高中数学人教版2019 选修一曲线方程 3.1 椭圆
一、单选题
1．（2020高二上·舟山期末）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，所以 ，
又由椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆的焦点坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的标准方程可得几何量，即可得到焦点坐标。
2．（2021高二下·深州月考）已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，
又离心率为 ，所以 ，解得： ，
则 = ，
所以椭圆的标准方程为： 。
故答案为：D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用长轴长公式和离心率公式结合已知条件，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程。
3．（2020高二上·定远期末）P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由 得 ，
所以 ，所以 ，
根据椭圆的定义可得 ，
又 所以 .
故答案为：A
【分析】根据椭圆的定义 可得答案。
4．（2020高二上·百色期末）“ ”是“方程 表示焦点在 轴的椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则满足 ，解得 ；
又由当 则必有 ，但若 则不一定有 成立，
所以“ ”是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的必要非充分条件．
故答案为：B．
【分析】由椭圆的标准方程以及简单性质结合题意即可得出m的取值范围。
5．（2021高二下·深州月考）设 是椭圆 上的一点， 为焦点，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】设 ，
所以由余弦定理得： ，
所以 。
【分析】设 利用椭圆的定义结合已知条件，得出 ，再利用余弦定理得出，再解方程组求出的值，再利用三角形面积，进而求出三角形 的面积。
6．（2020高二上·农安期末）已知椭圆 ，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】 因为A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，所以 ， ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合两点求斜率公式求出a，b，c三者的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
7．（2020高二上·百色期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，过点 的直线1与椭圆相交于A，B两点，若点Q是线段 的中点，则直线l的斜率为（ ）
A．2或 B．2或8 C． 或 D． 或8
【答案】A
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，所以 ，由a，b，c之间的关系可得 ，所以 ，
设 ， ，由题意可得 ， ，
因为A，B在椭圆上，
当焦点在x轴上时，则 ，作差可得 ，
所以 ；
当焦点在y轴上时，则 作差可得 ，
所以 ，
综上所述直线l的斜率为：2或 ，
故答案为：A.
【分析】首先由已知条件以及椭圆里a、b、c的关系即可整理出a与b的关系，设出点的坐标代入到椭圆的方程由点差法即可得出直线的斜率值。
8．（2020高二上·望城期末）椭圆 （ ）上一点 关于原点的对称点为 ， 为椭圆的一个焦点，若 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图， 是另一个焦点，由对称性知 是平行四边形，
∵ ，∴ ，∴ 是矩形．
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 根据椭圆的对称性得出四边形为矩形，由矩形的几何性质利用三角形内的几何计算关系即可求出a与c的关系，从而求出离心率的值。
二、多选题
9．（2020高二上·沭阳期中）若方程 表示椭圆 ，则下面结论正确的是（ ）
A．
B．椭圆 的焦距为
C．若椭圆 的焦点在 轴上，则
D．若椭圆 的焦点在 轴上，则
【答案】C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题可知， ，又椭圆中 ，故 ，联立求得 ，A不符合题意；
当 ，即 时，焦点在 轴， ，B不符合题意，C符合题意；
当 ，即 时，焦点在 轴上， ，B不符合题意，D符合题意，
故答案为：CD。
【分析】利用椭圆的标准方程求出k的取值范围，再利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而利用焦距的定义求出椭圆的焦距，再利用椭圆的焦点位置，从而求出实数k的取值范围，从而找出结论正确的选项。
10．（2021高二下·湖南月考）若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】A,B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，解得 或 （舍去）,
， ,
∴长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 。
故答案为：AB.
