第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
基础过关练
题组一 集合的含义与特征
1.现有以下说法,其中正确的是( )
①接近于0的数的全体构成一个集合;
②正方体的全体构成一个集合;
③未来世界的高科技产品构成一个集合;
④不大于3的所有自然数构成一个集合.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.下面四个命题中正确的是( )
A.某校高一(1)班所有聪明的学生可以构成一个集合
B.集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是相等的集合
C.方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1,1}
D.0与{0}表示同一个集合
3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.在方程x2-4x+4=0的解集中,有 个元素.
5.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.
题组二 元素与集合的关系
6.已知集合A中含有三个元素:2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4 C.4 D.6
7.下列所给关系中正确的个数是( )
①π∈R;② Q;③0∈N*;④|-4| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是( )
A.-1 A B.-11∈A C.3k2-1∈A D.-34 A
9.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( )
A.3∈A,-1 A B.3∈A,-1∈A
C.3 A,-1∈A D.3 A,-1 A
10.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同
题组三 集合的表示方法
11.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.{y|(y-1)2=0}
12.下列各组集合中,表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={(3,2)}
13.下列集合的表示方法正确的是( )
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
14.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的整数;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.
能力提升练
一、选择题
1.(2020广西南宁三中高一上月考,★★☆)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(★★☆)实数1不是下面哪一个集合中的元素( )
A.整数集Z B.{x|x=|x|}
C.{x∈N|-1
3.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考,★★☆)下列对象能构成集合的是( )
A.高一年级全体较胖的学生
B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
4.(★★☆)用列举法表示集合,正确的是( )
A.(-1,1),(0,0) B.{(-1,1),(0,0)}
C.{x=-1或0,y=1或0} D.{-1,0,1}
5.(2019山西大同一中高一上第一次月考,★★☆)方程组的解构成的集合是( )
A.{(1,1)} B.{1,1} C.(1,1) D.{1}
6.(2019河北张家口高一上阶段测试,★★☆)下列命题中正确的个数为( )
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一集合;
(3)1,,,,0.5这些数组成的集合有5个元素.
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2020山西吕梁中学高一上期中,★★☆)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={3,4},若x∈A且x B,则x等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.(★★☆)由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含( )
A.2个元素 B.3个元素
C.4个元素 D.5个元素
9.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,★★★)已知集合A={a,|a|,a-2},若2∈A,则实数a为( )
A.±2或4 B.2 C.-2 D.4
10.(多选题)(2020江苏南通如东高级中学高一上阶段性测试,★★★)已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,那么a的值为( )
A.-1 B.1 C. D.0
二、填空题
11.(2019河南南阳一中高一上第一次月考,★★☆)用列举法表示集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}为 .
12.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示B= .
13.(2020山东济南外国语学校第一次阶段考,★★★)设a,b,c为非零实数,m=+++,则m的所有值组成的集合为 .
三、解答题
14.(2020江西赣县中学高一上月考,★★★)已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且集合M与N相等,求a,b的值.
15.(★★★)数集M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0).
(1)若3∈M,求集合M;
(2)集合M内的元素能否只有一个 请说明理由.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
基础过关练
1.D 在①中,因为“接近于0”没有一个确定的标准,所以接近于0的数的全体不能构成一个集合,故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合,故②正确;在③中,“高科技产品”没有确定的标准,所以未来世界的高科技产品不能构成一个集合,故③错误;在④中,不大于3的所有自然数能构成一个集合,故④正确.
2.B A中“聪明的学生”没有明确的标准,不具有确定性,他们的全体不能构成集合,故A错误;B中集合{a,b,c}与集合{c,b,a}的元素完全相同,因此它们是相等的集合,故B正确;C中方程x2-2x+1=0的解构成的集合应为{1},故C错误;D中0表示元素,{0}表示一个集合,故D错误.
3.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边两两不等,故选D.
4.答案 1
解析 易知方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2,由集合中元素的互异性知,方程的解集中只有1个元素.
5.解析 (1)根据集合中元素的互异性,可知即x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2是集合A中的元素,所以x=-2.
6.B 若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0 A.因此a=2或4.故选B.
7.B 由常见数集的意义知①②正确,③④错误.故选B.
8.C 令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈A;
令3k-1=-11,解得k=- Z,∴-11 A;
∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;
令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,
∴-34∈A.故选C.
9.B 当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;
当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;
当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;
当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.
所以3∈A,-1∈A.故选B.
10.解析 (1)由-3∈A且a2+1≥1,
可知a-3=-3或2a-1=-3,
当a-3=-3时,a=0;
当2a-1=-3时,a=-1.
经检验,0与-1都符合要求.
∴a=0或-1.
(2)易知a2+1≠0.
若集合A与集合B中元素相同,
则a-3=0或2a-1=0.
若a-3=0,则a=3,此时集合A包含的元素为0,5,10,与集合B包含的元素不相同.
若2a-1=0,则a=,此时集合A包含的元素为0,-,,与集合B包含的元素不相同.
故不存在实数a,x,使集合A与集合B中元素相同.
11.B A中{x|x=1}={1};B中{x|x2=1}={x|x=1或x=-1}={1,-1};D中{y|(y-1)2=0}={y|y=1}={1}.因此只有B中集合和另外三个集合不同,故选B.
12.B A中,集合M表示点(3,2),集合N表示点(2,3),故M与N不是同一集合;B中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C中,集合M表示点集,集合N表示数集,故M与N不是同一集合;D中,集合M表示数集,集合N表示点集,故M与N不是同一集合.
13.D 选项A中应是{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R};选项B的本意是用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C中“{}”与“全体”意思重复;选项D中的表示方法正确.
14.解析 (1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.
(3)B={x|x=|x|,x∈Z}.
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,列表如下:
ba+ba 1 2 3
4 5 6 7
5 6 7 8
则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M中共有4个元素,故选B.
2.C 1不满足-13.D 对于A,因为“较胖学生”的标准不确定,所以不满足集合中元素的确定性,故A错误;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于C,因为“很大自然数”的标准不确定,所以不满足集合中元素的确定性,故C错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的点,是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故D正确.故选D.
4.B 集合={(-1,1),(0,0)},故选B.
5.A 解方程组得其解是有序实数对,表示为{(1,1)},故选A.
6.A (1)中“很小的实数”没有明确的标准,不具有确定性,不能构成集合;(2)中集合{y|y=x2-1}表示函数y=x2-1中函数值y组成的集合,即{y|y≥-1},而集合{(x,y)|y=x2-1}表示抛物线y=x2-1上的点集,故不是同一集合;(3)中=,=0.5,根据集合中元素的互异性可知,这些数组成的集合中只有3个元素.故选A.
7.C A={x∈N|3≤x<6}={3,4,5},B={3,4},由x∈A且x B,知x=5.
8.A 由于=|x|,-=-x,并且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,至少有2个相等,所以最多含2个元素.故选A.
9.C 由条件2∈A可知,a=2或|a|=2或a-2=2,解得a=±2或a=4.由集合中元素的互异性可知a≠|a|,故a<0,所以满足条件的只有a=-2,故选C.
10.BC 当a2-1=0时,a2=1,解得a=±1,
若a=1,则得2x+1=0,解得x=-,符合题意;
若a=-1,则得1=0,此时无解,不符合题意.
当a2-1≠0时,依题意得,
Δ=(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1(舍去)或a=.
综上所述,a的值为1,,故选BC.
二、填空题
11.答案 {(0,2),(1,1)}
解析 由x∈N得,x取0,1,2,…,当x=0时,y=2∈N;当x=1时,y=1∈N;当x≥2时,y≤-2,不符合题意.故集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}={(0,2),(1,1)}.
12.答案 {4,9,16}
解析 ∵集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},
∴t=±2时,x=4;t=3时,x=9;t=4时,x=16,∴B={4,9,16}.
13.答案 {-4,0,4}
解析 因为a,b,c为非零实数,所以当a>0,b>0,c>0时,m=+++=1+1+1+1=4;当a,b,c中有一个小于0时,不妨设a<0,b>0,c>0,
此时m=+++=-1+1+1-1=0;当a,b,c中有两个小于0时,不妨设a<0,b<0,c>0,此时m=+++=-1-1+1+1=0;
当a<0,b<0,c<0时,m=+++=-1-1-1-1=-4,所以m的所有值组成的集合为{-4,0,4}.
三、解答题
14.解析 由集合M与N相等得或
解上面的方程组得或或
经检验,不符合集合中元素的互异性,
∴或
15.解析 (1)∵3∈M,∴=-2∈M,=-∈M,=∈M,而=3,∴M=.
(2)假设M中只有一个元素,则a=,化简得a2=-1,无实数解,所以M中不可能只有一个元素.第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
基础过关练
题组一 子集、真子集及其应用
1.已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C之间的关系是( )
A.A B C B.B A C
C.A B C D.A=B C
2.下列选项中,关系错误的是( )
A.1∈{0,1,2} B.{1} {0,1,2}
C.{0,1,2} {0,1,2} D.{0,1} {(0,1)}
3.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( )
4.已知集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=4k,k∈Z},则A与B之间的关系是( )
A.A=B B.B A C.A B D.B A
5.若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是( )
A.P=Q B.P Q C.P Q D.P∈Q
6.已知集合A {0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(2019河南郑州高一上期末)集合{x,y}的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.判断下列集合间的关系:
(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};
(2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}.
题组二 集合相等与空集及其应用
9.下列集合中,等于空集的是( )
A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1}
C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}
10.已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么( )
A.P M B.M P C.M=P D.M≠P
11.下列说法:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若 A,则A≠ .其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
13.设a,b∈R,集合{a,1}={0,a+b},则b-a= .
题组三 由集合间的关系确定参数问题
14.已知集合A={x|x-2<0},B={x|xA.a≤-2 B.a≥-2 C.a≤2 D.a≥2
15.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B A,则有序实数对(a,b)不能是( )
A.(-1,1) B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(1,1)
16.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m= .
17.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值构成的集合为 .
18.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
19.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},且N M,求实数a的值.
能力提升练
一、选择题
1.(2020湖南益阳箴言中学高一上期中,★★☆)下列四个集合中是空集的是( )
A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0} D.{x∈R|x2-x+1=0}
2.(2019天津南开中学高一上期中,★★☆)下列关系中正确的是( )
A.1∈{0,1} B.1 {0,1}
C.1 {0,1} D.{1}∈{0,1}
3.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,★★☆)集合A={-1,0,1},A的子集中含有元素0的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
4.(2020江苏师大附属实验学校高一上月考,★★☆)已知集合A={x|x-7<0,x∈N},则B=y∈N*,y∈A的子集的个数是( )
A.4 B.8 C.16 D.32
5.(2020广西南宁三中高一上月考,★★★)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.16 B.15 C.14 D.4
6.(2020江西临川一中高一上月考,★★★)设集合A=x+,k∈Z,B=x,k∈Z,则集合A和集合B的关系为( )
A.A=B B.B A C.A B D.A B
7.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★★)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,则实数m的取值范围是( )
A.-1≤m≤3 B.-3≤m≤2
C.m≥2 D.m≤3
二、填空题
8.(2020河南郑州高一上期末,★★☆)已知集合M满足{3,4} M {3,4,5,6},则满足条件的集合M有 个.
9.(2019上海浦东新区高一上期末,★★☆)若整数x,y能使{2x,x+y}={7,4}成立,则xy= .
10.(2019湖北武昌实验中学高一上第一次检测,★★☆)方程x2-2x-8=0的解集为A,方程ax-2=0的解集为B,若B A,则实数a的取值集合为 .
11.(2019四川成都外国语学校高一上期中,★★★)已知集合A={3,4,4m-4},集合B={3,m2},若B A,则实数m= .
三、解答题
12.(2019河北衡水中学月考,★★☆)已知A={x|-1(1)若A B,求实数a的取值范围;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
13.(★★☆)已知集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax-b=0},若 B A,求实数a,b的值.
14.(2020湖北长阳一中高一上月考,★★★)设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2-4x+a=0,a为常数},若B A,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
基础过关练
1.B 集合A,B,C之间的关系如图.
故选B.
2.D 由1是集合{0,1,2}中的元素,知A中关系正确;因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集,也是子集,所以B中关系正确;因为任何集合都是它本身的子集,所以C中关系正确;因为集合{0,1}表示数集,它有两个元素,而集合{(0,1)}表示点集,它只有一个元素,所以D中关系错误.故选D.
3.B 由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
4.D 用列举法表示集合A和B,由A={…,-4,-2,0,2,4,…},知A中的元素是2的整数倍,由B={…,-8,-4,0,4,8,…},知B中的元素是4的整数倍,显然B是A的真子集,故选D.
5.C 在数轴上将集合P,Q表示出来,如图所示.
由图知C正确.
6.A 集合{0,1,2}的子集为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中至少含有一个偶数的集合有6个.
7.D 集合{x,y}的子集有 ,{x},{y},{x,y},共4个,故选D.
8.解析 (1)因为A={x|x-3>2}={x|x>5},B={x|2x-5≥0}=x,所以可利用数轴判断A,B的关系,如图所示.
由图可知,A B.
(2)因为A={x∈Z|-1≤x<3}={-1,0,1,2},B={x|x=|y|,y∈A},所以B={0,1,2},所以B A.
9.D 选项A中,{x∈R|x2-1=0}={-1,1},不是空集;易知选项B中的集合不是空集;选项C中,{(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},不是空集;选项D中,不存在满足x>6且x<1的实数,因此选项D中的集合是空集,故选D.
10.C ∵∴∴M=P.
11.B ①错误,∵空集是任何集合的子集,∴ ;②错误,如 只有一个子集,为 ;③错误,空集不是 的真子集;④正确,∵空集是任何非空集合的真子集,∴若 A,则A≠ .故选B.
12.答案 A=B
解析 由题得,A=
xx=(2k+1),k∈Z=…,-,-,-,,,,…,
B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
13.答案 1
解析 由集合{a,1}={0,a+b}得a=0,且a+b=1,解得a=0,b=1,因此b-a=1.
14.D 由题易得,集合A={x|x<2},因为A B,所以a≥2,故选D.
15.B 当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;
当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;
当a=1,b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合.故选B.
16.答案 4
解析 ∵B A,B={3,4},A={-1,3,m},
∴4∈A,∴m=4.
17.答案 {0,1,-1}
解析 ∵集合A有且仅有2个子集,∴A中仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根或有两个相等的实数根.
当a=0时,方程化为2x=0,∴x=0,此时A={0},符合题意;
当a≠0时,Δ=22-4·a·a=0,即a2=1,∴a=±1,此时A={-1}或A={1},符合题意.
∴a=0或a=±1,∴a的取值构成的集合为{0,1,-1}.
18.解析 当B= 时,2a>a+3,即a>3;
当B≠ 时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或
解得a<-4或2综上可得,实数a的取值范围为a<-4或a>2.
19.解析 由x2+x-6=0得x=2或x=-3,因此M={2,-3}.
当a=2时,集合N={2},此时N M;
当a=-3时,集合N={2,-3},此时N=M;
当a≠2,且a≠-3时,集合N={2,a},此时a M,N M.
