素相同,
得 或
解得 或 或
根据集合中元素的互异性,得 不符合题意,故 或
易错警示
解本题时忽视集合中元素的无序性会导致只列出一个方程组,产生遗漏.忽视集合中元素的互异性会导致不符合题意的解没有舍去.解题时要充分注意到集合中元素的无序性和互异性对解题的影响.
跟踪训练3(★★★)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.
(1)若A是单元素集合,求集合A;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
解析 (1)当a=0时,A= ,符合题意;
当a≠0时,由题意知方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根,
则Δ=9-8a=0,解得a= ,此时A= ,符合题意.
综上所述,当a=0时,A= ,当a= 时,A= .
(2)由(1)可知,当a=0时,A= ,符合题意;当a≠0时,要使方程ax2-3x+2=0有实数根,
思路点拨
当a=0时,方程有唯一解;当a≠0时,由一元二次方程知识列出关系式求解.
则Δ=9-8a≥0,解得a≤ 且a≠0.综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤ .(共18张PPT)
1 | 子集、真子集、集合相等
1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
概念 图示 性质
子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中① 任意一个 元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有 ② 包含 关系,称集合A为集合B的子集,记作③ A B (或④ B A ),读作“A含于B”(或“B包含A”) (1)任何一个集合是它
本身的子集,即A⑤
A;
(2)对于集合A,B,C,如果
A B,且B C,那么A⑥
C
相等 如果集合A是集合B的
⑦ 子集 (A B),且
集合B是集合A的⑧
子集 (B A),此时,集
合A与集合B中的元素
是一样的,因此,集合A
与集合B相等,记作⑨
A=B 如果A=B,且B=C,那么A
=C
真子集 如果集合A B,但⑩
存在 元素x∈B,且x
A,我们称集合A是集合
B的真子集,记作A B
(或B A) (1)如果A B,且B C,
那么A C;(2)如果A
B,且A≠B,那么A B
概念 不含任何 元素 的集合叫做空集,记为
性质 规定:空集是任何集合的 子集
2 | 空集
1.1 {1,2,3}. ( )
2.空集可以用{ }表示. ( )
3.{0,1}={1,0}={(0,1)}. ( )
4.任何集合都有子集和真子集. ( )
提示:空集只有子集,没有真子集.
5.若a∈A,则{a} A. ( )
提示:当A中仅含一个元素a时,A={a},此时{a}不是A的真子集.
6.如果集合B A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
子集与真子集的判定与应用
判断集合关系的方法:
1.观察法:一一列举观察.
2.元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
3.数形结合法:利用数轴或Venn图.
(★★☆)(1)设集合M={x|x是菱形},N={x|x是平行四边形},P={x|x是四边形},Q={x|x
是正方形},则这些集合之间的关系为 ( B )
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
(2)已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D=
{x|x是等边三角形},则 ( B )
A.A B B.C B C.D C D.A D
解析 (1)正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,故选B.
(2)∵等腰三角形包括等腰直角三角形,∴C B.故选B.
答案 (1)B (2)B
跟踪训练1(★★☆)(1)集合M= x x= + ,k∈Z ,N= x x=k+ ,k∈Z ,则M、N的
关系为( C )
A.M=N B.M N
C.N M D.无法判断
(2)下列各式中,正确的个数是 ( B )
①{0}∈{0,1,2};
②{0,1,2} {2,1,0};
③ {0,1,2};
④ ={0};
⑤{0,1}={(0,1)};
⑥ 0={0}.
A.1 B.2 C.3 D.4
思路点拨
(1)明确集合M、N中的元素 分析元素之间的关系得到集合M、N的关系.
(2)逐一判断各式中元素与集合、集合与集合之间的关系.
同一集合,任何一个集合是它本身的子集,故②正确;对于③,空集是任何非空集合
的真子集,故③正确;对于④,{0}是含有元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集
是任何非空集合的真子集,所以 {0},故④错误;对于⑤,{0,1}是含有两个元素0
与1的集合,而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相
等,故⑤错误;对于⑥,应是0∈{0},故⑥错误.故②③是正确的,应选B.
解析 (1)在集合M中,x= + =
在集合N中,x=k+ =n+ ,k=n(n∈Z),由此可得集合N中任何一个元素都在集合M中,
又集合M中的元素n+ 不在集合N中,所以N M.
(2)对于①,表示的是集合与集合的关系,应为{0} {0,1,2},故①错误;对于②,实际为
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法:
1.注意点:
(1)不能忽视集合为 的情形;(2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
2.常用方法:
对于用不等式(组)给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采
用数形结合的思想,借助数轴解答.
已知集合间的关系求参数问题
(★★☆)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a= ,判断集合A与B的关系;
(2)若B A,求实数a的取值集合.
解析 (1)当a= 时,B={5}.A={x|x2-8x+15=0}={5,3}.元素5是集合A={5,3}中的元素,
集合A={5,3}中除元素5外,还有元素3,3不在集合B中,所以B A.
