初中数学苏科版七年级上册6.1-6.3 同步练习
一、单选题
1．（2021七上·鼓楼期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（ ）
A．用两颗钉子可以固定一根木条
B．把弯路改直可以缩短路程
C．用两根木桩拉一直线可把树栽成一排
D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解： “两点之间，线段最短”是一个定理，把弯路改成直路可以缩短路程也是必然的事件，而A、C、D体现是两点确定一条直线的基本事实.
故答案为：B.
【分析】根据两点确定一条直线、两点之间线段最短，进行逐一判断即可.
2．（2021七上·丹徒期末）如图是一副三角板摆成的图形，如果 ，那么 等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵三角板的两个直角都等于90°，即∠BOD＋∠AOC＝180°，
∵∠BOD＋∠AOC＝∠AOB＋∠COD，
又∵∠AOB＝160°，
∴∠COD=20°．
故选：B．
【分析】根据题意得：∠BOD＋∠AOC＝∠AOB＋∠COD，进而结合已知条件，即可得出答案．
3．（2021七上·沭阳期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点 表示的数为-2，那么点 表示的数是（ ）.
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两点间的距离
【解析】【解答】观察数轴可知点A与点B之间的距离是5个单位长度，点B在点A的右侧，
因为点A表示的数是-2，-2+5=3，
所以点B表示的数是3，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得：点A与点B之间的距离是5个单位长度，据此可得点A表示的数为-2+5，计算即可.
4．（2021七上·如皋期末）如图， ，以 为一边作 ，则 的度数为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，∠AOB=60°，∠AOC=15°，
当点C在∠AOB内部时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=45°，
当点C在∠AOB外部时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°，
故答案为：D.
【分析】画出图形，分①点C在∠AOB内部；②点C在∠AOB外部，结合角的和差关系计算即可.
5．（2021七上·海安期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中 的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠ABD=45°，∠CBD=90°，
∴∠ABC=45°+90°=135°，
故答案为：C.
【分析】由三角尺的度数可得∠ABD=45°，∠CBD=90°，然后根据角的和差关系计算即可.
6．（2021七上·射阳期末）如图，直线AB和CD相交于O，那么图中 ∠DOE与∠COA 的关系是（ ）
A．对顶角 B．相等 C．互余 D．互补
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠DOE+∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE+∠AOC=90°，
即∠DOE与∠COA互余.
故答案为：C.
【分析】由垂直的概念可得∠DOE+∠BOD=90°，由对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC，进而可推出∠DOE+∠AOC=90°，据此判断即可.
7．（2021七上·射阳期末）如图，下列说法中错误的是（ ）.
A． 方向是北偏东20° B． 方向是北偏西15°
C． 方向是南偏西30° D． 方向是东南方向
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 方向是北偏东 ，故A选项错误；
方向是北偏西15°，故B选项正确；
方向是南偏西30°，故C选项正确；
方向是东南方向，故D选项正确.
故答案为：A.
【分析】方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标
的方向线所成的角（一般指锐角），根据方位角的概念分别判断出OA、OB、OC、OD的方向，然后进行判断即可.
8．（2021七上·阜宁期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP=3 cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、画射线OP=3 cm，错误，射线没有长度，故此选项不合题意；
B、画出A、B两点的距离，错误，应该是量出A、B两点的距离，故此选项不合题意；
C、延长射线OA，错误，射线向一方无限延伸，不能延长，故此选项不合题意；
D、连结A、B两点，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据射线没有长度可判断A的正误；距离只能描述为测量，据此判断B的正误；射线不能延长，只能延伸或反向延长，据此判断C的正误.
9．（2021七上·淮安期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故错误；
B、∠1和∠2是对顶角，故正确；
C、∠1和∠2不是对顶角，故错误；
D、∠1和∠2不是对顶角，故错误.
故答案为：B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断即可.
10．（2020七上·江都期末）现实生活中“为何有人宁可违反交通规则翻越隔离带乱穿马路，也不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释这一现象，其原因为（ ）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，
其原因是两点之间，线段最短，
故答案为：D.
