初中数学湘教版七年级下册第五章 轴对称与旋转 章末检测（提高篇）
一、单选题
1．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选C．
【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．
2．（2021七上·东海期末）如图，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，正确变换的是（ ）
A．把三角形ABC向下平移4格，再绕着点C逆时针方向旋转
B．把三角形ABC向下平移5格，再绕着点C顺时针方向旋转
C．把三角形ABC绕着点C逆时针方向旋转 ，再向下平移2格
D．把三角形ABC绕着点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格
【答案】D
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、应该向下平移5格，再绕点C逆时针方向旋转 ，故不符合题意；
B、应该向下平移5格，再绕点C顺时针旋转 ，故不符合题意；
C、应该绕点C逆时针方向旋转 ，再向下平移5格，故不符合题意；
D、应该绕点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别根据平移、旋转的概念判断出各个选项中的图形能否由△ABC变换得到△DEF即可.
3．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
4．下列所示的图案中，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】A、至少旋转=90°，A不符合题意；
B、至少旋转=45°，B符合题意；
C、至少旋转=60°，C符合题意；
D、至少旋转=90°，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】每个图形都是旋转对称图形，计算出每个图形中的最小旋转角，即可得出答案。
5．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
6．（2020七上·滦州期末）如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，
故只有 不能与原图形重合.
故答案为：B.
【分析】据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求解．
7．（2020七下·淮阳期末）将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，这时如果使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O（ ）
A．顺时针旋转230° B．逆时针旋转110°
C．顺时针旋转110° D．逆时针旋转230°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的定义，将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°后，再绕着点O逆时针方向旋转170°，
等于逆时针旋转110°.
要使图形回到原来的位置，需顺时针旋转110°.
故答案为：C.
【分析】依据将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°后，再绕着点O逆时针方向旋转170°，等于逆时针旋转110°.即可求解.
8．（2020八上·温岭期中）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】如下图，从图中可以看出，该球沿图中方向被击出后经过了6次反射，最后才落入了1号袋.
故答案为：C.
【分析】利用轴对称的性质，画出图形，可得到答案。
9．如图中的四个图案，四位同学分别说出了它们的形成过程，其中说得不正确的是（ ）
A．图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得
B．图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成
C．图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得
D．图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成
【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得，
也可以是顺时针旋转90°，180°和270°所得，故此选项错误，符合题意；
B、图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成，正确，不合题意；
C、图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得，正确，不合题意；
D、图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成，正确，不合题意；
故选：A．
【分析】利用轴对称图形的性质以及图形的旋转变换分别分析得出即可．
10．（2020七下·横县期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE=60°时，BC∥DE．则∠CAE（0° ∠CAE 180°）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．75°和105° B．90 °和135°
C．90°，105°和150° D．90°，120°和150°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：当AE∥BC时
∴∠B=∠EAB=60°
∴∠CAE=∠BAE+∠CAB=60°+90°=150°；
当DE∥AC时，
∴∠E+∠ACE=180°
∴∠CAE=180°-90°=90°.
当BC∥AD时，
∴∠B=∠DAB=60°
∵∠DAE=45°，∠BC=90°，
∴∠BAE=∠DAB-∠DAE=60°-45°=15°，
∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=15°+90°=105°.
∴∠CAE的度数为： 90°，105°和150° .
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，分别画出图形，当AE∥BC时；当DE∥AC时；当BC∥AD时，利用平行线的性质，求出相关的角的倒数，再求出∠CAE的度数。
二、填空题
11．（2020七下·青岛期中）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠CE A′+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝ =145°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝140°，由三角形的内角和即可得到结论．
12．（2020七下·青岛期中）把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到∠BGD′=40°，则∠C′FE= °．
【答案】110
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】因为∠BGD′=∠EGF,∠BGD′=40°，所以∠EGF=40°,因为AD∥BC,所以∠DEF+∠CFE=180°,∠AEG=∠EGF=40°,所以∠DEG=180°-40°=140°,由折叠可知,∠DEF=∠GEF,∠CFE=∠C′FE,所以∠DEF= ×140°=70°,所以∠CFE=110°,所以∠C′FE=110°,故答案为110.
