初中数学苏科版九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步练习

初中数学苏科版九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·福州期末）一个二次函数的图象的顶点坐标是 ，与y轴的交点是 ，这个二次函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设二次函数解析式为 ，
将 代入 中，得
解得：a=2
∴二次函数解析式为 =
故答案为：C．
【分析】根据顶点坐标（2，-3），可设二次函数解析式为 ，然后将点（0,5）代入解析式中求出a值即可.
2．（2020九上·顺义期末）二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，二次函数对称轴为 ，与x轴的一个交点为 ，
则函数与x轴的另一个交点为 ，
故设二次函数的表达式为 ，
函数另外两点坐标 ，
可得方程组 ，
解得方程组得 ，
所以二次函数表达式为 ．
故答案为B．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
3．（2021九上·甘州期末）顶点为 ，开口向下，开口的大小与函数 的图象相同的抛物线所对应的函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为 ，
∴设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线开口向下，开口的大小与函数 的图象相同，
∴a= .
∴该抛物线的解析式为： .
故答案为：D.
【分析】已知抛物线的顶点为 ，可设抛物线的解析式为 ，再由抛物线开口向下，开口的大小与函数 的图象相同，可求得a= ，即可得该抛物线的解析式.
4．（2021九上·茶陵期末）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x-3
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2-2x-3，
故答案为：B.
【分析】观察图象可知抛物线与x轴和y轴的两个交点坐标，于是可将抛物线的解析式设为交点式，再把抛物线与y轴的交点坐标代入解析式计算即可求解.
5．（2020九上·新建期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）
故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8
故答案为：D．
【分析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
6．（2020九上·泉州期中）若抛物线经过 三点，则此抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线经过
∴设抛物线解析式为
把 代入得：
∴抛物线解析式为
故答案为：A.
【分析】利用两点式求二次函数表达式即可。
7．（2020·山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣
C．y＝ D．y＝
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
∴
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）利用待定系数法求出排球运动路线的函数解析式即可.
8．（2020九上·来安期末）以 为顶点的二次函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当顶点为 时，二次函数表达式可写成： ，
故答案为：C.
【分析】若二次函数的表达式为 ，则其顶点坐标为(a,b).
二、填空题
9．（2021·丰台模拟）写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：开口向上，即 ，
顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，
例如 ．（答案不唯一）
故答案为： ．
【分析】利用二次函数的解析式的求解即可。
10．（2020·威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为　 　．
…… -1 0 1 3 ……
…… 0 3 4 0 ……
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得：
解得： ，
∴函数的表达式为： ．
故答案为： ．
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点代入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
11．（2020九上·五常期末）抛物线 与 轴的两个交点坐标分别为 ， ，其形状及开口方向与抛物线 相同，则 的函数解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题可设抛物线的交点式为： ，
∵该抛物线的形状和开口与 相同，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【分析】可设抛物线的交点式为 ，由于该抛物线的形状和开口与 相同，可得a=-2，从而得出结论.
12．（2020九上·门头沟期末）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 ，则该二次函数表达式可以为　 　．（任意写出一个符合条件的即可）
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意设 ，
∵二次函数图象开口向下，对称轴为 ，
∴a=-1，h=1，
当k=1时，函数解析式为 ，
故答案为： ．
【分析】利用待定系数法求解即可。
13．（2020九上·昌平期末）二次函数y＝ax ＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝　 　，m＝　 　（m＞0）．
【答案】；4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）和（1，6），
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
当x=m时，y=-6，代入y=-x2+x+6，则有-6=-m2+m+6，
解得：m=-3或m=4，
∵m＞0，
∴m=4，
故答案为： ，4．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=，利用待定系数法求得二次函数解析式，把x=-6代入即可求得m的值。
14．（2021九上·建湖期末）如图，经过原点的抛物线是二次函数 的图象，那么a的值是　 　.
【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据图示知，二次函数 的图象经过原点（0，0），
∴0＝a+1，
解得，a＝-1；
故答案为： 1.
【分析】根据题意，把原点代入函数式，解关于a的方程即可.
15．（2020九上·滨海期中）如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为 ，进而得到A点坐标为 ，B点坐标为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式．
16．（2020九上·新建期中）抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为　 　．
【答案】y= x2﹣x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x= =2，
即顶点坐标为（2，0），
设y=ax2+bx+c=a（x-2）2+0，
把（-2，4）代入得：4=a（-2-2）2+0，
解得：a= ，
即y= （x-2）2+0= x2-x+1，
故答案为y= x2-x+1.
