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初中数学苏科版八年级下册10.5 分式方程 同步训练
一、单选题
1．下列方程：① =1；② =2；③ ④ + =5；⑤ + =4.其中是分式方程的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
2．（2020八下·北京期中）将分式方程 去分母后，所得整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2018八上·芜湖期末）若分式方程 ﹣1= 无解，则m=（ ）
A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3
5．（2021八上·沙坪坝开学考）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天.设乙厂房每天生产x箱口罩.根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八下·南山期中）某商场要销售70件积压衬衫，销售30件后，降低售价，每天能多售出10件，结果70件衬衫一共用5天全部售完，原来每天销售多少件衬衫？设原来每天销售x件衬衫，下面列出的方程正确的是( )
A． B．
C． D．
7．（2017八下·安岳期中）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？设原计划每天修 米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017八上·安定期末）为满足学生业余时间读书，学校图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，已知科普书的单价比文学书的单价高出一半，所以购进的文学书比科普书多4本．若设这种文学书的单价为x元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·普定模拟）已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2且k≠1 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．﹣2＜k＜0
10．（2021八下·重庆开学考）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的和是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
二、填空题
11．（2020八上·栾城期中）当x＝ 时，分式 与分式 的值互为相反数．
12．（2019八上·玉田期中）若关于 的分式方程 的解为 ，则 的值为 .
13．（2021八下·内江开学考）关于x的分式方程 有增根，则m的值为 .
14．（2021八上·云县期末）已知关于 的分式方程 无解，则 的值为 .
15．（2021八上·汉寿期末）某市为绿化环境计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多30%，结果提前5天完成任务.若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方程为 .
16．（2020八下·天府新期末）有六张大小形状相同的卡片，分别写有1～6这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则a的值使得关于x的分式方程 有整数解的概率为 ．
17．（2021八上·汉寿期末）已知方程 ，且关于x的不等式组 只有3个整数解，那么 的取值范围是 .
18．（2019八下·成华期末）若数a使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于y的方程 ＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题
19．（2021八上·云阳期末）
（1）计算：
（2）解方程：
20．（2021八上·江津期末）解方程：
（1）
（2）
21．（2021八上·睢县期末）要在规定的天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成.现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑.若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？
22．（2021八上·北流期末）列分式方程解应用题：
2020年玉林市倡导市民积极参与垃圾分类，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元，求购买一个A型垃圾桶、一个B型垃圾桶各需多少元？
23．（2021八下·台州开学考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
24．（2021八上·云阳期末）为做好新冠肺炎疫情防控，某学校购入了一批洗手液与消毒液.购买洗手液花费3200元，购买消毒液花费3000元，购买的洗手液瓶数是消毒液瓶数的2倍，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格高7元.
（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？
（2）入冬以后，常见呼吸道传染病进入高发期，加剧了疫情防控的复杂性，学校决定第二次购入一批洗手液与消毒液，洗手液和消毒液的瓶数分别都比第一次的购入量多100瓶.适逢经销商进行价格调整，每瓶洗手液的价格比第一次的价格降低 ，每瓶消毒液的价格比第一次的价格降低 ，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液 与消毒液的总费用多400元，求 的值.
25．（2021八上·綦江期末）轻轨3号线北延伸段渝北空港广场站的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元，付乙工程队工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工.
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由.
26．（2021八上·江津期末）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品，爱民药店准备购进 和普通医用两种类型的口罩，已知每个普通医用口罩的进价比每个 口罩的进价少8元，且用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进 口罩的数量相同，设每个普通医用口罩进价为 元.
（1）每个 口罩的进价为 元，1500元购进 口罩的数量为 个（用含 的式子表示）；
（2）求每个普通医用口罩、每个 口罩的进价分别为多少元？
（3）若爱民药店本次购进这两种口罩共800个，并将两种口罩均按进价加价50%全部售出利润不少于1600元（不考虑其他因素），则这次至少购进 口罩多少个？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解根据分式方程的定义，分母里必须有未知数，从而得出②③④符合题意；①⑤不符合题意；
故应选 ：D.
