人教A版2019选修3第六章二项式定理同步练习

人教A版2019选修3第六章二项式定理同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·长春期中）在 的二项式展开式中，常数项为（　　）
A．160 B．-160 C．60 D．=60
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项式展开式的通项公式为，
当2k-6=0，即k=3时，常数项为.
故答案为：B
【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可
2．（2021·长安模拟）在 的展开式中， 的系数是14，则 的系数是（　　）
A．28 B．56 C．112 D．224
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，故 ，
令 ，故 .
故答案为：D
【分析】首先求出在 的展开式中的通项，然后根据 的系数是14， 求出次数n的值，再根据通项求出 为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．
3．（2021高二下·天津期中）记 ，则 （　　）
A．81 B．365 C．481 D．728
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令x=0得1= ，
令x=-2得 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】由特殊值法代入数值计算出结果即可。
4．（2021高二下·天津期中）若 的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则 （　　）
A．33 B．31 C．-33 D．-31
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中的二项式系数和为 ，
令 ，得 ，所以 ，
故答案为：A
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式结合二项式系数由特殊值法计算出答案即可。
5．（2021·南充模拟） 的展开式中 的系数为-2，则实数 的值为（　　）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】化简得 ， 的展开式的通项公式Tr+1＝ ，
当r＝2时， 的展开式中 的系数为 ，
当r＝1时， 的展开式中 的系数为 ，
综上所述： 的展开式中 的系数为 ， 。
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数，再利用展开式中 的系数为-2，从而求出a的值。
6．（2021·莆田模拟）下列各项中，是 的展开式的项为（　　）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
由于 无解，A选项错误.
当 时， ，所以B选项错误.
当 时， ，C选项正确.
当 时， ，所以D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2021·云南模拟）在 的二项展开式中， 的系数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式通项 ，
∴当 时， ，则 .
∴ 的系数是 .
故答案为：C.
【分析】 由题意利用二项式展开式的通项公式，求得 的二项展开式中，x的系数 .
8．（2021·肇庆模拟） ，则 （　　）
A．49 B．56 C．59 D．64
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意由特殊值代入法计算出结果即可。
二、多选题
9．（2021·江苏模拟）设 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式定理展开式定理的应用
对于A，由 ，A符合题意；
对于B，可令 ，可得 ，令 ，得 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，令 ，得 ，则 ，C符合题意；
对于D，
对 两边同时求导数
得 ，可令 ，可得 ，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 由题意，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可求得展开式的系数和，从而得出结论.
10．（2021·湛江模拟）已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（　　）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为
D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】A .二项式系数之和为 ，A符合题意；
B.
当 ， ①
当 ， ②
①+②，可得当 ，B符合题意；
C.①-② ，C不符合题意；
D.
令 ，则
令 ，则
，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】 由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
11．（2021高二下·启东月考）对于 的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】 的展开式所有项的二项式系数和为 ，选项A正确；
中令 得 ，选项B正确；
展开式通项为 ，
令 ，得 ，所以常数项为 ，选项C正确；
二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，进而求出展开式中的常数项，再利用二项式的性质结合赋值法，进而求出所有项的二项式系数和、 所有项的系数和、二项式系数最大的项，进而找出说法正确的选项。
12．（2020高三上·宜昌期末）已知 ，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】取 得 ，A符合题意；
由 展开式中第7项为 所以 ，B不符合题意；
由 取 得
，C符合题意；
由
取 得
取 得
所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论。
三、填空题
13．（2021·新乡模拟）若 的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中常数项为　 　；
【答案】280
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，令 ，得 ，解得 .
故 ，
又 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，此时该项的系数为-40；
令 ，此时该项的系数为80，
所以 的展开式中的常数项为280.
故答案为：280.
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式结合已知条件对r赋值计算出答案即可。
14．（2021·奉贤模拟）假如 的二项展开式中 项的系数是 ，则 二项展开式中系数最小的项是　 　.
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理知： ，而项 的系数是 ，
∴ 时，有 且 为奇数 ，又由 ，
∴可得 ，
∴ ，要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出项 的系数，再结合 的二项展开式中项 的系数是 ，再利用组合数公式，进而求出r，n的值，从而求出展开式中的通项公式， 要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，从而结合展开式中的通项公式，进而求出 二项展开式中系数最小的项 。
15．（2021·平顶山模拟）已知 ，若点 关于直线 的对称点坐标为 ，则 　 　．
【答案】32
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解: 若点 关于直线 的对称点坐标为 ,
所以两点的中点 在直线 上,
所以 ,解得 .
所以 ,
是 的系数, 是 的系数, 是 的系数,
对于 第 项为 ,
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 时,有 ,
所以 ;
所以 .