【分析】根据平行线的性质可得∠DEG的度数，再根据折叠的性质求出∠DEF的度数，进而根据平行线的性质求得∠EFC的度数，最后再利用折叠的性质求解.
13．（2019七上·泰山月考）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为17，则MN的长为 ．
【答案】17
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，
∴PE＝ME，FP＝FN，
∵△PEF的周长＝17，
∴PE＋PF＋EF＝ME＋EF＋FN＝17，
∴MN＝17．
故答案为：17．
【分析】由点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，即可推出OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，即可推出PE＝ME，FP＝FN，然后根据△PEF的周长＝17，MN＝ME＋EF＋FN，即可推出MN的长度．
14．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
【分析】根据轴对称与对称轴的定义，再观察此图着重画图中那一个小正方形的轴对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．（2020七上·罗湖期末）一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β， = 度.
【答案】105
【知识点】角的概念；角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：图1中设∠AOM＝x＝∠DOM，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOM＝60° x，
∵∠BOD＝∠DOM ∠BOM，
∴∠BOD＝x （60° x）＝2x 60°，
∵∠COB＝∠BOD＋∠DOC，
∴∠COB＝（2x 60°）＋45°＝2x 15°，
∴∠CON＝∠BON＝ （2x 15°）＝x 7.5°，
∴α＝∠NOM＝∠BOM＋∠BON＝60° x＋x 7.5°＝52.5°；
图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60° 2x，
∵∠COD＝45°，
∴60 2x＋2y＝45°，即x y＝7.5°，
∴β＝∠MON＝x＋（60 2x）＋y＝60 （x y）＝52.5°，
∴ ＝52.5°＋52.5°＝105°,
故答案为：105.
【分析】图1中先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60 x，根据∠BOD＝∠DOM ∠BOM，得出∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD＋∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠NOM＝∠BOM＋∠BON，即可得出α; 图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60 2x，根据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，
16．（2019七下·玄武期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
【答案】21或57
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°，
则∠FAD=75°，
故∠CAF=15°，则∠BAF=105°，
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为： =21（秒），
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″=75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°-75°=285°，
则在旋转的过程中：第 =57（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
综上所述：在第21或57秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为21或57．
【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧或异侧时画出图形．利用平行线的性质得出即可．
三、解答题
17．（2020八上·四川月考）在3×3的正方形格点图中，△ABC和△DEF是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形，现给出了△ABC，在下面的图中画出5个符合条件的△DEF，并画出对称轴．
【答案】解：如图所示：
△DEF即为所求．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】运用轴对称图形的性质画出图形即可．
18．（2019七下·卧龙期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O，M也在格点上.
①画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的△A'B'C'；
②画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
③画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
④△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴.
【答案】如图，△A'B'C'、△A1B1C1、△A2B2C2为所作；
△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，如图，对称轴为直线CC'和直线A1A2.
【知识点】轴对称图形；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】①利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，顺次连接即可；②利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；③利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，顺次连接即可；④利用轴对称图形的定义可判断△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，其中对称轴为直线CC′和直线A1A2.
