浙北 G2 期中联考
2022 学年第一学期高一数学试题
注意事项：
1．本试卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
试 卷
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M 1,0,1,2,3 ， N x | 1 x 3 ，则M N （ ）
A. 0,1,2 B. 1,0,1 C. M D. 1,0,1,2
.命题“ x R, x22 2x 2 0”的否定是（ ）
. x R, x2A 2x 2 0 B. x R, x2 2x 2 0
C. x R, x2 2x 2 0 D. x R, x2 2x 2 0
3. 以下四个图形中，可以作为函数 y f x 的图像的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列四个方程中，有正实数解的方程是( )
x
x 1
A．2 3 B. 1 C. 0.1
x 3 D. 3 x 3
3
1
2
5. 已知函数 f x 为定义在 R 上的奇函数，当 x 0时， f x x 1，则 f 1 f 0
（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
2 2 2
6.已知 a 43 ,b 45 ,c 53 ，则（ ）
A. a b c B. b a c C. b c a D. c a b
7.已知奇函数 f x 在定义域 R 上是单调递增的，且 a,b R，则“ a b 0”是
“ f a f b 0”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3x 1, x 1 f a
8.设函数 f x ，则满足 f f a 2 的 a 的取值范围是（ ） x
2 , x 1
2 2
A． ,1 B． 0,1 C． , D． 1,
3 3
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分）
1 1
9.下列四个条件，能推出 成立的是（ ）
a b
A. b 0 a B. 0 a b C. a 0 b D. a b 0
10.在下列四个函数中，在区间 1,2 上单调递减的函数是（ ）
x2 2x
1 1
A. f x B. f x x f x 2x C. D. f x
x 2
11.已知 x 0， y 0，则使得 x y 的最小值为4 的条件是（ ）
A. xy 4 B. x 2 y 1 2 2 C. x y 4 D. x2 5x y 8 0
x
12.函数 f (x) 的图像可能是（ ）
x2 a
A. B. C. D.
2
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
1 2
13.已知幂函数 f x 满足 f ，则 f x _______.
2 2
2
2
3 2
14.计算： 3 27
1 3 ______．
2 8
15.已知函数 f x 的图像由如右图所示的两条线段组成，则 f f 1 _____.
2
16.若不等式 ax 3 x b 0 对任意的 x 0, 恒成立，则 a b 1 的最大值为
_____.
四、解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本题满分 10 分)已知集合 A 4,a2 4a 2 ，集合B 2,7,2 a .
（1）若 A B 7 ，求a ；（2）若集合 A B ，求 A B.
2
18. (本题满分 12 分)设函数 f x ax b 2 x 3 a 0 .
（1）若不等式 f x 0的解集为 1,3 ，求a,b的值；
1 4
（2）若 f 1 2，且a 0，b 0，求 的最小值．
a b
2x2 x, x 0
19. (本题满分 12 分)已知函数 f x 为奇函数．
x
2 x, x 0
（1）求 , 的值；
2
（2）判断并证明 g x f x x （ x 1, ）的单调性.
x
3
20. (本题满分12分) 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），
要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形
构成，设矩形的两边长分别为CD x , AD y（单位：cm），部件的
面积是 39cm
2
.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求出定义域；
（2）为节省材料，请问 x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小.
x x
21. (本题满分 12 分)已知函数 f x 2 4 a 2 1
（1）当a 3时，求不等式 f x 0的解集；
（2）求函数 f x 在 0,1 上的最小值．
4
22. (本题满分 12 分)已知定义在区间 0, 上的函数 f x = t x 5 t 0 .
x
（1）若函数 f x 分别在区间 0,2 ， 2, 上单调，试求 t 的取值范围；
（2）当 t=1时，在区间 0,2 上是否存在实数a,b，使得函数 f x 在区间 a,b 上单调，
且 f x 的取值范围为 ma,mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
4浙北 G2期中联考
2022 学年第一学期高一数学答案
一、单项选择题
1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. C 8. C
二、多项选择题
9． ABD 10. AD 11. ABD 12. ABC
三、填空题
1
13. x 2 14. 3 15. 3 16. 6
四、解答题
17. （1）a 1；（2） 2,4
18.（1）a 1,b 4 ；（2）9
1
S 3xy x2
3 2
19. 解（1） sin 60 3xy x 39
2 4
3
39 x2
4 4 13 x
2
所以 y （0 x 2 4 13 ）
3x 4 3x
（2）如图所示：作OF CD于F ，交 AB 于 E ，连接OC
1 3 3
所以OE x x，
3 2 6
2 2
2 2
R2 OC2 CF 2
x 3 x 3 x 13 13 1 13
OF 2 y x y
2 xy x2
2 6
2
4 3 12 48 3 x 6
13 13
，当且仅当 x 2时等号成立.
6
2
20.（1） x ,0 ， f x f x 2 x x 2x2 x x2 x
所以 1， 2；
2 2
（2）显然 g x 2x ，
x
1
x1, x2 1, ，且 x1 x2，
2 2 x x
g x1 g x2 2x
2 2x2 1 2 1 2 2 x1 x2 x1 x2 2
x1 x2 x1x2
2 x1 x2
x1 x2 x1x2 2 x1x2
由 x1x2 1 ， x1 x2 2 得 x1 x2 x1x2 2 0 ，所以 g x1 g x2 ，进而 g x 在
1, 单调递增
x
21.（1）令 t 2 ，所以 f x 0 2t2 3t 1 0
1 1
所以 t 1 2
x 1，解得 1 x 1，于是 f x 0的解集为 x | 1 x 1
2 2
2 2
x 2 a a
（2）令 t 2 1,2 ，令 g t 2t at 1 2 t 1
4 8
a
（I）当 1时（a 4）
4
g t 在 1,2 上单调递增，则min g t g 1 3 a
a
（II）当1 2时（4 a 8）
4
a a2
min g t g 1
4 8
a
（III）当 2时（a 8）
4
g t 在 1,2 上单调递减，则min g t g 2 9 2a
3 a,a 4
a
2
综上min f x 1 , 4 a 8
8
9 2a,a 8
4 4
22.（1）当 x (0, )时， x 2 x 4，当 x 2时取最小值4 ，
x x
2
4
且 0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，要使函数 f (x) t(x ) 5 分别在
x
4 5
(0.2),(2, )上单调，则 g(x) t(x ) 5 0 ，即 g(x)min 4t 5 0 t ．
x 4
4
（2）当 t 1时， f (x) | x 5 |，作出 f (x) 图象如下：
x
令 f (x) 0，解得 x 1或 x 4
4
（I）当 a,b (0,1)时， f (x) x 5，
x
由 f (a) mb, f (b) ma 可得a b 5，与a,b (0,1) 矛盾，
即实数a,b不存在；
（II）当 a,b 1,2 时，
4 4 4
由 f (x) 5 (x )得 f (a) 5 (a )， f (b) 5 (b ) .
x a b
f (a) f (b) 4b 4a
由 m得，5b ab 5a ab 即5ab 4(a b) 0，
a b a b
4a 4 8
b 在，由a b 2，解得 a . 5a 4 3 54
5 a
f (a) a 4 5 4 8 1 5 3 由m 1( a )，令 t , ，所以
a a a2 a 3 5 a 8 4
2
m 4t2
5 9 1 9
5t 1 4 t ，解得 m
8 16 2 16
3