【分析】根据分式方程的定义，分母里含有未知数的方程就是分式方程，就可以作出判断。
2．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】由题意，得
故答案为：B.
【分析】将分式方程两边同乘以x即可得解.
3．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
4．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2）得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m．
当x=1时，代入x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m得m=3；
把x=﹣2代入x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m得：m=0．
总之，m的值是0或3．
故答案为：A．
【分析】本题考查分式方程的定义，解分式方程.分式方程在分母为零的情况下无解，由此想到x=1或x=-2时方程无解，代入得到m的值.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据“ 两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天 ”可列方程.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原来每天销售x件衬衫，则降价后每天销售（x＋10）件，
由题意得：
故答案为：A．
【分析】设原来每天销售x件衬衫，则降价后每天销售（x＋10）件，再根据“结果70件衬衫一共用5天全部售完”列出方程即可．
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】题中原计划修 天，实际修了 天，
可列得方程 ，
故答案为：B．
【分析】相等关系是：原计划的天数-实际的天数=提前的天数，根据这个相等关系列方程，解这个方程，并检验即可知选项B符合题意。
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】根据题意可得文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，等量关系为：200元购进的文学书-240元购进的科普书=4，由等量关系列出方程：
，
故答案为：C．
【分析】关键是找出相等关系，购进的文学书-购进的科普书=4.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得：x-2（x-1）=k，
去括号得：x-2x+2=k，
解得：x=2-k，
由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，
解得：k＜2且k≠1，
故答案为：A.
【分析】将k作为常数，直接按照解分式方程的方法即可得到x=2-k，再根据解为正数得出x>0,且x≠1，据此列出不等式即可得到k的范围.
10．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 （x-4）+ ≥3得x≥5，
解不等式 ≥0，得x≤a，
∵不等式组无解，
∴a＜5；
解方程组 得x= ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、-3，
解得：a=-1或3，
∴所有满足条件的a值的和为-1+3=2，
故答案为：A.
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到a的取值范围；然后求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及a的取值范围，可确定出a的值，最后求出所有满足条件的a值的和即可.
11．【答案】2.4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
去分母得：2﹣3x+10﹣2x＝0，
解得：x＝2.4，
经检验x＝2.4是分式方程的解，
故答案为：2.4．
【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
12．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将x=4代入方程 得
，
∴m=9
故答案为：9．
【分析】由题意，将x=4代入原方程，解关于m的方程即可．
13．【答案】-3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
分式方程去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： .
故答案为：-3.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得到这个增根为x=2，将x=2代入整式方程进行计算，可求出m的值.
14．【答案】1或4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，
整理得：（m-1）x=9，
∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，
把x=3代入（m-1）x=9，
解得：m=4，
综上，m的值为1或4.
故答案为：1或4.
【分析】由题意先将分式方程去分母化分式方程化整式方程，根据分式方程无解可得未知数系数为0可得关于m的方程①，同时可得分式方程的分母为0，于是可得关于m的方程②，解关于m的方程①和②即可求解.
15．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，
根据题意可得： ，
故答案为： .
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，根据“原计划所用时间 实际所用时间＝5”列方程即可.
16．【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】把分式方程 去分母得ax﹣2﹣（x﹣2）＝6，
∴（a﹣1）x＝6，
∵分式方程有整数解，
∴x＝ 且x≠2，
∴a＝2或3，
∴a的值使得关于x的分式方程 有整数解的概率＝ ．
故答案为 ．
【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x＝ 且x≠2，利用有理数的整除性得到a＝2或3，然后根据概率公式求解．
17．【答案】3≤b＜4
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解方程 ，
两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，
解得：a=1，经检验a=1是分式方程的解；
∴关于x的不等式组 ，
则解集是1≤x≤b，
∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，
∴3≤b＜4.