【分析】先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式.
17．（2020九上·农安月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，若抛物线 经过点B，C则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴正方形的边长为 ，
∴点C的坐标为 ，
又∵点C在抛物线 ，代入可得，
，
整理得： ，
∴ ；
故答案是 ．
【分析】根据二次函数对称轴求出正方形的边长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入计算即可。
18．（2020九上·北京期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是　 　．
【答案】y=-x2+2（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y=-x2+2（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数图象及性质与其系数的关系，再结合待定系数法求二次函数表达式即可。
三、解答题
19．（2021九上·平桂期末）已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
【答案】解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
20．（2020九上·于都期末）一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式为 ．
∵抛物线经过 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A，点B和点C代入函数解析式，利用待定系数法求解即可。
21．（2020九上·定南期末）已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求这个二次函数的解析式.
【答案】解：设所求函数的解析式为：
则顶点坐标为 ，已知顶点坐标为
又 图像经过点 ，代入得
解得
故解析式为
即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设出二次函数的顶点式，再将点P的坐标代入计算即可。
22．（2020九上·前郭尔罗斯期中）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．
【答案】解：将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： ，
解得： ，
则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标才入二次函数表达式，解出b、c的值即可。
23．（2020九上·讷河期中）已知二次函数的顶点坐标为（4，－2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式．
【答案】解：设此二次函数的解析式为 ．
∵其图象经过点（5，1），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】本题利用顶点式求二次函数表达式，设，再将嗲（5，1）代入计算即可。
24．（2020九上·南开月考）抛物线 的顶点为 ，且过点 ，求抛物线的解析式.
【答案】解：由抛物线 的顶点为 ，且过点 ，
可设抛物线为： ，
把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，
所以抛物线为： ，
即 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设出顶点式，将顶点坐标以及点（1,2）代入求出答案即可。
25．（2020九上·松江月考）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
【答案】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
∵当x= 时，y= ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，利用待定系数法，计算得到二次函数的解析式，求出答案即可。
26．（2020九上·舒城月考）已知二次函数的顶点坐标为（2，4），且其图像与x轴的交点在正方向3个单位处，求此二次函数的解析式．
【答案】解：∵顶点坐标为（2，4），
设二次函数表达式为 ，
由题意可得：二次函数与x轴交于（3，0），代入，
得： ，
解得：a=-4，
∴二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据顶点坐标设出函数表达式 ，再根据题意得到点（3，0)，代入即可。
27．（2020九上·淮南月考）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．
【答案】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，
∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．
28．（2020九上·怀集期中）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 ．求这个二次函数的解析式．
【答案】解：根据题意，设函数解析式为
∵图象经过点（﹣1，﹣8），
∴
解得：
∴解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求二次函数表达式即可。
29．（2020九上·袁州期中）已知二次函数的顶点为 且过点 ，求该函数解析式．
【答案】解：由顶点（-2，2），可设抛物线为： ，
将点（-1，3）代入上式可得：
综上所述： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求解二次函数解析式即可。
30．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数的图象和性质同步训练）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式为 ，因为图象过（0，0)点，所以 ，所以 ，所以此二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意选择正确的解析式形式是关键．
四、综合题
31．（2021·湖州）如图，已知经过原点的抛物线 与x轴交于另一点A（2，0）。
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式。
【答案】（1）解：由题意得
8+2m=0
解之：m=-4
∴y=2x2-4x=2（x-1）2-2
∴点M（1，-2）.
（2）解：设直线AM的解析式为y=kx+b
∴
∴直线AM的解析式为y=2x-4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值；可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到点M的坐标.
