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人教版初中数学七年级下册 第八章 平面直角坐标系 8.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1.（2021七下·柯桥月考）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是( )
A. 甲22t，乙18t B. 甲23t，乙17t C. 甲21t，乙19t D. 甲24t，乙16t
【答案】 A
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】 设甲、乙两水池原先各自的贮水量是x、y，
∴ ,
解得：,
故答案为：A.
【分析】设甲、乙两水池原先各自的贮水量是x、y，根据甲、乙两水池现共贮水40 t列方程x+y=40，根据甲池进水4 t，乙池进水8 t，两池池水量相等列方程x+4=y+8，两方程联立求解即可.
2.（2021八下·重庆开学考）天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元.若将上衣价格下调5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高0.2%.设上衣和裤子在调价前单价分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组为
故答案为：C.
【分析】根据上衣的单价+裤子的单价=一套衣服的售价，上衣价格下调5%后的售价+裤子上调8%的售价=一套衣服售价提高0.2%后的售价列出方程组即可.
3.（2020九上·讷河期末）某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（ ）
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【答案】 B
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设4人车租x辆，6人车租y辆，
∵不得有空座，
则
∴
又∵每辆车上至少有1名教师，
∴
把 代入 得，
∴
∵x、y都是整数，
由 知x是3的倍数，
因此，当x=0时，y=8；
当x=3时，y=6；
当x=6时，y=4；
故有3种方案，
故答案为：B．
【分析】设4人车租x辆，6人车租y辆，由不得有空座，可得 ， 即得 ， 由于 ， 从而求出 ， 根据x、y都是整数，从而求出所有的方案.
4.（2021八上·甘州期末）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设运动员人数为x人，组数为y组，
由题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据关键语句“若每组7人，余3人”可得方程 ；“若每组8人，则缺5人.”可得方程 ，联立两个方程可得方程组.
5.（2021九上·沙坪坝期末）班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A. 300套 B. 200套 C. 100套 D. 50套
【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一套数学习题的单价为x元，一盒笔芯单价为y元，
则根据题意： ，
整理得： ， ，
若全部购买习题，设能购买a套，
则： ，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】 抓住已知条件：①选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物；选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物；②购买60份礼物的钱=购买50份礼物的钱，因此设一套数学习题的单价为x元，一盒笔芯单价为y元，建立关于x，y的方程，解方程求出x=3y；若全部购买习题，设能购买a套，根据题意列方程，解方程求出a的值.
6.（2020八上·盐田期末）把一根长7 m的钢管截成规格为2m和1 m的钢管(要求两种规格至少有一根)。在不造成浪费的情况下，不同的截法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解： 设截成2m长的钢管x根，1m长的钢管y根，
由题意得：2x+y=7，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
， ， ，
∴有三种不同的截法.
故答案为：C.
【分析】 截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的钢管y根，由题意得到关于x，y的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出答案.
二、填空题
7.（2021七下·丽水期中）声音在空气中的传播速度v（m/s）随温度t（℃）的变化而变化，且v＝at+b（a ， b是常数）．若当t＝10时，v＝336；当t＝20时，v＝342．则当v＝324时，t＝ ．
【答案】 -10
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得,
解得,
∴v=0.6t+330，
∴当v=324时，
0.6t+330=324，
解得t=-10，
故答案为：-10.
【分析】将两组数值代入v-t关系式得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之得到a、b值，则可确定v-t关系式，最后代值求解即可.
8.（2021八上·灞桥期末）某文具店有5元一支和4元一支的钢笔，王老师带48元去买钢笔，钱正好全部用完，共有 种购买方案.
【答案】 3
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设买了5元一支的钢笔x支，4元一支的钢笔y支，
根据题意得： ，即 ，
∵x、y是非负整数，
∴ 或 或 ，
∴王老师共有3种购买方法，
故答案为：3.
【分析】根据题意列出二元一次方程求得非负整数解即可.
9.（2020八上·峡江期末）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是 ．
【答案】
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得： ，
故答案为： ．
【分析】根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组进行计算求解即可。
三、解答题
10.（2021八上·碑林期末）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准为 ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2014年两个月的收费表：
时间 项目 用水量/ 费用/元
11月 15 35
12月 18 44
请问该城市居民标准内用水及超标用水的价格是如何制定的？
【答案】 解：设正常收费标准为x元/m3 ， 超过部分y元/m3.
由题意，得： ，
解得： ，
答：正常收费标准为2元/m3 ， 超过部分3元/m3.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设正常收费标准为x元/m3 ， 超过部分y元/m3 ， 根据等量关系：①用水量是15m3时，费用35元；②用水量是18m3时，费用是44元，列出方程组，即可求解.