故所求实数a的值为2或-3.
能力提升练
一、选择题
1.D 选项A,{x|x=0}={0},不是空集;选项B,{(x,y)|x=0,y=0}={(0,0)},不是空集;选项C,{x|x2≤0}={x|x=0},不是空集;选项D,因为Δ=(-1)2-4<0,所以方程x2-x+1=0无解,所以{x|x2-x+1=0}= .
2.A 选项A中关系正确;选项B中元素1属于集合{0,1},关系错误;选项C中元素与集合的关系,不能用符号“ ”表示,关系错误;选项D中集合与集合的关系,不能用符号“∈”表示,关系错误.故选A.
3.B 集合A中含有元素0的子集个数等于{-1,1}的子集个数,由{-1,1}的子集有 ,{-1},{1},{-1,1},得符合题意的A的子集为{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},共4个.故选B.
4.C A={x|x-7<0,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6},因为y∈A,且∈N*,所以y∈{1,2,3,6},即B={1,2,3,6},故其子集的个数为24=16.
5.B A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},
B={x|0因为A C B,所以C中一定有1,2两个元素,只需求出集合{3,4,5,6}的非空子集的数量即可,因此有24-1=15个,故选B.
6.B ∵x=+=,
∴A=x,k∈Z,
∵x=k-==,
∴B=x,k∈Z,
∴B A.故选B.
7.D 依题意得,A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又B A,
所以当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2,符合题意;
当B≠ 时,m+1≤2m-1,解得m≥2,要想符合题意,得解得2≤m≤3.
综上所述,m≤3,故选D.
二、填空题
8.答案 4
解析 依题意知,3、4一定是M中的元素,将M中的元素3、4去掉,得到集合记为M',则M' {5,6}.这样的M'有4个,从而集合M有4个.
9.答案 10
解析 ∵{2x,x+y}={7,4},且x,y为整数,∴解得∴xy=10.
10.答案
解析 由方程x2-2x-8=0得A={-2,4}.当a=0时,B= ,符合题意;当a≠0时,B≠ ,此时-2∈B或4∈B,因此-2a-2=0或4a-2=0,解得a=-1或a=.因此实数a的取值集合为.
11.答案 -2
解析 由B A得m2=4或m2=4m-4,
解得m=±2.
当m=2时,A={3,4,4},不符合题意;
当m=-2时,A={3,4,-12},符合题意.
因此,m的值为-2.
三、解答题
12.解析 (1)∵A={x|-10,则B={x|1-a2,
(2)①当B= 时,a≤0,∴B A.②当B≠ 时,a>0,∵A={x|-113.解析 由题意得,A={x|x2-8x+15=0}={3,5},又知 B A,所以可得B={3}或B={5}.
当B={3}时,可得
解得
当B={5}时,可得
解得
综上,得或
14.解析 依题意得,A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.
当集合B= 时,B A,不符合题意,所以B≠ ,即Δ=16-4a≥0,即a≤4.
当a=4时,B={x|x2-4x+a=0}={2} A,不符合题意.
当a<4时,方程x2-4x+a=0有两个不同的实根,且由根与系数的关系知,1、2不可能同时为方程x2-4x+a=0的两个根(否则应有1+2=4且1×2=a同时成立,这显然不可能),故a<4符合题意.
所以实数a的取值范围是{a|a<-4}.第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
基础过关练
题组一 交集与并集及其应用
1.(2020山东枣庄高一上期末)已知集合A={x|x>2},B={x|1
A.{x|x>2} B.{x|x>1}
C.{x|12.(2019天津和平高一上期中质检)设集合A={1,2,3,4},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∪B等于( )
A.{1,3} B.{2,4}
C.{2,4,5,7} D.{1,2,3,4,5,7}
3.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考)已知集合M={x|-3A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}
C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}
5.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 .
题组二 全集与补集及其应用
6.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM等于( )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
7.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测)已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19},集合A={2,7,11},集合B={5,11,13},则( UA)∩B=( )
A.{5} B.{13} C.{5,13} D.{11,13}
8.设全集U=R,集合A={x|1A.{x|1≤x<2} B.{x|x<2}
C.{x|x≥5} D.{x|19.设集合A={0,1,2,3,4},B={x|x3-4x2+3x=0},则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{1,3,4} B.{0,2}
C.{2,4} D.{0,1,2,3,4}
10.设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则 Z(P∪M)等于( )
A.M B.P C.Q D.
11.已知S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形}.下列式子不成立的是( )
A.B∩C={x|x是正方形}
B. AB={x|x是邻边不相等的平行四边形}
C. SA={x|x是梯形}
D.A=B∪C
12.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2(1)A∩B;
(2)( UA)∪B.
题组三 集合运算的综合运用
13.(2019湖北武昌实验中学高一上月考)已知集合M={1,a2},P={-1,-a},若M∪P有三个元素,则M∩P=( )
A.{0,1} B.{-1,0} C.{0} D.{-1}
14.(2020陕西西安长安一中高一上月考)若U为全集,则下面说法中正确的个数是( )
①若A∩B= ,则( UA)∪( UB)=U;
②若A∪B=U,则( UA)∩( UB)= ;
③若A∪B= ,则A=B= .
A.0 B.1 C.2 D.3
15.(2019山东日照一中高一上期中联考)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={4,7},求:A∩B,A∪B,( UA)∩( UB),A∩( UB),( UA)∪B.
能力提升练
一、选择题
1.(2020河南省实验中学高一上期中,★★☆)已知集合A={-2,0,1,3},B=x
A.4 B.8 C.16 D.32
2.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期末联考,★★☆)满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合 U(A∩B)=( )
A.{1,2,3,4} B.{1,2,3,5}
C.{1,2,5} D.{1,2,3,4,5}
4.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★☆)设A={x|y=},B={y|y=},则A∩B=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}
C.{x|x≥2} D.
5.(2019河北正定中学高一上阶段测试,★★☆)设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M∩N= ,则k的取值范围是( )
A.{k|k<-1} B.{k|k≥-1}
C.{k|k>-1} D.{k|k≤-1}
6.(2020山东济南外国语学校第一次阶段考,★★★)设U={1,2,3,4,5},且A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩( UB)={1,5},则下列结论正确的是( )
A.3∈A,3∈B B.2∈ UA,3∈B
C.3∈ UB,3∈A D.3∈ UA,3∈ UB
7.(2020广东东莞高一上期末教学质量,★★★)东莞某中学高一(1)班组织研学活动,分别是11月16日参观“大国重器”散裂中子源中心和11月17日参观科技强企华为松山湖总部,两个活动各有30个参加名额的限制.为公平起见,老师组织全班50名学生进行网上报名,经过同学们激烈抢报,活动所有名额都被抢完,且有12名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额,则有( )名学生遗憾地未能抢到任何一个活动的参加名额.( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
8.(★★☆)已知集合A={x|m-49.(★★☆)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若( UA)∩B= ,则m的值是 .
10.(2020广西南宁三中高一上月考,★★★)某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知有27人参加数学小组,有16人参加物理小组,有14人参加化学小组,同时参加数学和物理小组的有7人,同时参加物理和化学小组的有5人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
三、解答题
11.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,★★☆)已知集合A={x|x2-5x<0},B={x|m+1≤x≤3m-1}.
(1)当m=2时,求 R(A∩B);
(2)如果A∪B=A,求实数m的取值范围.
12.(2020山东潍坊高一上期末,★★☆)已知集合A={x|3≤x≤6},B={x|a≤x≤8}.
(1)在①a=7,②a=5,③a=4这三个条件中选择一个条件,使得A∩B≠ ,并求A∩B;
(2)已知A∪B={x|3≤x≤8},求实数a的取值范围.
13.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,★★★)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-4≤x≤3m+2}.
(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
基础过关练
1.D 画出数轴,
由数轴知A∩B={x|22.D 依题意得B={1,3,5,7},因此A∪B={1,2,3,4,5,7},故选D.
3.B 由题意可得,集合M中一定包含a1,a2,一定不包含a3,所以满足条件的集合M有{a1,a2},{a1,a2,a4},共2个.
4.C M∩N={0,-1,-2},故选C.
5.答案 {a|a≤1}
解析 A={x|x≤1},B={x|x≥a},如图所示,要使A∪B=R,只需a≤1.
6.C ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},
∴ UM={3,5,6}.
7.C 由条件知 UA={3,5,13,17,19},则( UA)∩B={5,13},故选C.
8.D 由已知可得, UB={x|x<2或x≥5},所以A∩( UB)={x|19.C 依题意得B={0,1,3},由题中Venn图阴影部分中的元素在集合A中但不在集合B中,即在集合A中去掉集合B中的元素,可得所求的集合为{2,4},故选C.
10.C 集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集合,整数集中去掉被3除余0和1的,剩余的只有余数为2的,即集合Q.
11.D 因为平行四边形的邻边不一定相等也不一定互相垂直,所以D中式子不成立.
12.解析 (1)在数轴中画出集合A、B,如图所示,
由图可知,A∩B={x|-2(2)由题意得 UA={x|x≤-2或3≤x≤4}.
在数轴中画出 UA和集合B,如图所示,
由图可知,( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}.
13.C 由M∪P有三个元素得a2=-a,解得a=0或a=-1.当a=-1时,a2=1,M={1,1},与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;当a=0时,M={1,0},P={-1,0},符合题意,此时M∩P={0}.故选C.
14.D ①中,若A∩B= ,则( UA)∪( UB)= U(A∩B)=U,故①中说法正确;②中,若A∪B=U,则( UA)∩( UB)= U(A∪B)= ,故②中说法正确;③中,若A∪B= ,则只有A=B= ,故③中说法正确.
15.解析 依题意得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7},
因为 UA={1,2,6,7}, UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7}.
能力提升练
一、选择题
1.B 依题意得,A∩B={-2,0,1},所以它的子集的个数为23=8.
2.C 由M∪{1}={1,2,3}知,2、3一定是集合M中元素,1可能是M中的元素,也可能不是,因此,M={2,3},或M={1,2,3},故M有2个,故选C.
3.C ∵A={1,2,3,4},B={3,4,5},∴U=A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},
∴ U(A∩B)={1,2,5},故选C.
4.C ∵A={x|y=}={x|x≥2},B={y|y=}={y|y≥0},
∴A∩B={x|x≥2}.故选C.
5.A 由题知N={x|x-k≤0}={x|x≤k},画数轴如图所示,
由图得k<-1,故选A.
6.C 已知全集U={1,2,3,4,5},且A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩( UB)={1,5},作出Venn图如图所示,
可得A={2,3},B={2,4},则 UB={1,3,5},所以3∈ UB,3∈A,故选C.
7.B 设抢到两个活动名额的学生分别构成集合A、B,依题意得,card(A)=30,card(B)=30,card(A∩B)=12.
∴card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=30+30-12=48.
因此有50-48=2人未抢到任何一个活动的参加名额.故选B.
二、填空题
8.答案 {m|2≤m≤3}
解析 ∵A∩B=B,∴B A,∵A={x|m-4∴解得2≤m≤3,
即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
9.答案 1或2
解析 由题意得A={-2,-1},
由( UA)∩B= ,得B A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠ ,
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,但这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知,m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
10.答案 7
解析 解法一:设同时参加数学和化学小组的有x人,根据题意画出Venn图如图所示,由图可得,20-x+7+4+5+x+9-x=38,解得x=7,即同时参加数学和化学小组的有7人.
解法二:由题知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组,设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,
则card(A∩B∩C)=0,card(A∩B)=7,card(B∩C)=5,由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)知,38=27+16+14-7-5-card(A∩C),
故card(A∩C)=7,即同时参加数学和化学小组的有7人.
三、解答题
11.解析 (1)集合A={x|x2-5x<0}={x|0当m=2时,B={x|3≤x≤5},所以A∩B={x|3≤x<5},
故 R(A∩B)={x|x<3或x≥5}.
(2)因为A∪B=A,所以B A,
①当B= 时,m+1>3m-1,解得m<1.
②当B≠ 时,
解得1≤m<2,
综合①②得,m<2,
故实数m的取值范围为{m|m<2}.
12.解析 (1)由A∩B≠ 得,a≤6,故不能选择条件①,
若选择条件②a=5,则B={x|5≤x≤8},
此时,A∩B={x|5≤x≤6}.
若选择条件③a=4,则B={x|4≤x≤8}.
此时,A∩B={x|4≤x≤6}.
(2)依题意可得数轴,如图,
所以a的取值范围为3≤a≤6.
13.解析 (1)∵A∪B=B,∴A B.
画数轴得,
∴ 1≤m≤2.
故m的取值范围是{m|1≤m≤2}.
(2)∵A∩B=B,∴B A.
①当B= 时,m-4>3m+2,解得m<-3,符合题意;
②当B≠ 时,由B A得,
此时不等式组无解.
综上所述,实数m的取值范围为{m|m<-3}.第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1综合拔高练
五年高考练
考点1 集合的综合运算
1.(2019课标Ⅲ,1,5分,★☆☆)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}
2.(2019天津,1,5分,★☆☆)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
3.(2019浙江,1,5分,★☆☆)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则( UA)∩B=( )
A.{-1} B.{0,1}
C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}
4.(2019课标Ⅰ,2,5分,★☆☆)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩ UA=( )
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
5.(2018课标Ⅲ,1,5分,★☆☆)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
6.(2018北京,1,5分,★☆☆)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}
7.(2018江苏,1,5分,★☆☆)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= .
考点2 集合中参数问题的解法
8.(2017课标Ⅱ,2,5分,★☆☆)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3} B.{1,0}
C.{1,3} D.{1,5}
9.(2017江苏,1,5分,★☆☆)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 .
强基计划
10.(2018浙江大学自招数学题,1,★★☆)设集合A={2,0,1,3},集合B={x|-x∈A,2-x2 A},则集合B中所有元素的和为 .
三年模拟练
一、选择题
1.(2019广东石门中学高一上第一次段考,★★☆)已知集合A={1,2,a-1},B={0,3,a2+1},若A∩B={2},则实数a的值为( )
A.±1 B.-1 C.1 D.0
2.(2019山西大同一中高一上第一次月考,★★☆)设U={1,3,5,7,9},A、B是U的子集,若A∩B={3},( UA)∩B={7},( UA)∩( UB)={1,9},则下列结论正确的是( )
A.5 A,5 B B.5 A,5∈B
C.5∈A,5 B D.5∈A,5∈B
3.(多选题)(★★☆)设A、B、I均为非空集合,且满足A B I,则下列各式中正确的是( )
A.( IA)∪B=I B.( IA)∪( IB)=I
C.A∩( IB)= D.( IA)∩( IB)= IB
二、填空题
4.(2019山西太原五中高一上第一次月考,★★☆)设全集I={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2}, IA={5},则a= .
5.(★★★)已知集合A、B、U,满足A U,B U,且A∪B=U时,称集合对(A,B)为集合U的最优子集对.若U={1,2},则集合U的最优子集对的对数为 .
三、解答题
6.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,★★☆)已知集合A={x|x≥1},集合B={x|3-a≤x≤3+a,a∈R}.