【分析】利用焦点的坐标确定焦点的位置，进而确定椭圆标准方程中的a,b与m的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出满足要求的m的值，从而求出a,b的值，再利用长轴的定义和短轴的定义求出长轴长和短轴长，再结合离心率公式求出椭圆的离心率。
11．（2020高二上·梅县期末）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点 第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点 第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题图可得 ，A不正确；
，B符合题意；
由 得 ，即 ，
即 ，C符合题意，D不正确．
故答案为：BC
【分析】由图象以及不等式的基本性质即可判断出选项A正确；由椭圆的几何性质即可判断出选项B正确；由选项B的结论变形即可判断出选项C正确、D错误；由此即可得出答案。
12．（2020高二上·枣庄期末）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ： ， 分别为左、右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆
∴
对于A，若 ，则 ，∴ ，∴ ，不满足条件，A不符合条件；
对于B， ，∴
∴ ，∴
∴ ，解得 或 （舍去），B符合条件；
对于C， 轴，且 ，∴
∵
∴ ，解得
∵ ，∴
∴ ，不满足题意，C不符合条件；
对于D，四边形 的内切圆过焦点
即四边形 的内切圆的半径为c，∴
∴ ，∴ ，解得 （舍去）或 ，∴ ，D符合条件．
故答案为：BD．
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B，根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D。
三、填空题
13．（2020高二上·梅县期末）已知过点 的椭圆C的焦点分别为 ， ，则椭圆C的标准方程是 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ,
所以椭圆方程为 ．
故答案为： ．
【分析】根据椭圆的定义整理即可求出a的值，结合椭圆里a、b、c的关系即可计算出b的值由此得到椭圆的方程。
14．（2020高二上·嘉兴期末）在直角三角形 中， ，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边 上，并且椭圆经过点 ，则椭圆的长轴长等于 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：如图，
设椭圆的长轴长为 ，因为 ，则 ，
， ，则 ，所以 .
故答案为：
【分析】根据题意结合椭圆的定义即可求出长轴的值。
15．（2020高二上·柯桥期末）已知椭圆C： ，A，B是椭圆C上两点，且关于点 对称，P是椭圆C外一点，满足 ， 的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是 .
【答案】 或
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ， A，B是椭圆C上两点，
则 ，两式相减得 ，
是AB中点，则 ，即 ，
故直线AB斜率为 ，则直线AB方程为 ，即 ，
将直线方程代入椭圆得 ，解得 ，
则可得 ，
设 ，则PA中点为 ，PB中点为 ，
， 的中点均在椭圆C上，
则 ，解得 或 ，
的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 根据题意设出点，A（x1，y1），B（x2，y2），利用点A，B在椭圆上得到两个等式，又点A，B关于对称，得到两个等式，PA，PB的中点均在椭圆上，又得到两个等式，然后利用这几个等式进行化简变形，求解即可得到答案．
16．（2020高二上·泰州期末）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义可得 ，又 ，所以 ，
在椭圆中， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以该椭圆离心率的取值范围是 .
故答案为：
【分析】根据题意由椭圆的定义以及椭圆的几何性质即可得出a与c的关系，由整体思想结合离心率的公式即可求出结果。
四、解答题
17．（2020高二上·金台期末）已知椭圆的长轴在 轴上，长轴长为4，离心率为 ，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线 与椭圆交于 两点，求 两点的距离.
【答案】（1）解：由已知： ， ，
故 ， ，
则椭圆的方程为： ，
所以椭圆的短轴长为 ，焦距为
（2）解：联立 ，解得 ， ，
所以 ， ，
故
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的标准方程即可求出a与b的值，结合椭圆里a、b、c的关系即可求出b的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意首先联立直线与椭圆的方程消去y得到关于x的方程求解出方程的解即可得到点的坐标，再由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
18．（2020高二上·天津期末）已知椭圆E： （ ）的焦距为 ，且离心率为 .
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若直线 （ ）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足 ，求k.