(2)当a=0时,B= .又因为A={3,5},所以B A.
当a≠0时,B= .又因为A={3,5},B A,所以 =3或 =5,解得a= 或a= .故实数a的
取值集合为 .
跟踪训练2(★★★)已知集合A={x|1
思路点拨
将a分成a=0,a>0,a<0三种情况 求出集合A 借助数轴由A B列出不等式组求解.
解析 ①当a=0时,A= ,满足A B;
②当a>0时,A= ,
又∵B={x|-1
∴ ∴a≥2;
③当a<0时,A= ,
又∵B={x|-1
∴
综上所述,a的取值范围是{a|a=0或a≥2或a≤-2}.
易错警示 解题时注意空集是任何集合的子集这一特殊情况,防止漏解(如本题中
a=0符合题意).
1.假设集合A中含有n个元素,则有:
(1)A的子集的个数是2n;
(2)A的非空子集的个数是2n-1;
(3)A的真子集的个数是2n-1;
(4)A的非空真子集的个数是2n-2.
2.求给定集合的子集的两个注意点:
(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
(2)不要忘记空集和集合本身.
子集、真子集的个数问题的探究
(★★☆)(1)适合条件{1} A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是 ( A )
A.15 B.16 C.31 D.32
(2)已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},存在非空集合C,使C中的每个元素都加上
2就变成了A的一个子集,且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集,则集合
C的个数为 3 .
解析 (1)集合A中必有元素1,其余元素从{2,3,4,5}中取,但集合A≠{1,2,3,4,5},由
{2,3,4,5}的真子集有24-1=15个知,集合A也有15个,即{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,
2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},故
选A.
(2)由题意知C≠ ,将A中元素都减2,B中元素都加2,于是C {0,2,4,6,7}且C {3,4,
5,7,10},注意到两个集合的共同元素构成的集合为{4,7},故非空集合C是{4,7}的子
集,即C={4,7}或C={4}或C={7},故满足条件的集合C有3个.
跟踪训练3(★★☆)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范
围.
思路点拨
分A= 和A≠ 两种情况进行讨论.
解析 ①当A无真子集时,A= ,即方程ax2+2x+1=0无实数根,所以 所以
a>1.
②当A只有一个真子集时,A为单元素集,这时有两种情况:
当a=0时,方程化为2x+1=0,解得x=- ,符合题意;
当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1.
综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是a=0或a≥1.(共20张PPT)
1 | 并集与交集
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 运算性质
并集 一般地,由所有属
于集合A① 或
属于集合B的元素
组成的集合,称为
集合A与B的并集,
记作② A∪B
(读作“A并B”) A∪B=③ {x|x∈A,或x∈B} A∪B=B∪A,A∪A
=A,
A∪ = ∪A=A,
A (A∪B),B (A
∪B),
A B A∪B=B
交集 一般地,由属于集
合A④ 且 属于
集合B的所有元素
组成的集合,称为
A与B的交集,记作
⑤ A∩B (读作
“A交B”) A∩B=⑥ {x|x∈A,且x∈B} A∩B=B∩A,A∩A
=A,
A∩ = ∩A= ,
(A∩B) A,(A∩B)
B,
A B A∩B=A
1.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的⑦ 所有元素 ,那么
就称这个集合为全集,通常记作U.
2 | 全集与补集
2.补集
文字语言 对于一个集合A,由全集U中⑧ 不属于 集合A
的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U
的补集,简称为集合A的补集,记作⑨ UA
符号语言 UA=⑩ {x|x∈U,且x A}
图形语言
运算性质 UA U, UU= , U =U, U( UA)=A,A∪
( UA)=U,A∩( UA)=
1.若集合A和集合B没有公共元素,则A∩B不存在.( )
2.如果把A,B用Venn图表示为两个圆,那么两圆必须相交,交集才存在. ( )
3.在全集U中存在某个元素x0,既有x0 A,又有x0 UA. ( )
4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集. ( √ )
5.若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. ( )
6.若A∪B=A,B≠ ,则B中的每个元素都属于集合A.( √ )
提示:当A∪B=A时,B A,又B≠ ,所以B中的每个元素都属于集合A.
7.若A∩B=C∩B,则A=C. ( )
提示:当B= 时,A∩B=C∩B= ,但A、C可以是任意集合,故A=C不一定成立.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
集合的运算方法及注意点:
1.集合的综合运算要按题中的顺序依次进行.
2.集合运算时要分析集合的特征,根据特征确定运算的手段:一般来讲,集合中的元
素若是离散的,则用列举法;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要
注意端点的取舍情况;与概念有关的集合采用分类法;抽象集合则选用Venn图法.
3.涉及含字母的集合时,要注意该集合是不是空集.