(1)当a=4时,求A∪B;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1综合拔高练
五年高考练
1.A 由题意可知B={x|-1≤x≤1},又∵A={-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0,1},故选A.
2.D 由题意可知A∩C={1,2},则(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.
3.A ∵ UA={-1,3},∴( UA)∩B={-1},故选A.
4.C 由题意知 UA={1,6,7},又B={2,3,6,7},∴B∩ UA={6,7},故选C.
5.C 因为A={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.
6.A ∵A={x||x|<2}={x|-27.答案 {1,8}
解析 由题意得,A∩B={1,8}.
8.C ∵A∩B={1},∴1∈B,
∴1-4+m=0,∴m=3.
由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,
∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.
9.答案 1
解析 由题意知1∈B,因为a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.
10.答案 -5
解析 先确定集合A中元素的相反数组成的集合,易知B {0,-1,-2,-3}.当x=-2时,2-x2=-2,当x=-3时,2-x2=-7,此时2-x2 A;而当x=0时,2-x2=2,当x=-1时,2-x2=1,此时2-x2∈A.因此,根据B的定义可知B={-2,-3},所以集合B中所有元素的和为-5.
三年模拟练
一、选择题
1.B 由A∩B={2}得2∈B,从而a2+1=2,解得a=±1.当a=1时,A={1,2,0},B={0,3,2},A∩B={0,2},不符合题意;当a=-1时,A={1,2,-2},B={0,3,2},A∩B={2},符合题意.故选B.
2.C 依题意作出Venn图如图所示,
由图知5∈A,5 B,故选C.
3.ACD 由A、B、I满足A B I,得如图.
根据图可判断出A、C、D都是正确的;
而( IA)∪( IB)= IA,故B错误.故选ACD.
二、填空题
4.答案 2
解析 由题意得|2a-1|=3,且a2+2a-3=5,解得a=2,故答案为2.
5.答案 9
解析 当A= 时,B={1,2},此时有1对;当A={1}时,B可以为{1,2}或{2},此时有2对;当A={2}时,B可以为{1,2}或{1},此时有2对;当A={1,2}时,B可以为{1,2}或{2}或{1}或 ,此时有4对.因此共有9对.
三、解答题
6.解析 (1)当a=4时,B={x|-1≤x≤7},
又A={x|x≥1},因此A∪B={x|x≥-1}.
(2)若B= ,则3-a>3+a,即a<0,符合题意;
若B≠ ,则 0≤a≤2.
又{a|a<0}∪{a|0≤a≤2}={a|a≤2}.
所以实数a的取值范围是{a|a≤2}.第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
基础过关练
题组一 函数的概念及其应用
1.对于函数f:A→B,若a∈A,则下列说法错误的是( )
A.f(a)∈B B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)=f(b),则a=b D.若a=b,则f(a)=f(b)
2.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的是( )
3.已知函数f(x)的定义域为[-3,4],在同一平面直角坐标系上,函数f(x)的图象与直线x=3的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
4.设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列各图中能表示集合A到集合B的函数图象的是( )
题组二 函数的定义域与区间表示
5.函数f(x)=+的定义域为( )
A. B.[-2,+∞)
C.∪ D.
6.周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是( )
A.(a,+∞) B.
C. D.
7.已知f(x)的定义域为[-2,1],则函数f(3x-1)的定义域为( )
A.(-7,2) B.
C.[-7,2] D.
8.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
9.下面四组函数中, f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=()2 B.f(x)=2x,g(x)=
C.f(x)=x,g(x)= D.f(x)=x,g(x)=
10.(2a,3a-1]为一确定的区间,则a的取值范围是 .
11.(2020广东东莞高一上期末教学质量)函数y=+的定义域是 .(结果写成集合)
题组三 函数值及函数的值域
12.若函数f(x)与g(x)分别由下表给出,则f(g(2))=( )
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2020湖南雅礼浏阳二中高一上月考)设函数f(x)=,则当f(x)=2时,x的取值为( )
A.-4 B.4 C.-10 D.10
14.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正实数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是( )
A.1 B.0 C.-1 D.2
15.已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(3)=a,则f(12)= (用a表示).
16.*试求下列函数的定义域与值域.
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=x2-2x+2;
(3)f(x)=;
(4)y=x-.
能力提升练
一、选择题
1.(2020广西南宁三中高一上月考,★★☆)下列四组函数,表示同一函数的是( )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=
D.f(x)=|x+1|,g(x)=
2.(2019福建莆田一中高一上月考,★★☆)已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象如下图的曲线ABC所示,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(1))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
3.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,★★☆)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则y=的定义域为( )
A.[-1,0)∪(0,1] B.[-1,0)∪(0,3]
C.(0,3] D.[-1,0)
4.(2019山东泰安一中高一上检测,★★☆)函数f(x)=的定义域为( )
A.[3,+∞) B.[3,4)∪(4,+∞)
C.(3,+∞) D.[3,4)
5.(2020河南洛阳一高高一上月考,★★☆)已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为( )
A.[-2,0] B.[-1,3]
C., D.-,
6.(2020江苏如东高级中学高一上阶段性测试,★★☆)函数f(x)=x-的值域为( )
A.R B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.[0,+∞)
7.(2020江西临川一中高一上月考,★★☆)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=,则g(x)的定义域为( )
A. B.(-1,+∞)
C.∪(0,3) D.
8.(2020甘肃兰州一中高一月考,★★★)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.[0,8) B.(8,+∞)
C.(0,8) D.(-∞,0)∪(8,+∞)
二、填空题
9.(★★☆)函数f(x)=+的定义域为 .
10.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★★)若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a= .
三、解答题
11.(2020天津六校高一上期中联考,★★☆)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,集合B={x|1(1)求( RA)∩B;
(2)若A∪C=A,求实数a的取值范围.
12.(2018河北正定中学高一期中,★★☆)已知函数f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0), f(1)的值;
(2)求证:f +f(x)=0(x≠0);
(3)若f(2)=m, f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.
13.(★★☆)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)求证: f(x)+f是定值;
(3)求f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 020)+f 的值.
14.(2019广东深圳中学高一上期中,★★☆)(1)求函数f(x)=+的定义域;
(2)*求函数f(x)=的值域.
15.(2019广东实验中学高一上第一次段考,★★★)函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
基础过关练
1.C 由函数的概念知,A、B、D中说法正确;在C中,当函数值相同时,自变量不一定相同,故选C.
2.D 由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变量x,都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中当x=0时,有两个y与之对应;B中当x>0时,有两个y与之对应;C中当x=0时,有两个y与之对应;D中对任意x都只有唯一的y与之对应,只有D满足.故选D.
3.B ∵3∈[-3,4],且由函数的定义知f(3)唯一确定,∴函数f(x)的图象与直线x=3只有一个交点(3, f(3)).
4.D 在选项A中,图象表示集合A={x|0≤x≤2}到集合B={y|0≤y≤2}的函数,因此A不符合题意;在选项B中,图象表示集合A={x|0≤x≤2}到集合B={y|0≤y≤2}的函数,因此B不符合题意;在选项C中,当0≤x<2时,任意一个x都有两个y与之对应,图象不表示函数,因此C不符合题意;在选项D中,图象表示集合A={x|0≤x≤2}到集合B={y|1≤y≤2}的函数,因此D符合题意,故选D.
5.C 依题意得解得
即x≥-2,且x≠,故选C.
6.D 依题意知,矩形的一边长为x,则该边的邻边长为=-x,由得07.D 设3x-1=t,由函数f(x)的定义域为[-2,1],得函数f(t)的定义域为[-2,1],即-2≤t≤1,在函数f(3x-1)中t=3x-1,因此-2≤3x-1≤1,解得-≤x≤,故选D.
8.C 当m=0时,分母为4x+3,此时定义域为,故m=0不符合题意;当m≠0时,由题意,得解得m>.综上可知,实数m的取值范围是.
9.C 函数f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),所以A不符合题意; f(x)=2x的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠0},所以B不符合题意; f(x)=x的定义域为R,g(x)=的定义域为R,且g(x)==x,所以C符合题意;函数f(x)=x的定义域为R,g(x)=的定义域为R,但g(x)==|x|,对应关系不同,所以D不符合题意.故选C.
10.答案 (1,+∞)
解析 由(2a,3a-1]为一确定的区间知2a<3a-1,解得a>1,因此a的取值范围是(1,+∞).
11.答案 {x|x≤5且x≠1}
解析 依题意得
∴x≤5,且x≠1.
因此,函数的定义域为{x|x≤5,且x≠1}.
12.B 由题中表格知g(2)=1,因此f(g(2))=f(1)=2,故选B.
13.C f(x)=2,即=2,解得x=-10.
14.A ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,
∴f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1,∴a3-2a2+a=0,
∴a=1或a=0(舍去).故选A.
15.答案 4a
解析 由f(x+y)=f(x)+f(y)知, f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=4a.
16.解析 (1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=(-1-1)2+1=5,同理可得f(0)=2, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
(3)函数的定义域为{x|x≠1},因为f(x)===5+,所以函数的值域为(-∞,5)∪(5,+∞).
(4)要使函数有意义,需满足x+1≥0,
即x≥-1,故函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是y=t2-1-t=-,
又t≥0,故y≥-,
所以函数的值域为.
能力提升练
一、选择题
1.D 对于A选项,函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为R,但f(x)==|x|≠g(x),所以两个函数不是同一函数;
对于B选项,函数y=f(x)的定义域为R,函数y=g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不相同,所以两个函数不是同一函数;
对于C选项,两个函数的解析式不相同,所以两个函数不是同一函数;
对于D选项,函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为R,且f(x)=|x+1|=所以两个函数为同一函数.故选D.
2.C 由题中表格知f(1)=2,由函数y=g(x)的图象知g(f(1))=g(2)=1.故选C.
3.D 依题意得,-1≤2x+1≤1,且x≠0,解得-1≤x≤0,且x≠0,即-1≤x<0,故选D.
4.B 要使函数f(x)有意义,
需满足即
因此函数f(x)的定义域为{x|x≥3,且x≠4},故选B.
5.D 函数f(x-2)的定义域为[0,2],则-2≤x-2≤0,
∴-2≤2x-1≤0,解得-≤x≤,
故选D.
6.C 设t=,则x=2-t2,t≥0.
∴f(x)=y=2-t2-t=-t+2+.
作出函数y=-t+2+的图象,如图所示.
又t≥0,
∴取抛物线在y轴右侧部分,∵当t=0时,y=2,∴y≤2,
因此函数f(x)的值域为(-∞,2],故选C.
7.A 要使函数g(x)=有意义,需满足即
∴-因此函数g(x)的定义域为,故选A.
8.A ∵函数f(x)的定义域为R,∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.
①m=0时,2>0恒成立,满足题意;
②m≠0时,解得0综上得,实数m的取值范围是[0,8),故选A.
二、填空题
9. 答案 [-2,2)
解析 由y=+有意义得,4-x2≥0且x≠2,解得-2≤x<2,因此函数f(x)的定义域为[-2,2).
10.答案 7
解析 因为A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,所以f(0)=1, f(1)=4, f(3)=10, f(m)=3m+1,
当a4=10时,a=± 不满足a∈N*,
当a2+3a=10时,a=2或a=-5(舍去),故a=2,
因此f(m)=3m+1=a4=16,解得m=5,从而m+a=7,故答案为7.
三、解答题
11.解析 (1)由得2≤x<6,
∴A={x|2≤x<6},
因此 RA={x|x<2或x≥6},
∴( RA)∩B={x|x<2或x≥6}∩{x|1(2)由已知得C A.
①若C= ,则a≥2a+1,解得a≤-1,符合题意.
②若C≠ ,则
解得2≤a≤,
综上,实数a的取值范围为
a.
12.解析 (1)令a=b=0,则f(0×0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.令a=b=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
(2)证明:∵f(1)=f=f(x)+f(x≠0),
又f(1)=0,∴f(x)+f=0(x≠0).
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2m, f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2n,
∴f(36)=f(4×9)=f(4)+f(9)=2m+2n.
13.解析 (1)∵f(x)=,
∴f(2)+f=+=1,
f(3)+f=+=1.
(2)证明: f(x)+f=+=+==1.
(3)由(2)知f(x)+f=1,
∴f(2)+f=1, f(3)+f=1,
f(4)+f=1,……, f(2 020)+f=1,
∴f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 020)+f=2 019.
14.解析 (1)要使函数f(x)有意义,则需满足解得x≥1,且x≠2,
∴函数f(x)的定义域为[1,2)∪(2,+∞).
(2)由题得f(x)==-1+,
∵1+x2≥1,∴0<≤1,
∴0<≤3,∴-1<-1+≤2,
即函数f(x)=的值域为(-1,2].
15.解析 (1)当1-a2=0时,a=±1.
当a=1时, f(x)=,定义域为R,不符合题意;当a=-1时, f(x)=,定义域为[-1,+∞),不符合题意.
当1-a2≠0时,由函数f(x)的定义域为[-2,1]知,y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6的大致图象如图所示,
因此,
解得a=2,故实数a的值为2.
(2)由(1)知当a=1时, f(x)=,定义域为R,符合题意;当1-a2≠0时,由f(x)的定义域为R,可得y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0恒成立,即函数y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数,其图象开口向上,且与x轴最多有一个交点,所以只需满足1-a2>0且Δ=9(1-a)2-4(1-a2)·6≤0即可.由1-a2>0可得-11.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
基础过关练
题组一 函数的表示法
1.某天上学路上,小明一开始慢悠悠地走,中途又进甜品店买了杯饮料,在店内喝完饮料出来后发现快要迟到了,于是一路狂奔,终于在规定的时间内进了校门.若图中的纵轴表示小明与校门口的距离,横轴表示出发后的时间,下面四个图形中,较符合小明这次上学经历的是( )
2.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:
每间客房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使每天的收入最高,每间房的定价应为( )
A.100元 B.90元 C.80元 D.60元
3.观察下表:
x -3 -2 -1 1 2 3
f(x) 5 1 -1 -3 3 5
g(x) 1 4 2 3 -2 -4
则f[f(-1)-g(3)]=( )
A.-4 B.-3 C.3 D.5
4.函数y=的大致图象是( )
5.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则f[f(3)]的值等于 .
6.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式,并指明这个函数的定义域.
题组二 函数解析式的求法
7.(2019河北武邑高一上第一次段考)已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=2x+3
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=2x-3
8.(2018河南河大附中高一上期中统考)已知f(2x+1)=4x2,则f(-3)=( )
A.36 B.16 C.4 D.-16
9.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=3x+2
C.f(x)=3x-2 D.f(x)=2x-3
10.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)的解析式是 .
11.已知f=x2+,则f(3)= .
12.已知二次函数y=f(x)的图象过点(0,3),其图象的对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个实根的差为2,求f(x)的解析式.
13.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+,其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.求函数y关于x的解析式.