故答案为：3≤b＜4.
【分析】首先解分式方程求得a的值，然后根据不等式组的解集确定x的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围.
18．【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为 ；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴ ，
解得，﹣2＜a≤2；
解分式方程得，y＝2﹣a；
∵方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0；即a≤2；
综上可知，﹣2＜a≤2，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，1，2；
∴﹣1+0+1+2＝2
故答案为2．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
19．【答案】（1）解： ，
= ，
= ，
= ，
；
（2）解： ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项合并得 ，
系数化1得 ，
当x=5时， ，
所以x=5是原方程的解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减先计算减法，再将分子利用平方差公式分解因式，最后约分即可得出答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
20．【答案】（1）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时 ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可.
21．【答案】解：设规定的时间为x天，则甲的效率为 ，乙的效率为 ，
依题意可列方程： + = ，
解得x=8，经检验，x=8是所列方程的解且又符合题意，
当x=8时，2×（ + ）= < ，所以两队共同再修筑2天，不能完成任务.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设规定的时间为x天，则可表示出甲和乙各自的效率，根据合作之前两队共完成任务的一半建立等式可解得规定的时间，得到甲乙各自的效率，再计算两人合作的量与 比较大小即可得.
22．【答案】解：设购买一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需 元
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
则： ，
答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设一个A型垃圾桶需x元, 则一个B型垃圾桶需( x+30 )元, 根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可.
23．【答案】（1）解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
＝ ，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
则x+40＝100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）解：设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n＝800，
整理得：m＝8﹣ n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝5，②n＝10时，m＝2；
∴有两种方案：①购买篮球5个，购买足球5个；②购买篮球2个，购买足球10个.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，然后根据：总价÷单价=数量分别表示出购买足球、篮球的数量，进而可得关于x的方程，求解即可；
（2） 设用800元可购买篮球m个和购买足球n个，由题意得：100m+60n＝800，然后利用含n的式子表示出m，根据m、n都是正整数确定出m、n的值即可.
24．【答案】（1）解：设一瓶洗手液的价格为x元，则一瓶消毒液的价格为（x+7）元.
根据题意可列方程： ，
解得： ，经检验 是原方程得解.
故一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为8+7=15元.
（2）解：第二次购入洗手液 瓶，购入消毒液 瓶.
根据题意可列等式： .
解得： .
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设一瓶洗手液的价格为x元，则一瓶消毒液的价格为（x+7）元.根据“用3200元购买的洗手液的数量=用3000元购买消毒液数量的2倍”可列出关于x的分式方程，求出x即可；
（2）先求出第二次购入洗手液和消毒液的数量，再由“第二次购进洗手液的费用+第二次购进消毒液的费用=3200+3000+400”列出关于a的一元一次方程，解出a即可.
25．【答案】（1）解：设完成这项工程的规定时间为x天，
由题意得 .
解得： .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：完成这项工程的规定时间是20天.
（2）解：选择方案三，理由如下：
方案一：所需工程款为 （万元）；
方案二：超过了规定时间，不符合题意；
方案三：所需工程款为 （万元）.
∵42＞38.4，
∴ 选择方案三.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+5）天完成这项工程，根据“ 甲、乙两队合作做4天的工作量+乙队（x-4）天完成的工作量=1 ”，列出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用=每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论.
26．【答案】（1）（x+8）；
（2）解：由题知：
解得
检验： 是方程的解
∴
答：每个普通医用口罩、每个 口罩的进价分别为2元和10元；
（3）解：设购进N95口罩m个，
根据题意得：2×50%（800-m）+10×50%m≥1600
解得m≥200
答：至少购进 口罩200个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得每个 口罩的进价为： 元，
1500元购进 口罩的数量为： ；
故答案为：（x+8）, ；
【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）根据" 用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进 口罩的数量相同， 列出方程，求解并检验即可；
（3）设购进N95口罩m个，根据“销售普通口罩的利润+销售N95口罩的利润不少于1600”列出不等式，求解即可.