19．（2019七下·桂平期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，三角形ABC的顶点均在格点上．
（1）①画出三角形ABC绕C点按逆时针方向旋转90°后得到的三角形AB1C1；
②画出三角形A2B2C2，使三角形A2B2C2和三角形AB1C1关于直线a成轴对称；
（2）线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积为 ．
【答案】（1）解：如图，△AB1C1、△A2B2C2即为所求
（2） π
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积＝ + ﹣S△ABC﹣ ＝ ﹣ ＝ π．
故答案为 π．
【分析】（1） ① 先画出AC绕C旋转90°得到A1C，再画出BC绕C旋转90°得到B1C，连接A1B1，则△A1B1C为所求； ② 分别画出A1、B1、C，关于a的对称点A2、B2、C2，把此三点顺次连接起来即为所求的 A2B2C2 ；
（2）如图，线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积等于 与 之和减去S△ABC与之和，代入数据计算即可。
20．课本在介绍了画轴对称图形的一种方法之后，指出“画轴对称图形，这只是图案设计的一种方法”．其实，设计轴对称图形的方法也并不只是课本中介绍的一种．把几个轴对称图形，或者关于某条直线成轴对称的几对图形适当进行组合，也是设计轴对称图形比较常用的办法．下面是几个这样产生出来的轴对称图形的例子．
（1）上面几个轴对称图形都是几个轴对称图形组合的产物，但具体做法又可以看作是两种不同情况，请指出是哪两种情况．
（2）请按本题说明的途径设计两个轴对称图形．
【答案】（1）解：可以分为两种情况：
一种是把几个轴对称图形（或者成轴对称的图形）拼凑在一起，使他们有共同的对称轴而形成的；
另一种是从一个轴对称图形上去掉一个或者几个轴对称图形（或成轴对称的图形），原图形与去掉的部分具有相同的对称轴
（2）解：答案不唯一：如图．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）可以分为两种情况，①将几个轴对称图形拼凑在一起；②将一个轴对称图形去掉一个或几个轴对称图形；（2）画出自己设计的轴对称图形即可．
21．（2017·邵东模拟）尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：如图所示．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：作A、B、C、D关于直线m的对称点A′、B′、C′、D′，图案如图所示．
【分析】作A、B、C、D关于直线m的对称点A′、B′、C′、D′即可解决问题、
22．（2019七下·南浔期末）长江汛期即将来临，为r便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯(如图1)，∠BAN=45°.灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是3度／秒，灯B转动的速度是1度／秒.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN.如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠BAC与∠BCD的比值，并说明理由。
【答案】解：设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°﹣3t，
∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，
即2∠BAC=3∠BCD 或者∠BAC= ∠BCD.
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】设A灯转动时间为t秒，根据A灯的转动速度及邻补角的定义，可用含t的代数式表示出∠CAN，而∠BAN=45°=∠BAC+∠CAN，因此用含t的代数式表示出∠BAC； 再利用平行线的性质，可知∠BCA=∠CBD+∠CAN，用含t的代数式表示出∠BCA，再根据垂直的定义，可证∠BCA+∠BCD=90°，再用含t的代数式表示出∠BCD，然后求出∠BAC与∠BCD的比值，即可得出它们之间的关系。
23．（2021七上·丹徒期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．
（1）∠QOC= °
（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．
①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；
②当t= 时，OP⊥OC．
【答案】（1）100
（2）解：设过t秒，线段OQ与射线OC重合， 则12t+8t=100，解得：t=5；；3.5或12.5
【知识点】角的运算；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，
∴∠QOC=180°-20°-60°=100°，
故答案是：100；
（2）②第一次OP⊥OC时，∠QOC=90°-60°=30°，
则12t+8t=100-30，解得：t=3.5；
第二次OP⊥OC时，∠QOC=90°+60°=150°，
则12t+8t=100+150，解得：t=12.5，
综上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，
故答案是：3.5或12.5
【分析】（1）根据角的和差关系，直接求出∠QOC的度数，即可；（2）①根据题意，列出关于t的一元一次方程，即可求解；②分两种情况：第一次OP⊥OC时，第二次OP⊥OC时，分别列出关于t的一元一次方程，即可求解．
24．（2021七上·邗江期末）如图，将两个完全一样的等腰直角三角尺如图叠放，∠B=∠D=90°，∠AOB=∠DOC=45°，使公共顶点与直线OF上的点O重合，∠DOF=10°，∠AOD=70°.规定三角板从现有位置绕着点O顺时针旋转α度记为<+，α>，逆时针旋转α度记为<-，α>(0≤α≤360).如三角板AOB绕着点O顺时针旋转30度后的位置记作<+，30>，绕着点O逆时针旋转15度后的位置记作<-，15>.