题组三 分段函数
14.已知函数f(x)=则f[f(1)]=( )
A.- B.2 C.4 D.11
15.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考)已知f(x)=则f(2)为( )
A.2 B.3 C.5 D.4
16.已知函数f(x)=则下列函数图象正确的是( )
17.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.缺水每年给我国工业造成的损失达2 000亿元,给我国农业造成的损失达1 500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定当每季度每人用水量不超过5立方米时,每立方米水费1.2元;若超过5立方米而不超过6立方米,则超过部分的水费加收200%;若超过6立方米而不超过7立方米,则超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)立方米,那么本季度他应交的水费y(单位:元)与用水量x(单位:立方米)的函数关系式为 .
18.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C,D绕边界运动到A(点P不与A、B重合),用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.
19.(2019天津南开高一上期末)已知函数f(x)=
(1)求f(-4)、 f(3)、 f[f(-2)]的值;
(2)若f(a)=10,求a的值.
题组四 映射*
20.下列各个对应中,构成映射的是( )
21.下列对应是A到B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*, f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1,-2}, f:x→(-1)x
C.A=Z,B=Z, f:x→
D.A=N*,B=R, f:x→x的平方根
22.映射f:A→B,在f的作用下,A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是( )
A.(-1,2) B.(0,3)
C.(1,2) D.(-1,3)
能力提升练
一、选择题
1.(2020河北石家庄二中高一上月考,★★☆)若函数f(x-1)=2x-5,且f(2a-1)=6,则a等于( )
A. B. C. D.
2.(2019广东广州二中高一上第一次段考,★★☆)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
3.(2019吉林五地六校高一上期末,★★☆)已知函数f(+2)=x+4+5,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+1 B.f(x)=x2+1(x≥2)
C.f(x)=x2 D.f(x)=x2(x≥2)
4.(★★★)已知函数f(x)满足2f(x)=xf+,则f(3)=( )
A.3 B. C. D.
5.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★★)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正负不确定
二、填空题
6.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)已知f(2x+1)=6x+5,则f(x)= .
7.(2019四川成都树德中学高一教学质量监测,★★☆)已知函数f(2x-1)=4x+3,若f(t)=11,则t= .
8.(2020重庆高一上月考,★★☆)函数f(x)=若f(x)=12,则x= .
9.(2020四川成都高一上期末调研,★★★)汽车从A地出发直达B地,途中经过C地.假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为 km.
三、解答题
10.(2020江西临川一中高一上月考,★★☆)已知函数f(+2)=3x++2,函数g(x)=1-2x+.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出其定义域;
(2)求函数g(x)的值域.
11.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期末联考,★★★)学校某研究性学习小组对学生上课注意力集中情况进行调查研究,发现在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系如下:当x∈(0,12]时,图象是开口向下的二次函数图象的一部分,顶点是A(10,80),且过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数关系式;
(2)教师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳 请说明理由.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
基础过关练
1.C 由于小明一开始慢悠悠地走,速度较慢,故小明与校门口的距离减小得较慢;中途又进甜品店买了杯饮料,并在店内喝完饮料,在这段时间里小明与校门口的距离不变;出来发现快要迟到了,于是一路狂奔,在这段时间里小明与校门口的距离减小得较快.结合所给的选项,故选C.
2.C 每间客房定价、住房率与收入如下表所示,可知选C.
每间客 房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
收入 6 500元 6 750元 6 800元 5 700元
3.D 由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f[f(-1)-g(3)]=f[-1-(-4)]=f(3)=5,故选D.
4.A ∵y===1-,∴将y=-的图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再将其向上平移1个单位长度即可得到所求图象.故选A.
5.答案 2
解析 由图象知f(1)=2, f(3)=1,
∴f[f(3)]=f(1)=2.
6.解析 由题意可知该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为x,
∴此盒子的体积V=x(a-2x)2,
其中自变量x应满足即0∴此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V=x(a-2x)2,定义域为.
7.A 设一次函数的解析式为f(x)=ax+b(a≠0),则f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b,由f(x-1)=3x-5得ax-a+b=3x-5,
即解得∴f(x)=3x-2,故选A.
8.B 当2x+1=-3时,x=-2,因此f(-3)=4×(-2)2=16.故选B.
9.C 设f(x)=kx+b(k≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
可得
解得所以f(x)=3x-2.故选C.
10.答案 f(x)=-x+
解析 因为f(x)+3f(-x)=2x+1,①
所以把①中的x换成-x,得f(-x)+3f(x)=-2x+1.②
联立①②,得f(x)=-x+.
11.答案 11
解析 令t=x-,则x2+=+2=t2+2,因此f(t)=t2+2,从而f(3)=32+2=11.
12.解析 解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(x)的图象过点(0,3),∴c=3.
又f(x)的图象的对称轴为直线x=2,
∴-=2,即b=-4a,∴f(x)=ax2-4ax+3(a≠0).
设方程ax2-4ax+3=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,且x1>x2,则x1+x2=4,x1·x2=,又x1-x2=2,
∴x1=3,x2=1,∴=x1·x2=3,解得a=1,∴f(x)=x2-4x+3.
解法二:由题意及一元二次方程f(x)=0的两个实根关于x=2对称,得f(x)=0的两个实根分别为1、3,
设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),由y=f(x)的图象过点(0,3)得f(0)=3,即3a=3,解得a=1,∴f(x)=x2-4x+3.
13.解析 将分别代入y=ax+中,得即
解得
所以所求函数的解析式为y=x+(x∈N,且014.C 由1<2得f(1)=12+2=3,由3>2得f[f(1)]=f(3)=3+=4,故选C.
15.D 因为f(x)=所以f(2)=f(5)=f(8)=8-4=4.
16.A 当x=-1时, f(x)=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时, f(x)=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时, f(x)=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.
17.答案 y=
解析 由题意可知:
①当x∈[0,5]时,y=1.2x;
②当x∈(5,6]时,y=1.2×5+(x-5)×1.2×(1+200%)=3.6x-12;
③当x∈(6,7]时,y=1.2×5+1×1.2×(1+200%)+(x-6)×1.2×(1+400%)=6x-26.4.
∴y=
18.解析 当点P在BC(不与B重合)上运动,即0当点P在CD(不与C重合)上运动,即4当点P在DA(不与A、D重合)上运动,即8综上可知, f(x)=
19.解析 (1)f(-4)=-4+2=-2; f(3)=2×3=6; f(-2)=-2+2=0,则f[f(-2)]=f(0)=0.
(2)当a≤-1时, f(a)=a+2=10,
解得a=8(舍);
当-1解得a=±(舍);
当a≥2时, f(a)=2a=10,
解得a=5,所以a的值为5.
20.B 对于A,集合M中的元素2在集合N中无元素与之对应;对于B,符合映射的定义;对于C,D,均有集合M中的一个元素与集合N中的两个元素对应,不符合映射的定义.故选B.
21.B 选项A,A中的元素3在对应关系f作用下与3的差的绝对值在B中找不到对应元素,不符合映射的定义;选项B,对任意的正整数x,所得(-1)x均为1或-1,在集合B中有唯一的1或-1与之对应,符合映射的定义;选项C,0在对应关系f下无意义,不符合映射的定义;选项D,正整数在实数集R中有两个平方根与之对应,不符合映射的定义.故选B.
22.C 由题意知解得所以与B中元素(0,1)对应的A中元素是(1,2).
能力提升练
一、选择题
1.A 由f(x-1)=2x-5可得, f(x)=2(x+1)-5=2x-3,所以f(2a-1)=2(2a-1)-3=4a-5,又知f(2a-1)=6,所以4a-5=6,解得a=.故选A.
2.C 对于A选项,由题图可知,当乙车的速度大于40千米/小时时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5千米,则A错;
对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;
对于C选项,当行驶速度小于80千米/小时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则C对;
对于D选项,甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10千米/升,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则D错.
综上,选C.
3.B 令+2=t,
则=t-2,t≥2,
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)+5=t2+1(t≥2),
即f(x)=x2+1(x≥2),
故选B.
4.B 在2f(x)=xf+中,分别令x=3和x=得,
2f(3)=3f+①,
2f=f(3)+3②,
联立①②消去f,解得f(3)=.故选B.
5.A 已知f(x)=x2+x+a(a>0),
由f(m)<0,即m2+m+a<0,得-m>m2+a,
因此, f(m-1)=(m-1)2+(m-1)+a=m2-m+a>2m2+2a>0,故选A.
二、填空题
6.答案 3x+2
解析 函数f(2x+1)=6x+5=3(2x+1)+2,∴f(x)=3x+2.
7.答案 3
解析 设2x-1=t,则x=,
∴f(t)=2(t+1)+3=2t+5,∵f(t)=11,
∴2t+5=11,
解得t=3.故答案为3.
8.答案 2或-2
解析 依题意得或 或 或 x=2,或x=-2.
故x的值为-2或2.
9.答案 500
解析 设汽车速度为v km/h,则
①从A地到C地,s=200-vt,又t=2时,s=0,
∴2v=200,解得v=100.
②从C地到B地,s=v(t-2),
∴当t=5时,s=100×(5-2)=300(km).
综上所述,汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.
三、解答题
10. 解析 (1)令t=+2,t>2,则x=(t-2)2,
∴f(t)=3(t-2)2++2,t>2,
∴f(x)=3(x-2)2++2,其定义域为(2,+∞).
(2)令t=,t≥0,则x=t2-2,
∴y=1-2(t2-2)+t=-2t2+t+5
=-2t-2+,t≥0,
当t=时,y的最大值为,所以函数g(x)的值域为-∞,.
11.解析 (1)①当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80,
代入点(12,78),得a=-,则f(x)=-(x-10)2+80;
②当x∈[12,40]时,设y=kx+b,
由图象过点B(12,78),C(40,50),得k=-1,b=90,则y=-x+90.
综合上述,
f(x)=
(2)由题意得,f(x)>62,即或
解得4因此,教师在x∈(4,28) 时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳.第一章 集合与函数概念
1.2~1.3综合拔高练
五年高考练
考点1 函数的概念与表示
1.(2015课标Ⅱ,13,5分,★☆☆)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a= .
2.(2016浙江,12,6分,★★☆)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a= ,b= .
考点2 分段函数的应用
3.(2017山东,9,5分,★★☆)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
4.(2019课标Ⅱ,12,5分,★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2019天津,8,5分,★★★)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
6.(2018天津,14,5分,★★☆)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是 .
7.(2016江苏,11,5分,★★☆)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是 .
考点3 函数基本性质的综合运用
8.(2018课标Ⅱ,11,5分,★★☆)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
9.(2017浙江,5,4分,★★☆)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
10.(2016山东,9,5分,★★☆)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f,则f(6)=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
11.(2017课标Ⅱ,14,5分,★☆☆)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
12.(2016北京,10,5分,★☆☆)函数f(x)=(x≥2)的最大值为 .
13.(2017北京,11,5分,★★☆)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 .
强基计划
14.(2018中国科技大学自主招生试题,6改编,★★★)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1, f(xf(x)-1)=2,则f(2)= .
三年模拟练
一、选择题
1.(2020河北邢台一中高一上期末,★★☆)设f(x)=则f(1)=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,★★☆)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”,这个定义较清楚地说明了函数的内涵,只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就可以,不管这个对应的法则是公式,图象,表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f10f的值为( )
x x≤1 1y 1 2 3
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2020福建六校高一上期中联考,★★☆)已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是( )
A.f(x)有最大值,无最小值
B.f(x)有最大值,最小值
C.f(x)有最大值,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值
4.(2019湖北武昌实验中学高一上月考,★★★)记实数x1,x2,x3,…,xn中的最大数为max{x1,x2,x3,…,xn},最小数为min{x1,x2,x3,…,xn},则max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=( )
A. B.1 C.3 D.
5.(多选题)(2020山东菏泽高一上期末联考,★★☆)关于函数f(x)=的性质描述,正确的是( )
A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]
B.f(x)的值域为(-1,1)
C.f(x)在定义域上是增函数
D.f(x)的图象关于原点对称
6.(多选题)(★★★)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有四个解
C.函数F(x)有4个单调区间
D.函数F(x)有最大值为1,无最小值
二、填空题
7.(2019山东泰安一中高一上检测,★★☆)关于x的不等式mx2-2x+1≥0对任意的x∈(0,3]恒成立,则m的取值范围是 .
8.(★★★)已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a的值为 .
9.(★★★)如果函数f(x)=满足对任意x1≠x2都有 >0成立,那么b的取值范围是 .
三、解答题
10.(★★☆)如图,用长为12米的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架窗户,设半圆的半径为x米.
(1)求此铁丝围成的框架面积y与x的函数式y=f(x),并求出它的定义域;
(2)求半圆的半径是多长时,窗户透光的面积最大.
11.(2020黑龙江哈尔滨四校高一上期中联考,★★★)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y), f=1.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.2~1.3综合拔高练
五年高考练
1.答案 -2
解析 因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),解得a=-2.
2.答案 -2;1
解析 f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)·x+a2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,得到解得
3.C 当01,由f(a)=f(a+1),得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1),得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知f=6,故选C.
4.B 由题意可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-.
同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=-1,且x=时, f(x)=-.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,由图可知m≤.故选B.
5.D 画出函数y=f(x)的图象,如图.
方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.
当直线l经过点A时,有2=-×1+a,a=;
当直线l经过点B时,有1=-×1+a,a=.
由图可知,a∈时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y=,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.
联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,
由Δ=a2-4××1=0,得a=1(舍去负根).
综上,a∈∪{1}.故选D.
6.答案
解析 当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a,
此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,
即2a≥-x2+x恒成立,
因为x>0时,-x2+x的最大值为,
所以a≥;
当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2,
此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,
即a≤-x2-3x+2恒成立,
因为-3≤x≤0时,-x2-3x+2的最小值为2,
所以a≤2.故a的取值范围为.
7.答案 -
解析 因为f(x)的周期为2,
所以f=f=-+a, f=f=,所以-+a=,
解得a=,
所以f(5a)=f(3)=f(-1)=-.
8.C 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.
又因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(-x)=f(2+x)②.
由①②可得f(x+2)=-f(x),
则有f(x+4)=f(x).
由f(1)=2,得f(-1)=-2,
于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
9.B 由题意,得f(x)=x2+ax+b=+b-,因此函数f(x)的图象的对称轴为x=-.当-≤0,即a≥0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的最大值M=f(1)=1+a+b,最小值m=f(0)=b,所以M-m=1+a;当-≥1,即a≤-2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以函数f(x)的最大值M=f(0)=b,最小值m=f(1)=1+a+b,所以M-m=-1-a;当0<-≤,即-1≤a<0时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(1)=1+a+b,所以M-m=1+a+;当<-<1,即-210.D 当x>时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),
又由题意知f(-1)=(-1)3-1=-2, f(1)=-f(-1),
所以 f(6)=f(1)=2,故选D.
11.答案 12
解析 因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.
12.答案 2
解析 因为函数f(x)==1+在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f(x)有最大值,即f(x)max=f(2)=1+1=2.
13.答案
解析 由x+y=1,得y=1-x,所以x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1.由x≥0,y≥0,x+y=1,得0≤x≤1.令f(x)=2x2-2x+1,由二次函数的图象可知,当x=时, f(x)=2x2-2x+1取得最小值,即x2+y2的最小值为;当x=0或x=1时, f(x)=2x2-2x+1取得最大值1,即x2+y2的最大值为1.故x2+y2的取值范围是.