集合的运算方法
(★★☆)(1)如图所示的Venn图中,若A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},则阴影部分表示的
集合为 ( D )
A.{x|0B.{x|1C.{x|0≤x≤1,或x≥2}
D.{x|0≤x≤1,或x>2}
(2)设全集U={1,3,5,7},集合M={1,|a-5|}, UM={5,7},则a的值为 2或8 .
解析 (1)由题易得,A∩B={x|1∪B中除去A∩B的部分,所以阴影部分表示的集合为{x|0≤x≤1,或x>2},故选D.
(2)由U={1,3,5,7},M={1,|a-5|}, UM={5,7},知M={1,3},∴|a-5|=3,解得a=8或2.
跟踪训练1(★★☆)(1)若集合A={x|-5A.{x|-3C.{x|-3(2)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},则 U(A
∪B)= {x|x是直角三角形} .
思路点拨
(1)画数轴求出A∩B.
(2)根据三角形的分类,求出 U(A∪B).
解析 (1)在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,
由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分,即A∩B={x|-3(2)三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,则A∩B= ,A∪B={x|x是
锐角三角形或钝角三角形},
所以 U(A∪B)={x|x是直角三角形}.
易错警示 对集合进行运算时要注意以下几点:①空集的特殊性;②求集合的补集
时要关注全集的范围;③利用数轴对集合进行运算时,要对端点单独进行思考,防止
端点判断错误.
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
1.紧扣新定义
首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体
的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.
2.用好集合的运算与性质
解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的
运算与性质.
集合中创新问题的解法
(★★★)对于任意两个正整数m、n,定义某种运算“※”如下:当m、n都为正偶数
或正奇数时,m※n=m+n;当m、n中一个为正偶数另一个为正奇数时,m※n=mn.则在
此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是( B )
A.18 B.17 C.16 D.15
解析 因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,
1×16=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素有(1,15),(15,1),(2,
14),(14,2),(3,13),(13,3),(4,12),(12,4),(5,11),(11,5),(6,10),(10,6),(7,9),(9,7),(8,8),(1,16),
(16,1),共8×2+1=17个,故选B.
跟踪训练2(★★☆)设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x A∩B},已知A={x|
0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B等于 ( C )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
思路点拨
思路1:理解A*B的含义 利用(A∪B)∩ R(A∩B)求出A*B.
思路2:理解A*B的含义 利用 (A∪B)(A∩B)求出A*B.
思路3:理解A*B的含义 利用数轴求出A*B.
解法一:由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},
则A*B={x|x∈A∪B且x A∩B}=(A∪B)∩ R(A∩B)={x|0≤x<1或x>3}.
解法二:由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},则A*B={x|x∈A∪B且x A
∩B}= (A∪B)(A∩B)={x|0≤x<1或x>3}.
解法三:由题意画数轴如图所示,
由图知A*B={x|x∈A∪B且x A∩B}={x|0≤x<1或x>3}.
由集合的运算性质求解参数问题的方法:
1.当集合中元素个数有限时,可结合定义与集合知识求解;
2.当集合中元素是连续实数时,一般利用数轴分析法求解.
利用集合的运算性质求参数的值或范围
(★★☆)已知A={x|-1(1)当m=1时,求A∪B;
(2)若B RA,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=1时,B={x|1≤x<4},
∴A∪B={x|-1(2)由题得 RA={x|x≤-1或x>3}.
当B= 时,即m≥1+3m,
解得m≤- ,满足B RA;
当B≠ 时,使B RA成立,
则 或 解得m>3.
综上可知,实数m的取值范围是 m m>3或m≤- .
易错警示
解决含参数的集合运算问题时,一要注意忽视空集导致解题错误;二要注意列不
等式(组)时,忽视不等式是否带等号导致解题错误.
跟踪训练3(★★☆)集合A={x|-1(1)若A∩B= ,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.
思路点拨
利用数轴可以直观、形象地表示出集合A,B,从而求出a的取值范围.
解析 (1)如图所示,A={x|-1(含-1).
∴a的取值范围为{a|a≤-1}.
(2)如图所示,A={x|-11,不含1).
∴a的取值范围为{a|-1≤a<1}.
(共21张PPT)
1 |函数的有关概念
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.函数的概念
函数的定义 设A,B是① 非空的数集 ,如果按照某种确定
的对应关系f,使对于集合A中的② 任意 一个
数x,在集合B中都有③ 唯一确定 的数f(x)和它
对应,那么就称④ f:A→B 为从集合A到集合B
的一个函数
函数的记法 ⑤ y=f(x) ,x∈A
定义域 x叫做自变量,x的⑥ 取值范围A 叫做函数的
定义域
值域* 函数值的集合⑦ {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域
2.函数相等
如果两个函数的⑧ 定义域 相同,并且⑨ 对应关系 完全一致,我们就称这两
个函数相等.
1.一般区间的表示
设a,b是两个实数,而且a2 区间的概念及表示
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ⑩ [a,b]
{x|a≤x{x|a{x|a2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ )
2.区间不可能是空集. ( √ )
3.任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( )
4.函数的定义域和值域一定是无限集合. ( )
提示:函数的定义域和值域也可能是有限集合,如f(x)=1(x∈{1,2}).