【答案】解：（Ⅰ）解：由题意知 ， ，
又因为 解得 ， ，
故E的标准方程为
（Ⅱ）由 ，得 ，
得 或
不妨设 ， ，则 ，
由（Ⅰ）知 ，故 ， ，
由 ，知
又因为 ，故 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意即可得出c的值再由离心率公式即可求出a的值，然后由椭圆里a、b、c的关系即可求出b的值，由此得到椭圆的方程。
（Ⅱ） 根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，求解出点的坐标再由（Ⅰ）即可得出，由向量垂直的性质即可得出整理即可得到，由此即可求出k的取值。
19．（2020高二上·百色期末）已知椭圆 的左 右焦点分别是 ，且离心率为 ，点 为椭圆下上动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 是椭圆 的上顶点，直线 交椭圆 于点 ，过点 的直线 (直线 的斜率不为1)与椭圆 交于 两点，点 在点 的上方．若 ，求直线 的方程．
【答案】（1）解： 面积的最
又 ，所以 ，解得 ．
即 ，故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题可得直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
因为 ，则 ，
得 ，
当直线 的斜率为0时，不符合题意，
故设直线 的方程为 ，由点P在点Q的上方，则
联立 ，得 ，则
得 ，则 ，得
又 ，则 ，不符合题意，所以
故直线 的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理即可得出b与c的关系再由离心率的公式即可求出b与c的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得出整理即可得到关于m的方程，求解出m的结果由此即可得到直线的方程。
20．（2020高二上·嘉兴期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，点 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）经过椭圆E的左焦点 作斜率之积为 的两条直线 ， ，直线 交椭圆E于A，B，直线 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：因为 ，得 ，则 ，
又椭圆经过点 ，则 ，即 ，
故椭圆 的标准方程为
（2）解：设直线 的斜率为 ，则 ，设 ， ，
联立 得， ，
， ，
的中点 ，同理可得 的中点 ，
，所以， ，
则 .
令 得 ，所以 在 轴上的交点为 ，
所以 ，
令 ， ，
因为 ， ，即 面积的最大值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合离心率的公式即可得出a与b的关系，把点的坐标代入到椭圆的方程由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值由此即可得到椭圆的方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，由此即可求出AB中点的坐标同理即可求出CD中点的坐标，由已知条件整理即可得到，由此即可求出直线GH的方程，求出直线的截距即与x轴的交点，进而得到三角形的面积公式，再由整体思想整理化简结合基本不等式即可求出即由此得到面积的最大值。
21．（2020高二上·望城期末）已知四点 中恰有三点在椭圆 上，其中 ．
（1）求 的值；
（2）若直线 过定点 且与椭圆 交于 两点（ 与 轴不重合），点 关于 轴的对称点为点 ．探究：直线 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：因为 关于原点对称，由题意得 和 在椭圆上，
将 的坐标代入 得：
解得：
（2）解：显然， 与 轴不垂直，设 的方程为：
设 ，则
且
直线 方程为
令 ，得 ，
故直线 过定点 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由点在椭圆上把点的坐标代入得到关于a与b的方程组，求解出结果即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得到直线AD的方程由截距的定义令y=0计算出结果即可。
22．（2020高二上·咸阳期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆C截得的线段长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于 两点(A B不与椭圆C的顶点重合)，点 在椭圆C上，且 ，直线BD与x轴交于M点，设直线BD AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值.