故答案为：32
【分析】根据题意由特殊值法代入计算出结果即可。
16．（2021·重庆模拟）已知多项式 ，若 ，则正整数n的值为　 　．
【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，得 ，令 ，得 ，即 ，
，显然 ，∴ ，
又因为 ，
∴ ，即 ，故 。
故答案为：5。
【分析】利用赋值法得 ，再利用赋值法结合等比数列前n项和公式，得出 ，显然 ，进而求出n的取值范围，，所以 ，进而结合指数函数的单调性求出n的取值范围，从而求出满足要求的n的值。
四、解答题
17．（2020高二上·新余期末）在二项式 的展开式中，
（1）求展开式中含 项的系数：
（2）如果第 项和第 项的二项式系数相等，试求 的值.
【答案】（1）解：设第 项为 ，
令 解得 ，
故展开式中含 项的系数为 .
（2）解：∵第 项的二项式系数为 ，第 项的二项式系数为 ，
∵ ，故 或 ，
解得 或 .
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 （I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．
18．（2020高三上·松原月考）已知 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求 ，
（2）求展开式中 的一次项的系数.
【答案】（1）解：由第4项和第9项的二项式系数相等可得
解得
（2）解：由（1）知，展开式的第 项为：
令 得
此时
所以，展开式中 的一次项的系数为
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．
19．（2020高二下·湖州期末）二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ，
因此所有二项式系数的和 .
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得 ，所以 或 ，
因此所求有理项为 ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可求解.
20．（2020高二下·天津期末）已知 .
（1）求n的值；
（2）求 展开式中 项的系数.
【答案】（1）解：因为
所以
即
所以
（2）解：由（1）得 中 ，
所以 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 系数为 .
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；二项式定理
【解析】【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出 系数为 ，即可得到答案；
21．（2020高二下·嘉定期末）已知 的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）.
【答案】（1）解：
∵ ，（负值舍去）
所以前三项分别为 ， ，
所以前三项系数分别为1，4，7， 前三项系数成等差数列.
（2）解： ，
∴ ，展开式中x的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为： 、 、 .
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得 ，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得 的指数，再根据 的指数为整数确定对应项，即得结果.
22．（2020高二下·连云港期末）已知 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
（1）求正整数n；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）解：由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
，
，所以 ， （舍）.
（2）解：由 得， ，①
当 时，代入①式得 ；
因为 ，
所以，令 得， ，
所以 .
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）先列出 的第5项与第3项的二项式系数，根据二项式系数之比为14：3求 出 的值；（2）将（1）中求出的 值代入原式，根据其展开式的特点，代特值计算 .
1 / 1人教A版2019选修3第六章二项式定理同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·长春期中）在 的二项式展开式中，常数项为（　　）
A．160 B．-160 C．60 D．=60
2．（2021·长安模拟）在 的展开式中， 的系数是14，则 的系数是（　　）
A．28 B．56 C．112 D．224
3．（2021高二下·天津期中）记 ，则 （　　）
A．81 B．365 C．481 D．728
4．（2021高二下·天津期中）若 的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则 （　　）
A．33 B．31 C．-33 D．-31
5．（2021·南充模拟） 的展开式中 的系数为-2，则实数 的值为（　　）
A． B．-1 C．1 D．
6．（2021·莆田模拟）下列各项中，是 的展开式的项为（　　）
A．15 B． C． D．
7．（2021·云南模拟）在 的二项展开式中， 的系数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．（2021·肇庆模拟） ，则 （　　）
A．49 B．56 C．59 D．64
二、多选题
9．（2021·江苏模拟）设 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021·湛江模拟）已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（　　）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为
D．
11．（2021高二下·启东月考）对于 的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
12．（2020高三上·宜昌期末）已知 ，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2021·新乡模拟）若 的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中常数项为　 　；
14．（2021·奉贤模拟）假如 的二项展开式中 项的系数是 ，则 二项展开式中系数最小的项是　 　.
15．（2021·平顶山模拟）已知 ，若点 关于直线 的对称点坐标为 ，则 　 　．
16．（2021·重庆模拟）已知多项式 ，若 ，则正整数n的值为　 　．
四、解答题
17．（2020高二上·新余期末）在二项式 的展开式中，
（1）求展开式中含 项的系数：
（2）如果第 项和第 项的二项式系数相等，试求 的值.
18．（2020高三上·松原月考）已知 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求 ，
（2）求展开式中 的一次项的系数.
19．（2020高二下·湖州期末）二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
20．（2020高二下·天津期末）已知 .
（1）求n的值；
（2）求 展开式中 项的系数.
21．（2020高二下·嘉定期末）已知 的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）.
22．（2020高二下·连云港期末）已知 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
（1）求正整数n；
（2）若 ，求 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得二项式展开式的通项公式为，
当2k-6=0，即k=3时，常数项为.
故答案为：B
【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可
2．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，故 ，
令 ，故 .