11.（2020八上·盐田期末）根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5。该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
【答案】 解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶
由题意得
解得
答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶。
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解.
四、综合题
12.（2021七下·丽水期中）如图，已知方格纸的每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m ， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ．
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m ， n的值；
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
【答案】 （1）解：由题意得
解得;
（2）解：由题意得
解得x=2a.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1） 每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ，分别由a和y的位置关系和a和x的位置关系分别列方程得方程组求解即可；
（2） 每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ，分别由a和0的位置关系和a和x的位置关系分别列方程得方程组求解即可.
13.（2021八上·南岸期末）放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.
（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元
（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢 请通过计算说明.
【答案】 （1）若单独购买，设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据题意，可得
，解得 ，
所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元；
（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，
两人合起来，需要支付的总价钱为：
（元），
小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为3.8元；
小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为4.2元；
所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据“ 买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元 ”可列方程组，求解即可；
（2） 为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠， 根据优惠方案可得结果.
14.（2020八上·深圳期中）越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现．自2016年3月1日起，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，累计提现金额超出1000元的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费为提现金额的0.1%。
（1）.小明在今天第1次进行了提现，金额为1800元，他需支付手续费 元；
（2）.小亮自2016年3月1日至今，用自己的微信账户共提现3次，3次提现金额和手续费分别如下：
第1 次 第2次 第3次
提现金额（元） a b 3a+2b
手续费（元） 0 0.4 3.4
问：小亮3次提现金额共计多少元？
【答案】 （1）0.8
（2）解：①由题意得
∴
a+b+3a+26 =4800 （元）
∴3次体现金额共4800元
②1000 +（3.4 +0.4） ÷0.1%=4800 （元）
∴3次体现金额共4800元
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据应付手续费=（提现金额-1000）×0.1%
（2）分析图表，根据第一次、第二次、第三次提现支付的手续费，可得出关于ab的二元一次方程组。求得a、b的值，将a、b的值代入a+b+（3a+2b）中，即可得出答案。
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人教版初中数学七年级下册 第八章 平面直角坐标系 8.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1.（2021七下·柯桥月考）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是( )
A. 甲22t，乙18t B. 甲23t，乙17t C. 甲21t，乙19t D. 甲24t，乙16t
2.（2021八下·重庆开学考）天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元.若将上衣价格下调5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高0.2%.设上衣和裤子在调价前单价分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020九上·讷河期末）某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（ ）
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
4.（2021八上·甘州期末）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A. B. C. D.
5.（2021九上·沙坪坝期末）班长决定利用本学期剩余的全部班费为同学们筹备新年礼物，若选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可以购买60份礼物；若选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物，这笔钱恰好可购买50份礼物，如果将这笔钱全部用来购买这种数学习题，则可以买到的数量为（ ）
A. 300套 B. 200套 C. 100套 D. 50套
6.（2020八上·盐田期末）把一根长7 m的钢管截成规格为2m和1 m的钢管(要求两种规格至少有一根)。在不造成浪费的情况下，不同的截法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
二、填空题
7.（2021七下·丽水期中）声音在空气中的传播速度v（m/s）随温度t（℃）的变化而变化，且v＝at+b（a ， b是常数）．若当t＝10时，v＝336；当t＝20时，v＝342．则当v＝324时，t＝ ．
8.（2021八上·灞桥期末）某文具店有5元一支和4元一支的钢笔，王老师带48元去买钢笔，钱正好全部用完，共有 种购买方案.
9.（2020八上·峡江期末）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是 ．
三、解答题
10.（2021八上·碑林期末）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准为 ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2014年两个月的收费表：
时间 项目 用水量/ 费用/元
11月 15 35
12月 18 44
请问该城市居民标准内用水及超标用水的价格是如何制定的？
11.（2020八上·盐田期末）根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5。该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
四、综合题
12.（2021七下·丽水期中）如图，已知方格纸的每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m ， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ．
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m ， n的值；
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
13.（2021八上·南岸期末）放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.
（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元
（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢 请通过计算说明.
14.（2020八上·深圳期中）越来越多的人在用微信付款、转账，把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现．自2016年3月1日起，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，累计提现金额超出1000元的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费为提现金额的0.1%。
（1）.小明在今天第1次进行了提现，金额为1800元，他需支付手续费 元；
（2）.小亮自2016年3月1日至今，用自己的微信账户共提现3次，3次提现金额和手续费分别如下：
第1 次 第2次 第3次
提现金额（元） a b 3a+2b
手续费（元） 0 0.4 3.4
问：小亮3次提现金额共计多少元？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】 设甲、乙两水池原先各自的贮水量是x、y，
∴ ,
解得：,
故答案为：A.