【答案】（1）解： 椭圆 的离心率为 ，
， ，
，得 ，①
设直线 与椭圆C交于P，Q两点，
设P是直线与椭圆在第一象限的交点，
直线 被椭圆C截得的线段长为 ，
， ，
整理得 ，②
联立①②，解得 ， ，
椭圆C的方程为
（2）解：由题知 ，直线AB的斜率 ，
又 ， 直线AD的斜率 ，
设直线AD的方程为 ，
由题意得 ， ，
联立 ，得 ，
， ，
由题意知 ， ，
直线BD的方程为 ，
令 ，得 ，
即 ，所以 ，
，则 ，
存在常数 ，使结论成立.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为 ，得到 ，由 直线 被椭圆C截得的线段长为 ， 得到 ，从而解得 ， ，由此能求出椭圆方程；
（2） 设直线AD的方程为 ， 联立 ，得 ，由韦达定理得到 ，从而直线BD的方程为 ，求出 ，由此得到存在常数 ，使得 。
1 / 1高中数学人教版2019 选修一曲线方程 3.1 椭圆
一、单选题
1．（2020高二上·舟山期末）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二下·深州月考）已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·定远期末）P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
4．（2020高二上·百色期末）“ ”是“方程 表示焦点在 轴的椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021高二下·深州月考）设 是椭圆 上的一点， 为焦点，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．16
6．（2020高二上·农安期末）已知椭圆 ，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·百色期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，过点 的直线1与椭圆相交于A，B两点，若点Q是线段 的中点，则直线l的斜率为（ ）
A．2或 B．2或8 C． 或 D． 或8
8．（2020高二上·望城期末）椭圆 （ ）上一点 关于原点的对称点为 ， 为椭圆的一个焦点，若 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·沭阳期中）若方程 表示椭圆 ，则下面结论正确的是（ ）
A．
B．椭圆 的焦距为
C．若椭圆 的焦点在 轴上，则
D．若椭圆 的焦点在 轴上，则
10．（2021高二下·湖南月考）若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
11．（2020高二上·梅县期末）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点 第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点 第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高二上·枣庄期末）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ： ， 分别为左、右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
三、填空题
13．（2020高二上·梅县期末）已知过点 的椭圆C的焦点分别为 ， ，则椭圆C的标准方程是 .
14．（2020高二上·嘉兴期末）在直角三角形 中， ，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边 上，并且椭圆经过点 ，则椭圆的长轴长等于 .
15．（2020高二上·柯桥期末）已知椭圆C： ，A，B是椭圆C上两点，且关于点 对称，P是椭圆C外一点，满足 ， 的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是 .
16．（2020高二上·泰州期末）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题
17．（2020高二上·金台期末）已知椭圆的长轴在 轴上，长轴长为4，离心率为 ，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线 与椭圆交于 两点，求 两点的距离.
18．（2020高二上·天津期末）已知椭圆E： （ ）的焦距为 ，且离心率为 .
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若直线 （ ）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足 ，求k.
19．（2020高二上·百色期末）已知椭圆 的左 右焦点分别是 ，且离心率为 ，点 为椭圆下上动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 是椭圆 的上顶点，直线 交椭圆 于点 ，过点 的直线 (直线 的斜率不为1)与椭圆 交于 两点，点 在点 的上方．若 ，求直线 的方程．
20．（2020高二上·嘉兴期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，点 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）经过椭圆E的左焦点 作斜率之积为 的两条直线 ， ，直线 交椭圆E于A，B，直线 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 面积的最大值.
21．（2020高二上·望城期末）已知四点 中恰有三点在椭圆 上，其中 ．
（1）求 的值；
（2）若直线 过定点 且与椭圆 交于 两点（ 与 轴不重合），点 关于 轴的对称点为点 ．探究：直线 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
22．（2020高二上·咸阳期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆C截得的线段长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于 两点(A B不与椭圆C的顶点重合)，点 在椭圆C上，且 ，直线BD与x轴交于M点，设直线BD AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，所以 ，
又由椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆的焦点坐标为 .
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的标准方程可得几何量，即可得到焦点坐标。
2．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，
又离心率为 ，所以 ，解得： ，
则 = ，
所以椭圆的标准方程为： 。
故答案为：D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用长轴长公式和离心率公式结合已知条件，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程。
3．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由 得 ，
所以 ，所以 ，
根据椭圆的定义可得 ，
又 所以 .
故答案为：A
【分析】根据椭圆的定义 可得答案。
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则满足 ，解得 ；
又由当 则必有 ，但若 则不一定有 成立，
所以“ ”是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的必要非充分条件．
故答案为：B．
【分析】由椭圆的标准方程以及简单性质结合题意即可得出m的取值范围。
5．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】设 ，
所以由余弦定理得： ，
所以 。
【分析】设 利用椭圆的定义结合已知条件，得出 ，再利用余弦定理得出，再解方程组求出的值，再利用三角形面积，进而求出三角形 的面积。
6．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】 因为A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，所以 ， ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合两点求斜率公式求出a，b，c三者的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
7．【答案】A
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，所以 ，由a，b，c之间的关系可得 ，所以 ，
设 ， ，由题意可得 ， ，
因为A，B在椭圆上，
当焦点在x轴上时，则 ，作差可得 ，
所以 ；
当焦点在y轴上时，则 作差可得 ，
所以 ，
综上所述直线l的斜率为：2或 ，
故答案为：A.