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初中数学苏科版八年级下册10.5 分式方程 同步训练
一、单选题
1．下列方程：① =1；② =2；③ ④ + =5；⑤ + =4.其中是分式方程的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解根据分式方程的定义，分母里必须有未知数，从而得出②③④符合题意；①⑤不符合题意；
故应选 ：D.
【分析】根据分式方程的定义，分母里含有未知数的方程就是分式方程，就可以作出判断。
2．（2020八下·北京期中）将分式方程 去分母后，所得整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】由题意，得
故答案为：B.
【分析】将分式方程两边同乘以x即可得解.
3．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
4．（2018八上·芜湖期末）若分式方程 ﹣1= 无解，则m=（ ）
A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2）得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m．
当x=1时，代入x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m得m=3；
把x=﹣2代入x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m得：m=0．
总之，m的值是0或3．
故答案为：A．
【分析】本题考查分式方程的定义，解分式方程.分式方程在分母为零的情况下无解，由此想到x=1或x=-2时方程无解，代入得到m的值.
5．（2021八上·沙坪坝开学考）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天.设乙厂房每天生产x箱口罩.根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据“ 两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天 ”可列方程.
6．（2020八下·南山期中）某商场要销售70件积压衬衫，销售30件后，降低售价，每天能多售出10件，结果70件衬衫一共用5天全部售完，原来每天销售多少件衬衫？设原来每天销售x件衬衫，下面列出的方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原来每天销售x件衬衫，则降价后每天销售（x＋10）件，
由题意得：
故答案为：A．
【分析】设原来每天销售x件衬衫，则降价后每天销售（x＋10）件，再根据“结果70件衬衫一共用5天全部售完”列出方程即可．
7．（2017八下·安岳期中）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？设原计划每天修 米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】题中原计划修 天，实际修了 天，
可列得方程 ，
故答案为：B．
【分析】相等关系是：原计划的天数-实际的天数=提前的天数，根据这个相等关系列方程，解这个方程，并检验即可知选项B符合题意。
8．（2017八上·安定期末）为满足学生业余时间读书，学校图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，已知科普书的单价比文学书的单价高出一半，所以购进的文学书比科普书多4本．若设这种文学书的单价为x元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】根据题意可得文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，等量关系为：200元购进的文学书-240元购进的科普书=4，由等量关系列出方程：
，
故答案为：C．
【分析】关键是找出相等关系，购进的文学书-购进的科普书=4.
9．（2021·普定模拟）已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2且k≠1 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．﹣2＜k＜0
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得：x-2（x-1）=k，
去括号得：x-2x+2=k，
解得：x=2-k，
由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，
解得：k＜2且k≠1，
故答案为：A.
【分析】将k作为常数，直接按照解分式方程的方法即可得到x=2-k，再根据解为正数得出x>0,且x≠1，据此列出不等式即可得到k的范围.
10．（2021八下·重庆开学考）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的和是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 （x-4）+ ≥3得x≥5，
解不等式 ≥0，得x≤a，
∵不等式组无解，
∴a＜5；
解方程组 得x= ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、-3，
解得：a=-1或3，
∴所有满足条件的a值的和为-1+3=2，
故答案为：A.
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到a的取值范围；然后求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及a的取值范围，可确定出a的值，最后求出所有满足条件的a值的和即可.
二、填空题
11．（2020八上·栾城期中）当x＝ 时，分式 与分式 的值互为相反数．
【答案】2.4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
去分母得：2﹣3x+10﹣2x＝0，
解得：x＝2.4，
经检验x＝2.4是分式方程的解，
故答案为：2.4．
【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
12．（2019八上·玉田期中）若关于 的分式方程 的解为 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将x=4代入方程 得
，
∴m=9
故答案为：9．
【分析】由题意，将x=4代入原方程，解关于m的方程即可．
13．（2021八下·内江开学考）关于x的分式方程 有增根，则m的值为 .