5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应值域中不同的y. ( )
提示:根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一确定的y与之
对应.
6.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( )
提示:在函数的定义中,函数的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
利用函数的定义,在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两个函数
才相等.函数的值域可以利用定义域和对应关系求出.从确定函数的角度来说,定义
域和对应法则是确定函数的两个基本要素.
如何判断两个函数是否相等
(★★☆)下列各组函数:
①f(x)= ,g(x)=x-1;
②f(x)= ,g(x)= ;
③f(x)= ,g(x)=x+3;
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0
≤x≤5).
其中表示相等函数的是 ⑤ (填上所有正确的序号).
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0}, f(x)= 与g(x)= 的解析式不
同,不是相等函数;③f(x)与g(x)的定义域都是R, f(x)=|x+3|与g(x)=x+3的解析式不同,
不是相等函数;④f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}, f(x)与g(x)的定
义域不同,不是相等函数;⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同,故是相等函数.
特别提醒
判定两个函数为相等函数应注意三点:
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数,即使定义域与值
域都相同,也不一定是相等函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有
限制的.
(3)化简解析式时,必须先求定义域再化简,否则会导致定义域的变化.
跟踪训练1(★★☆)判断以下各组函数是否表示相等函数:
(1)f(x)=( )2,g(x)= ;
(2)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.
思路点拨
先求函数的定义域 定义域相同再化简解析式 最后判断函数是否相等.
解析 (1)由于函数f(x)=( )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)= 的定义域为{x|x∈R},
它们的定义域不同,所以它们不表示相等函数.
(2)两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们表示相等函数.
求函数定义域的常用依据:
1.若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;
2.若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;
3.若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;
4.若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
函数定义域的求法
(★★☆)(1)求函数y=2 - 的定义域;
(2)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],求函数y=f(2x-3)的定义域.
解析 (1)要使函数有意义,需满足 解得0≤x≤ ,
所以函数y=2 - 的定义域为 .
(2)在函数y=f(2x-3)中,令t=2x-3,则y=f(t),由y=f(x)与y=f(t)是同一函数,且y=f(x)的定义
域为[-2,3]得,y=f(t)的定义域为[-2,3],即t∈[-2,3],所以-2≤2x-3≤3,解得 ≤x≤3,
所以函数y=f(2x-3)的定义域为 .
.
跟踪训练2(★★☆)(1)求函数y= - 的定义域;
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域.
思路点拨
(1)根据解析式的特点列关系式 解关系式 得出函数定义域.
(2)由-2≤x≤3,得-7≤2x-3≤3 令x+2=t,则-7≤t≤3 解不等式-7≤x+2≤3,求
出x的取值范围.
解析 (1)由 得 所以函数的定义域为{x|x≤1且x≠-1}.
(2)由y=f(2x-3)的定义域是[-2,3]得,-2≤x≤3,从而-7≤2x-3≤3.
设t=x+2,则函数y=f(t)的定义域为[-7,3],
即-7≤t≤3,所以-7≤x+2≤3,
解得-9≤x≤1,所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
解题模板 两类抽象函数的定义域的求法:
(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤
b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g
(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.
求函数的值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法.
(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数
的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方
并结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最大(小)值的求法.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化为几个简单的函
数,从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”
的形式,便于求值域.
函数值域的求法*
(★★★)求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
(3)y= ;
(4)y=2x- .
解析 (1)(观察法)由x∈{1,2,3,4,5},y=x+1,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.
(2)(配方法)由y=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值
域为[2,6).
(3)(分离常数法)y= = =2+ ,显然 ≠0,所以y≠2,故函数的值域为
(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)(换元法)设t= ,则t≥0且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2 + ,由t≥0,再结合函
数的图象(如图),可得函数的值域为 .
易错警示
利用二次函数求值域时,要注意定义域的影响,当定义域不是R时,要画出图象,利用定义域截取相应的部分,再根据图象得出值域.
跟踪训练3(★★★)求下列函数的值域:
(1)y= +1;(2)y= ;
(3)y= (1≤x≤2).
思路点拨
(1)观察法;(2)分离常数法;(3)结合二次函数和分式分析求解.
解析 (1)因为 ≥0,所以 +1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
(2)y= = =3+ ≠3,所以函数的值域为{y|y≠3}.
(3)因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4, ≤ ≤1,故2≤ ≤8,所以函数的值域为[2,8].(共18张PPT)
1 |函数的表示法
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的表示法
表示法 定义
解析法 用① 数学表达式 表示两个变量之间的对应
关系
图象法 用② 图象 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出③ 表格 来表示两个变量之间的对应关
系
2 | 分段函数
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的④对应关系 ,那么称这样的函数为分段函数.
