山东省济南外国语学校2013届高三9月入学考试 理科数学试题

高三数学（理）试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120
分钟。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1．等于（ ）
A． B． C． D．
2、椭圆的距离是 （ ）
A． B． C．1 D．
3、在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则△ABC的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．有一个角为30°的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一个角为30°的等腰三角形
4、已知a>0，b>0，a、b的等差中项是，且α＝a＋, β＝b+，则α＋β的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
6、对下列命题的否定，其中说法错误的是
A．P：能被3整除的整数是奇数；P：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．P：每一个四边形的四个顶点共圆；P：每一个四边形的四个顶点不共圆
C．P：有的三角形为正三角形：P：所有的三角形都不是正三角形
D．P：
7 、如右图，阴影部分的面积是 （ ）
A． B． C． D．
8、若命题甲为：成等比数列，命题乙为：成等差数列， 则甲是乙的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9、已知x和y是正整数，且满足约束条件的最小值是
A．24 B．14 C．13 D．11.5
10、曲线与曲线之间具有的等量关系
有相等的长、短轴 有相等的焦距
有相等的离心率 有相同的准线
11、是椭圆上的一点，和是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于 （ ）
12、已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A.x＝± B.y＝± C.x＝± D.y＝±
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13、在数列则数列{bn}的前n项和为 ；
14.若x>1时，不等式x+恒成立，则实数k的取值范围是_________________.
15过抛物线与抛物线交于A、B两点，且
△OAB（O为坐标原点）的面积为= .
16、若双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边边长为l.求：（1）角C的大小；（2）△ABC最短边的长.
18．（本小题满分12分）已知数列
Ⅰ）求数列的通项公式；Ⅱ）若求数列的前n项和
19（本小题满分12分）
已知函数 处切线斜率为0.求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）
20（本小题满分12分）
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.
21（本小题满分12分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
22（本小题满分14分）已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P做PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且
（Ⅰ）求点N的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点，若，且，求直线l的斜率k的取值范围.
高三数学（理科）参考答案：
一选择题：BBCC ADCC BBBD
二、填空题：13：， 14：，15: 2 16：（
17． 1）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）
∴ （5分）
（2）∵0又C为钝角，∴最短边为b （7分）
由，解得 （9分）
由 （10分）
18．解：
（Ⅰ）……………………2分
…………………………………………………………3分
又，
………………………………4分
……………………5分
（Ⅱ）
…………………………7分
……………………8分
……………………9分
………………………………………………11分
……………………………………12分
∴ （12分）
19．解：
（Ⅰ）
曲线处切线斜率为0
………………4分
……………………6分
（Ⅱ）
令……………………9分
当x变化时，的变化情况如下表
－1 （－1，0） 0 （0，2） 2 （2，3） 3
+ 0 － 0 +
－2 ↗ 2 ↘ —2 ↗ 2
…………………………………………………………11分
从上表可知，最大值是2，最小值是－2.………………12分
20 、设AC与BD交于O点
以OA、OB所在直线分别x轴，y轴.
以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立
如图的空间直角坐标系，则
…………………………2分
……………………（4分）
（Ⅱ）设平面PDB的法向量为
由…………6分
=…………8分
（Ⅲ）设平面ABP的法向量
……………………10分
…………11分
所以二面角A—PB—D的余弦值为……………………………………12分
21、（I）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 ．
（II）的可能取值为0，1，2，3
, ．
，，．
所以的分布列为
0 1 2 3
所以，
22．解：
（Ⅰ）由于
则P为MN的中心，………………………………1分
设N（x，y），则M（－x,0）,P（0，），……………………2分
由
得
所以点N的轨迹方程为…………………………5分
（Ⅱ）设直线l的方程是
与：
……………………6分
设
则：
……………………7分
由
即
…………………………9分
由于直线与N的轨迹交于不同的两点，
则
把
………………10分
而
……………………………………11分
又因为
解得
综上可知k的取值范围是.……………………14分