（1）∠BOF= °；
（2）把三角板AOB绕点O旋转，使OB⊥OF，则旋转后三角板AOB位置记作 ；
（3）若三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.设旋转时间为t秒，请求出当∠DOB=10°时t的值.
【答案】（1）35
（2）(+，125)或(-，55)或(+，305)或(-，235)
（3）解：∵三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.(0≤α≤360)， (0≤β≤360)，设旋转时间为t秒，
360°÷4=90
∴0≤t≤90
∵∠BOD=25°
依题意可得①25°-（4+1）t=10°，解得t=3
②25°+10°=（4+1）t，解得t=7
③360°+25°-（4+1）t=10°，解得t=75
④360°+25°+10°=（4+1）t，解得t=79；
综上，当∠DOB=10°时，t=3或7或75或79.
【知识点】旋转的性质；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵∠AOD=70°
∴∠BOD=70°-∠AOB=25°
∵∠DOF=10°
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=35°
故答案为：35；
（2）把三角板AOB绕点O旋转，使OB⊥OF，
当三角板AOB顺时针旋转时，旋转的度数为90°+35°=125°记作(+，125)
或旋转的度数为180°+125°=305，记作(+，305)
当三角板AOB逆时针旋转时，旋转的度数为90°-35°=55°记作(-，55)
或旋转的度数为180°+55°=235，记作(-，235)
故答案为：(+，125)或(-，55)或(+，305)或(-，235)；
【分析】（1）由旋转的性质即可求解， 旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变.
（2）本题定义新概念. 规定三角板从现有位置绕着点O顺时针旋转α度记为<+，α>，逆时针旋转α度记为<-，α>(0≤α≤360).然后即可解决问题.
(3)、若三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.设旋转时间为t秒，注意分类讨论，即可求t的值.
1 / 1初中数学湘教版七年级下册第五章 轴对称与旋转 章末检测（提高篇）
一、单选题
1．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·东海期末）如图，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，正确变换的是（ ）
A．把三角形ABC向下平移4格，再绕着点C逆时针方向旋转
B．把三角形ABC向下平移5格，再绕着点C顺时针方向旋转
C．把三角形ABC绕着点C逆时针方向旋转 ，再向下平移2格
D．把三角形ABC绕着点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格
3．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
4．下列所示的图案中，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2020七上·滦州期末）如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合．（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七下·淮阳期末）将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，这时如果使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O（ ）
A．顺时针旋转230° B．逆时针旋转110°
C．顺时针旋转110° D．逆时针旋转230°
8．（2020八上·温岭期中）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是（ ）
A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
9．如图中的四个图案，四位同学分别说出了它们的形成过程，其中说得不正确的是（ ）
A．图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得
B．图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成
C．图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得
D．图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成
10．（2020七下·横县期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE=60°时，BC∥DE．则∠CAE（0° ∠CAE 180°）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．75°和105° B．90 °和135°
C．90°，105°和150° D．90°，120°和150°
二、填空题
11．（2020七下·青岛期中）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
12．（2020七下·青岛期中）把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到∠BGD′=40°，则∠C′FE= °．
13．（2019七上·泰山月考）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为17，则MN的长为 ．
14．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
15．（2020七上·罗湖期末）一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β， = 度.
16．（2019七下·玄武期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边DE平行．
三、解答题
17．（2020八上·四川月考）在3×3的正方形格点图中，△ABC和△DEF是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形，现给出了△ABC，在下面的图中画出5个符合条件的△DEF，并画出对称轴．
18．（2019七下·卧龙期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O，M也在格点上.
①画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的△A'B'C'；
②画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
③画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
④△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴.