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
11．（2020七上·溧水期末）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不确定
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故答案为：B．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
12．（2020七上·建邺期末）如图，已知射线OA⊥射线OB, 射线OA表示北偏西25°的方向，则射线OB表示的方向为（ ）
A．北偏东65° B．北偏东55° C．北偏东75° D．东偏北75°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】∵OA与正北方向的夹角是25°,
∴OB与正北方向的夹角是：90°-25°=65°，
则OB的方向角为北偏东65°．
故答案为：A．
【分析】首先求得OB与正北方向的夹角，然后根据方向角的定义求解．
13．（2020七上·大丰期末）如图，由点O测点A的方向是（ ）
A．北偏南60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．西偏南30°
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝90° 60°＝30°，
∴点A的方向位于点O南偏西30°方向.
故答案为：C.
【分析】根据方向角的定义及表示方法进行解答，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.
二、填空题
14．（2021七下·苏州开学考）已知 .则 的余角为 .
【答案】21°18′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的余角为
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
15．（2021七上·兴化期末）若 ，则 的补角等于 ．
【答案】146°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的补角为：
故答案为： ．
【分析】由互为补角的两个角之和为180°解答即可.
16．（2021七上·昆山期末）钟表上显示6时20分，则此刻时针与分针的夹角的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：分针每分钟转动：360÷60=6度，
时针每分钟转动：360÷12÷60=0.5度，
.
故答案为：70°．
【分析】分针每分钟转动6度，时针每分钟转动0.5度，从6时开始时针与分针成的180°，减去分针转动的角度再加上时针转动的度数即为此时的度数.
17．（2021七上·昆山期末）基本事实：已知过 两点可以画一条直线 ，我们得到了一个基本事实 ，若平面内有不在同一直线上的3个点，过其中任意两点，一共可以画 条直线；
类比：如图 ，已知 ，在AOB的内部画射线 ，则图中共有 个角；
实践应用：2020年7月1日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图2．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有 种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素)
【答案】两点确定一条直线；3；6；10
【知识点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；角的概念
【解析】【解答】解：（1）基本事实：已知过 两点可以画一条直线 ，我们得到了一个基本事实两点确定一条直线，若平面内有不在同一直线上的3个点，过其中任意两点，一共可以画3条直线；
故答案为：两点确定一条直线，3；
（2）类比：图中的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共6个，
故答案为：6；
（3）实践应用：根据线段的定义：可知图中共有线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，
∴有10种不同的票价；
故答案为：10.
【分析】（1）基本事实：根据两点确定一条直线，过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三个点的直线有3条；
（2）类比：根据角的概念，表示出所有的角；
（3）实践应用：先求出线段的条数，从而确定票价的种数.
18．（2021七上·鼓楼期末）如图，直线 、 相交于点 ，将量角器的中心与点 重合，发现表示 的点在直线 上，表示 的点在直线 上，则 ．
【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
．
故答案为：75．
【分析】利用角的和差求出∠2的度数，根据对顶角相等可得∠1=∠2，据此即得结论.
19．（2021七上·鼓楼期末）如图，将一个三角板 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ， ．
【答案】58
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BAC= ， ，
∴∠EAC=∠BAC-∠1= ，
∵∠DAE= ，
∴∠2=∠DAE-∠EAC= ，
故答案为：58 ．
【分析】先由∠EAC=∠BAC-∠1求出∠EAC的度数，再由∠2=∠DAE-∠EAC求出∠2的度数.
20．（2021七上·鼓楼期末）已知 ，则 的补角是 .
【答案】149°36′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为∠α= ，
所以∠α的补角为180° ∠α=180° = ，
故答案为：149°36′.
【分析】如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，据此解答即可.
21．（2021七上·丹徒期末）如图，将四边形ABCD沿虚线裁去一个角得到五边形ABCFE，则该五边形的周长 原四边形的周长（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【答案】小于
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，
∴四边形ABCD沿虚线裁去一个角得到五边形ABCFE，则这个五边形的周长小于原四边形的周长，
故答案为：小于．
【分析】利用两点的所有连线中，线段最短，可以得出结论．
22．（2021七上·海陵期末）如图，∠1＝30°，则射线OA表示的方位是南偏东 .
