3.1.2 椭圆的简单几何性质 提升训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

椭圆的几何性质提升训练
一、单选题
1．已知椭圆的一个焦点为，则的短轴的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列椭圆中最扁的一个是
A． B． C． D．
4．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．己知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．面积的最大值为12
11．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
12．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（ ）
A．两个椭圆的离心率相等
B．到，，，四点的距离之和为定值
C．曲线关于直线，均对称
D．曲线所围区域面积必小于36
三、填空题
13．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的________倍．
14．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________．
15．已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，且，则椭圆的离心率为______．
16．如图，椭圆的中心在坐标原点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率___________.
四、解答题
17．已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，过的直线l交椭圆C于M N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.
18．已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程.
19．已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程．
参考答案
1．C
由题设知：且长轴在x轴上，即，
∴，故，则的短轴的长为.
故选：C
2．A
解：由题意可得，解得，，
所以，
所以椭圆的方程为，
故选：A
3．B
由得；由得；由得；由得；
因为，
所以最扁的椭圆为.
故选B
4．B
由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．
故选：B．
5．D
当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．B
设，则
由余弦定理得
所以
因为，
所以
整理得即
整理得所以
故选：B .
7．A
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
8．A
，，．
由题图可知，，
，，
．
故选：A．
9．AB
解：由题意知，
当时，，，，
∴，解得；
当时，，，，
∴，解得；
故选：AB．
10．BCD
由，则，，，焦点在轴上，
，，
对于A，离心率，故A错误；
对于B，设，，
，若，则,
即，解得，
故存在点A使得，故B正确；
对于C，在中，，
若，则，故C正确；
对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值，
即.
故选：BCD
11．BD
对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；
对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由
所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；
对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；
对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，
由，所以，所以椭圆方程为，故D正确
故选：BD
12．ACD
对于A，椭圆的离心率，
椭圆的离心率，所以，故A正确；
对于B，易知分别为椭圆的两个焦点，
分别为椭圆的两个焦点，
若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故B错误；
对于C，两个椭圆关于直线均对称，
则曲线关于直线均对称，故C正确；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，
椭圆的左、右顶点分别为，
所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故D正确.
故选：ACD.
13．2
设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则这两个顶点为椭圆短轴的二端点，于是得，
，即，
所以椭圆的长轴长是短轴长的2倍.
故答案为：2
14．
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，
由“切面”是一个椭圆，且“切面”所在平面与底面成角，
得，解得，
所以.
故答案为：
15．
依题意，设，则，
，即，，
，，
所以.
故答案为：
16．
设椭圆方程为.
由题意得.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴，
又，
∴.
故答案为：
17．（1）；（2）.
解：
（1）由题设，，则，故，
∴椭圆C的标准方程为.
（2）由题设易知：直线l为，联立椭圆并整理得：，
∴，，则，
到的距离为，
∴
18．
解：
设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
利用中点坐标公式，得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆上，∴.
将，代入上式，得
故所求AQ的中点M的轨迹方程是
19．（1）；（2）存在点，使得为定值，且定值为0.
解：
（1）由已知可得解得，，
所求椭圆方程为.
（2）由得，
则，解得或.
设，，
则，，
设存在点，则，，
所以.
要使为定值，只需与参数无关，
故，解得，
当时，.
综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0.
20．（1）；（2）或.
解：
（1）如图所示，由已知得,,不妨设在轴上方，因为圆的圆心为原点，半径为1，所以切线斜率为1，点在轴上，且，所以椭圆中心在原点，,所以，所以椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，A,B关于x轴对称，此时，而显然不在椭圆C上；
于是可设直线l的方程为，
代入椭圆C的方程，消去y并整理得：,
，
设点，，则．
则
，则点，
又点在椭圆上， 则有，
整理得，解得，
所以椭圆上存在点，使得，
此时直线的方程为，即或.