【分析】首先由已知条件以及椭圆里a、b、c的关系即可整理出a与b的关系，设出点的坐标代入到椭圆的方程由点差法即可得出直线的斜率值。
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图， 是另一个焦点，由对称性知 是平行四边形，
∵ ，∴ ，∴ 是矩形．
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 根据椭圆的对称性得出四边形为矩形，由矩形的几何性质利用三角形内的几何计算关系即可求出a与c的关系，从而求出离心率的值。
9．【答案】C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题可知， ，又椭圆中 ，故 ，联立求得 ，A不符合题意；
当 ，即 时，焦点在 轴， ，B不符合题意，C符合题意；
当 ，即 时，焦点在 轴上， ，B不符合题意，D符合题意，
故答案为：CD。
【分析】利用椭圆的标准方程求出k的取值范围，再利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而利用焦距的定义求出椭圆的焦距，再利用椭圆的焦点位置，从而求出实数k的取值范围，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，解得 或 （舍去）,
， ,
∴长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 。
故答案为：AB.
【分析】利用焦点的坐标确定焦点的位置，进而确定椭圆标准方程中的a,b与m的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出满足要求的m的值，从而求出a,b的值，再利用长轴的定义和短轴的定义求出长轴长和短轴长，再结合离心率公式求出椭圆的离心率。
11．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题图可得 ，A不正确；
，B符合题意；
由 得 ，即 ，
即 ，C符合题意，D不正确．
故答案为：BC
【分析】由图象以及不等式的基本性质即可判断出选项A正确；由椭圆的几何性质即可判断出选项B正确；由选项B的结论变形即可判断出选项C正确、D错误；由此即可得出答案。
12．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆
∴
对于A，若 ，则 ，∴ ，∴ ，不满足条件，A不符合条件；
对于B， ，∴
∴ ，∴
∴ ，解得 或 （舍去），B符合条件；
对于C， 轴，且 ，∴
∵
∴ ，解得
∵ ，∴
∴ ，不满足题意，C不符合条件；
对于D，四边形 的内切圆过焦点
即四边形 的内切圆的半径为c，∴
∴ ，∴ ，解得 （舍去）或 ，∴ ，D符合条件．
故答案为：BD．
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B，根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D。
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ,
所以椭圆方程为 ．
故答案为： ．
【分析】根据椭圆的定义整理即可求出a的值，结合椭圆里a、b、c的关系即可计算出b的值由此得到椭圆的方程。
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：如图，
设椭圆的长轴长为 ，因为 ，则 ，
， ，则 ，所以 .
故答案为：
【分析】根据题意结合椭圆的定义即可求出长轴的值。
15．【答案】 或
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ， A，B是椭圆C上两点，
则 ，两式相减得 ，
是AB中点，则 ，即 ，
故直线AB斜率为 ，则直线AB方程为 ，即 ，
将直线方程代入椭圆得 ，解得 ，
则可得 ，
设 ，则PA中点为 ，PB中点为 ，
， 的中点均在椭圆C上，
则 ，解得 或 ，
的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 根据题意设出点，A（x1，y1），B（x2，y2），利用点A，B在椭圆上得到两个等式，又点A，B关于对称，得到两个等式，PA，PB的中点均在椭圆上，又得到两个等式，然后利用这几个等式进行化简变形，求解即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义可得 ，又 ，所以 ，
在椭圆中， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以该椭圆离心率的取值范围是 .