【答案】60°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：有图意可得：∵90°-30°=60°，
∴射线OA表示为南偏东60°.
故答案为：60°.
【分析】根据方向角的定义，即可解答.
23．（2021七上·海陵期末）从甲地到乙地有3条路，但小明说这三条路都不是最短的，小明的依据是 .
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：这个基本事实是：两点之间，线段最短.
故答案为：两点之间，线段最短.
【分析】根据两点之间线段最短解答.
24．（2021七上·江都期末）已知 ，则 的补角等于 .
【答案】104.5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意，∵ ，
∴ 的补角为： ；
∴
故答案为：104.5.
【分析】由补角的概念可得：∠A的补角=180°-75°30′，然后根据1°=60′进行计算即可.
25．（2021七上·江都期末）时钟上 点 分时，时针与分针的夹角为 .
【答案】160°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：2点40分时，时针旋转 ×60×0.5°=80°，
分针旋转40×6°=240°，
则时针与分针的夹角为：240° 80°=160°；
故答案为：160°.
【分析】2点40分时针经过了小时，转过的角度为×60×0.5°=80°，分针转过的角度为40×6°=240°，两者之差即为时针与分针的夹角.
26．（2021七上·东台期末）下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设.其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 .（填序号）
【答案】②④
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用两点可确定一条直线解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用两点之间，线段最短解释；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用两点可确定一条直线解释；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，可用两点之间，线段最短解释；
故答案为：②④.
【分析】根据直线公理可判断①③的正误；根据线段公理可判断②④的正误.
27．（2021七上·沭阳期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ，若 ，则 的度数为 .
【答案】50°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90° 40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°.
故答案是：50°.
【分析】由垂直的概念结合已知条件可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质就可得到∠AOC的度数.
28．（2021七上·沭阳期末）已知 ，则 的补角是 ° ＇.
【答案】149；36
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的补角=180°- =149°36′，
故答案是：149，36.
【分析】根据补角的概念可得：∠α的补角=180°- ，然后根据1°=60′进行计算即可.
29．（2021七上·如皋期末）已知 ，那么 的补角等于 .
【答案】155°23′
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠α=24°37′，
则∠α的补角=180°-24°37′=155°23′.
故答案为：155°23′.
【分析】由补角的概念可得：∠α的补角=180°-24°37′，然后结合1°=60′计算即可.
30．（2021七上·如皋期末）“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和 的两点之间的距离，可列式表示为 ，或 ；表示数 和 的两点之间的距离可列式表示为 .已知 ，则 的最大值为 .
【答案】4
【知识点】两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
表示x与-3的距离和x与1的距离之和，
表示y与-2的距离和y与3的距离之和，
∴当-3≤x≤1时， 有最小值，且为1-（-3）=4，
当-2≤x≤3时， 有最小值，且为3-（-2）=5，
∵ ，
∴ =4， =5，
∴x+y的最大值为：1+3=4，
故答案为：4.
【分析】由题意可得：|x+3|+|x-1|=4，|y+2|+|y-3|=5，据此不难求得x+y的最大值.
31．（2021七上·海安期末）如图，某海域有三个小岛 ， ， ，在小岛处观测到小岛 在它北偏东 的方向上，观测到小岛 在它南偏东 的方向上，则 的补角的度数是 .
【答案】100°
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：∵OA是表示北偏东 方向的一条射线，OB是表示南偏东 方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-61°43′-38°17′=80°，
∴∠AOB的补角的度数是180°-80°=100°.
故答案是：100°.
【分析】由题意可得：∠AOB=180°-61°43′-38°17′，然后由1°=60′进行化简，最后根据补角的概念求解即可.
32．（2021七上·邗江期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是 .
【答案】80
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设∠α为x，则∠β＝180° x.
∴180° x-x＝20°，
解得：x＝80°，
∴∠α的度数是80°，
故答案为：80
【分析】 本题两个角的度数和为180°时，这两个角互为补角，求补角就用180度减去这个角的度数，从而列出方程解决问题即可.
33．（2021七上·射阳期末）一个角的补角加上 后，等于这个角的余角的4倍，则这个角等于 .
【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°-∠α+30°=4(90°-∠α)，
解得∠α=50°.