（2）设直线AM的解析式为y=kx+b，将点A，M的坐标代入函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
32．（2021·河东模拟）如图，二次函数 的图象经过 三点，顶点为D，已知点B的坐标是 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若E是线段 上的一个动点（E与 不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段 长度的最大值；
（3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为 ，若这个函数在 时的最大值为3，求m的值．
【答案】（1）解：当 时， ，则 ，
，
，
，
，解得 （舍去）或 ，
代入二次函数 解析式中，
；
（2）解： 抛物线 ，
顶点D的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
设点E的横坐标为m，
，
，
当 时， 最大值为1．
（3）解： 的图象由 平移得到，
表达式可设为 ，对称轴是直线 ；
①若 ，则 时函数值最大，把 代入 ，
解得 ，不合题意，舍去；
②若 ，则 时函数值最大，
把 代入 ，解得 ，
；
③若 ，则 时函数值最大，
把 代入 ，
解得
综上所述， 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求函数解析式即可；
（2）先求出顶点D的坐标为 ，再求出直线 的解析式为 ，最后求解即可；
（3） 分类讨论，计算求解即可。
33．（2020九上·通州期末）二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … … …
y … … …
（1）该二次函数的对称轴为　 　；
（2）求出二次函数的表达式．
【答案】（1）直线x＝1
（2）解：方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
∴设抛物线解析式为： ；
∵把 代入得，
解得， ；
∴抛物线的解析式为： ，即 ；
方法二：据题意，该函数过点 ， ，代入
得 ；
解得： ；
∴抛物线解析式为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
【分析】（1）根据表格，找y值相同时x的值，再求对称轴即可；（2）利用待定系数法求解即可。
34．（2020九上·抚州期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为　 　；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
【答案】（1）3
（2）解：将表格前三组数据代入解析式得：
，解得： ，
∴二次函数的表达式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即： ，
故答案为：3；
【分析】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，再利用对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可。
35．（2019九上·思明月考）已知二次函数 的图像经过点 (1，0).
（1）当 ， 时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， ).若对任意实数 ，函数值 都不小于 ，求此时二次函数的解析式.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵图像经过点 (1，0)，
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为： ，
配方可得： ，
∴当 时，函数取得最小值为-4；
（2）解：∵二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， )，
∴二次函数对称轴为： ，
∴ ，
∴ ，
又∵次函数 的图像经过点 (1，0)，
即： ，
∴ ，
∴原解析式为： ，
∴顶点纵坐标为： ，
∵对任意实数 ，函数值 都不小于 ，
∴ ，且 ≥ ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴二次函数解析式为： .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法以及配方法进一步求解即可；（2）利用二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， )即可求出函数的对称轴，然后进一步分别用 表示出b、c，根据对任意实数 ，函数值 都不小于 列出不等式，然后进一步即可得出解析式.
36．（2019·碑林模拟）已知抛物线，L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且抛物线L的对称轴为直线x＝1．
（1）抛物线的表达式；
（2）若抛物线L′与抛物线L关于直线x＝m对称，抛物线L′与x轴交于点A′，B′两点（点A′在点B′左侧），要使S△ABC＝2S△A′BC，求所有满足条件的抛物线L′的表达式．
【答案】（1）解：抛物线L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，
则点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）= a x2﹣2 a x﹣3 a，
∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：∵y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4,
∴y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，-4）.
∵S△ABC＝2S△A′BC，△ABC与△A′BC等高，
∴AB=2A′B，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴点A′为（1，0）或（5，0），
∴对应抛物线的对称轴为：x＝3或7，
∴抛物线L′的顶点为（3，-4）或（7，-4）
∴抛物线L′的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣4或y＝（x﹣7）2﹣4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）抛物线L：y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，对称轴为直线x=1，则点B（3，0），即可求解；（2）S△ABC=2S△A′BC，则点A′为（1，0）或（5，0），对应抛物线的对称轴为：x=3或7，即可求解．
37．（2017·河北模拟）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
【答案】（1）解：将C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，
得c=﹣3．
将c=﹣3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直线x=1是对称轴，
∴ ．（2）（2分）
将（2）代入（1）得
a=1，b=﹣2．
所以，二次函数得解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．
∵C点的坐标为（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0），
∴直线AC的解析式是y=﹣3x﹣3，
又∵直线x=1是对称轴，
∴点P的坐标（1，﹣6）．
（3）解：设M（x1，y）、N（x2，y），所求圆的半径为r，
则x2﹣x1=2r，（1）
∵对称轴为直线x=1，即 =1，
∴x2+x1=2．（2）
由（1）、（2）得：x2=r+1．（3）
将N（r+1，y）代入解析式y=x2﹣2x﹣3，
得y=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3．
整理得：y=r2﹣4．
由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，
当y＞0时，r2﹣r﹣4=0，
解得， ， （舍去），
当y＜0时，r2+r﹣4=0，
解得， ， （舍去）．
所以圆的半径是 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再画出函数图象进行计算.