14.答案 1
解析 由函数f(x)是单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=,且f(t)=2,①
因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2,②
由①②及函数f(x)是单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=,所以f(2)=1.
三年模拟练
一、选择题
1.D f(1)=f[f(2)]+1=f(2×2-1)+1=f(3)+1=(2×3-1)+1=6.
2.D ∵∈(-∞,1],∴f=1,
则10f=10,∴f10f=f(10),
又∵10∈[2,+∞),∴f(10)=3,故选D.
3.A f(x)===2+(x∈[-8,-4)),所以f(x)在[-8,-4)上为减函数,所以f(x)max=f(-8)=,无最小值.
4.D 设f(x)=min{x+1,x2-x+1,-x+6},
则f(x)=
其图象如图所示的实线部分.
由图象可知, f(x)max=f=,故选D.
5.ABD 由得-1≤x≤1,且x≠0,因此A正确;
综合A知f(x)===.
当0当-1≤x<0时,f(x)=∈[0,1),
故f(x)的值域为(-1,1),B正确;
由x=0没意义,结合B的解析知选项C错误;
∵f(-x)==-f(x),∴D正确.
故选ABD.
6.ACD 依题意,
F(x)=
显然函数是偶函数,A正确;方程F(x)=0有三个解,分别是±,0,B错误;当x<-1,01,-1二、填空题
7.答案 [1,+∞)
解析 当0设y=-,令t=,
由0∴y=-+=-t2+2t=-(t-1)2+1,
∴只需满足m≥ymax即可.
∵当t=1时,ymax=1,
∴m≥1,即m的取值范围是[1,+∞).
8.答案 或-5
解析 f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,其图象的对称轴为x=-1,
当a>0时,图象开口向上,
函数f(x)在[-2,3]上的最大值为f(3)=9a+6a+1=6,所以a=,
当a<0时,图象开口向下,函数f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=a-2a+1=6,所以a=-5.
综上,a的值为或-5.
9.答案 [1,2]
解析 由对任意x1≠x2都有>0可知,x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,
从而f(x)在R上递增.
由分段函数的单调性知
解得即1≤b≤2.
故b的取值范围是[1,2].
三、解答题
10.解析 (1)由题意可知下部为矩形且一边长AB=2x米,其邻边长AD=米,
∴f(x)=+2x·
=-x2+12x.
由得0∴函数的定义域为.
(2)∵x∈,且函数y=f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,
∴当x=时,函数取得最大值,
即当半圆的半径为米时,窗户透光的面积最大.
11.解析 (1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
(2)已知函数f(x)的定义域是R,
令y=-x,则有 f(x-x)=f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)由题意得,2=2f=f,
∴f(x)+f(2+x)=f(x+2+x)又f(x)在R上单调递增,∴2x+2<,
∴x<-,
∴x的取值范围是.第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
基础过关练
题组一 函数单调性的概念及其应用
1.若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数f(x)在区间(a,b)∪(b,c)上( )
A.必是增函数 B.必是减函数
C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性
2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b总有>0成立,则必有( )
A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数
C.f(x)在R上先增后减 D.f(x)在R上先减后增
3.下列有关函数单调性的说法,不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
4.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
题组二 函数单调性的判定与证明
5.函数y=的单调递增区间是( )
A.(-∞,-3] B.
C.(-∞,1) D.[-1,+∞)
6.函数y=x(2-x)的递增区间是 .
7.(2020重庆高一上月考)已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.
(1)画出该函数的图象;
(2)写出该函数的单调区间;
(3)求出该函数的值域.
8.已知函数f(x)=.
(1)求f(f(3))的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可).
题组三 函数单调性的综合应用
9.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( )
A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
10.已知函数y=mx+b是R上的减函数,则( )
A.m≥0 B.m≤0 C.m>0 D.m<0
11.若函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.(-∞,4]
12.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么-1A.{x|-3C.{x|x≤-1或x≥3} D.{x|x≤0或x≥1}
13.已知f(x)=是定义在R上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.-∞, B.,+∞
C., D.-∞,-∪,+∞
14.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 .
能力提升练
一、选择题
1.(2020河北石家庄二中高一上月考,★★☆)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
2.(★★☆)函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为( )
A.[3,+∞) B.(-∞,2),(4,+∞)
C.(2,3),(4,+∞) D.(-∞,2],[3,4]
3.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,★★☆)函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.0, B.,+∞
C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则a的取值范围为( )
A.0C.0
5.(★★☆)已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)A. B.
C. D.
6.(2020河南洛阳一高高一上月考,★★★)已知函数f(x)=是R上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]
二、填空题
7.(2018北京一零一中学高一上期中,★★☆)若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是 .
8.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★★)下列说法正确的是 .(填序号)
(1)函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减;
(2)函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
(3)f(x)=若f(x)=10,则x的值为-3或-5;
(4)若函数y=x2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则a=-;
(5)若函数f(x)满足R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则f(x)在R上单调递减.
9.(2020湖南张家界高一上期末,★★★)函数f(x)的定义域为D,若对任意x1,x2∈D,当x1三、解答题
10.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,★★☆)已知函数f(x)=2x+.
(1)若a=-2,求满足f(x)=0的x的集合;
(2)若a=4,求证: f(x)在(2,+∞)上单调递增.
11.(2020河南省实验中学高一上期中,★★☆)定义在(0,+∞)上的函数y=f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,当x>1时, f(x)<0.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1.
12.(2019河南平顶山六校联盟高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=,f(1)=1,f(2)=5.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在上的值域.
13.(2019四川绵阳东辰国际学校高一上教学质量监测,★★☆)已知函数f(x)=-x是定义在(0,+∞)上的函数.
(1)用定义法证明函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f <0恒成立,求实数m的取值范围.
14.(2018山西晋城一中高一期中,★★★)定义在R上的函数y=f(x), f(0)≠0,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)证明:f(0)=1;
(2)证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
基础过关练
1.D 函数f(x)在区间(a,b)∪(b,c)上无法确定单调性.如y=-在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上也是增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性.
2.A 若a0知,一定有f(a)b,则一定有f(a)>f(b)成立,即函数f(x)在R上是增函数,故选A.
3.C 若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.例如f(x)=x+2在R上为增函数,当g(x)=-x时, f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时, f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.
4.B 对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不对;对于C,函数分别在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)5.B 函数由t=2x-3与y=复合而成,故要利用复合函数单调性的有关规律来求.由2x-3≥0,得x≥.因为t=2x-3在(-∞,+∞)上单调递增,y=在定义域上是增函数,所以y=的单调递增区间是.故选B.
6.答案 (-∞,1]
解析 y=x(2-x)=-x2+2x,其图象开口向下,图象的对称轴是x=1,故其递增区间是(-∞,1].
7.解析 依题意得,f(x)=
(1)作出f(x)的函数图象如图所示.
(2)f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1);单调递减区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+4≤4,
当x<0时,f(x)=-(x+1)2+4≤4,
结合图象知,f(x)的值域为(-∞,4].
8.解析 (1)因为f(3)=,
所以f(f(3))=f==3.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.
证明:设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1f(x1)-f(x2)=-==,
由x1,x2∈(1,+∞),得(x1-1)(x2-1)>0,
由x10,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),由单调性的定义可知, f(x)=在(1,+∞)上单调递减.
(3)作出函数f(x)=的图象,如图所示,由图象知,当x∈{x|x<0或x>1}时, f(x)=的图象在x轴上方.
9.D 由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数得, f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.
10.D 由函数y=mx+b是R上的减函数,得m<0.故选D.
11.D 依题意得,函数f(x)的图象的对称轴为x=,且图象开口向上,由函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上单调递增,得≤1,即a≤4,故选D.
12.B ∵f(0)=-1, f(3)=1,
∴-1又∵f(x)在R上单调递增,∴0∴-113.C 要使f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,需满足解得≤a<.
14.答案 (0,1]
解析 f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,其图象的对称轴为x=a,由f(x)在[1,2]上是减函数,可得a≤1;由g(x)=在[1,2]上是减函数,可得a>0.所以0能力提升练
一、选择题
1.C f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数,A不正确; f(x)=x2-3x的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以它在(0,+∞)上先减后增,B不正确; f(x)=-在(0,+∞)上为增函数,C正确;在(0,+∞)上f(x)=-|x|的值随x的增大而减小,所以f(x)=-|x|在(0,+∞)上为减函数,D不正确,故选C.
2.C 作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图象如图所示,
由图象得, f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+∞),故选C.
3.B f(x)===a+,
∵f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,∴1-2a<0,解得a>,故选B.
4.B 当a=0时, f(x)=-2x+2在R上为减函数,符合题意;当a≠0时,由于函数在(-∞,4]上为减函数,故二次函数的图象开口向上,且对称轴方程在x=4的右侧,即解得0综上所述,a∈,故选B.
5.D 由函数定义域和单调性知,不等式f(2x-1)6.D ∵函数f(x)=是R上的减函数,
∴x≤1时, f(x)递减,即a-3<0,①
x>1时, f(x)递减,即a>0,②
(a-3)×1+5≥,③
联立①②③,解得0二、填空题
7.答案 c≤-2
解析 由函数y=|2x+c|
=得函数y=|2x+c|在上单调递减,在上单调递增.
由题知,函数在区间(-∞,1]上单调,所以-≥1,解得c≤-2.
8.答案 (4)(5)
解析 函数f(x)=在(2,+∞)上单调递增,(1)中说法错误;函数y=2x(x∈N)的图象是间断的点,(2)中说法错误;f(x)=若f(x)=10,则x的值为-3,(3)中说法错误;若函数y=x2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],即-=2,则a=-,(4)正确;若函数f(x)满足R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则当x1>x2时,f(x1)f(x2),故f(x)在R上单调递减,(5)正确.故答案为(4)(5).
9.答案 ;
解析 ∵f(0)=0,f(1-x)+f(x)=1,
∴f(1-0)+f(0)=1,即f(1)=1.
又由②f=f(x),取x=1得,f=f(1)=.
在③中,取x=得f=.
在②中,取x=得,f=f=,
取x=得,f=f=,
又f(x)在[0,1]上为非减函数,
∴f≤f≤f,即≤
f≤,
因此,f=.故f=,
f=.
三、解答题
10.解析 (1)当a=-2时, f(x)=2x-,令f(x)=0,即2x-=0,
解得x=±1,所以满足f(x)=0的x的集合为{-1,1}.
(2)证明:当a=4时, f(x)=2x+,在(2,+∞)上任取两个值x1,x2,且x1f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2+
=2(x1-x2)+4-
=2(x1-x2)+
=2(x1-x2)1-,
∵24,
∴0<<,
∴0<<,∴1->0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(2,+∞)上单调递增.
11.解析 (1)令x=y=1,则有f(1)=2f(1),可得f(1)=0;
取y=,则f(x)+f=fx·=f(1)=0,∴f=-f(x),
在(0,+∞)上任取x1,x2,且x1>x2,则f=fx1·=f(x1)+f=f(x1)-f(x2),
∵x1>x2>0,∴>1,则f(x1)-f(x2)=f<0,即f(x1)因此,函数y=f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数.
(2)由(1)知,f(3)=-f=-1,
由f(x)+f(x-2)>-1,可得f[x(x-2)]>f(3),即f(x2-2x)>f(3),
由(1)知,函数y=f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,则
解得2因此,不等式f(x)+f(x-2)>-1的解集为{x|212.解析 (1)由f(1)=1,f(2)=5,得=1,=5,所以a=3,b=1,
所以f(x)=.
(2)因为f(x)==3x-在上是增函数,
所以f(x)min=f(-1)=-1,f(x)max=f=,
所以f(x)的值域为.
13.解析 (1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=+(x2-x1)=+(x2-x1)=(x2-x1),
∵00,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)已知函数f(x)在其定义域内是减函数,且f(1)=0,
∴当x∈(0,+∞)时,原不等式恒成立等价于f即>1恒成立,也即m>-x2-x恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,-x2-x=-+<0,∴m≥0.
14.解析 (1)证明:令a=b=0,则f(0)=f 2(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1.
(2)证明:令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)·f(-x)=1,∴f(x)=.
又已知当x>0时, f(x)>1>0,
∴当x<0时,-x>0, f(-x)>0,
∴f(x)=>0.
又当x=0时,f(x)=1>0,
∴对任意的x∈R,恒有f(x)>0.
(3)证明:任取x1,x2∈R,
且x10,
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1,
又f(x1)>0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0,
∴f(x2)>f(x1),
即f(x)是R上的增函数.
(4)由f(x)·f(2x-x2)>1, f(0)=1,
得f(3x-x2)>f(0),
又f(x)是R上的增函数,
∴3x-x2>0,∴01.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
基础过关练
题组一 函数最大(小)值的求法
1.函数f(x)=4x-x2的最大值是( )
A.-4 B.0 C.4 D.2
2.(2020福建宁德部分一级达标中学高一上期中)函数y=的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.函数y=x-在[1,2]上的最大值为( )
A.0 B. C.2 D.3
4.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期末联考)函数y=x2-2x-1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.若函数f(2x-1)=x2+x,则f(x)的最小值为 .
题组二 函数最大(小)值的综合运用
6.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
7.函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b= .
8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)=其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元 (总收益=总成本+利润)
9.设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-5x+1在[m,m+1]上的最小值为-2,求实数m的取值范围.
题组三 函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用
10.若不等式-x+a+1≥0对一切x∈成立,则实数a的最小值为( )
A.0 B.-2 C.- D.-
11.已知函数f(x)=x2+ax+4,若对任意的x∈(0,2], f(x)≤6恒成立,则实数a的最大值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
12.已知函数f(x)=,若方程f(x)=a无解,则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2019湖北襄阳四中高一上月考,★★☆)函数y=-的最大值为M,最小值为N,则的值为( )
A. B.1 C.-1 D.2
2.(2019山西高平一中高一上第一次月考,★★☆)函数f(x)=在区间[-5,-3]上的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
3.(2020河南洛阳一高高一上月考,★★☆)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-,-4,则m的取值范围是( )
A.(0,4] B.,4
C.,3 D.,+∞
4.(2019湖南长沙南雅中学高一上第一次检测,★★☆)已知f(x)=min{x2-2x,6-x,x},则f(x)的值域是( )
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[0,3] D.[3,+∞)
5.(2020河北石家庄二中高一上月考,★★☆)已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,函数F(x)=那么函数y=F(x)( )
A.有最大值1,最小值-1
B.有最小值-1,无最大值
C.有最大值1,无最小值
D.有最大值3,最小值1
6.(2020天津六校高一上期中联考,★★★)设函数f(x)=若f(0)是f(x)的最大值,则a的取值范围为( )
A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2]
二、填空题
7.(2020河北唐山一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=2x+1-的定义域为D,当x∈D时, f(x)≤m恒成立,则实数m的取值范围是 .
8.(2020江西临川一中高一上月考,★★☆)已知函数f(x)=x2-4x+10(x∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n= .