故答案为：50°.
【分析】设这个角为∠α，则其补角为：180°-∠α，余角为：90°-∠α，进而根据题意列出方程，求解即可.
34．（2021七上·阜宁期末）已知∠α＝50°46′，则∠α的余角为 .
【答案】39°14'
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α=50°46′，
∴∠α的余角=90°-50°46′=39°14'；
故答案为：39°14'.
【分析】如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，据此即可算出答案.
35．（2021七上·江阴期末）一个角的度数是 ，则它的补角的度数为 .
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】一个角的度数是 ，则它的补角的度数为
故答案为： .
【分析】如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为相反数，据此解答即可.
三、解答题
36．（2021七上·淮安期末）一个角的余角比它的补角的 还少15°，求这个角的度数.
【答案】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
90°﹣x= （180°﹣x）﹣15°
解得：x=30°.
答：这个角的度数为30°.
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则其余角为（90-x）°，其补角为（180-x）°，进而根据题意列出方程，然后求解即可.
37．（2019七下·锡山月考）一个角的余角与这个角的补角的和比平角的 多1°，求这个角.
【答案】解：设这个角为x，则它的余角为(90°﹣x)，补角为(180°﹣x)，
则(90°﹣x+180°﹣x)﹣ ×180°＝1°，
x＝67°.
答：这个角为67°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为(90°﹣x)，补角为(180°﹣x)，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
38．（2019七上·镇江期末）如图，点 在直线 上， ， ，求 的度数.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据垂直的定义得到 ，得到 ，根据已知条件即可得到结论.
39．（2019七上·淮安期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数.
【答案】解：设∠DOB=x，则其余角为： x，∴x+ x=90°，解得：x=60°，
根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，
故∠DOF=20°，∠BOF=40°，
∵有OG⊥OA，
∴∠EOG=90°-∠BOF=50°.
故∠EOG的度数是50°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】设∠DOB=x，则其余角为： x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解.
四、综合题
40．（2021七上·兴化期末）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 与 互余．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）解：因为 与 是对顶角，
所以 ，
因为 与 互余，
所以 ，
所以
；
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
又 ，
，
所以
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质以及互余的两个角和为90°解答即可；
（2）由已知条件结合∠AOC+∠AOD=180°可求出∠AOC的度数，由对顶角的性质可得∠BOD的度数，最后根据∠BOE=∠DOE+∠BOD计算即可.
41．（2021七上·海安期末）如图，直线 、 相交于点 ， .
（1） 的余角是 （填写所有符合要求的角）；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）∠BOD、∠EOF、∠AOC
（2）解：∵∠DOE=71°，∠DOE与∠DOB互余，
∴∠DOB=19°.
∴∠BOF=∠BOD+∠FOD=19°+90°=109°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOE=90°，
∴∠EOB=90°，
∴∠DOE与∠DOB互余.
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠AOC与∠EOD互余.
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOE与∠EOF余角.
故答案为：∠BOD、∠EOF、∠AOC；
【分析】（1）由∠AOE=90°可得∠EOB=90°，由∠COF=90°可得∠DOF=90°，接下来根据余角的概念解答即可；
（2）由余角的概念结合已知条件可得∠BOD的度数，然后根据∠BOF=∠BOD+∠FOD计算即可.
42．（2020七上·扬州期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内(如图1).
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC= 度；
（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG=100°（如图2），则∠AEG－∠CEG= 度.
【答案】（1）45°
（2）解： ，
,
设 则 ，
解出： .
.
（3）20.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：
设 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，
即：
解得： ，
.
( 3 )根据射线 平分 ，设 ，则 ，
，
，
,
故答案为： .
【分析】(1)根据题意设 ，则根据余角和补角的关系联立方程解出答案即可；(2)根据(1)中求出的 ，进而得出 的大小，然后 比 小25度，进而列出一个等量关系，求出答案即可;(3)根据射线 平分 ，设 ，则 ，所以 把变量代入即可求出结果.