38．（2016九上·临河期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：方法一：将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3
方法二：
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3
（2）解：方法一：连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）
方法二：
连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB=PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）
（3）解：方法一：抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=± ；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）
方法二：
设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，
（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，
（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，
（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，
经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）．
（4）解：作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，
∴∠GHO=∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2=GO GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y=3x+3，H（﹣ ， ），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣ ， ），
∵D（1，4），
∴lO′D：y= x+ ，lAC：y=3x+3，
∴x=﹣ ，y= ，
∴Q（﹣ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
39．（2015九上·盘锦期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为：y= x2+2x﹣6
（2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得
，解得 ，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣6．
设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），则点N的坐标为（x，﹣x﹣6），
∴PN=PE﹣NE=﹣（ x2+2x﹣6）+（﹣x﹣6）=﹣ x2﹣3x．
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴S= PN OA= ×6（﹣ x2﹣3x）=﹣ （x+3）2+ ，
∴当x=﹣3时，S有最大值 ，此时点P的坐标为（﹣3，﹣ ）
（3）解：在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y= x2+2x﹣6= （x+2）2﹣8，
∴顶点D的坐标为（﹣2，﹣8），
∵A（﹣6，0），
∴AD2=（﹣2+6）2+（﹣8﹣0）2=80．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+80=（0+2）2+（t+8）2，
解得t=3，
所以点M的坐标为（0，3）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，
即（0+2）2+（t+8）2+80=（0+6）2+（t﹣0）2，
解得t=﹣7，
所以点M的坐标为（0，﹣7）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+（0+2）2+（t+8）2=80，
解得t=﹣2或﹣6，
所以点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，3）或（0，﹣7）或（0，﹣2）或（0，﹣6）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
40．已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
【答案】（1）解：由题意有 ， ，解之得 ， ，故函数的解析式为 ．
（2）解：由于 ，所以当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解函数解析式，并用 的正负判断函数的单调区间．
1 / 1初中数学苏科版九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·福州期末）一个二次函数的图象的顶点坐标是 ，与y轴的交点是 ，这个二次函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·顺义期末）二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·甘州期末）顶点为 ，开口向下，开口的大小与函数 的图象相同的抛物线所对应的函数是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·茶陵期末）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x-3
5．（2020九上·新建期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020九上·泉州期中）若抛物线经过 三点，则此抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣
C．y＝ D．y＝
8．（2020九上·来安期末）以 为顶点的二次函数是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2021·丰台模拟）写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式　 　．
10．（2020·威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为　 　．
…… -1 0 1 3 ……
…… 0 3 4 0 ……
11．（2020九上·五常期末）抛物线 与 轴的两个交点坐标分别为 ， ，其形状及开口方向与抛物线 相同，则 的函数解析式为　 　．
12．（2020九上·门头沟期末）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 ，则该二次函数表达式可以为　 　．（任意写出一个符合条件的即可）
13．（2020九上·昌平期末）二次函数y＝ax ＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝　 　，m＝　 　（m＞0）．
14．（2021九上·建湖期末）如图，经过原点的抛物线是二次函数 的图象，那么a的值是　 　.
15．（2020九上·滨海期中）如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为　 　．
16．（2020九上·新建期中）抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为　 　．
17．（2020九上·农安月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，若抛物线 经过点B，C则k的值为　 　．
18．（2020九上·北京期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是　 　．
三、解答题
19．（2021九上·平桂期末）已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
20．（2020九上·于都期末）一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
21．（2020九上·定南期末）已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求这个二次函数的解析式.
22．（2020九上·前郭尔罗斯期中）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．
23．（2020九上·讷河期中）已知二次函数的顶点坐标为（4，－2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式．
24．（2020九上·南开月考）抛物线 的顶点为 ，且过点 ，求抛物线的解析式.