9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,★★★)已知函数f(x)=-x2+ax-在区间[0,1]上的最大值是,则实数a的值为 .
三、解答题
10.(2020江苏如东高级中学高一上阶段性测试,★★★)已知函数f(x)=,其中x>0.
(1)写出f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,b(0(3)若存在实数a,b(011.(2020广西南宁三中高一上月考,★★★)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足: f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的值域;
(3)若当x∈R时,不等式f(x)>3x-k恒成立,求实数k的取值范围.
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
基础过关练
1.C 函数f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4,易知当x=2时,函数f(x)取得最大值4.
2.C 当x<1时,函数y=x+3单调递增,且y<4,所以无最大值;当x≥1时,函数y=-x+6单调递减,所以在x=1处取得最大值5.综上,该函数的最大值为5.
3.B 易得y=x-在[1,2]上为增函数,
∴当x=2时,y取得最大值,ymax=2-=.
4.B ∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴f(x)在[0,1]上递减,在[1,3]上递增.
因此,ymin=-2,
又x=0时,y=-1;x=3时,y=2,
∴ymax=2,∴ymax+ymin=0,故选B.
5.答案 -
解析 令t=2x-1,则x=,∴f(t)=2+=,即f(x)==,当x=-2时, f(x)取得最小值-.
6.C 由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.
7.答案 6
解析 易知f(x)在[a,b]上为减函数,
∴即∴
∴a+b=6.
8.解析 (1)月产量为x台,则总成本为(20 000+100x)元,从而f(x)=R(x)-(20 000+100x)
=
(2)由(1)可知,当0≤x≤400时, f(x)=-(x-300)2+25 000,
∴当x=300时, f(x)max=25 000;
当x>400时, f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000,
∴当x=300时, f(x)max=25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.
9.解析 (1)令1-x=t,则x=1-t,
∴f(t)=(1-t)2-3(1-t)+3,
化简得f(t)=t2+t+1,
即f(x)=x2+x+1,x∈R.
(2)由(1)知g(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2(m≤x≤m+1),
∵g(x)min=g(2)=-2,∴m≤2≤m+1,
∴1≤m≤2.
10.D 设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对一切x∈成立可得,只需满足f(x)min≥0即可.因为f(x)在上是减函数,所以当x∈时, f(x)min=a+,所以a+≥0,即a≥-,所以amin=-,故选D.
11.A 解法一:对任意x∈(0,2], f(x)≤6恒成立,等价于f(x)max≤6.
∵函数f(x)的图象开口向上,
∴f(x)的最大值在区间端点处取得,
∴只需
即
解得a≤-1.∴a的最大值为-1.
解法二:由x∈(0,2],f(x)≤6恒成立,
可得x2+ax+4≤6,
即a≤-x+恒成立.
设g(x)=-x+,x∈(0,2],
则只需满足a≤g(x)min即可.
∵g(x)=-x+在x∈(0,2]上单调递减,
∴g(x)min=g(2)=-1,
∴a≤-1,可得a的最大值为-1,故选A.
12.答案 (-∞,0]∪
解析 因为1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,所以0<≤,故f(x)的值域为.
又方程f(x)=a无解,所以a不在函数f(x)的值域内,故a的取值范围是(-∞,0]∪.
13.解析 (1)f(x)在[3,5]上为增函数.
证明:任取x1,x2∈[3,5]且x1∵3≤x1∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立知, f(x)min>a,
由(1)知, f(x)在[3,5]上为增函数,
所以f(x)min=f(3)=,
所以>a,即a<,
故实数a的取值范围是.
(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解知,
f(x)max>a,由(1)知, f(x)在[3,5]上为增函数,所以f(x)max=f(5)=,
所以>a,即a<,
故实数a的取值范围是.
能力提升练
一、选择题
1.C 由y=-有意义,得解得-3≤x≤1,因此y=-的定义域为[-3,1],
又∵函数y=-在[-3,1]上单调递减,
∴M=ymax=-=2,
N=ymin=-=-2,
因此,==-1,故选C.
2.C 由f(x)===1-知, f(x)在(-∞,-2)上是增函数,所以f(x)在[-5,-3]上递增,所以f(x)min=f(-5)=,故选C.
3.C 令f(x)=y=x2-3x-4=x-2-,
∴当x=时,y=-.
又f(0)=f(3)=-4,
∴如图所示,由已知及二次函数图象可知,
m的值最小为,最大为3.
4.B 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2-2x,y=6-x,y=x的图象,由f(x)=min{x2-2x,6-x,x}知,对任意x∈R, f(x)取三个函数值中最小的,因此f(x)的图象如图所示(实线部分),所以可得f(x)的值域为(-∞,3].
5.C 令f(x)=g(x),即3-2|x|=x2,解得x=±1.
函数图象如图所示.
根据构造函数F(x)=可知函数F(x)的图象为直线y=1以下部分及图象与直线y=1的交点,则函数F(x)有最大值1,无最小值.故选C.
6.B 已知f(x)=
当x≤0时, f(x)=-(x-a)2+a2的图象开口向下,图象的对称轴为x=a, f(0)=0;当x>0时, f(x)=-x2+2x+1-a的图象开口向下,图象的对称轴为x=1,此时f(x)max=f(1)=2-a.
若使得f(0)是f(x)的最大值,则满足解得a≥2,故选B.
二、填空题
7.答案 [5,+∞)
解析 函数f(x)=2x+1-的定义域为x≤2,
令t=≥0,可得2x=4-t2,所以f(t)=5-t2-t(t≥0),其图象开口向下,因为t≥0,所以f(t)≤5,
又当x∈D时, f(x)≤m恒成立,所以实数m的取值范围是m≥5.
8.答案 9
解析 因为f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+6≥6,所以3m≥6,解得m≥2,
又函数f(x)图象的对称轴为x=2,所以函数f(x)在[m,n]上单调递增.
所以f(m)=3m, f(n)=3n,即m2-4m+10=3m,n2-4n+10=3n,
解得m=2或m=5;n=2或n=5,又m所以2m+n=4+5=9,故答案为9.
9.答案 -6或
解析 f(x)=-x-2+(a2-a),图象的对称轴方程为x=,
当0≤≤1,即0≤a≤2时, f(x)max=(a2-a),
由(a2-a)=得a=-2或a=3,与0≤a≤2矛盾,不符合要求;
当<0,即a<0时, f(x)在[0,1]上单调递减, f(x)max=f(0),由f(0)=得-=,解得a=-6;
当>1,即a>2时, f(x)在[0,1]上单调递增, f(x)max=f(1),
由f(1)=得,-1+a-=,解得a=.
综上所述,a=-6或a=.
三、解答题
10.解析 依题意得,f(x)=
(1)函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)不存在实数a、b(0①若a、b∈(0,1),则f(x)=-1在(0,1)上递减,且f(a)=-1,f(b)=-1,∴即 a=b,不符合题意.
②若a、b∈[1,+∞),则f(x)=1-在[1,+∞)上递增,
∴
于是a、b为方程x2-x+1=0的两个实数根,
而此方程无实根,故此时也不符合题意.
③当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然1∈(a,b),而f(1)=0,∴0∈[a,b]不符合题意,综上所述,不存在实数a,b(a(3)仿(2)知,a、b∈(0,1),或a∈(0,1),b∈[1,+∞)均不符合题意,当a、b∈[1,+∞)时,f(x)=1-在[1,+∞)上递增,因此有
∴ 方程1-=mx有两个大于1的实数根,方程化为mx2-x+1=0,
所以有 011.解析 (1)由f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x,得a=1,b=-1,
又f(0)=c=1,∴f(x)=x2-x+1.
(2)结合f(x)=x2-x+1的图象性质可知,f(x)的图象开口向上,对称轴为x=,
f(x)在x∈上单调递减,在x∈上单调递增,
∴f(x)在区间[-1,1]上的最小值为f=,最大值为f(-1)=3,
∴f(x)在区间[-1,1]上的值域为,3.
(3)由不等式f(x)>3x-k恒成立,得k>-x2+4x-1恒成立,
∴只需k>(-x2+4x-1)max即可,当x=2时,y=-x2+4x-1取得最大值3,∴k>3.第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
基础过关练
题组一 奇函数、偶函数的图象特征
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是( )
A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3)
2.函数f(x)=的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称 D.直线y=x对称
3.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的函数是f(x)= .(写出符合条件的一个函数即可)
4.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
题组二 函数奇偶性的判定
5.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
6.已知f(x)=x2-2,x∈(-5,5],则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
7.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
题组三 利用函数的奇偶性求值
8.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=x2+,则f(-1)=( )
A.2 B.1 C.0 D.-2
9.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=x2+mx.若f(2)=-3,则m的值为 .
10.已知函数f(x)=是奇函数,则a= .
11.函数f(x)=ax3+bx++5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为 .
题组四 函数奇偶性与单调性的综合应用
12.(2020辽宁抚顺一中高一上月考)下列函数中,既是奇函数又在定义域内为增函数的是 ( )
A.y=x+1 B.y=-x2
C.y= D.y=x|x|
13.(2020福建宁德部分一级达标中学期中)已知f(x)是定义域为[-3,3]的奇函数,当-3≤x≤0时,f(x)=x2-2x,那么不等式f(x+1)>f(3-2x)的解集是( )
A.[0,2] B.0,
C.-∞, D.,+∞
14.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测)函数f(x)为R上的奇函数,在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,则xf(x)>0的解集是 .
15.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;
(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.
能力提升练
一、选择题
1.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★☆)下列为偶函数的是( )
A.f(x)=x3- B.f(x)=
C.f(x)=(x-1) D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
2.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f-C.f(2)3.(2018北京市十一学校高一上期中联考,★★☆)设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3,若f(x+a)为偶函数,则a等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
4.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,★★☆)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,2] D.[1,3]
5.(2020河南郑州高一上期末,★★☆)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.0
6.(2020江西临川一中高一上月考,★★★)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2--2,则f(2)=( )
A.- B. C.-3 D.
二、填空题
7.(2020河南省实验中学高一上期中,★★☆)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=-x2+2x.那么当x<0时, f(x)= .
8.(2020天津六校高一上期中联考,★★☆)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-3)=6,则f(3)= .
9.(2020河北石家庄二中高一上月考,★★★)已知函数f(x)=函数h(x)(x≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=f(x).若h(t)>h(2),则实数t的取值范围为 .
三、解答题
10.(2020山东菏泽高一上期末联考,★★☆)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在(0,]上单调递增,试求p的最大值,并说明理由.
11.(2020河南洛阳一高高一上月考,★★★)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
12.(2020河北唐山一中高一上期中,★★★)设函数f(x)是增函数,对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0);
(2)证明: f(x)是奇函数;
(3)解不等式f(x2)-f(x)>f(3x).
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
1.3.2 奇偶性
基础过关练
1.A 由f(-3)=2知,点(-3,2)在奇函数的图象上,
∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f(x)的图象上.
2.C f(x)的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞),D关于原点对称.
任取x∈D,都有
f(-x)===f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故选C.
3.答案
解析 已知f(x)是奇函数,若x=0有意义,则f(0)=0,即函数f(x)的图象一定过原点,因此举出x=0不在定义域内的奇函数为反例即可,如f(x)=,答案不唯一.
4.解析 (1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)在R上的图象,如图.
(2)xf(x)>0即x与f(x)同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
5.B ∵x∈(-a,a)关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
6.D ∵f(x)=x2-2的定义域为(-5,5],不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.
7.解析 (1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x2-1=0.
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(-1)=f(1)=0.
又∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
8.D 由题知,函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).将x=1代入解析式f(x)=x2+,得f(1)=12+=2,故 f(-1)=-f(1)=-2.
9.答案
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2)=3,∴f(-2)=(-2)2-2m=3,∴m=.
10.答案 1
解析 当x<0时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2+x,即ax2+x=x2+x,∴a=1.
11.答案 8
解析 设g(x)=f(x)-5=ax3+bx+,
∵g(-x)=-ax3-bx-=-g(x),
∴g(x)是奇函数(x≠0),
∴g(3)=-g(-3)=-[f(-3)-5]=-f(-3)+5=-2+5=3,
又g(3)=f(3)-5=3,∴f(3)=8.
12.D 选项A中函数为非奇非偶函数;选项B中函数为偶函数;选项C中函数是奇函数,但分别在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;选项D中的函数是奇函数,在定义域上也是增函数,故选D.
13.B 当-3≤x≤0时, f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,易知函数f(x)在[-3,0]上为减函数,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,3]上也为减函数,结合函数图象(图略),f(x)在[-3,3]上为减函数.于是不等式f(x+1)>f(3-2x)等价于解得0≤x<.
14.答案 (-∞,-5)∪(5,+∞)
解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-5)=0.作出草图如下.
∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,
∴xf(x)>0的解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).
15.解析 (1)根据题意, f(x)为奇函数且在R上是增函数,
则f(2x-1)+f(3)<0 f(2x-1)<-f(3) f(2x-1)解得x<-1,即不等式的解集为{x|x<-1}.
(2)根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,
则f(2x-1)-f(-3)<0 f(2x-1)解得-1能力提升练
一、选择题
1.D 在A中, f(x)=x3-(x≠0),
f(-x)=-x3+,∵f(x)=-f(-x),且定义域关于原点对称,∴f(x)是奇函数;在B中,f(x)==(-1≤x≤1,x≠0), f(-x)=,∵f(x)=-f(-x),且定义域关于原点对称,∴f(x)是奇函数;在C中, f(x)=(x-1)(-1≤x<1),∵定义域不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数;在D中, f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x-5|+|2x+5|,∵f(x)=f(-x),且定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数,故选D.
2.D 由偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,得f(x)在[1,+∞)上是减函数,且f-=f, f(-1)=f(1),又因为2>>1,所以f(2)3.B ∵f(x+a)为偶函数,∴f(x+a)=f(-x+a),∵f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3=x2+(2a-4)x+a2-4a+3,
f(-x+a)=(-x+a)2-4(-x+a)+3=x2-(2a-4)x+a2-4a+3,
∴f(x+a)-f(-x+a)=x2+(2a-4)x+a2-4a+3-[x2-(2a-4)x+a2-4a+3]=0,∴a=2.故选B.
4.C 函数f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1.所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.故选C.
5.D 依题意得,f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-1,
f(4)=f(0+4)=f(0)=0,
f(5)=f(1+4)=f(1)=1,
因此,f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.
6.A f(x)+g(x)=x2--2①,
用-x替换①式中的x得, f(-x)+g(-x)=(-x)2--2=x2--2②,
因为函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此由②可得,-f(x)+g(x)=x2--2③,
联立①③,消去g(x),解得f(x)=-+,
所以f(2)=-+ =-.
故选A.
二、填空题
7.答案 x2+2x
解析 函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x>0时, f(x)=-x2+2x,则当x<0时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,故f(x)=-f(-x)=x2+2x,
故答案为x2+2x.
8.答案 10
解析 设F(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx,易得F(x)是奇函数,
因为f(-3)=6,所以F(-3)=f(-3)-8=6-8=-2,
又F(x)是奇函数,因此F(3)=-F(-3)=2,
从而f(3)=F(3)+8=2+8=10.