1 / 1初中数学苏科版七年级上册6.1-6.3 同步练习
一、单选题
1．（2021七上·鼓楼期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（ ）
A．用两颗钉子可以固定一根木条
B．把弯路改直可以缩短路程
C．用两根木桩拉一直线可把树栽成一排
D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐
2．（2021七上·丹徒期末）如图是一副三角板摆成的图形，如果 ，那么 等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
3．（2021七上·沭阳期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点 表示的数为-2，那么点 表示的数是（ ）.
A．-1 B．0 C．3 D．4
4．（2021七上·如皋期末）如图， ，以 为一边作 ，则 的度数为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．（2021七上·海安期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中 的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
6．（2021七上·射阳期末）如图，直线AB和CD相交于O，那么图中 ∠DOE与∠COA 的关系是（ ）
A．对顶角 B．相等 C．互余 D．互补
7．（2021七上·射阳期末）如图，下列说法中错误的是（ ）.
A． 方向是北偏东20° B． 方向是北偏西15°
C． 方向是南偏西30° D． 方向是东南方向
8．（2021七上·阜宁期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP=3 cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
9．（2021七上·淮安期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020七上·江都期末）现实生活中“为何有人宁可违反交通规则翻越隔离带乱穿马路，也不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释这一现象，其原因为（ ）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
11．（2020七上·溧水期末）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不确定
12．（2020七上·建邺期末）如图，已知射线OA⊥射线OB, 射线OA表示北偏西25°的方向，则射线OB表示的方向为（ ）
A．北偏东65° B．北偏东55° C．北偏东75° D．东偏北75°
13．（2020七上·大丰期末）如图，由点O测点A的方向是（ ）
A．北偏南60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．西偏南30°
二、填空题
14．（2021七下·苏州开学考）已知 .则 的余角为 .
15．（2021七上·兴化期末）若 ，则 的补角等于 ．
16．（2021七上·昆山期末）钟表上显示6时20分，则此刻时针与分针的夹角的度数为 ．
17．（2021七上·昆山期末）基本事实：已知过 两点可以画一条直线 ，我们得到了一个基本事实 ，若平面内有不在同一直线上的3个点，过其中任意两点，一共可以画 条直线；
类比：如图 ，已知 ，在AOB的内部画射线 ，则图中共有 个角；
实践应用：2020年7月1日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图2．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有 种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素)
18．（2021七上·鼓楼期末）如图，直线 、 相交于点 ，将量角器的中心与点 重合，发现表示 的点在直线 上，表示 的点在直线 上，则 ．
19．（2021七上·鼓楼期末）如图，将一个三角板 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ， ．
20．（2021七上·鼓楼期末）已知 ，则 的补角是 .
21．（2021七上·丹徒期末）如图，将四边形ABCD沿虚线裁去一个角得到五边形ABCFE，则该五边形的周长 原四边形的周长（填“大于”、“小于”或“等于”）．
22．（2021七上·海陵期末）如图，∠1＝30°，则射线OA表示的方位是南偏东 .
23．（2021七上·海陵期末）从甲地到乙地有3条路，但小明说这三条路都不是最短的，小明的依据是 .
24．（2021七上·江都期末）已知 ，则 的补角等于 .
25．（2021七上·江都期末）时钟上 点 分时，时针与分针的夹角为 .
26．（2021七上·东台期末）下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设.其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 .（填序号）
27．（2021七上·沭阳期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ，若 ，则 的度数为 .
28．（2021七上·沭阳期末）已知 ，则 的补角是 ° ＇.
29．（2021七上·如皋期末）已知 ，那么 的补角等于 .
30．（2021七上·如皋期末）“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和 的两点之间的距离，可列式表示为 ，或 ；表示数 和 的两点之间的距离可列式表示为 .已知 ，则 的最大值为 .
31．（2021七上·海安期末）如图，某海域有三个小岛 ， ， ，在小岛处观测到小岛 在它北偏东 的方向上，观测到小岛 在它南偏东 的方向上，则 的补角的度数是 .
32．（2021七上·邗江期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是 .
33．（2021七上·射阳期末）一个角的补角加上 后，等于这个角的余角的4倍，则这个角等于 .
34．（2021七上·阜宁期末）已知∠α＝50°46′，则∠α的余角为 .
35．（2021七上·江阴期末）一个角的度数是 ，则它的补角的度数为 .