25．（2020九上·松江月考）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
26．（2020九上·舒城月考）已知二次函数的顶点坐标为（2，4），且其图像与x轴的交点在正方向3个单位处，求此二次函数的解析式．
27．（2020九上·淮南月考）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．
28．（2020九上·怀集期中）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 ．求这个二次函数的解析式．
29．（2020九上·袁州期中）已知二次函数的顶点为 且过点 ，求该函数解析式．
30．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数的图象和性质同步训练）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
四、综合题
31．（2021·湖州）如图，已知经过原点的抛物线 与x轴交于另一点A（2，0）。
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式。
32．（2021·河东模拟）如图，二次函数 的图象经过 三点，顶点为D，已知点B的坐标是 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若E是线段 上的一个动点（E与 不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段 长度的最大值；
（3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为 ，若这个函数在 时的最大值为3，求m的值．
33．（2020九上·通州期末）二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … … …
y … … …
（1）该二次函数的对称轴为　 　；
（2）求出二次函数的表达式．
34．（2020九上·抚州期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为　 　；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
35．（2019九上·思明月考）已知二次函数 的图像经过点 (1，0).
（1）当 ， 时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， ).若对任意实数 ，函数值 都不小于 ，求此时二次函数的解析式.
36．（2019·碑林模拟）已知抛物线，L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且抛物线L的对称轴为直线x＝1．
（1）抛物线的表达式；
（2）若抛物线L′与抛物线L关于直线x＝m对称，抛物线L′与x轴交于点A′，B′两点（点A′在点B′左侧），要使S△ABC＝2S△A′BC，求所有满足条件的抛物线L′的表达式．
37．（2017·河北模拟）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
38．（2016九上·临河期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
39．（2015九上·盘锦期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
40．已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设二次函数解析式为 ，
将 代入 中，得
解得：a=2
∴二次函数解析式为 =
故答案为：C．
【分析】根据顶点坐标（2，-3），可设二次函数解析式为 ，然后将点（0,5）代入解析式中求出a值即可.
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，二次函数对称轴为 ，与x轴的一个交点为 ，
则函数与x轴的另一个交点为 ，
故设二次函数的表达式为 ，
函数另外两点坐标 ，
可得方程组 ，
解得方程组得 ，
所以二次函数表达式为 ．
故答案为B．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为 ，
∴设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线开口向下，开口的大小与函数 的图象相同，
∴a= .
∴该抛物线的解析式为： .
故答案为：D.
【分析】已知抛物线的顶点为 ，可设抛物线的解析式为 ，再由抛物线开口向下，开口的大小与函数 的图象相同，可求得a= ，即可得该抛物线的解析式.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2-2x-3，
故答案为：B.
【分析】观察图象可知抛物线与x轴和y轴的两个交点坐标，于是可将抛物线的解析式设为交点式，再把抛物线与y轴的交点坐标代入解析式计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）
故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8
故答案为：D．
【分析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线经过
∴设抛物线解析式为
把 代入得：
∴抛物线解析式为
故答案为：A.
【分析】利用两点式求二次函数表达式即可。
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
∴
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）利用待定系数法求出排球运动路线的函数解析式即可.
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当顶点为 时，二次函数表达式可写成： ，
故答案为：C.
【分析】若二次函数的表达式为 ，则其顶点坐标为(a,b).
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：开口向上，即 ，
顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，
例如 ．（答案不唯一）
故答案为： ．
【分析】利用二次函数的解析式的求解即可。
10．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得：
解得： ，
∴函数的表达式为： ．
故答案为： ．
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点代入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题可设抛物线的交点式为： ，
∵该抛物线的形状和开口与 相同，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【分析】可设抛物线的交点式为 ，由于该抛物线的形状和开口与 相同，可得a=-2，从而得出结论.
12．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意设 ，
∵二次函数图象开口向下，对称轴为 ，
∴a=-1，h=1，
当k=1时，函数解析式为 ，
故答案为： ．
【分析】利用待定系数法求解即可。
13．【答案】；4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）和（1，6），
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
当x=m时，y=-6，代入y=-x2+x+6，则有-6=-m2+m+6，
解得：m=-3或m=4，
∵m＞0，
∴m=4，
故答案为： ，4．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=，利用待定系数法求得二次函数解析式，把x=-6代入即可求得m的值。
14．【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据图示知，二次函数 的图象经过原点（0，0），
∴0＝a+1，
解得，a＝-1；
故答案为： 1.
【分析】根据题意，把原点代入函数式，解关于a的方程即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为 ，进而得到A点坐标为 ，B点坐标为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式．
16．【答案】y= x2﹣x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x= =2，
即顶点坐标为（2，0），
设y=ax2+bx+c=a（x-2）2+0，
把（-2，4）代入得：4=a（-2-2）2+0，
解得：a= ，
即y= （x-2）2+0= x2-x+1，
故答案为y= x2-x+1.