19．（2019七下·桂平期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，三角形ABC的顶点均在格点上．
（1）①画出三角形ABC绕C点按逆时针方向旋转90°后得到的三角形AB1C1；
②画出三角形A2B2C2，使三角形A2B2C2和三角形AB1C1关于直线a成轴对称；
（2）线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积为 ．
20．课本在介绍了画轴对称图形的一种方法之后，指出“画轴对称图形，这只是图案设计的一种方法”．其实，设计轴对称图形的方法也并不只是课本中介绍的一种．把几个轴对称图形，或者关于某条直线成轴对称的几对图形适当进行组合，也是设计轴对称图形比较常用的办法．下面是几个这样产生出来的轴对称图形的例子．
（1）上面几个轴对称图形都是几个轴对称图形组合的产物，但具体做法又可以看作是两种不同情况，请指出是哪两种情况．
（2）请按本题说明的途径设计两个轴对称图形．
21．（2017·邵东模拟）尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）．
22．（2019七下·南浔期末）长江汛期即将来临，为r便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯(如图1)，∠BAN=45°.灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是3度／秒，灯B转动的速度是1度／秒.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN.如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠BAC与∠BCD的比值，并说明理由。
23．（2021七上·丹徒期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．
（1）∠QOC= °
（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．
①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；
②当t= 时，OP⊥OC．
24．（2021七上·邗江期末）如图，将两个完全一样的等腰直角三角尺如图叠放，∠B=∠D=90°，∠AOB=∠DOC=45°，使公共顶点与直线OF上的点O重合，∠DOF=10°，∠AOD=70°.规定三角板从现有位置绕着点O顺时针旋转α度记为<+，α>，逆时针旋转α度记为<-，α>(0≤α≤360).如三角板AOB绕着点O顺时针旋转30度后的位置记作<+，30>，绕着点O逆时针旋转15度后的位置记作<-，15>.
（1）∠BOF= °；
（2）把三角板AOB绕点O旋转，使OB⊥OF，则旋转后三角板AOB位置记作 ；
（3）若三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.设旋转时间为t秒，请求出当∠DOB=10°时t的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选C．
【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．
2．【答案】D
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、应该向下平移5格，再绕点C逆时针方向旋转 ，故不符合题意；
B、应该向下平移5格，再绕点C顺时针旋转 ，故不符合题意；
C、应该绕点C逆时针方向旋转 ，再向下平移5格，故不符合题意；
D、应该绕点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别根据平移、旋转的概念判断出各个选项中的图形能否由△ABC变换得到△DEF即可.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
4．【答案】B
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】A、至少旋转=90°，A不符合题意；
B、至少旋转=45°，B符合题意；
C、至少旋转=60°，C符合题意；
D、至少旋转=90°，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】每个图形都是旋转对称图形，计算出每个图形中的最小旋转角，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
6．【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，
故只有 不能与原图形重合.
故答案为：B.
【分析】据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求解．
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的定义，将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°后，再绕着点O逆时针方向旋转170°，
等于逆时针旋转110°.
要使图形回到原来的位置，需顺时针旋转110°.
故答案为：C.
【分析】依据将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°后，再绕着点O逆时针方向旋转170°，等于逆时针旋转110°.即可求解.
8．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】如下图，从图中可以看出，该球沿图中方向被击出后经过了6次反射，最后才落入了1号袋.
故答案为：C.
【分析】利用轴对称的性质，画出图形，可得到答案。
9．【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：A、图①是一个长方形绕着图形的中心按逆时针旋转90°，180°和270°所得，
也可以是顺时针旋转90°，180°和270°所得，故此选项错误，符合题意；
B、图②可由一个钝角三角形绕着图形的中心按同一方向旋转90°，180°和270°形成，正确，不合题意；
C、图③可以看作以正方形的一条对角线所在直线为对称轴翻折所得，正确，不合题意；
D、图④可以看作由长方形的一边的垂直平分线为对称轴翻折而成，正确，不合题意；
故选：A．
【分析】利用轴对称图形的性质以及图形的旋转变换分别分析得出即可．
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：当AE∥BC时
∴∠B=∠EAB=60°
∴∠CAE=∠BAE+∠CAB=60°+90°=150°；
当DE∥AC时，
∴∠E+∠ACE=180°
∴∠CAE=180°-90°=90°.
当BC∥AD时，
∴∠B=∠DAB=60°
∵∠DAE=45°，∠BC=90°，
∴∠BAE=∠DAB-∠DAE=60°-45°=15°，
∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=15°+90°=105°.