9.答案 (-2,0)∪(0,2)
解析 因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)=结合图象(图略)可知,函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,又函数h(x)(x≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),所以h(|t|)>h(2),
所以0<|t|<2,
所以即
解得-2三、解答题
10.解析 (1)因为函数f(x)=是奇函数,
所以f(x)=-f(-x),
即=-,化简得a=0,
所以f(x)=.
(2)f(x)==-=-x+,
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,则
=
=
=-·=-·,
因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,
当x1,x2∈(0,]时,x1x2-2<0,从而>0;
当x1,x2∈[,+∞)时,x1x2-2>0,从而<0;
因此f(x)在(0,]上是增函数,f(x)在[,+∞)上是减函数.
由题知f(x)在(0,]上单调递增,
所以的最大值为,即p的最大值为2.
11.解析 (1)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0,
由于f=,所以=,解得a=1,因此f(x)=.
(2)证明:在(-1,1)上任取x1,x2,且x1则f(x2)-f(x1)=-=,由于-10,因此>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)由于函数是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
因此f(t-1)+f(t)<0可化为f(t-1)<-f(t)=f(-t).由(2)知,f(x)在(-1,1)上是增函数.
所以依题意可得解得012.解析 (1)由题设,令x=y=0,可得
f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
(2)证明:令y=-x,
则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),又知x∈R,所以f(x)是奇函数.
(3)由f(x2)-f(x)>f(3x),得f(x2)-f(3x)>2f(x),即f(x2)+f(-3x)>2f(x),
∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+x)=2f(x),∴f(x2-3x)>f(2x),
又函数f(x)是增函数,∴x2-3x>2x,即x2-5x>0,解得x<0或x>5,∴原不等式的解集为{x|x<0或x>5}.第一章 集合与函数概念
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A={a∈N|-1≤a≤2},B={b∈Z|-2≤b<3},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
2.已知M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则M∩N=( )
A.[1,+∞) B. C.(-∞,1) D.R
3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y= D.y=-x2+4
4.已知函数f(x)=则f(3)的值等于 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.下列说法正确的个数是( )
①空集是任何集合的真子集;
②函数f(x)的值域是[-2,2],则函数f(x+1)的值域为[-3,1];
③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个;
④若A∪B=B,则A∩B=A.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则( )
A.b>0且a<0 B.b=2a<0
C.b=2a>0 D.a,b的符号不确定
7.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
8.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
9.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,AB=5,AD=3,点E由点B沿折线B-C-D向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图象大致是( )
10.若函数f(x+1)的定义域为[-1,15],则函数g(x)=的定义域是( )
A.[1,4] B.(1,4]
C.[1,] D.(1,]
11.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f=1,如果对于0f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为( )
A.[-4,0) B.[-1,0)
C.(-∞,0] D.[-1,4]
12.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则实数m的取值范围是( )
A.0C.m≥4 D.0≤m≤4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知f(-1)=x-2,则函数f(x)的解析式为 .
14.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则这样的集合B有 个.
15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a= .
16.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m+1≤x≤2m+3}.
(1)当m=1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断并用定义法证明函数y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时, f(x)=-1.
(1)用定义法证明f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(2)当x<0时,求函数f(x)的解析式.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
21.(本小题满分12分)设a,b∈R,若函数f(x)在定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)的定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1 000元,该店还应支付的其他费用为每月10 000元.
(1)把y表示为x的函数;
(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;
(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润 (注:利润=收入-支出).
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
本章达标检测
一、选择题
1.C A={a∈N|-1≤a≤2}={0,1,2},B={b∈Z|-2≤b<3}={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选C.
2.A 因为M={x|y=x2+1}=R,N={y|y=x2+1}=[1,+∞),所以M∩N=[1,+∞),故选A.
3.A B中函数非奇非偶,C中函数是奇函数,均不正确,A、D中函数均为偶函数,A中函数在(0,+∞)上递增,D中函数在(0,+∞)上递减,因此A正确,故选A.
4.B 由分段函数可知f(3)=f(2)-f(1),
而f(2)=f(1)-f(0),
∴f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1,故选B.
5.C 由空集不是它本身的真子集知,①错误;由f(x)与f(x+1)的值域相同知,②错误;设f(x)=0,且x∈D,D是关于原点对称的区间,则f(x)既是奇函数又是偶函数,由于D有无数个,故f(x)有无数个,③正确;由A∪B=B,得A B,从而A∩B=A,④正确.故选C.
6.B 由已知可得,函数y=ax2+bx+3的图象开口向下,且图象的对称轴方程为x=-1,所以所以b=2a<0.故选B.
7.D 令y=g(x)=f(x)+x,∵f(2)=1,
∴g(2)=f(2)+2=1+2=3.∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得f(-2)=5.
8.D 因为函数y=f(x+8)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在(8,+∞)上为减函数,所以f(x)在(-∞,8)上为增函数,所以f(x)在x=8处取得最大值,并且f(6)f(10).故选D.
9.C ∵EM⊥AB,∠B=45°,
∴EM=MB=x,AM=5-x.
当点E在BC上运动时,
即当0当点E在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此时y=-3x+15,3∴y与x的函数关系为
y=
画出大致图象如选项C所示.故选C.
10.B 设x+1=t,则f(x+1)=f(t).
∵f(x+1)的定义域为[-1,15],
∴0≤x+1≤16,即0≤t≤16,
∴y=f(t)的定义域为[0,16],
∴要使函数g(x)=有意义,必须满足即
解得111.B 令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.又由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于0f(y),所以即解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).
12.D 依题意得,无论x取何值,mx2+mx+1均不取负值.
当m=0时,mx2+mx+1=1>0,符合题意;
当m≠0时,由二次函数y=mx2+mx+1的图象上的点均不在x轴下方知:
解得0综上所述,0≤m≤4,故选D.
二、填空题
13.答案 f(x)=x2-1(x≥-1)
解析 令t=-1,得=t+1,且t≥-1,因此f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t≥-1).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥-1).
14.答案 4
解析 由A∪B={1,2,3}知,3∈B,所以满足题意的集合B可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.共4个.
15.答案 -1
解析 当x≥0时, f(x)=x(x+1)≥0.
因为f(a)=-2,所以a<0,又因为f(x)为R上的奇函数,所以f(a)=-f(-a)=-2,即f(-a)=-a(-a+1)=2,解得a=-1或a=2(舍),所以a=-1.
16.答案 4
解析 当x∈时,0≤2x<1,g(x)=[x]+[2x]=0;
当x∈时,1≤2x<2,g(x)=[x]+[2x]=1;
当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3,
所以A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3},
所以A中所有元素的和为4.
三、解答题
17.解析 (1)当m=1时,B={x|2≤x≤5},因此A∩B={2}.
(2)A∪B=A B A,
①当B= 时,即m+1>2m+3,即m<-2,符合题意;
②当B≠ 时,要满足B A,则
-2≤m≤-.
综上所述,当A∪B=A时,实数m的取值范围是(-∞,-2)∪=.
18.解析 (1)因为函数f(x)=是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即=对任意实数x恒成立,解得m=0.
(2)由(1)得f(x)=,此函数在(-∞,0)上为增函数.
证明:任取x1,x2∈(-∞,0)且x1因为x1,x2∈(-∞,0),且x1所以(1+)(1+)>0,x2+x1<0,x2-x1>0,
即f(x1)-f(x2)<0,
所以函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增.
19.解析 (1)证明:在(0,+∞)上任取x1,x2,且0∵00,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)若x<0,则-x>0,∴f(-x)=--1,
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=--1,即f(x)=--1(x<0).
20.解析 (1)由f(0)=2,得c=2,又由f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故解得所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)得f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以其图象的对称轴方程为x=1,且其图象的开口向上,
所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).
(3)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴x=1在区间[-1,2]内,
所以f(x)min=f(1)=1,又f(-1)=5,
f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.
21.解析 (1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),a=-1,b=5,
∴g(-2-x)=.
∴g(x)+g(-2-x)=+=10,
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.
∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.
(2)∵g(x)==5-,易知g(x)在-,1上单调递增,
∴g(x)在x∈-,1时的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4].
∵x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心点(1,2).
(i)当≤0,即m≤0时,函数h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,∴函数h(x)在(0,2)上单调递增.
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得
解得-1≤m≤0.
(ii)当0<<1,即0∴函数h(x)在0,上单调递减,在,2-上单调递增,在2-,2上单调递减.
∴结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=h,h2-.
∵0又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m∈(1,3).
易知h=-+m+1∈(1,2).
又h+h2-=4,
∴h2-∈(2,3).
∴当0(iii)当≥1,即m≥2时,函数h(x)在(0,1)上单调递减.
由对称性,知h(x)在(1,2)上单调递减.
∴函数h(x)在(0,2)上单调递减.
易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,则A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得
解得2≤m≤3.
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].
22.解析 (1)当40≤x≤60时,设AB的方程为y=k1x+b1,将A,B两点坐标代入方程得解得所以AB的方程为y=-2x+140;
当60所以y=
(2)设该店有职工m名,当x=50时,
该店总收入为100(-2x+140)(x-40)=40 000(元),
又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,
所以依题意得40 000=1 000m+10 000,
解得m=30.
所以此时该店有30名职工.
(3)设月利润用S表示,若该店只有20名职工,则月利润
S=
当40≤x≤60时,S=-200(x-55)2+15 000,
所以当x=55时,S取最大值15 000元;
当60所以当x=70时,S取最大值15 000元.
故当x=55或x=70时,S取最大值15 000元,即销售单价定为55或70元时,该专卖店月利润最大.第一章 集合与函数概念
本章复习提升
易混易错练
易错点1 忽略集合中元素的互异性导致错误
1.(★★☆)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a},若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.{a|-1≤a≤1} B.{a|-1C.{a|-12.(★★☆)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
3.(★★☆)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B A,则x= .
易错点2 忽视函数的定义域导致错误
4.(★☆☆)设x∈R,则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=x2,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=(x-1)0
D.f(x)=+,g(x)=
5.(★★★)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且满足f(2a-1)A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
6.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期末联考,★★☆)设f(x)=ax2+bx+1是定义在[a-1,2]上的偶函数,则f(x)的值域是 .
7.(2020广东江门二中高一上月考,★★★)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)上恒成立,求实数k的取值范围.
易错点3 忽略分段函数的自变量范围导致错误
8.(★★☆)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,0) D.(-1,0)
9.(★★☆)函数f(x)=若f(x0)=8,则x0= .
10.(★★☆)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),求函数g(x)的递增区间.
11.(★★☆)已知函数f(x)=
(1)作出函数图象;
(2)说明函数f(x)的单调区间(不需要证明);
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点,求实数m的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的运用
1.(2018北京大学附属中学高一期中联考,★☆☆)已知图①的图象对应的函数为y=f(x),则图②的图象对应的函数的解析式为( )
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
2.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上期中,★★☆)若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是( )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(0,2)
3.(★★☆)已知函数f(x)是定义在R上的函数, f(x)的图象关于y轴对称,当x≥0时, f(x)=x2-4x.
(1)求出f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象;
(3)若函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点,求m的取值范围.
二、运用分类讨论思想解决集合与函数的问题
4.(2020河北石家庄二中高一上期末,★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2020浙江宁波效实中学高一上期中,★★☆)已知全集U=R,集合A={x|y=},B={x|x2-ax-6a2<0},其中a≥0.
(1)当a=1时,求集合A∪B,( UA)∩B;
(2)若( UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
6.(2019广东江门二中高一上月考,★★☆)如图所示,直角梯形OABC位于直线x=t(0≤t≤5)右侧的图形的面积为f(t),试求函数f(t)的解析式.
7.(2018湖北宜昌示范高中协作体高一期中联考,★★★)已知二次函数y=f(x)满足f(-2)=f(4)=-16,且f(x)的最大值为2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)在[t,t+2](t>0)上的最大值.
三、转化与化归思想在函数中的运用
8.(★★☆)已知函数f(x)=若f(a-1)+f(a)>0,则实数a的取值范围是( )
A.a> B.a>1 C.a< D.a<1
9.(2019辽宁抚顺一中高一上月考,★★☆)已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)= ( )
A.4 B.0 C.2m D.-m+4
10.(★★★)设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若对所有的x∈[-1,1]及任意的m∈[-1,1]都满足f(x)≤t2-2mt+1,则t的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.
C.∪∪{0}
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}
11.(2018河南安阳一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=x3+x+1,若对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)>2,则实数a的取值范围是 .
答案全解全析
第一章 集合与函数概念
本章复习提升
易混易错练
1.D 由P∪M=P,得M P,
所以即-1≤a≤1.
又由集合中元素的互异性知-a≠a,
即a≠0,所以a的取值范围是{a|-1≤a≤1,且a≠0}.
易错点 忽略集合中元素的互异性,没有得出a≠0,从而导致结论错误.
2.C 当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.
3.答案 0或-2
解析 由B A,得x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=±2,但x=2时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾,故舍去;当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾,故舍去.综上所述,x=-2或x=0.
4.B 选项A, f(x)=x2(x∈R)与g(x)==|x|(x∈R)的对应关系不同,所以不是同一函数;选项B, f(x)==1(x>0)与g(x)==1(x>0)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数;选项C, f(x)=(x≠1)与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的对应关系不同,所以不是同一函数;选项D, f(x)=+(x≥0)与g(x)==+(x≥0且x≠2)的定义域不同,所以不是同一函数.故选B.
易错点 研究函数是不是同一函数时,应先看定义域是否相同,再判断解析式,忽视定义域,会导致判断错误.
5.B 由题意可知
解得0又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)∴1-a<2a-1,解得a>②.
由①②可知易错点 忽视定义域,导致解题错误,错选答案A.
6.答案 [-3,1]
解析 由偶函数的定义域关于原点对称知,a-1=-2,即a=-1,此时,f(x)=-x2+bx+1,
又f(x)是偶函数,因此b=0,
∴f(x)=-x2+1(x∈[-2,2]),
其值域为[-3,1].
7.解析 (1)函数g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2-a+1+b,其中a>0,则其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x=1,
∴该函数在区间[2,3]上单调递增,
∴g(x)min=g(2)=1+b=1,
g(x)max=g(3)=3a+1+b=4,两式联立解得a=1,b=0.
(2)由(1)知,g(x)=x2-2x+1,∴f(x)==x+-2,不等式f(x)-kx-4≤0等价于x+-2-kx-4≤0,即kx≥x+-6,
∴不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)上恒成立等价于k≤-+1在x∈[-1,0)上恒成立.
设h(x)=-+1=-32-8,∵x∈[-1,0),∴∈(-∞,-1],∴当=-1时,h(x)min=(-1-3)2-8=8,∴k≤8.
8.C 由f(x)在R上单调递增知,
解得-1≤a<0,故选C.
易错点 分段函数在给定区间上单调,不仅要考虑到每段都有相同的单调性,还要考虑到在分段点处函数值的大小,解题时要防止忽视对分段点的研究导致解析错误.