【分析】先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式.
17．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴正方形的边长为 ，
∴点C的坐标为 ，
又∵点C在抛物线 ，代入可得，
，
整理得： ，
∴ ；
故答案是 ．
【分析】根据二次函数对称轴求出正方形的边长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入计算即可。
18．【答案】y=-x2+2（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y=-x2+2（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数图象及性质与其系数的关系，再结合待定系数法求二次函数表达式即可。
19．【答案】解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
20．【答案】解：设二次函数的解析式为 ．
∵抛物线经过 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A，点B和点C代入函数解析式，利用待定系数法求解即可。
21．【答案】解：设所求函数的解析式为：
则顶点坐标为 ，已知顶点坐标为
又 图像经过点 ，代入得
解得
故解析式为
即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设出二次函数的顶点式，再将点P的坐标代入计算即可。
22．【答案】解：将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： ，
解得： ，
则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标才入二次函数表达式，解出b、c的值即可。
23．【答案】解：设此二次函数的解析式为 ．
∵其图象经过点（5，1），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】本题利用顶点式求二次函数表达式，设，再将嗲（5，1）代入计算即可。
24．【答案】解：由抛物线 的顶点为 ，且过点 ，
可设抛物线为： ，
把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，
所以抛物线为： ，
即 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设出顶点式，将顶点坐标以及点（1,2）代入求出答案即可。
25．【答案】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
∵当x= 时，y= ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，利用待定系数法，计算得到二次函数的解析式，求出答案即可。
26．【答案】解：∵顶点坐标为（2，4），
设二次函数表达式为 ，
由题意可得：二次函数与x轴交于（3，0），代入，
得： ，
解得：a=-4，
∴二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据顶点坐标设出函数表达式 ，再根据题意得到点（3，0)，代入即可。
27．【答案】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，
∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．
28．【答案】解：根据题意，设函数解析式为
∵图象经过点（﹣1，﹣8），
∴
解得：
∴解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求二次函数表达式即可。
29．【答案】解：由顶点（-2，2），可设抛物线为： ，
将点（-1，3）代入上式可得：
综上所述： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求解二次函数解析式即可。
30．【答案】解：设二次函数的解析式为 ，因为图象过（0，0)点，所以 ，所以 ，所以此二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意选择正确的解析式形式是关键．
31．【答案】（1）解：由题意得
8+2m=0
解之：m=-4
∴y=2x2-4x=2（x-1）2-2
∴点M（1，-2）.
（2）解：设直线AM的解析式为y=kx+b
∴
∴直线AM的解析式为y=2x-4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值；可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到点M的坐标.
（2）设直线AM的解析式为y=kx+b，将点A，M的坐标代入函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
32．【答案】（1）解：当 时， ，则 ，
，
，
，
，解得 （舍去）或 ，
代入二次函数 解析式中，
；
（2）解： 抛物线 ，
顶点D的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
设点E的横坐标为m，
，
，
当 时， 最大值为1．
（3）解： 的图象由 平移得到，
表达式可设为 ，对称轴是直线 ；
①若 ，则 时函数值最大，把 代入 ，
解得 ，不合题意，舍去；
②若 ，则 时函数值最大，
把 代入 ，解得 ，
；
③若 ，则 时函数值最大，
把 代入 ，
解得
综上所述， 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求函数解析式即可；
（2）先求出顶点D的坐标为 ，再求出直线 的解析式为 ，最后求解即可；
（3） 分类讨论，计算求解即可。
33．【答案】（1）直线x＝1
（2）解：方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
∴设抛物线解析式为： ；
∵把 代入得，
解得， ；
∴抛物线的解析式为： ，即 ；
方法二：据题意，该函数过点 ， ，代入
得 ；
解得： ；
∴抛物线解析式为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
【分析】（1）根据表格，找y值相同时x的值，再求对称轴即可；（2）利用待定系数法求解即可。
34．【答案】（1）3
（2）解：将表格前三组数据代入解析式得：
，解得： ，
∴二次函数的表达式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即： ，
故答案为：3；
【分析】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，再利用对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可。
35．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵图像经过点 (1，0)，
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为： ，
配方可得： ，
∴当 时，函数取得最小值为-4；
（2）解：∵二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， )，
∴二次函数对称轴为： ，
∴ ，
∴ ，
又∵次函数 的图像经过点 (1，0)，
即： ，
∴ ，
∴原解析式为： ，
∴顶点纵坐标为： ，
∵对任意实数 ，函数值 都不小于 ，
∴ ，且 ≥ ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴二次函数解析式为： .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法以及配方法进一步求解即可；（2）利用二次函数的图象经过点 ( ， )， ( ， )即可求出函数的对称轴，然后进一步分别用 表示出b、c，根据对任意实数 ，函数值 都不小于 列出不等式，然后进一步即可得出解析式.