3 | 映射*
设A,B是非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
1.解析法可以表示任意的函数. ( )
2.列表法表示y=f(x),y对应的那一行数字可能出现相同的情况. ( √ )
3.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( )
4.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
5.任何一个函数都可以用列表法表示. ( )
提示:如果函数的定义域是连续的数集,则该函数就不能用列表法表示.
6.函数的图象一定是一条连续不断的曲线. ( )
提示:f(x)= 的图象就不是连续不断的曲线.
1.已知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,可用待定系数法:根据函数类型先设
出函数解析式,再利用条件列出方程(组),解方程(组)求出待定系数,最后代入函数
解析式即可.
2.未知函数f(x)的类型,求f(x)的解析式时,要根据条件的特点选择不同的方法进行
求解,常见的方法有:换元法、配凑法、方程组法等.
函数解析式的求法
(★★☆)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f = + ,求f(x);
(3)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
解析 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,所以
解得 或 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ .
(2)解法一:(换元法)令t= = +1,则x= (t≠1),
把x= 代入f = + ,得
f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).
解法二:(配凑法)∵f = + = - = - +1,
∴f(x)=x2-x+1.又∵ = +1≠1,
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x∈R,且x≠1).
(3)(方程组法)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
∴将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,②
∴①-2×②得3f(x)=x2-6x,
∴f(x)= x2-2x.
跟踪训练1(★★☆)已知f( +1)=x+2 ,求f(x).
思路点拨
思路1:利用换元法.思路2:利用配凑法.
解析 解法一:(换元法)令 +1=t(t≥1),则x=(t-1)2,
∴f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
解法二:(配凑法)∵x+2 =( +1)2-1,
∴f( +1)=( +1)2-1.
又∵ +1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
分段函数问题的解决方法是分段思考,即根据自变量所在定义域内的不同范
围,选择不同的解析式,利用此解析式解决问题,最后还要由自变量所在范围检验.
如何解决分段函数问题
(★★☆)已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 - .
解析 当a>0时,1-a<1,1+a>1,∴2·(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=- (舍去);当a<0时,1-a>1,1
+a<1,
∴-1+a-2a=2+2a+a,解得a=- .
解析 当-1≤x≤1时, f(x)=x≥ ,得 ≤x≤1;当x>1或x<-1时, f(x)=1-x≥ ,
得x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)∪ .
跟踪训练2(★★☆)已知f(x)= 若f(x)≥ ,求x的取值范围.
思路点拨
由x的范围选解析式 利用解析式即可得到x的取值范围.
画函数图象的一般方法:
1.直接法
当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征
描出图象的关键点,直接作出图象.
2.图象变换法
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象
变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
函数图象及其应用
(★★☆)作出下列函数的图象:
(1)y= ;
(2)y=x2-2|x|-1.
解析 (1)∵y= =2+ ,∴函数图象可由y= 的图象向右平移1个单位,再向上平
移2个单位得到,如图①.
①
(2)解法一:由题得y= 先用描点法作出y=x2-2x-1的图象,再截取图象在
[0,+∞)上的部分;同理,用描点法作出y=x2+2x-1的图象,再截取图象在(-∞,0)上的部
分.将两部分合并在一起,得到y=x2-2|x|-1的图象,如图②.
②
解法二:先作出y=x2-2x-1的图象,保持其图象在y轴右侧的部分不变,并将y轴右侧的
图象沿y轴翻折,替代原y轴左侧的图象,即可得到y=x2-2|x|-1的图象,如图③中实线部
分所示.
③
解题模板
根据函数解析式的特点,选择已知图象的基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等),进而确定由已知函数得到未知函数的图象经过的变换,由变换得到要作的图象.
跟踪训练3(★★☆)函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象与直线y=m有两个交点,求实数m
的取值范围.
思路点拨
作出函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象 由图象确定m的取值范围.
因为f(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以由图象易知-1易错警示 在解决有关动直线的问题时,要对符合题意与不符合题意的分界点单
独思考,防止分界点处理不当导致错误,如本题中m=-1不符合题意,而m=3符合题意.
解析 f(x)=x2-4x+3(x≥0)的图象与直线y=m,如图所示,(共22张PPT)
1 |增函数与减函数的定义
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
增函数 减函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上
的① 任意 两个自变量的值x1,x2,当x1结论 那么就说函数f(x)在区间D上是
③ f(x1)>f(x2) 函数 那么就说函数f(x)在区间D上是
⑤ 减 函数
图示
图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是上
升的 函数f(x)在区间D上的图象是下
降的
2 | 单调区间
如果函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y= f(x)在这一区
间上具有(严格的)⑥ 单调性 ,区间D叫做函数y= f(x)的⑦ 单调区间 .
最大值 最小值
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意
的x∈I,都有 ⑧ f(x)≤M ⑨ f(x)≥M
存在x0∈I,使得⑩ (x0)=M 3 | 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=
f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高 点的 纵坐标 f(x)图象上最低
点的 纵坐标
(续表)
1.已知f(x)= ,因为f(-1)2.函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3). ( √ )
3.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3].
