人教A版2019 选修二 5.1 导数的定义及几何意义同步练习
一、单选题
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义）函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为（ ）
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f′(x0)＝
2．（2021高二下·成都月考）函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021高二下·苏州月考）已知曲线 在点 处切线的斜率为1，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．-1
4．（2021高二下·讷河月考）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．（2021高二下·讷河月考）函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（2021高二下·河南月考）设曲线 在 处的切线斜率为 ，则 的值为（ ）
A． B．-1
C． D．1
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段 上的平均速度分别为 ，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·永州模拟）曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·吉林模拟）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）=0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0， 在 处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到 ，它们越来越接近r．若 ，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
10．（2019高二下·广东期中）函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
11．（人教版新课标A版选修2-2数学1.1变化率与导数同步练习）已知点P在曲线 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )
A．[0， ) B． C． D．
12．（2020高二上·金华期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020高二下·横峰月考）设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 ．
14．（2020高二下·项城期末）对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数 ，计算 .
15．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
16．（2020高二下·广州月考）已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 .
三、解答题
17．（2020高二下·吉林期中）设 是二次函数，其图象过点 ，且在点 处的切线为 ．
（1）求 的表达式；
（2）求 的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
18．（2020高二上·黄陵期末）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
19．（2019高二上·田东期中）已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 ， 的值；
（2）如果曲线 的某一切线与直线 ： 垂直，求切点坐标与切线的方程.
20．（2020高二下·北京期中）已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】B中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数的平均变化率．
故答案为：A
【分析】根据题意由导数的定义即可求出f’(x)=由此判断出选项A正确。
2．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】当x=5时，y=3，即f(5)=3，又，则，
故答案为：B.
【分析】由导数的几何意义得，又f(5)=3，两式相加即可求解.
3．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
，
因为 处切线斜率为1，所以 ，
，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为1，进而求出a的值。
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，设切点横坐标为 ， 。
故答案为：D
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用已知条件曲线 的一条切线的斜率为 ， 进而求出切点的横坐标。
5．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于 ，则可知 ，那么可知f’(0)=1，可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为 。
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出函数 的图象在点 处的切线的倾斜角。
6．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义
【解析】【解答】由题得
所以 ，
。
故答案为：B
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用曲线 在 处的切线斜率为 ， 进而求出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求出 的值 。
7．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题意得， ，由题图易知 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意由斜率即为平均速度结合图象比较出大小即可。
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线 ， ，切点为 ，
所以切线 的斜率 ，
又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先对函数求导再结合导函数与切线斜率的关系即可求出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
9．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：f（x）=x2-2（x>0），则f'（x）=2x（x>0），当x0=2时，f（x0）=2，f'（x0）=4，则切线方程为y-2=4（x-2），
令y=0，则x1=1.5，f（x1）=0.25，f'（x1）=3，则切线方程为y-0.25=3（x-1.5），再令y=0，则x2≈1.417，所以B正确.
故答案为：B
【分析】利用导数的几何意义求得切线，再根据题意用牛顿法逐步求出x2即可.
10．【答案】B
【知识点】函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】由 图象可知， 在 处的切线斜率大于在 处的切线斜率，且斜率为正，
，
， 可看作过 和 的割线的斜率，由图象可知 ，
.
故选： .
【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到 ，将 看作过 和 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
11．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为， ，所以， ，即 ，由 ，所以， 的取值范围是 ，故选D。
【分析】小综合题，曲线切线的斜率等于在切点处的导函数值。
12．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以 ；
探测器的速度逐渐减小，所以 。
故答案为：D。
【分析】利用实际问题的已知条件结合平均变化率求解方法，进而求出v和a的值。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为
= ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又
所以所求切线的倾斜角 为 ．
故答案为：
【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义即可求得答案。
14．【答案】2019
【知识点】实际问题中导数的意义；归纳推理
【解析】【解答】由题可知：
，则 ，
所以
令 ，则 ，又 ，
故 的对称中心为 ，故 ，
令
所以
所以 ，则
故答案为：2019.
【分析】求导得到 ，然后可得 ，并得到对称中心，根据 ，计算得到答案.
15．【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
16．【答案】1
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，
即 ，且
故
故答案为：1
【分析】由已知可知切点M既在函数 ，也在切线方程上，代入切线方程即可求得 ，由导数的几何意义可得 ，相加既得答案.
17．【答案】（1）解：设 ，
过点 ， ，
在点 处的切线为 且 ，
，解得： ， ；
（2）解： 的图象与两坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示，
所求面积 .
【知识点】导数的几何意义；利用定积分求封闭图形的面积；待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）采用待定系数法，由所过点求得 ；由导数的几何意义可得 ，解方程组求得 ；（2）通过图象确定所围成图形，利用定积分表示出所求面积，进而求得结果.
18．【答案】（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/ 4 ，
∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4= （x+1）即x+4y+17=0．
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用 ，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。
19．【答案】（1）解：∵ 的导数 ，
由题意可得 ， ，
解得 ， .
（2）解：∵切线与直线 垂直，
∴切线的斜率 .设切点的坐标为 ，
则 ，∴ .
由 ，可得 ，或 .
则切线方程为 或 .
即 或 .
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得 ， ，解方程可得 的值；（2）设切点的坐标为 ，由两直线垂直的条件，斜率之积为 ，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.
20．【答案】（1）解：由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
（2）解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－ ]∪(1，3)∪[2＋ ，＋∞)
【知识点】导数的几何意义；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与﹣ 的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式，即可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.
