3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 448.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-11 17:04:30 | ||
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文档简介
双曲线及其标准方程
一、单选题
1．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
3．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
4．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
6．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
7．已知双曲线的左、右焦点分别为为C右支上的点，且，则的面积等于（ ）
A．192 B．96 C．48 D．102
8．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若方程表示双曲线，则实数m可能是（ ）
A．8 B．4 C．0 D．－5
10．已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．已知曲线，，以下说法正确的有（ ）
A．以曲线的焦点为顶点，以曲线的顶点为焦点的双曲线方程是
B．曲线围成的图形的面积是4
C．曲线存在内切圆，且内切圆的面积为
D．在曲线内部，与曲线有相同离心率的所有椭圆中，长轴的最大值为
三、填空题
12．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线上，且，则此双曲线的标准方程为________．
13．已知F1，F2分别为双曲线C：的左 右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
14．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|－|＝4的解为________．
15．已知的两个顶点，分别为椭圆的左、右焦点，且三个内角，，满足关系式．则顶点的轨迹方程为______．
四、解答题
16．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
17．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
18．动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
19．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．C
5．C
6．A
7．A
由双曲线可得：，，
所以，即，，，
所以，可得，
由双曲线的定义可得，
所以是等腰三角形，且，，
可得边上的高为，
所以的面积为，
故选：A.
8．B
如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以．
结合为线段的垂直平分线，可得，
所以．
同理，当点在轴右侧时，．
故点的轨迹是双曲线，其方程为．
故选：B
9．ABC
10．BCD
11．BCD
对于选项A，以曲线的焦点为顶点的双曲线，其焦点在轴上，曲线的左、右顶点分别为，所以对所求的双曲线而言，，从而，所以其方程为，故选项A错误；
对于选项B，如图，易知曲线围成的图形为菱形，面积为，故选项B正确；
对于选项C，易知曲线为菱形，所以有内切圆，且半径为原点到直线的距离，即，故内切圆的面积为，所以选项C正确；
对于选项D，与曲线有相同离心率的椭圆，当焦点在轴上时可设为，此时当长轴最长时，直线与相切，联立消去得：，令判别式，得，所以方程为，所以长轴长，当焦点在轴上时，长轴长，故选项D正确.
故选：BCD.
12．或
13．4
14．±
由，
得，
其几何意义为平面内动点(x，2)与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4.
又因为平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程为，
联立，
解得，
故答案为：±
15．
椭圆的方程可变形为．
，．
，由正弦定理，得，
即动点到两定点，的距离之差为定值．
由双曲线的定义可得动点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点）．
又，，
，，点的轨迹方程为．
故答案为：
16．（1）；（2）.
解：
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
17．（1）；（2）
解：
（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
18．（1）；（2）证明见解析，，.
解：
（1）解：设圆的半径为.
因为圆过点，且与圆相内切，所以，
所以，即：，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）证明：设，，，，，，，，
则，，，，，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值.
19．.
解：
设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，
即
所以动点M的轨迹方程：.
一、单选题
1．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
3．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
4．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
6．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
7．已知双曲线的左、右焦点分别为为C右支上的点，且，则的面积等于（ ）
A．192 B．96 C．48 D．102
8．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若方程表示双曲线，则实数m可能是（ ）
A．8 B．4 C．0 D．－5
10．已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．已知曲线，，以下说法正确的有（ ）
A．以曲线的焦点为顶点，以曲线的顶点为焦点的双曲线方程是
B．曲线围成的图形的面积是4
C．曲线存在内切圆，且内切圆的面积为
D．在曲线内部，与曲线有相同离心率的所有椭圆中，长轴的最大值为
三、填空题
12．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线上，且，则此双曲线的标准方程为________．
13．已知F1，F2分别为双曲线C：的左 右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
14．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|－|＝4的解为________．
15．已知的两个顶点，分别为椭圆的左、右焦点，且三个内角，，满足关系式．则顶点的轨迹方程为______．
四、解答题
16．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
17．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
18．动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
19．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．C
5．C
6．A
7．A
由双曲线可得：，，
所以，即，，，
所以，可得，
由双曲线的定义可得，
所以是等腰三角形，且，，
可得边上的高为，
所以的面积为，
故选：A.
8．B
如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以．
结合为线段的垂直平分线，可得，
所以．
同理，当点在轴右侧时，．
故点的轨迹是双曲线，其方程为．
故选：B
9．ABC
10．BCD
11．BCD
对于选项A，以曲线的焦点为顶点的双曲线，其焦点在轴上，曲线的左、右顶点分别为，所以对所求的双曲线而言，，从而，所以其方程为，故选项A错误；
对于选项B，如图，易知曲线围成的图形为菱形，面积为，故选项B正确；
对于选项C，易知曲线为菱形，所以有内切圆，且半径为原点到直线的距离，即，故内切圆的面积为，所以选项C正确；
对于选项D，与曲线有相同离心率的椭圆，当焦点在轴上时可设为，此时当长轴最长时，直线与相切，联立消去得：，令判别式，得，所以方程为，所以长轴长，当焦点在轴上时，长轴长，故选项D正确.
故选：BCD.
12．或
13．4
14．±
由，
得，
其几何意义为平面内动点(x，2)与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4.
又因为平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程为，
联立，
解得，
故答案为：±
15．
椭圆的方程可变形为．
，．
，由正弦定理，得，
即动点到两定点，的距离之差为定值．
由双曲线的定义可得动点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点）．
又，，
，，点的轨迹方程为．
故答案为：
16．（1）；（2）.
解：
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
17．（1）；（2）
解：
（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
18．（1）；（2）证明见解析，，.
解：
（1）解：设圆的半径为.
因为圆过点，且与圆相内切，所以，
所以，即：，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）证明：设，，，，，，，，
则，，，，，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值.
19．.
解：
设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，
即
所以动点M的轨迹方程：.