【答案】-3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
分式方程去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： .
故答案为：-3.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得到这个增根为x=2，将x=2代入整式方程进行计算，可求出m的值.
14．（2021八上·云县期末）已知关于 的分式方程 无解，则 的值为 .
【答案】1或4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，
整理得：（m-1）x=9，
∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，
把x=3代入（m-1）x=9，
解得：m=4，
综上，m的值为1或4.
故答案为：1或4.
【分析】由题意先将分式方程去分母化分式方程化整式方程，根据分式方程无解可得未知数系数为0可得关于m的方程①，同时可得分式方程的分母为0，于是可得关于m的方程②，解关于m的方程①和②即可求解.
15．（2021八上·汉寿期末）某市为绿化环境计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多30%，结果提前5天完成任务.若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方程为 .
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，
根据题意可得： ，
故答案为： .
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，根据“原计划所用时间 实际所用时间＝5”列方程即可.
16．（2020八下·天府新期末）有六张大小形状相同的卡片，分别写有1～6这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则a的值使得关于x的分式方程 有整数解的概率为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】把分式方程 去分母得ax﹣2﹣（x﹣2）＝6，
∴（a﹣1）x＝6，
∵分式方程有整数解，
∴x＝ 且x≠2，
∴a＝2或3，
∴a的值使得关于x的分式方程 有整数解的概率＝ ．
故答案为 ．
【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x＝ 且x≠2，利用有理数的整除性得到a＝2或3，然后根据概率公式求解．
17．（2021八上·汉寿期末）已知方程 ，且关于x的不等式组 只有3个整数解，那么 的取值范围是 .
【答案】3≤b＜4
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解方程 ，
两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，
解得：a=1，经检验a=1是分式方程的解；
∴关于x的不等式组 ，
则解集是1≤x≤b，
∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，
∴3≤b＜4.
故答案为：3≤b＜4.
【分析】首先解分式方程求得a的值，然后根据不等式组的解集确定x的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围.
18．（2019八下·成华期末）若数a使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于y的方程 ＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为 ；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴ ，
解得，﹣2＜a≤2；
解分式方程得，y＝2﹣a；
∵方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0；即a≤2；
综上可知，﹣2＜a≤2，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，1，2；
∴﹣1+0+1+2＝2
故答案为2．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
三、解答题
19．（2021八上·云阳期末）
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解： ，
= ，
= ，
= ，
；
（2）解： ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项合并得 ，
系数化1得 ，
当x=5时， ，
所以x=5是原方程的解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减先计算减法，再将分子利用平方差公式分解因式，最后约分即可得出答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
20．（2021八上·江津期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时 ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可.
21．（2021八上·睢县期末）要在规定的天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成.现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑.若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？
【答案】解：设规定的时间为x天，则甲的效率为 ，乙的效率为 ，
依题意可列方程： + = ，
解得x=8，经检验，x=8是所列方程的解且又符合题意，
当x=8时，2×（ + ）= < ，所以两队共同再修筑2天，不能完成任务.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设规定的时间为x天，则可表示出甲和乙各自的效率，根据合作之前两队共完成任务的一半建立等式可解得规定的时间，得到甲乙各自的效率，再计算两人合作的量与 比较大小即可得.
22．（2021八上·北流期末）列分式方程解应用题：
2020年玉林市倡导市民积极参与垃圾分类，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元，求购买一个A型垃圾桶、一个B型垃圾桶各需多少元？
【答案】解：设购买一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需 元
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
则： ，
答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设一个A型垃圾桶需x元, 则一个B型垃圾桶需( x+30 )元, 根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可.