故答案为：
【分析】根据题意由椭圆的定义以及椭圆的几何性质即可得出a与c的关系，由整体思想结合离心率的公式即可求出结果。
17．【答案】（1）解：由已知： ， ，
故 ， ，
则椭圆的方程为： ，
所以椭圆的短轴长为 ，焦距为
（2）解：联立 ，解得 ， ，
所以 ， ，
故
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的标准方程即可求出a与b的值，结合椭圆里a、b、c的关系即可求出b的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意首先联立直线与椭圆的方程消去y得到关于x的方程求解出方程的解即可得到点的坐标，再由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
18．【答案】解：（Ⅰ）解：由题意知 ， ，
又因为 解得 ， ，
故E的标准方程为
（Ⅱ）由 ，得 ，
得 或
不妨设 ， ，则 ，
由（Ⅰ）知 ，故 ， ，
由 ，知
又因为 ，故 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意即可得出c的值再由离心率公式即可求出a的值，然后由椭圆里a、b、c的关系即可求出b的值，由此得到椭圆的方程。
（Ⅱ） 根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，求解出点的坐标再由（Ⅰ）即可得出，由向量垂直的性质即可得出整理即可得到，由此即可求出k的取值。
19．【答案】（1）解： 面积的最
又 ，所以 ，解得 ．
即 ，故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题可得直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
因为 ，则 ，
得 ，
当直线 的斜率为0时，不符合题意，
故设直线 的方程为 ，由点P在点Q的上方，则
联立 ，得 ，则
得 ，则 ，得
又 ，则 ，不符合题意，所以
故直线 的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理即可得出b与c的关系再由离心率的公式即可求出b与c的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得出整理即可得到关于m的方程，求解出m的结果由此即可得到直线的方程。
20．【答案】（1）解：因为 ，得 ，则 ，
又椭圆经过点 ，则 ，即 ，
故椭圆 的标准方程为
（2）解：设直线 的斜率为 ，则 ，设 ， ，
联立 得， ，
， ，
的中点 ，同理可得 的中点 ，
，所以， ，
则 .
令 得 ，所以 在 轴上的交点为 ，
所以 ，
令 ， ，
因为 ， ，即 面积的最大值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合离心率的公式即可得出a与b的关系，把点的坐标代入到椭圆的方程由椭圆里a、b、c的关系计算出b的值由此即可得到椭圆的方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，由此即可求出AB中点的坐标同理即可求出CD中点的坐标，由已知条件整理即可得到，由此即可求出直线GH的方程，求出直线的截距即与x轴的交点，进而得到三角形的面积公式，再由整体思想整理化简结合基本不等式即可求出即由此得到面积的最大值。
21．【答案】（1）解：因为 关于原点对称，由题意得 和 在椭圆上，
将 的坐标代入 得：
解得：
（2）解：显然， 与 轴不垂直，设 的方程为：
设 ，则
且
直线 方程为
令 ，得 ，
故直线 过定点 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由点在椭圆上把点的坐标代入得到关于a与b的方程组，求解出结果即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得到直线AD的方程由截距的定义令y=0计算出结果即可。
22．【答案】（1）解： 椭圆 的离心率为 ，
， ，
，得 ，①
设直线 与椭圆C交于P，Q两点，
设P是直线与椭圆在第一象限的交点，
直线 被椭圆C截得的线段长为 ，
， ，
整理得 ，②
联立①②，解得 ， ，
椭圆C的方程为
（2）解：由题知 ，直线AB的斜率 ，
又 ， 直线AD的斜率 ，
设直线AD的方程为 ，
由题意得 ， ，
联立 ，得 ，
， ，
由题意知 ， ，
直线BD的方程为 ，
令 ，得 ，
即 ，所以 ，
，则 ，
存在常数 ，使结论成立.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为 ，得到 ，由 直线 被椭圆C截得的线段长为 ， 得到 ，从而解得 ， ，由此能求出椭圆方程；
（2） 设直线AD的方程为 ， 联立 ，得 ，由韦达定理得到 ，从而直线BD的方程为 ，求出 ，由此得到存在常数 ，使得 。
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