三、解答题
36．（2021七上·淮安期末）一个角的余角比它的补角的 还少15°，求这个角的度数.
37．（2019七下·锡山月考）一个角的余角与这个角的补角的和比平角的 多1°，求这个角.
38．（2019七上·镇江期末）如图，点 在直线 上， ， ，求 的度数.
39．（2019七上·淮安期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数.
四、综合题
40．（2021七上·兴化期末）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 与 互余．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
41．（2021七上·海安期末）如图，直线 、 相交于点 ， .
（1） 的余角是 （填写所有符合要求的角）；
（2）若 ，求 的度数.
42．（2020七上·扬州期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内(如图1).
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC= 度；
（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG=100°（如图2），则∠AEG－∠CEG= 度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解： “两点之间，线段最短”是一个定理，把弯路改成直路可以缩短路程也是必然的事件，而A、C、D体现是两点确定一条直线的基本事实.
故答案为：B.
【分析】根据两点确定一条直线、两点之间线段最短，进行逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵三角板的两个直角都等于90°，即∠BOD＋∠AOC＝180°，
∵∠BOD＋∠AOC＝∠AOB＋∠COD，
又∵∠AOB＝160°，
∴∠COD=20°．
故选：B．
【分析】根据题意得：∠BOD＋∠AOC＝∠AOB＋∠COD，进而结合已知条件，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】两点间的距离
【解析】【解答】观察数轴可知点A与点B之间的距离是5个单位长度，点B在点A的右侧，
因为点A表示的数是-2，-2+5=3，
所以点B表示的数是3，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得：点A与点B之间的距离是5个单位长度，据此可得点A表示的数为-2+5，计算即可.
4．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，∠AOB=60°，∠AOC=15°，
当点C在∠AOB内部时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=45°，
当点C在∠AOB外部时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°，
故答案为：D.
【分析】画出图形，分①点C在∠AOB内部；②点C在∠AOB外部，结合角的和差关系计算即可.
5．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠ABD=45°，∠CBD=90°，
∴∠ABC=45°+90°=135°，
故答案为：C.
【分析】由三角尺的度数可得∠ABD=45°，∠CBD=90°，然后根据角的和差关系计算即可.
6．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠DOE+∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE+∠AOC=90°，
即∠DOE与∠COA互余.
故答案为：C.
【分析】由垂直的概念可得∠DOE+∠BOD=90°，由对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC，进而可推出∠DOE+∠AOC=90°，据此判断即可.
7．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 方向是北偏东 ，故A选项错误；
方向是北偏西15°，故B选项正确；
方向是南偏西30°，故C选项正确；
方向是东南方向，故D选项正确.
故答案为：A.
【分析】方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标
的方向线所成的角（一般指锐角），根据方位角的概念分别判断出OA、OB、OC、OD的方向，然后进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、画射线OP=3 cm，错误，射线没有长度，故此选项不合题意；
B、画出A、B两点的距离，错误，应该是量出A、B两点的距离，故此选项不合题意；
C、延长射线OA，错误，射线向一方无限延伸，不能延长，故此选项不合题意；
D、连结A、B两点，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据射线没有长度可判断A的正误；距离只能描述为测量，据此判断B的正误；射线不能延长，只能延伸或反向延长，据此判断C的正误.
9．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故错误；
B、∠1和∠2是对顶角，故正确；
C、∠1和∠2不是对顶角，故错误；
D、∠1和∠2不是对顶角，故错误.
故答案为：B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断即可.
10．【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，
其原因是两点之间，线段最短，
故答案为：D.
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
11．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故答案为：B．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
12．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】∵OA与正北方向的夹角是25°,
∴OB与正北方向的夹角是：90°-25°=65°，
则OB的方向角为北偏东65°．
故答案为：A．
【分析】首先求得OB与正北方向的夹角，然后根据方向角的定义求解．
13．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝90° 60°＝30°，
∴点A的方向位于点O南偏西30°方向.
故答案为：C.
【分析】根据方向角的定义及表示方法进行解答，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.
14．【答案】21°18′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的余角为
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
15．【答案】146°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的补角为：
故答案为： ．
【分析】由互为补角的两个角之和为180°解答即可.