【分析】设甲、乙两水池原先各自的贮水量是x、y，根据甲、乙两水池现共贮水40 t列方程x+y=40，根据甲池进水4 t，乙池进水8 t，两池池水量相等列方程x+4=y+8，两方程联立求解即可.
2.【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组为
故答案为：C.
【分析】根据上衣的单价+裤子的单价=一套衣服的售价，上衣价格下调5%后的售价+裤子上调8%的售价=一套衣服售价提高0.2%后的售价列出方程组即可.
3.【答案】 B
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设4人车租x辆，6人车租y辆，
∵不得有空座，
则
∴
又∵每辆车上至少有1名教师，
∴
把 代入 得，
∴
∵x、y都是整数，
由 知x是3的倍数，
因此，当x=0时，y=8；
当x=3时，y=6；
当x=6时，y=4；
故有3种方案，
故答案为：B．
【分析】设4人车租x辆，6人车租y辆，由不得有空座，可得 ， 即得 ， 由于 ， 从而求出 ， 根据x、y都是整数，从而求出所有的方案.
4.【答案】 A
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设运动员人数为x人，组数为y组，
由题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据关键语句“若每组7人，余3人”可得方程 ；“若每组8人，则缺5人.”可得方程 ，联立两个方程可得方程组.
5.【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一套数学习题的单价为x元，一盒笔芯单价为y元，
则根据题意： ，
整理得： ， ，
若全部购买习题，设能购买a套，
则： ，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】 抓住已知条件：①选择1套数学习题和2盒笔芯为一份礼物；选择1套数学习题和3盒笔芯为一份礼物；②购买60份礼物的钱=购买50份礼物的钱，因此设一套数学习题的单价为x元，一盒笔芯单价为y元，建立关于x，y的方程，解方程求出x=3y；若全部购买习题，设能购买a套，根据题意列方程，解方程求出a的值.
6.【答案】 C
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解： 设截成2m长的钢管x根，1m长的钢管y根，
由题意得：2x+y=7，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
， ， ，
∴有三种不同的截法.
故答案为：C.
【分析】 截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的钢管y根，由题意得到关于x，y的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出答案.
二、填空题
7.【答案】 -10
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得,
解得,
∴v=0.6t+330，
∴当v=324时，
0.6t+330=324，
解得t=-10，
故答案为：-10.
【分析】将两组数值代入v-t关系式得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之得到a、b值，则可确定v-t关系式，最后代值求解即可.
8.【答案】 3
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设买了5元一支的钢笔x支，4元一支的钢笔y支，
根据题意得： ，即 ，
∵x、y是非负整数，
∴ 或 或 ，
∴王老师共有3种购买方法，
故答案为：3.
【分析】根据题意列出二元一次方程求得非负整数解即可.
9.【答案】
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得： ，
故答案为： ．
【分析】根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组进行计算求解即可。
三、解答题
10.【答案】 解：设正常收费标准为x元/m3 ， 超过部分y元/m3.
由题意，得： ，
解得： ，
答：正常收费标准为2元/m3 ， 超过部分3元/m3.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设正常收费标准为x元/m3 ， 超过部分y元/m3 ， 根据等量关系：①用水量是15m3时，费用35元；②用水量是18m3时，费用是44元，列出方程组，即可求解.
11.【答案】 解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶
由题意得
解得
答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶。
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解.
四、综合题
12.【答案】 （1）解：由题意得
解得;
（2）解：由题意得
解得x=2a.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1） 每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ，分别由a和y的位置关系和a和x的位置关系分别列方程得方程组求解即可；
（2） 每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m， 各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ，分别由a和0的位置关系和a和x的位置关系分别列方程得方程组求解即可.
13.【答案】 （1）若单独购买，设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据题意，可得
，解得 ，
所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元；
（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，
两人合起来，需要支付的总价钱为：
（元），
小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为3.8元；
小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为4.2元；
所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品.
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据“ 买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元 ”可列方程组，求解即可；
（2） 为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠， 根据优惠方案可得结果.
14.【答案】 （1）0.8
（2）解：①由题意得
∴
a+b+3a+26 =4800 （元）
∴3次体现金额共4800元
②1000 +（3.4 +0.4） ÷0.1%=4800 （元）
∴3次体现金额共4800元
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据应付手续费=（提现金额-1000）×0.1%
（2）分析图表，根据第一次、第二次、第三次提现支付的手续费，可得出关于ab的二元一次方程组。求得a、b的值，将a、b的值代入a+b+（3a+2b）中，即可得出答案。
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