( )
提示:函数在某区间上单调与函数的单调区间,不是同一个概念,函数在某区间上单
调是函数在这个区间上的单调性,而函数的单调区间是函数在定义域上的单调性.
如设函数f(x)=-x,则函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,但函数f(x)的单调递减区间是R.
4.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
( )
提示:题中函数f(x)在区间(1,3)上不一定是增函数.例如,函数f(x)= 在区
间(1,2]和(2,3)上均为增函数,但由图象(图略)知函数f(x)在区间(1,3)上不是增函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
5.如果f(x)的最大值、最小值分别为M、m,则f(x)的值域为[m,M]. ( )
提示:例如:f(x)=x(x∈{1,2,3,4,5}), f(x)的最大值为5,最小值为1,但值域不是[1,5].
6.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是
f(b).( √ )
提示:由于f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)在区间[a,b]上的最
小值是f(a),最大值是f(b).
含参数的函数单调性问题的解法
含参数的函数单调性问题常见的解法:
1.常见函数的单调性:
一次函数的单调性取决于一次项系数,二次函数的单调性取决于二次项系数与其
图象的对称轴,反比例函数的单调性取决于定义域与分子.解题时可结合图象解决
问题.
2.分段函数在定义域上单调,除了要保证在各段上单调外,还要考虑分段点处的单
调问题.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.
(★★★)已知函数f(x)= 是R上的增函数,则a的取值范围是 ( C )
A.-3≤a<0 B.a≤-2
C.-3≤a≤-2 D.a<0
解析 当x≤1时, f(x)=-x2-ax-5,依题意知f(x)=-x2-ax-5在(-∞,1]上是增函数,由二次函
数在(-∞,1]上单调递增可知,函数图象的对称轴x=- 在x=1右侧或与x=1重合,于是
有- ≥1,即a≤-2;当x>1时,f(x)= ,依题意知f(x)= 在(1,+∞)上是增函数,由反比例
函数的单调性知a<0;当x=1时,由函数单调递增可知,-12-a-5≤a,解得a≥-3.综上所
述,a的取值范围是-3≤a≤-2.故选C.
跟踪训练1(★★☆)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围.
思路点拨
确定二次函数图象的对称轴 结合函数图象确定函数的单调区间 将所求出的单调区间与已知的单调区间进行比较求得参数范围.
解析 由题易得,函数图象的对称轴为x=a.由于二次函数图象(图略)开口向上,故其
增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调,所以[1,2] [a,+∞)或[1,
2] (-∞,a],即a≤1或a≥2.
解题模板 已知函数的单调性求参数的关注点:
1.视参数为已知数,依据简单函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义,
确定函数的单调区间,与已知的单调区间进行比较,求得参数的范围;
2.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处函数值的大小关系.
已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1), f(x2)的大小,由此解决比较大
小的问题;反过来,由f(x1), f(x2)的大小,可得x1,x2的大小,由此解决含抽象函数的不等
式问题.
(★★☆)已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)函数单调性的综合运用
取值范围是 -1, .
解析 由题意得 解得-1≤x< .所以实数x的取值范围是 -1, .
答案 -1,
跟踪训练2(★★☆)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)数a的取值范围.
思路点拨
由单调性与定义域列不等式组 解不等式组得到a的取值范围.
解析 由函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
得 解得 易错警示 解含抽象函数的不等式问题时,不仅要考虑函数的单调性,还要考虑函
数的定义域,防止忽视定义域而导致解题错误.
二次函数的最大(小)值问题有两种题型
1.二次函数在R上的最大(小)值问题,解题时只需确定图象的开口方向与顶点坐标,
直接回答问题即可;
2.二次函数在指定区间上的最大(小)值问题,解题时不仅要确定图象的开口方向与
顶点坐标,而且要借助函数图象,分析函数在指定区间上的单调性,从而找出最大
(小)值.
含参数的二次函数在指定区间上的最大(小)值问题,利用图象的开口方向、对
称轴与指定区间的关系,作出图象,借助图象的直观性,分析解决问题,解题时通常根
据区间端点和图象的对称轴的相对位置进行分类讨论.此类问题,一般有如下几种
类型:
含参数二次函数的最大(小)值问题的解法
1.区间固定,图象的对称轴变动(含参数),求最大(小)值;
2.图象的对称轴固定,区间变动(含参数),求最大(小)值;
3.区间固定,最大(小)值也固定,图象的对称轴变动,求参数.
(★★☆)已知函数f(x)=2x2-4ax-6,若x∈[0,2],求函数的最小值.
解析 f(x)=2x2-4ax-6的图象的对称轴为x=a.
(1)当a≤0时,f(x)在[0,2]上为增函数,
∴f(x)min=f(0)=-6;
(2)当0(3)当a>2时,f(x)在[0,2]上为减函数,
∴f(x)min=f(2)=2-8a.