1 / 1人教A版2019 选修二 5.1 导数的定义及几何意义同步练习
一、单选题
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义）函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为（ ）
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f′(x0)＝
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】B中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数的平均变化率．
故答案为：A
【分析】根据题意由导数的定义即可求出f’(x)=由此判断出选项A正确。
2．（2021高二下·成都月考）函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】当x=5时，y=3，即f(5)=3，又，则，
故答案为：B.
【分析】由导数的几何意义得，又f(5)=3，两式相加即可求解.
3．（2021高二下·苏州月考）已知曲线 在点 处切线的斜率为1，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．-1
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
，
因为 处切线斜率为1，所以 ，
，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为1，进而求出a的值。
4．（2021高二下·讷河月考）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，设切点横坐标为 ， 。
故答案为：D
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用已知条件曲线 的一条切线的斜率为 ， 进而求出切点的横坐标。
5．（2021高二下·讷河月考）函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于 ，则可知 ，那么可知f’(0)=1，可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为 。
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出函数 的图象在点 处的切线的倾斜角。
6．（2021高二下·河南月考）设曲线 在 处的切线斜率为 ，则 的值为（ ）
A． B．-1
C． D．1
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义
【解析】【解答】由题得
所以 ，
。
故答案为：B
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用曲线 在 处的切线斜率为 ， 进而求出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求出 的值 。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段 上的平均速度分别为 ，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题意得， ，由题图易知 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意由斜率即为平均速度结合图象比较出大小即可。
8．（2021·永州模拟）曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线 ， ，切点为 ，
所以切线 的斜率 ，
又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先对函数求导再结合导函数与切线斜率的关系即可求出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
9．（2021·吉林模拟）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）=0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0， 在 处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到 ，它们越来越接近r．若 ，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：f（x）=x2-2（x>0），则f'（x）=2x（x>0），当x0=2时，f（x0）=2，f'（x0）=4，则切线方程为y-2=4（x-2），
令y=0，则x1=1.5，f（x1）=0.25，f'（x1）=3，则切线方程为y-0.25=3（x-1.5），再令y=0，则x2≈1.417，所以B正确.
故答案为：B
【分析】利用导数的几何意义求得切线，再根据题意用牛顿法逐步求出x2即可.
10．（2019高二下·广东期中）函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】由 图象可知， 在 处的切线斜率大于在 处的切线斜率，且斜率为正，
，
， 可看作过 和 的割线的斜率，由图象可知 ，
.
故选： .
【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到 ，将 看作过 和 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
11．（人教版新课标A版选修2-2数学1.1变化率与导数同步练习）已知点P在曲线 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )
A．[0， ) B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为， ，所以， ，即 ，由 ，所以， 的取值范围是 ，故选D。
【分析】小综合题，曲线切线的斜率等于在切点处的导函数值。
12．（2020高二上·金华期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以 ；
探测器的速度逐渐减小，所以 。
故答案为：D。
【分析】利用实际问题的已知条件结合平均变化率求解方法，进而求出v和a的值。
二、填空题
13．（2020高二下·横峰月考）设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为
= ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又
所以所求切线的倾斜角 为 ．
故答案为：
【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义即可求得答案。
14．（2020高二下·项城期末）对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数 ，计算 .
【答案】2019
【知识点】实际问题中导数的意义；归纳推理
【解析】【解答】由题可知：
，则 ，
所以
令 ，则 ，又 ，
故 的对称中心为 ，故 ，
令
所以
所以 ，则
故答案为：2019.
【分析】求导得到 ，然后可得 ，并得到对称中心，根据 ，计算得到答案.
15．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
16．（2020高二下·广州月考）已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 .
【答案】1
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，
即 ，且
故
故答案为：1
【分析】由已知可知切点M既在函数 ，也在切线方程上，代入切线方程即可求得 ，由导数的几何意义可得 ，相加既得答案.
三、解答题
17．（2020高二下·吉林期中）设 是二次函数，其图象过点 ，且在点 处的切线为 ．
（1）求 的表达式；
（2）求 的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
【答案】（1）解：设 ，
过点 ， ，
在点 处的切线为 且 ，
，解得： ， ；
（2）解： 的图象与两坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示，
所求面积 .
【知识点】导数的几何意义；利用定积分求封闭图形的面积；待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）采用待定系数法，由所过点求得 ；由导数的几何意义可得 ，解方程组求得 ；（2）通过图象确定所围成图形，利用定积分表示出所求面积，进而求得结果.
18．（2020高二上·黄陵期末）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
【答案】（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/ 4 ，
∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4= （x+1）即x+4y+17=0．
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用 ，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。
19．（2019高二上·田东期中）已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 ， 的值；
（2）如果曲线 的某一切线与直线 ： 垂直，求切点坐标与切线的方程.
【答案】（1）解：∵ 的导数 ，
由题意可得 ， ，
解得 ， .
（2）解：∵切线与直线 垂直，
∴切线的斜率 .设切点的坐标为 ，
则 ，∴ .
由 ，可得 ，或 .
则切线方程为 或 .
即 或 .
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得 ， ，解方程可得 的值；（2）设切点的坐标为 ，由两直线垂直的条件，斜率之积为 ，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.
20．（2020高二下·北京期中）已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
（2）解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－ ]∪(1，3)∪[2＋ ，＋∞)
【知识点】导数的几何意义；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与﹣ 的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式，即可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.
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