16．【答案】70°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：分针每分钟转动：360÷60=6度，
时针每分钟转动：360÷12÷60=0.5度，
.
故答案为：70°．
【分析】分针每分钟转动6度，时针每分钟转动0.5度，从6时开始时针与分针成的180°，减去分针转动的角度再加上时针转动的度数即为此时的度数.
17．【答案】两点确定一条直线；3；6；10
【知识点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；角的概念
【解析】【解答】解：（1）基本事实：已知过 两点可以画一条直线 ，我们得到了一个基本事实两点确定一条直线，若平面内有不在同一直线上的3个点，过其中任意两点，一共可以画3条直线；
故答案为：两点确定一条直线，3；
（2）类比：图中的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共6个，
故答案为：6；
（3）实践应用：根据线段的定义：可知图中共有线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，
∴有10种不同的票价；
故答案为：10.
【分析】（1）基本事实：根据两点确定一条直线，过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三个点的直线有3条；
（2）类比：根据角的概念，表示出所有的角；
（3）实践应用：先求出线段的条数，从而确定票价的种数.
18．【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
．
故答案为：75．
【分析】利用角的和差求出∠2的度数，根据对顶角相等可得∠1=∠2，据此即得结论.
19．【答案】58
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BAC= ， ，
∴∠EAC=∠BAC-∠1= ，
∵∠DAE= ，
∴∠2=∠DAE-∠EAC= ，
故答案为：58 ．
【分析】先由∠EAC=∠BAC-∠1求出∠EAC的度数，再由∠2=∠DAE-∠EAC求出∠2的度数.
20．【答案】149°36′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为∠α= ，
所以∠α的补角为180° ∠α=180° = ，
故答案为：149°36′.
【分析】如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，据此解答即可.
21．【答案】小于
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，
∴四边形ABCD沿虚线裁去一个角得到五边形ABCFE，则这个五边形的周长小于原四边形的周长，
故答案为：小于．
【分析】利用两点的所有连线中，线段最短，可以得出结论．
22．【答案】60°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：有图意可得：∵90°-30°=60°，
∴射线OA表示为南偏东60°.
故答案为：60°.
【分析】根据方向角的定义，即可解答.
23．【答案】两点之间，线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：这个基本事实是：两点之间，线段最短.
故答案为：两点之间，线段最短.
【分析】根据两点之间线段最短解答.
24．【答案】104.5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意，∵ ，
∴ 的补角为： ；
∴
故答案为：104.5.
【分析】由补角的概念可得：∠A的补角=180°-75°30′，然后根据1°=60′进行计算即可.
25．【答案】160°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：2点40分时，时针旋转 ×60×0.5°=80°，
分针旋转40×6°=240°，
则时针与分针的夹角为：240° 80°=160°；
故答案为：160°.
【分析】2点40分时针经过了小时，转过的角度为×60×0.5°=80°，分针转过的角度为40×6°=240°，两者之差即为时针与分针的夹角.
26．【答案】②④
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用两点可确定一条直线解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用两点之间，线段最短解释；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用两点可确定一条直线解释；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，可用两点之间，线段最短解释；
故答案为：②④.
【分析】根据直线公理可判断①③的正误；根据线段公理可判断②④的正误.
27．【答案】50°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90° 40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°.
故答案是：50°.
【分析】由垂直的概念结合已知条件可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质就可得到∠AOC的度数.
28．【答案】149；36
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的补角=180°- =149°36′，
故答案是：149，36.
【分析】根据补角的概念可得：∠α的补角=180°- ，然后根据1°=60′进行计算即可.
29．【答案】155°23′
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠α=24°37′，
则∠α的补角=180°-24°37′=155°23′.
故答案为：155°23′.
【分析】由补角的概念可得：∠α的补角=180°-24°37′，然后结合1°=60′计算即可.
30．【答案】4
【知识点】两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
表示x与-3的距离和x与1的距离之和，
表示y与-2的距离和y与3的距离之和，
∴当-3≤x≤1时， 有最小值，且为1-（-3）=4，
当-2≤x≤3时， 有最小值，且为3-（-2）=5，
∵ ，
∴ =4， =5，
∴x+y的最大值为：1+3=4，
故答案为：4.