9.答案 -或4
解析 当x0≤2时, f(x0)=+2=8,即=6,
∴x0=-或x0=(舍去).
当x0>2时, f(x0)=2x0=8,∴x0=4.
综上,x0=-或x0=4.
10.解析 依题意得,当x>1时,x-1>0, f(x-1)=1;当x=1时,x-1=0, f(x-1)=0;当x<1时,x-1<0, f(x-1)=-1.
∴g(x)=
作出函数g(x)的图象,如图所示(实线部分),
∴函数g(x)的递增区间为(-∞,0],(1,+∞).
易错点 函数f(x)定义域的分段点是x=0,函数g(x)定义域的分段点是x=1,解题时要注意定义域分段点的变化,防止定义域分段错误导致解题错误.
11.解析 (1)如图:
(2)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,1);单调递减区间为(-2,0)和(1,+∞).
(3)由图象知,函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点时,m的取值范围为(-1,0).
易错点 作分段函数f(x)的图象,可先作出每一段的图象,再截取在此段定义域内的部分,解题时定义域要截取准确,防止定义域截取错误导致解题错误.
思想方法练
1.C 观察图②中函数的图象,图象关于y轴对称,故图②中的图象对应的函数为偶函数,比较图①与图②中两个函数的图象,x<0时,函数图象与原函数图象相同,只有C符合,故选C.
2.C 由y=f(x)是偶函数,且f(2)=0,得f(-2)=0,因为y=f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,所以y=f(x)在[0,+∞)上是增函数.不等式xf(x)<0等价于或结合函数y=f(x)的图象(图略),得x<-2或03.解析 (1)由题知,当x<0时,-x>0,
则f(-x)=x2+4x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
∴f(x)=
(2)作函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)可知,函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个交点时,-44.D 由f(x)=2f(x+2)得,f(x+2)=f(x).
当x∈[-2,0)时,f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.
当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0),
f(x)=f(x-2)=-(x-1)2+1,其最大值为1,
同理,当x∈[2,4)时,f(x)max=,f(x)≤恒成立.
从而得当x≥2时,f(x)≤恒成立.
又x∈[0,2]时,由f(x)=得
-(x-1)2+1= (x-1)2= x=,或x=.
在同一平面直角坐标系中,作出y=-(x-1)2+1的图象及直线y=,如图,
结合图象知,x≥时,f(x)≤恒成立.
综上所述,m的取值范围是,+∞,故选D.
5.解析 (1)由已知,得A={x|x≤-3或x≥1}.
当a=1时,B={x|x2-x-6<0}={x|-2所以A∪B={x|x≤-3或x>-2},
UA={x|-3(2)因为( UA)∩B=B,所以B UA.
由(1)知 UA={x|-3由题知a≥0,当a=0时,B= ,则满足B UA;
当a>0时,B={x|x2-ax-6a2<0}={x|-2a由B UA,得解得0综上可知,0≤a≤.
6.解析 设直线x=t与梯形的交点为D,E(E点在D点上方).
当0≤t≤2时,f(t)=S梯形OABC-S△ODE=-t×t=8-t2;
当2所以f(t)=
7.解析 (1)因为二次函数y=f(x)满足f(-2)=f(4)=-16,且f(x)的最大值为2,所以函数图象的对称轴为x=1,且其开口向下,设函数f(x)=a(x-1)2+2,a<0.根据f(-2)=9a+2=-16,求得a=-2,故f(x)=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.
(2)当t≥1时,函数f(x)在[t,t+2]上是减函数,故函数的最大值为f(t)=-2t2+4t;
当08.C 依题意得f(x)是奇函数,且在R上是减函数,所以f(a-1)+f(a)>0 f(a-1)>-f(a) f(a-1)>f(-a) a-1<-a 2a-1<0 a<,故选C.
9.A 令g(x)=ax7-bx5+cx3,易知其为奇函数,因为f(x)=g(x)+2,所以f(-5)=g(-5)+2=m,所以g(-5)=m-2,即g(5)=-m+2,于是f(5)=g(5)+2=4-m,所以f(-5)+f(5)=4.
10.D 由奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1得, f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=-f(-1)=1.
又因为对所有的x∈[-1,1]都有f(x)≤t2-2mt+1,因此f(x)max≤t2-2mt+1,
即t2-2mt≥0,设g(m)=t2-2mt.
又因为对任意的m∈[-1,1]都有g(m)=t2-2mt≥0,因此g(m)min≥0.
由函数g(m)=t2-2mt=-2tm+t2的图象是直线得,g(m)min为g(-1)或g(1),
因此g(-1)≥0,且g(1)≥0,
即t2-2t≥0,且t2+2t≥0,
解得t≤-2或t≥2或t=0,故选D.
11.答案 (0,4)
解析 函数f(x)=x3+x+1不具有奇偶性,令g(x)=x3+x,则g(x)的定义域是R,定义域关于原点对称,又g(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,此时f(x)=g(x)+1.
因为对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)>2,所以对任意的x,都有g(x2+a)+g(ax)>0,即g(x2+a)>g(-ax).
因为函数y=x3和函数y=x在R上都是增函数,所以g(x)在R上是增函数,所以g(x2+a)>g(-ax)对任意的x恒成立,即x2+a>-ax对任意的x恒成立,即x2+ax+a>0对任意的x恒成立,所以Δ=a2-4a<0,解得0一、选择题
1.(2019河北辛集中学高一上第一次月考,★★☆)设f(x)=则f=( )
A. B. C. D.
2.(★★☆)已知函数f(x)=若f(x)=5,则x的值是( )
A.-2 B.2或-
C.2或-2 D.2或-2或-
3.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,★★☆)函数f(x)=x+的图象是( )
4.(2020河南济源四中高一上月考,★★☆)设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a等于( )
A.-3 B.±3 C.-1 D.±1
5.(★★★)设函数f(x)=若f(f(a))≤3,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-] B.[-,+∞)
C.[-3,] D.(-∞,]
6.(★★★)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款( )
A.413.7元 B.513.7元
C.546.6元 D.548.7元
二、填空题
7.(★★☆)函数f(x)=则f(-1)= .
8.(2020湖南张家界高一上期末,★★☆)依法纳税是每一个公民应尽的职责和义务,国家规定个人稿费的纳税标准为不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元按全部稿费的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,则他的稿费(扣税前)为 元.
9.(★★☆)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为 .
10.(★★★)分段函数f(x)=可以表示为f(x)=|x|,分段函数f(x)=可以表示为f(x)=(x+3-|x-3|),仿照上述式子,分段函数f(x)=可以表示为f(x)= .
三、解答题
11.(2020北京通州高一上期末,★★☆)下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米).
阶梯 户年用水量 (立方米) 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水处 理费
第一阶梯 0~180(含) 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 180~260(含) 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
(1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数关系式;
(2)若某户居民年交水费1 040元,求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少
答案全解全析
专题强化练1 分段函数有关问题的解法探究
一、选择题
1.B 由<1得f=-2=-,又>1,所以f=f==,故选B.
2.A 由f(x)=5得或
即或综上可得,x=-2,故选A.
3.C 依题意得f(x)=当x>0时,作出直线y=x+1,并取y轴右侧的部分;当x<0时,作出直线y=x-1,并取y轴左侧的部分.故选C.
4.D ∵-1<0,∴f(-1)==1.
∴f(a)+f(-1)=f(a)+1=2.
∴f(a)=1,即或
解得a=1或a=-1.
5.D 令f(a)=t,则f(t)≤3,等价于或解得t≥-3,则f(a)≥-3,等价于或
解得a≤,
则实数a的取值范围是(-∞,],故选D.
6.C 因为168÷90%=<200,所以付款168元的商品原价为168元;因为423÷90%=470<500,所以付款423元的商品原价为470元.若此人一次性购买上述两次同样的商品,则购买的商品原价为168+470=638元,应付款500×90%+(638-500)×70%=450+96.6=546.6元,故选C.
二、填空题
7.答案 1
解析 依题意得f(-1)=f(-1+3)=f(2)=f(2+3)=f(5)=5-4=1.
8.答案 3 800
解析 设稿费x元,纳税y元,依题意得,
y=
当x=4 000时,y=448.∵y=420<448,∴800因此,420=(x-800)×14%,解得x=3 800.
故他所得的稿费为3 800元.
9.答案 f(x)=
解析 当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).∵图象过点(-1,0)和(0,1),
∴得∴y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0).∵图象过点(4,0),
∴0=a(4-2)2-1,得a=,
∴f(x)=(x-2)2-1.
因此f(x)=
10.答案 (x+6+|x-6|)
解析 因为f(x)=可以表示为f(x)=(x+3-|x-3|),其分界点为3,从而式子中含有x+3与x-3,并通过|x-3|前面的“-”构造出需要的结果的形式,所以对于分段函数f(x)=其分界点为6,故式子中应含有x+6与x-6,又当x<6时, f(x)=6,故|x-6|的前面应取“+”,因此f(x)=(x+6+|x-6|).
三、解答题
11.解析 (1)依题意得,
y=
(2)依题意得,y=1 040,所以
当x∈[0,180]时,5x=1 040,解得x=208,不符合题意,舍去;
当x∈(180,260]时,7(x-180)+900=1 040,解得x=200,符合题意;
当x>260时,9(x-260)+1 460>1 040,不符合题意.
综上所述,x=200,即该用户当年用水量为200立方米.
因此,自来水费为2.07×180+4.07×20=454(元);水资源费为1.57×200=314(元);污水处理费为1.36×200=272(元).专题强化练2 二次函数在闭区间上最大(小)值的求法
一、选择题
1.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)函数f(x)=x2-2x+t(t为常数,且t∈R)在[-2,3]上的最大值是( )
A.t-1 B.t+6 C.t+8 D.t+3
2.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,★★☆)函数y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域是( )
A.R B.[3,6]
C.[2,6] D.[2,+∞)
3.(★★☆)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3], f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,0] B.
C.(-∞,0)∪ D.
4.(2019天津一中高一上期中,★★★)已知二次函数f(x)=x2-2x-4在区间[-2,a]上的最小值为-5,最大值为4,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,1) B.(-2,4]
C.[1,4] D.[1,+∞)
5.(★★★)函数y=+的值域是( )
A.[0,] B.[0,2] C.[1,] D.[1,2]
二、填空题
6.(★★☆)已知函数f(x)=-x2+4x+m,x∈[0,1],若f(x)有最大值1,则f(x)的最小值是 .
7.(2020重庆高一上月考,★★☆)已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[0,m]上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为 .
8.(★★☆)函数f(x)=x2+2x+a,若对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
9.(2019浙江杭州十四中高一上期中,★★★)已知函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],则a·b的最大值为 .
三、解答题
10.(2019湖北普通高中协作体高一上期中联考,★★☆)已知二次函数f(x)满足f(0)=2, f(x)-f(x-1)=2x+1,求函数f(x2+1)的最小值.
11.(★★☆)某旅行团去风景区旅游,若该团人数不超过30,飞机票每张收费900元;若该团人数多于30,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.该团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.假设一个旅行团不能超过70人.
(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式;
(2)该团人数为多少时,旅行社可获得最大利润
12.(2020河北承德一中高一上月考,★★★)已知函数f(x)=-x2+2x-3.
(1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a);
(2)已知g(a)=-3,求a的值.
答案全解全析
专题强化练2 二次函数在闭区间上
最大(小)值的求法
一、选择题
1.C 由f(x)=x2-2x+t=(x-1)2+t-1(t为常数,且t∈R),得f(x)在[-2,1]上递减,在[1,3]上递增,又f(-2)=8+t, f(3)=3+t<8+t,∴f(x)max=f(-2)=8+t,故选C.
2.C 由y=x2-2x+3=(x-1)2+2得,函数在[-1,1]上递减,在[1,2]上递增.当x=-1时,y=(-1-1)2+2=6;当x=1时,y=(1-1)2+2=2;当x=2时,y=(2-1)2+2=3.∴当-1≤x≤2时,ymax=6,ymin=2.∴y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域为[2,6],故选C.
3.D 由f(x)<-m+4可得,mx2-mx-1<-m+4,整理得m(x2-x+1)<5.①
∵x2-x+1=+>0,
∴由①可得,m<.
设g(x)=,
则只需满足m∵g(x)==,
∴g(x)在[1,3]上是减函数,
∴g(x)min=g(3)==.
∴m<,故选D.
4.C ∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,
∴f(x)min=f(1)=-5,
又由题知, f(x)max=4,
即x2-2x-4=4,解得x=-2或x=4,
∴作出f(x)的大致图象如图所示.
由题意及图象可知,1≤a≤4.故选C.
5.C 由y=+,得解得2 018≤x≤2 019,即函数的定义域为[2 018,2 019].又y2=2 019-x+x-2 018+2
=1+2,
且2 018≤x≤2 019,∴0≤-+≤,即1≤y2≤2,又y>0,
∴1≤y≤.故选C.
二、填空题
6.答案 -2
解析 ∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m=1,∴m=-2,∴f(x)min=f(0)=m=-2.
7.答案 [1,2]
解析 f(x)=(x-1)2+1,
由f(x)min=1得,1∈[0,m],即m≥1.
又f(x)max=2,且f(0)=2,
∴f(m)≤2,即m2-2m+2≤2,解得0≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是[1,2].
8.答案 (-3,+∞)
解析 ∵对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,
∴只需满足f(x)min>0(x∈[1,+∞))即可.
由题知, f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,
∴ f(x)在[1,+∞)上单调递增,因此,f(x)min=f(1)=3+a.
∴3+a>0,解得a>-3.
故a的取值范围是(-3,+∞).
9.答案 3
解析 因为函数y=x2+2x=(x+1)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为x=-1,
所以当x=-1时,函数取得最小值-1.又由题知,当y=3,即x2+2x=3时,可得x=-3或x=1.因为函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],所以a=-3,-1≤b≤1,此时-3≤a·b≤3,或b=1,-3≤a≤-1,此时-3≤a·b≤-1.因此a·b的最大值为3.
三、解答题
10.解析 ∵f(x)为二次函数,∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(0)=c=2.
又f(x)-f(x-1)=2x+1,
∴ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,
即2ax-a+b=2x+1,∴
解得∴f(x)=x2+2x+2.
令t=x2+1,则t≥1,∴函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.
∵f(t)的图象开口向上,图象的对称轴为t=-1,
∴f(t)在[1,+∞)上单调递增,
∴f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值为5.
11.解析 (1)设旅行团的人数为x,每张飞机票价格为y元,则
y=
即y=
(2)设旅行社可获得利润为Q元,则Q=
即Q=
当1≤x≤30且x∈N*时,Qmax=900×30-15 000=12 000;当30所以当该团人数为60时,旅行社可获得最大利润21 000元.
12.解析 (1)∵f(x)=-x2+2x-3,
∴当a≥1时,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;
当0当a≤0时,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2,
综上所述,g(a)=
(2)由题意可得,g(a)=-3,
当a≤0时,令g(a)=-a2-2=-3,解得a=-1或a=1(舍去),
当a≥1时,令g(a)=-a2+2a-3=-3,解得a=2或a=0(舍去).
综上所述,a=-1或2.