36．【答案】（1）解：抛物线L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，
则点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）= a x2﹣2 a x﹣3 a，
∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：∵y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4,
∴y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，-4）.
∵S△ABC＝2S△A′BC，△ABC与△A′BC等高，
∴AB=2A′B，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴点A′为（1，0）或（5，0），
∴对应抛物线的对称轴为：x＝3或7，
∴抛物线L′的顶点为（3，-4）或（7，-4）
∴抛物线L′的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣4或y＝（x﹣7）2﹣4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）抛物线L：y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，对称轴为直线x=1，则点B（3，0），即可求解；（2）S△ABC=2S△A′BC，则点A′为（1，0）或（5，0），对应抛物线的对称轴为：x=3或7，即可求解．
37．【答案】（1）解：将C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，
得c=﹣3．
将c=﹣3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直线x=1是对称轴，
∴ ．（2）（2分）
将（2）代入（1）得
a=1，b=﹣2．
所以，二次函数得解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．
∵C点的坐标为（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0），
∴直线AC的解析式是y=﹣3x﹣3，
又∵直线x=1是对称轴，
∴点P的坐标（1，﹣6）．
（3）解：设M（x1，y）、N（x2，y），所求圆的半径为r，
则x2﹣x1=2r，（1）
∵对称轴为直线x=1，即 =1，
∴x2+x1=2．（2）
由（1）、（2）得：x2=r+1．（3）
将N（r+1，y）代入解析式y=x2﹣2x﹣3，
得y=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3．
整理得：y=r2﹣4．
由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，
当y＞0时，r2﹣r﹣4=0，
解得， ， （舍去），
当y＜0时，r2+r﹣4=0，
解得， ， （舍去）．
所以圆的半径是 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再画出函数图象进行计算.
38．【答案】（1）解：方法一：将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3
方法二：
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3
（2）解：方法一：连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）
方法二：
连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB=PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）
（3）解：方法一：抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=± ；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）
方法二：
设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，
（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，
（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，
（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，
经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）．
（4）解：作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，
∴∠GHO=∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2=GO GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y=3x+3，H（﹣ ， ），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣ ， ），
∵D（1，4），
∴lO′D：y= x+ ，lAC：y=3x+3，
∴x=﹣ ，y= ，
∴Q（﹣ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
39．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为：y= x2+2x﹣6
（2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得
，解得 ，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣6．
设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），则点N的坐标为（x，﹣x﹣6），
∴PN=PE﹣NE=﹣（ x2+2x﹣6）+（﹣x﹣6）=﹣ x2﹣3x．
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴S= PN OA= ×6（﹣ x2﹣3x）=﹣ （x+3）2+ ，
∴当x=﹣3时，S有最大值 ，此时点P的坐标为（﹣3，﹣ ）
（3）解：在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y= x2+2x﹣6= （x+2）2﹣8，
∴顶点D的坐标为（﹣2，﹣8），
∵A（﹣6，0），
∴AD2=（﹣2+6）2+（﹣8﹣0）2=80．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+80=（0+2）2+（t+8）2，
解得t=3，
所以点M的坐标为（0，3）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，
即（0+2）2+（t+8）2+80=（0+6）2+（t﹣0）2，
解得t=﹣7，
所以点M的坐标为（0，﹣7）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+（0+2）2+（t+8）2=80，
解得t=﹣2或﹣6，
所以点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，3）或（0，﹣7）或（0，﹣2）或（0，﹣6）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
40．【答案】（1）解：由题意有 ， ，解之得 ， ，故函数的解析式为 ．
（2）解：由于 ，所以当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解函数解析式，并用 的正负判断函数的单调区间．
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