【分析】由题意可得：|x+3|+|x-1|=4，|y+2|+|y-3|=5，据此不难求得x+y的最大值.
31．【答案】100°
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：∵OA是表示北偏东 方向的一条射线，OB是表示南偏东 方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-61°43′-38°17′=80°，
∴∠AOB的补角的度数是180°-80°=100°.
故答案是：100°.
【分析】由题意可得：∠AOB=180°-61°43′-38°17′，然后由1°=60′进行化简，最后根据补角的概念求解即可.
32．【答案】80
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设∠α为x，则∠β＝180° x.
∴180° x-x＝20°，
解得：x＝80°，
∴∠α的度数是80°，
故答案为：80
【分析】 本题两个角的度数和为180°时，这两个角互为补角，求补角就用180度减去这个角的度数，从而列出方程解决问题即可.
33．【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°-∠α+30°=4(90°-∠α)，
解得∠α=50°.
故答案为：50°.
【分析】设这个角为∠α，则其补角为：180°-∠α，余角为：90°-∠α，进而根据题意列出方程，求解即可.
34．【答案】39°14'
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α=50°46′，
∴∠α的余角=90°-50°46′=39°14'；
故答案为：39°14'.
【分析】如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，据此即可算出答案.
35．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】一个角的度数是 ，则它的补角的度数为
故答案为： .
【分析】如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为相反数，据此解答即可.
36．【答案】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
90°﹣x= （180°﹣x）﹣15°
解得：x=30°.
答：这个角的度数为30°.
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则其余角为（90-x）°，其补角为（180-x）°，进而根据题意列出方程，然后求解即可.
37．【答案】解：设这个角为x，则它的余角为(90°﹣x)，补角为(180°﹣x)，
则(90°﹣x+180°﹣x)﹣ ×180°＝1°，
x＝67°.
答：这个角为67°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为(90°﹣x)，补角为(180°﹣x)，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.
38．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据垂直的定义得到 ，得到 ，根据已知条件即可得到结论.
39．【答案】解：设∠DOB=x，则其余角为： x，∴x+ x=90°，解得：x=60°，
根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，
故∠DOF=20°，∠BOF=40°，
∵有OG⊥OA，
∴∠EOG=90°-∠BOF=50°.
故∠EOG的度数是50°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】设∠DOB=x，则其余角为： x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解.
40．【答案】（1）解：因为 与 是对顶角，
所以 ，
因为 与 互余，
所以 ，
所以
；
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
又 ，
，
所以
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质以及互余的两个角和为90°解答即可；
（2）由已知条件结合∠AOC+∠AOD=180°可求出∠AOC的度数，由对顶角的性质可得∠BOD的度数，最后根据∠BOE=∠DOE+∠BOD计算即可.
41．【答案】（1）∠BOD、∠EOF、∠AOC
（2）解：∵∠DOE=71°，∠DOE与∠DOB互余，
∴∠DOB=19°.
∴∠BOF=∠BOD+∠FOD=19°+90°=109°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOE=90°，
∴∠EOB=90°，
∴∠DOE与∠DOB互余.
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠AOC与∠EOD互余.
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOE与∠EOF余角.
故答案为：∠BOD、∠EOF、∠AOC；
【分析】（1）由∠AOE=90°可得∠EOB=90°，由∠COF=90°可得∠DOF=90°，接下来根据余角的概念解答即可；
（2）由余角的概念结合已知条件可得∠BOD的度数，然后根据∠BOF=∠BOD+∠FOD计算即可.
42．【答案】（1）45°
（2）解： ，
,
设 则 ，
解出： .
.
（3）20.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：
设 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，
即：
解得： ，
.
( 3 )根据射线 平分 ，设 ，则 ，
，
，
,
故答案为： .
【分析】(1)根据题意设 ，则根据余角和补角的关系联立方程解出答案即可；(2)根据(1)中求出的 ，进而得出 的大小，然后 比 小25度，进而列出一个等量关系，求出答案即可;(3)根据射线 平分 ，设 ，则 ，所以 把变量代入即可求出结果.
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