∴∠CAE的度数为： 90°，105°和150° .
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，分别画出图形，当AE∥BC时；当DE∥AC时；当BC∥AD时，利用平行线的性质，求出相关的角的倒数，再求出∠CAE的度数。
11．【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠CE A′+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝ =145°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝140°，由三角形的内角和即可得到结论．
12．【答案】110
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】因为∠BGD′=∠EGF,∠BGD′=40°，所以∠EGF=40°,因为AD∥BC,所以∠DEF+∠CFE=180°,∠AEG=∠EGF=40°,所以∠DEG=180°-40°=140°,由折叠可知,∠DEF=∠GEF,∠CFE=∠C′FE,所以∠DEF= ×140°=70°,所以∠CFE=110°,所以∠C′FE=110°,故答案为110.
【分析】根据平行线的性质可得∠DEG的度数，再根据折叠的性质求出∠DEF的度数，进而根据平行线的性质求得∠EFC的度数，最后再利用折叠的性质求解.
13．【答案】17
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，
∴PE＝ME，FP＝FN，
∵△PEF的周长＝17，
∴PE＋PF＋EF＝ME＋EF＋FN＝17，
∴MN＝17．
故答案为：17．
【分析】由点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，即可推出OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，即可推出PE＝ME，FP＝FN，然后根据△PEF的周长＝17，MN＝ME＋EF＋FN，即可推出MN的长度．
14．【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
【分析】根据轴对称与对称轴的定义，再观察此图着重画图中那一个小正方形的轴对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
15．【答案】105
【知识点】角的概念；角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：图1中设∠AOM＝x＝∠DOM，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOM＝60° x，
∵∠BOD＝∠DOM ∠BOM，
∴∠BOD＝x （60° x）＝2x 60°，
∵∠COB＝∠BOD＋∠DOC，
∴∠COB＝（2x 60°）＋45°＝2x 15°，
∴∠CON＝∠BON＝ （2x 15°）＝x 7.5°，
∴α＝∠NOM＝∠BOM＋∠BON＝60° x＋x 7.5°＝52.5°；
图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60° 2x，
∵∠COD＝45°，
∴60 2x＋2y＝45°，即x y＝7.5°，
∴β＝∠MON＝x＋（60 2x）＋y＝60 （x y）＝52.5°，
∴ ＝52.5°＋52.5°＝105°,
故答案为：105.
【分析】图1中先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60 x，根据∠BOD＝∠DOM ∠BOM，得出∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD＋∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠NOM＝∠BOM＋∠BON，即可得出α; 图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60 2x，根据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，
16．【答案】21或57
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°，
则∠FAD=75°，
故∠CAF=15°，则∠BAF=105°，
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为： =21（秒），
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″=75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°-75°=285°，
则在旋转的过程中：第 =57（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
综上所述：在第21或57秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为21或57．
【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧或异侧时画出图形．利用平行线的性质得出即可．
17．【答案】解：如图所示：
△DEF即为所求．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】运用轴对称图形的性质画出图形即可．
18．【答案】如图，△A'B'C'、△A1B1C1、△A2B2C2为所作；
△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，如图，对称轴为直线CC'和直线A1A2.
【知识点】轴对称图形；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】①利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，顺次连接即可；②利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；③利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，顺次连接即可；④利用轴对称图形的定义可判断△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，其中对称轴为直线CC′和直线A1A2.