综上所述,当a≤0时,最小值为-6;当02时,最小值为
2-8a.
跟踪训练3(★★★)(1)求函数y=2x+ 的最小值;
(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最大(小)值.
思路点拨
(1)换元得y=2t2+t+2 确定y=2t2+t+2在定义域内的单调性 求出函数的最小值.
(2)确定f(x)图象的开口方向及对称轴 分类讨论函数图象的对称轴x=1与区间[t,t+2]的关系 求出函数的最大(小)值.
解析 (1)令 =t,则t≥0,x=t2+1,
∴y=2t2+t+2=2 + ,在t≥0时是增函数,∴当t=0,即x=1时,ymin=2,故函数的最小
值为2.
(2)由题易知,函数图象开口向上,图象的对称轴为x=1,
①当1≥t+2,即t≤-1时, f(x)在[t,t+2]上是减函数,
则f(x)max=f(t)=t2-2t-3,f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3;
②当t<1若 ≤1若t<1< ,即0③当t≥1时, f(x)在[t,t+2]上是增函数,则f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3, f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
综上所述,当t≤-1时, f(x)的最大值是t2-2t-3,最小值是t2+2t-3;当-1值是t2-2t-3,最小值是-4;当0的最大值是t2+2t-3,最小值是t2-2t-3.
解题模板 含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最
大(小)值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,再依a的符号确定抛物线的
开口方向,依图象的对称轴x=-h得出顶点的位置,再根据x的定义区间,结合大致图
象确定最大或最小值.
不等式恒成立的问题通常转化为函数的最大(小)值问题,记住以下结论:
1.任意x∈D, f(x)>a恒成立,一般转化为最小值问题,即f(x)min>a来解决;
2.任意x∈D, f(x)
利用函数最大(小)值解决不等式恒成立问题
(★★★)已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
解析 ∵x>0,∴ax2+x≤1可化为a≤ - .
要使a≤ - 对任意x∈(0,1]恒成立,只需a≤ .
设t= ,∵x∈(0,1],∴t≥1,
∴ - =t2-t.
令f(t)=t2-t(t≥1),
∵f(t)= - 在[1,+∞)上是增函数,
∴f(t)min=f(1)=0,即当x=1时, - 的最小值为0,
∴a≤0,∴实数a的取值范围是(-∞,0].
解题模板
解决不等式恒成立的问题,常转化为含参数的函数最大(小)值问题,解题时常要分类讨论,此时要根据不等式的特点,进行变量分离,可避免分类讨论.
跟踪训练4(★★★)已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(1)=1,若f(x)≤-
2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
思路点拨
将已知条件中的恒成立问题转化成f(x)max≤-2at+2恒成立,再构造新的函数y=-2at+1,利用新函数的最值,求得实数t的取值范围.
解析 因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(1)=1,所以f(x)max=1.要使得对于任
意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都有f(x)≤-2at+2恒成立,只需对任意的a∈[-1,1],f(x)max≤-2at
+2恒成立,即-2at+2≥1恒成立即可.
令y=-2at+1,此时y可以看作a的一次函数,且在a∈[-1,1]时,y≥0恒成立,
因此只需 解得- ≤t≤ ,所以实数t的取值范围为 - , .(共21张PPT)
1 |偶函数、奇函数的定义
1.3 函数的基本性质
1.3.1 奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地,如果对于函数f(x)的定
义域内任意一个x,都有① f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定
义域内任意一个x,都有②
f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
定义域 特征 奇函数与偶函数的定义域都关于③ 原点 对称 2 |偶函数、奇函数的图象特征
1.如果一个函数是偶函数,则它的图象是以④ y轴 为对称轴的轴对称图形;反之,
如果一个函数的图象关于⑤ y轴 对称,则这个函数是偶函数.
2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以⑥ 原点 为对称中心的中心对
称图形;反之,如果一个函数的图象是以⑦ 原点 为对称中心的中心对称图形,则
这个函数是奇函数.
1.f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( )
2.奇函数的图象一定过原点. ( )
3.对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|). ( √ )
提示:因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),故结论成立.
4.f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0. ( √ )
提示:因为函数f(x)是奇函数,且f(0)有意义,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.
5.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
提示:存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称), f(x)既是奇函数又是偶函数,因为D
有无数个,所以这样的函数也有无数个.
6.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上
的单调性相反. ( √ )
定义法
图象法
判断函数奇偶性的常见方法
(★★☆)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x-2|+|x+2|;
(2)f(x)=
解析 (1)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),
所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.
(2)函数的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
任取x∈D,
当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上可知,函数f(x)= 是偶函数.
易错警示
1.判断奇偶性应先求定义域,必要时在定义域内化简解析式.解题时既要防止不化简解析式,找不到f(-x)与f(x)的关系,无法判断奇偶性,又要防止不求定义域就化简解析式,导致不恒等变形得到错误结论.
2.判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且进行双向验证.解题时一要防止不验证f(0)导致错误,二要防止只判断部分区间上函数具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征就下结论,导致证明不全面.