23．（2021八下·台州开学考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
＝ ，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
则x+40＝100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）解：设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n＝800，
整理得：m＝8﹣ n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝5，②n＝10时，m＝2；
∴有两种方案：①购买篮球5个，购买足球5个；②购买篮球2个，购买足球10个.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，然后根据：总价÷单价=数量分别表示出购买足球、篮球的数量，进而可得关于x的方程，求解即可；
（2） 设用800元可购买篮球m个和购买足球n个，由题意得：100m+60n＝800，然后利用含n的式子表示出m，根据m、n都是正整数确定出m、n的值即可.
24．（2021八上·云阳期末）为做好新冠肺炎疫情防控，某学校购入了一批洗手液与消毒液.购买洗手液花费3200元，购买消毒液花费3000元，购买的洗手液瓶数是消毒液瓶数的2倍，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格高7元.
（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？
（2）入冬以后，常见呼吸道传染病进入高发期，加剧了疫情防控的复杂性，学校决定第二次购入一批洗手液与消毒液，洗手液和消毒液的瓶数分别都比第一次的购入量多100瓶.适逢经销商进行价格调整，每瓶洗手液的价格比第一次的价格降低 ，每瓶消毒液的价格比第一次的价格降低 ，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液 与消毒液的总费用多400元，求 的值.
【答案】（1）解：设一瓶洗手液的价格为x元，则一瓶消毒液的价格为（x+7）元.
根据题意可列方程： ，
解得： ，经检验 是原方程得解.
故一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为8+7=15元.
（2）解：第二次购入洗手液 瓶，购入消毒液 瓶.
根据题意可列等式： .
解得： .
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设一瓶洗手液的价格为x元，则一瓶消毒液的价格为（x+7）元.根据“用3200元购买的洗手液的数量=用3000元购买消毒液数量的2倍”可列出关于x的分式方程，求出x即可；
（2）先求出第二次购入洗手液和消毒液的数量，再由“第二次购进洗手液的费用+第二次购进消毒液的费用=3200+3000+400”列出关于a的一元一次方程，解出a即可.
25．（2021八上·綦江期末）轻轨3号线北延伸段渝北空港广场站的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元，付乙工程队工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工.
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由.
【答案】（1）解：设完成这项工程的规定时间为x天，
由题意得 .
解得： .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：完成这项工程的规定时间是20天.
（2）解：选择方案三，理由如下：
方案一：所需工程款为 （万元）；
方案二：超过了规定时间，不符合题意；
方案三：所需工程款为 （万元）.
∵42＞38.4，
∴ 选择方案三.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+5）天完成这项工程，根据“ 甲、乙两队合作做4天的工作量+乙队（x-4）天完成的工作量=1 ”，列出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用=每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论.
26．（2021八上·江津期末）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品，爱民药店准备购进 和普通医用两种类型的口罩，已知每个普通医用口罩的进价比每个 口罩的进价少8元，且用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进 口罩的数量相同，设每个普通医用口罩进价为 元.
（1）每个 口罩的进价为 元，1500元购进 口罩的数量为 个（用含 的式子表示）；
（2）求每个普通医用口罩、每个 口罩的进价分别为多少元？
（3）若爱民药店本次购进这两种口罩共800个，并将两种口罩均按进价加价50%全部售出利润不少于1600元（不考虑其他因素），则这次至少购进 口罩多少个？
【答案】（1）（x+8）；
（2）解：由题知：
解得
检验： 是方程的解
∴
答：每个普通医用口罩、每个 口罩的进价分别为2元和10元；
（3）解：设购进N95口罩m个，
根据题意得：2×50%（800-m）+10×50%m≥1600
解得m≥200
答：至少购进 口罩200个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得每个 口罩的进价为： 元，
1500元购进 口罩的数量为： ；
故答案为：（x+8）, ；
【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）根据" 用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进 口罩的数量相同， 列出方程，求解并检验即可；
（3）设购进N95口罩m个，根据“销售普通口罩的利润+销售N95口罩的利润不少于1600”列出不等式，求解即可.
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