19．【答案】（1）解：如图，△AB1C1、△A2B2C2即为所求
（2） π
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积＝ + ﹣S△ABC﹣ ＝ ﹣ ＝ π．
故答案为 π．
【分析】（1） ① 先画出AC绕C旋转90°得到A1C，再画出BC绕C旋转90°得到B1C，连接A1B1，则△A1B1C为所求； ② 分别画出A1、B1、C，关于a的对称点A2、B2、C2，把此三点顺次连接起来即为所求的 A2B2C2 ；
（2）如图，线段AB变换到A1B1的过程中扫过的区域面积等于 与 之和减去S△ABC与之和，代入数据计算即可。
20．【答案】（1）解：可以分为两种情况：
一种是把几个轴对称图形（或者成轴对称的图形）拼凑在一起，使他们有共同的对称轴而形成的；
另一种是从一个轴对称图形上去掉一个或者几个轴对称图形（或成轴对称的图形），原图形与去掉的部分具有相同的对称轴
（2）解：答案不唯一：如图．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）可以分为两种情况，①将几个轴对称图形拼凑在一起；②将一个轴对称图形去掉一个或几个轴对称图形；（2）画出自己设计的轴对称图形即可．
21．【答案】解：如图所示．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：作A、B、C、D关于直线m的对称点A′、B′、C′、D′，图案如图所示．
【分析】作A、B、C、D关于直线m的对称点A′、B′、C′、D′即可解决问题、
22．【答案】解：设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°﹣3t，
∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，
即2∠BAC=3∠BCD 或者∠BAC= ∠BCD.
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】设A灯转动时间为t秒，根据A灯的转动速度及邻补角的定义，可用含t的代数式表示出∠CAN，而∠BAN=45°=∠BAC+∠CAN，因此用含t的代数式表示出∠BAC； 再利用平行线的性质，可知∠BCA=∠CBD+∠CAN，用含t的代数式表示出∠BCA，再根据垂直的定义，可证∠BCA+∠BCD=90°，再用含t的代数式表示出∠BCD，然后求出∠BAC与∠BCD的比值，即可得出它们之间的关系。
23．【答案】（1）100
（2）解：设过t秒，线段OQ与射线OC重合， 则12t+8t=100，解得：t=5；；3.5或12.5
【知识点】角的运算；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，
∴∠QOC=180°-20°-60°=100°，
故答案是：100；
（2）②第一次OP⊥OC时，∠QOC=90°-60°=30°，
则12t+8t=100-30，解得：t=3.5；
第二次OP⊥OC时，∠QOC=90°+60°=150°，
则12t+8t=100+150，解得：t=12.5，
综上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，
故答案是：3.5或12.5
【分析】（1）根据角的和差关系，直接求出∠QOC的度数，即可；（2）①根据题意，列出关于t的一元一次方程，即可求解；②分两种情况：第一次OP⊥OC时，第二次OP⊥OC时，分别列出关于t的一元一次方程，即可求解．
24．【答案】（1）35
（2）(+，125)或(-，55)或(+，305)或(-，235)
（3）解：∵三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.(0≤α≤360)， (0≤β≤360)，设旋转时间为t秒，
360°÷4=90
∴0≤t≤90
∵∠BOD=25°
依题意可得①25°-（4+1）t=10°，解得t=3
②25°+10°=（4+1）t，解得t=7
③360°+25°-（4+1）t=10°，解得t=75
④360°+25°+10°=（4+1）t，解得t=79；
综上，当∠DOB=10°时，t=3或7或75或79.
【知识点】旋转的性质；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵∠AOD=70°
∴∠BOD=70°-∠AOB=25°
∵∠DOF=10°
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=35°
故答案为：35；
（2）把三角板AOB绕点O旋转，使OB⊥OF，
当三角板AOB顺时针旋转时，旋转的度数为90°+35°=125°记作(+，125)
或旋转的度数为180°+125°=305，记作(+，305)
当三角板AOB逆时针旋转时，旋转的度数为90°-35°=55°记作(-，55)
或旋转的度数为180°+55°=235，记作(-，235)
故答案为：(+，125)或(-，55)或(+，305)或(-，235)；
【分析】（1）由旋转的性质即可求解， 旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变.
（2）本题定义新概念. 规定三角板从现有位置绕着点O顺时针旋转α度记为<+，α>，逆时针旋转α度记为<-，α>(0≤α≤360).然后即可解决问题.
(3)、若三角板AOB绕点O按每秒4°的速度旋转至<+，α>，同时三角板COD绕点O以每秒1°的速度旋转至<-，β>.设旋转时间为t秒，注意分类讨论，即可求t的值.
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