故答案为：D
【分析】首先求出在 的展开式中的通项，然后根据 的系数是14， 求出次数n的值，再根据通项求出 为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令x=0得1= ，
令x=-2得 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】由特殊值法代入数值计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中的二项式系数和为 ，
令 ，得 ，所以 ，
故答案为：A
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式结合二项式系数由特殊值法计算出答案即可。
5．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】化简得 ， 的展开式的通项公式Tr+1＝ ，
当r＝2时， 的展开式中 的系数为 ，
当r＝1时， 的展开式中 的系数为 ，
综上所述： 的展开式中 的系数为 ， 。
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数，再利用展开式中 的系数为-2，从而求出a的值。
6．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ，
由于 无解，A选项错误.
当 时， ，所以B选项错误.
当 时， ，C选项正确.
当 时， ，所以D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式通项 ，
∴当 时， ，则 .
∴ 的系数是 .
故答案为：C.
【分析】 由题意利用二项式展开式的通项公式，求得 的二项展开式中，x的系数 .
8．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意由特殊值代入法计算出结果即可。
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式定理展开式定理的应用
对于A，由 ，A符合题意；
对于B，可令 ，可得 ，令 ，得 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，令 ，得 ，则 ，C符合题意；
对于D，
对 两边同时求导数
得 ，可令 ，可得 ，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 由题意，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可求得展开式的系数和，从而得出结论.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】A .二项式系数之和为 ，A符合题意；
B.
当 ， ①
当 ， ②
①+②，可得当 ，B符合题意；
C.①-② ，C不符合题意；
D.
令 ，则
令 ，则
，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】 由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
11．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】 的展开式所有项的二项式系数和为 ，选项A正确；
中令 得 ，选项B正确；
展开式通项为 ，
令 ，得 ，所以常数项为 ，选项C正确；
二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，进而求出展开式中的常数项，再利用二项式的性质结合赋值法，进而求出所有项的二项式系数和、 所有项的系数和、二项式系数最大的项，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】取 得 ，A符合题意；
由 展开式中第7项为 所以 ，B不符合题意；
由 取 得
，C符合题意；
由
取 得
取 得
所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论。
13．【答案】280
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，令 ，得 ，解得 .
故 ，
又 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，此时该项的系数为-40；
令 ，此时该项的系数为80，
所以 的展开式中的常数项为280.
故答案为：280.
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式结合已知条件对r赋值计算出答案即可。
14．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理知： ，而项 的系数是 ，
∴ 时，有 且 为奇数 ，又由 ，
∴可得 ，
∴ ，要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出项 的系数，再结合 的二项展开式中项 的系数是 ，再利用组合数公式，进而求出r，n的值，从而求出展开式中的通项公式， 要使系数最小， 为奇数，由对称性知： ，从而结合展开式中的通项公式，进而求出 二项展开式中系数最小的项 。
15．【答案】32
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解: 若点 关于直线 的对称点坐标为 ,
所以两点的中点 在直线 上,
所以 ,解得 .
所以 ,
是 的系数, 是 的系数, 是 的系数,
对于 第 项为 ,
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 或 时,有 ,
所以 ;
令 时,有 ,
所以 ;
所以 .
故答案为：32
【分析】根据题意由特殊值法代入计算出结果即可。
16．【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，得 ，令 ，得 ，即 ，
，显然 ，∴ ，
又因为 ，
∴ ，即 ，故 。
故答案为：5。
【分析】利用赋值法得 ，再利用赋值法结合等比数列前n项和公式，得出 ，显然 ，进而求出n的取值范围，，所以 ，进而结合指数函数的单调性求出n的取值范围，从而求出满足要求的n的值。
17．【答案】（1）解：设第 项为 ，
令 解得 ，
故展开式中含 项的系数为 .
（2）解：∵第 项的二项式系数为 ，第 项的二项式系数为 ，
∵ ，故 或 ，
解得 或 .
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 （I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．
18．【答案】（1）解：由第4项和第9项的二项式系数相等可得
解得
（2）解：由（1）知，展开式的第 项为：
令 得
此时
所以，展开式中 的一次项的系数为
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．
19．【答案】（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ，
因此所有二项式系数的和 .
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得 ，所以 或 ，
因此所求有理项为 ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可求解.
20．【答案】（1）解：因为
所以
即
所以
（2）解：由（1）得 中 ，
所以 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 系数为 .
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；二项式定理
【解析】【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出 系数为 ，即可得到答案；
21．【答案】（1）解：
∵ ，（负值舍去）
所以前三项分别为 ， ，
所以前三项系数分别为1，4，7， 前三项系数成等差数列.
（2）解： ，
∴ ，展开式中x的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为： 、 、 .
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得 ，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得 的指数，再根据 的指数为整数确定对应项，即得结果.
22．【答案】（1）解：由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
，
，所以 ， （舍）.
（2）解：由 得， ，①
当 时，代入①式得 ；
因为 ，
所以，令 得， ，
所以 .
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）先列出 的第5项与第3项的二项式系数，根据二项式系数之比为14：3求 出 的值；（2）将（1）中求出的 值代入原式，根据其展开式的特点，代特值计算 .
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