跟踪训练1(★★☆)(1)定义在R上的函数f(x),对于任意实数a、b都有f(a+b)=f(a)+
f(b).求证:f(x)为奇函数;
(2)定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1、x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2).求证:
f(x)为偶函数.
思路点拨
对函数方程中的变量赋值 证明f(-x)±f(x)=0 判断并得出结论.
证明 (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),
∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x);①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x).②
由①②得f(x)-f(-x)=0,即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
解题模板 判断抽象函数f(x)的奇偶性,一要运用定义的等价形式:f(x)的定义域关
于原点对称, f(x)为奇函数等价于f(-x)+f(x)=0,f(x)为偶函数等价于f(-x)-f(x)=0;二要
合理赋值找到常数t0,使f(t0)=0,将证明f(x)为奇函数转化为证明f(-x)+f(x)=f(t0),证明
f(x)为偶函数转化为证明f(-x)-f(x)=f(t0).
利用函数奇偶性求函数值或参数值的方法
利用函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值;比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)
的系数可求参数值.
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
利用函数奇偶性解决相关问题
(★★☆)已知函数f(x)= 是奇函数,则a= 1 .
解析 解法一:当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x.
又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2+x,即ax2+x=x2+x,∴a=1.
解法二:由题知f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1).又f(1)=-1+1=0,f(-1)=a+(-1)=a-1,所以a-1
=0,所以a=1.
跟踪训练2(★★☆)(1)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则f(3)= ( D )
A.26 B.18 C.10 D.-26
(2)若函数f(x)= 为奇函数,则a= -1 .
(3)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时, f(x)=2x-1,则函数f(x)的解析式为
f(x)=
解析 (1)由f(x)=x5+ax3+bx-8,得f(x)+8=x5+ax3+bx.
令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+8,
∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x),
∴G(x)是奇函数,
∴G(-3)=-G(3),
思路点拨
(1)令G(x)=x5+ax3+bx 根据G(x)为奇函数,求得G(3)的值 求出f(3)的值.
(2)根据f(x)为奇函数列出等式f(-x)=-f(x) 利用等式恒成立得出a+1=0 计算求出a的值.
(3)由已知写出f(-x) 根据f(x)为奇函数求出x<0时的解析式 求出f(0) 写出f(x)的解析式.
∵G(-3)=f(-3)+8=10+8=18,
∴G(3)=-18,即G(3)=f(3)+8=-18,
∴f(3)=G(3)-8=-26.
(2)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即 =- ,
显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,
故a+1=0,解得a=-1.
(3)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x+1.
又f(x)(x∈R)是奇函数,
∴f(-0)=-f(0),
即f(0)=0.
∴所求函数的解析式为f(x)=
易错警示 利用奇偶性解题,首先要明确奇偶性,防止奇偶性判断错误导致解题错
误;另外在解决奇函数问题时,要注意f(0)是否有意义,防止漏掉x=0的情况导致解题
错误.
1.若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有
相同的单调性;若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]
上具有相反的单调性.
2.函数的奇偶性与单调性结合可以解决含抽象函数的不等式问题,先用奇偶性将不等式化为f(x1)>f(x2)的形式,再用单调性得到x1>x2(或x1函数单调性与奇偶性的综合运用
(★★☆)设f(x)是偶函数,在区间[a,b]上是减函数,试证明f(x)在区间[-b,-a]上是增函
数.
证明 设x1,x2是区间[-b,-a]上的任意两个值,且有x1∵-b≤x1∵f(x)在[a,b]上是减函数,
∴f(-x2)>f(-x1).
∵f(x)为偶函数,
即f(-x)=f(x),
∴f(-x2)=f(x2), f(-x1)=f(x1),
∴f(x2)>f(x1),
∴函数f(x)在区间[-b,-a]上是增函数.
解题模板
区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
1.若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.
2.若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
跟踪训练3(★★★)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,求x的取
值范围.
思路点拨
思路1:将不等式化为f(|x-1|)>f(2) 由f(x)在[0,+∞)上单调递减得|x-1|<2 解不等式得-1思路2:由已知画出f(x)的草图 由图象得-2解析 解法一:∵f(x)为偶函数,
∴f(x-1)=f(|x-1|),
又f(2)=0,
∴f(x-1)>0等价于f(|x-1|)>f(2),
∵|x-1|∈[0,+∞),
且f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴|x-1|<2,即-2解得-1∴x的取值范围是(-1,3).
解法二:∵f(x)为偶函数, f(2)=0,f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴f(-2)=f(2)=0, f(x)在(-∞,0)上单调递增,
由此可画出f(x)的草图,如图所示,
由图可知,当f(x-1)>0时,
-2∴x的取值范围是(-1,3).
解题模板 记住函数奇偶性的两个特点,解题时注意运用:
1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);
2.若f(x)(x∈R)是奇函数,则f(0)=0.