河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试（数学理）

衡水中学2012—2013学年度上学期第一次调研考试
高三年级数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1.集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知在R上是奇函数，且.( )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
3．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B C. D.
4. “”是“方程至少有一个负根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.
A. B. 2 C. D.
6. 已知“命题p：∈R，使得成立”为真命题，则实数a满足（ ）
A．[0，1） B． C．[1，＋∞） D．
7．已知函数在单调递减，则的取值范围( )
A. B. C. D.
8. 有下面四个判断：其中正确的个数是( )
①命题：“设、，若，则”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“、”的否定是：“、”
A.0 B.1 C.2 D.3
9.设函数，的零点分别为，则( )
A. B. 0＜＜1 C.1＜＜2 D.
10. 已知，，且.
现给出如下结论：①；②；③；④. ；
⑤；⑥ 其中正确结论的序号是( )
A.①③⑤ B.①④⑥ C.②③⑤ D.②④⑥
11.设，函数，则使的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
卷Ⅱ（非选择题 共90分）
二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13.已知函数对任意的恒成立，则 .
14.已知函数的图像在上单调递增，则 .
15.若函数有六个不同的单调区间，则实数的取值范围
是 .
16．已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有。若函数，
则可求得： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本题10分)已知关于的不等式的解集为.
(1)当时，求集合；
（2）当时,求实数的范围.
18. （本题12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处
有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后
游向B处。若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒。（不考虑水流速度等因素）
（1）请分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间.
19. （本题12分）将函数的图像向左平移1个单位，再将图像上的所有点的
纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图像.
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求函数的最大值.
20. （本题12分）对于函数，若存在，使，则称是的一个
＂不动点＂.已知二次函数
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．
21. （本题12分）已知函数
（I）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数的两个极值点分别为判断下列三个代数式：
①②③中有几个为定值？并且是定值请求出；
若不是定值，请把不是定值的表示为函数并求出的最小值.
22.（本题12分）已知偶函数满足：当时，，
当时，
(1) 求当时，的表达式；
(2) 试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，
且这4个零点从小到大依次构成等差数列.
高三年级数学试卷（理科）参考答案
C A C A D B D B B C A C
13. 14. 0或2 15. （2,3） 16. -8046
17. 解：（1）当时， ……4分
（2） ……………………6分
不成立.又……8分
不成立 ……9分
综上可得， ……………………10分
18. 解析：（1）从A处游向B处的时间，
而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处的时间
而，所以救生员的选择是正确的. ……4分
（2）设CD=x，则AC=300-x,，使救生员从A经C到B的时间
……………………6分
，令
又， ……………………9分
知 ……………………11分
答：（略） …………………12分
19. 解析：（1） ……………4分
（2） ……………6分
令 （过程略） ……………10分
当时，的最大值-3 ……………………12分
20. （1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．…………………………….3分
（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，
∴，得的取值范围为． ……………..7分
（3）由得，由题知，，
设中点为，则的横坐标为，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为．……………………………………..12分
21. 解：（1）由
得，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
又x-3<0恒成立，所以恒成立，所以恒成立，
所以a<-2. ………………4分
（2）依题意知恰为方程的两根，
所以解得 ………………5分
所以①=3为定值， ………………6分
②为定值，………………7分
③不是定值
即（）所以，
当时，，在是增函数，
当时，，在是减函数，
当时，，在是增函数，
所以在的最小值需要比较，因为；
所以（）的最小值为15（a=2时取到）. ……12分
22.解：（1）设则，
又偶函数
所以， ………………………3分
（2）零点，与交点有4个且均匀分布
（Ⅰ）时， 得，
所以时， …………………………5分
（Ⅱ）且时 ， ，
所以 时，………………………………………7分
（Ⅲ）时m=1时 符合题意………………………………… ……8分
（IV） 时，，,m
此时所以 （舍）
且时，时存在 ………10分
综上： ①时，
②时，
③时，符合题意 ………12分
B
D
A
300米
C
300米