人教版2019必修一 4.4 对数函数同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·丰台模拟）将函数 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·如皋模拟）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·泉州期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·长春模拟）如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2020高一上·赣县月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·扬州月考）已知函数 ，若 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018高一上·浙江期中）已知函数 ，若正实数m，n（ ）满足 ，且 在区间 上的最大值为4，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2019高一上·瓦房店月考）已知实数 ， 满足等式 ，则下列五个关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高一下·衢州月考）若 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B． 有最小值
C．
D．若 ，则 的最大值为
11．（2020高一上·湖北期末）已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，正数 、 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高三上·丹东月考）关于函数 ，正确的结论是（ ）
A． 是单调递减函数
B．当 时，则
C．当 时，则 只有一个零点
D．当 时，则 的图象关于点 对称
三、填空题
13．（2020高一上·威海期末）函数 的定义域为 ．
14．（2020高一上·南康月考）若函数 的反函数的图象经过点 ，则 .
15．（2020高一上·钦州期末）函数 的最大值是 ．
16．（2020高一上·贵州期中）若定义在（－1,0）内的函数f （x）＝log 2a （x＋1）满足f （x）＞0，则a的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2020高一上·东丽期末）已知集合 ， ．
（1）求集合A、B；
（2）求 ．
18．（2020高三上·潍坊月考）已知定义域为R的函数 满足 ，当x＞0时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）解关于x的不等式： ．
19．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
20．（2020高一上·张家界期末）已知函数 （ 且 ），设 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式 的解集.
21．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2019高一上·温州期中）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）判断并用定义证明 的单调性；
（Ⅲ）若 ，且 成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：D.
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】将函数 的图象向下平移1个单位长度,可得
再向右平移1个单位长度，可得
所以
故答案为：D
【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以
故答案为：D
【分析】首先由对数的运算性质整理化简c结合对数函数的单调性即可比较出a与c，再由指数函数的单调性比较出a、b、c的大小即可。
4．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，即
又函数 在 上单调递增，
函数 ，在 单调递减，在 上单调递增，
结合复合函数单调性以及函数的定义域可知，
该函数的单调递增区间为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合对数函数和二次函数的单调性即可得出x的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数图象特征及 与 的图象关于 轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的图象与性质即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得 ，即 恒成立，由于 时， 在 上不恒成立，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的内层函数为 ，外层函数为 ，
由于函数 在 上为减函数，且外层函数 为增函数，
则内层函数 在 上为减函数， ，得 ，
且 在 上恒成立，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】函数是复合函数，在 上为减函数，外层函数 为增函数，则内层函数 在 上为减函数，即且 在 上恒成立，则 ，解得实数 的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】∵ ，正实数 ， （ ）满足 ，
∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
又∵ 在区间 上的最大值为4，
∴ 或 ，即 或 ，
解得 或 ，
当 时，由 可得 ，此时 ；
当 时，由 可得 ，这与 矛盾，应舍去．
故答案为：B．
【分析】利用对数的运算法则结合函数在给定区间最值的求解方法，用已知条件求出n-m的值。
9．【答案】C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， .所以CD选项不可能出现.
故答案为：CD
【分析】对等式变形处理设 ，所以 ，对m分类讨论即可得到大小关系.
10．【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 ， ，
则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，构造函数 ，任取 、 且 ，则 ，
，
， ， ， ，即 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，
，则 ，即 无最小值，
从而可知， 无最小值，B选项错误；
对于C选项，因为 ， ，则 ， ，所以， ，C选项正确；
对于D选项， ，可得 ，
因为 ， ，解得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假可得结论．
11．【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】在函数 的解析式中，令 可得 ，且 ，
所以，函数 的图象过定点 ， ，所以 ，所以A符合题意；
由重要不等式 ，可得 ，故 ，
当且仅当 时取等号，所以B符合题意；
由基本不等式可得， ，当且仅当 时取等号，C不符合题意；
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合对数函数图象恒过定点的性质，进而求出函数 （ 且 ）的图象过的定点坐标，从而结合 ， 进而求出m+n的值；再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出，即 时取等号，从而选出正确答案。
12．【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】对于A：当 时， 为减函数，且 （1） ，
当 时， 为减函数，且 ，无法比较 与0的关系，故无法得到 是单调递减函数，A不符合题意；
对于B：当 时， ， ，B符合题意；
对于C：当 ， ，故函数 在 只有一个零点，在 上没有零点，故 正确；
对于D：当 时，函数 的图象为：由图象可知函数没有对称中心，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】结合指数函数和对数函数的单调性以及函数的值域和函数的图象逐一怕选项即可得出B、C正确。
13．【答案】{x｜-1＜x＜3}
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】 ，得
故答案为：{x|-1＜x＜3}
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
14．【答案】2
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】 函数 的反函数的图象经过点 ，
的图象经过点 ，
，解得 ，
故答案为：2。
【分析】利用互为反函数图象上点的横、纵坐标交换的规律，则由函数 的反函数的图象经过点 ， 的图象经过点 ，从而结合代入法求出a的值。
15．【答案】2
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设 ，则 ，即求 在 上的最大值，
由 在 上是单调递增函数，
所以当 ，即 时，函数有最大值2.
故答案为：2.
【分析】设 ，则 ，即求 在 上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案。
16．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，要使得函数 满足 ，则需要 ，解得 。
【分析】利用定义域求出x的取值范围，再利用x的取值范围求出x+1的取值范围，要使得函数 满足 ，则需要 ，从而求出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）解：
① 时，
② 时，
所以
．
，即
（2）解：
所以
【知识点】交、并、补集的混合运算；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而求出集合A，再利用指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出集合B。
（2）利用（1）求出的集合A和集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 。．
18．【答案】（1）解：由 得函数 为奇函数，
当 时， ，则 ，
，
.
（2）解：由（1）知当 时， ，为减函数，
可将不等式 转化为 ，
，
所以不等式的解集为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意得 为奇函数，当 时， ，根据 可得结果；（2）将原不等式转化为 ，结合单调性即可得解.
19．【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
20．【答案】（1）解：依题意得 ，.
由 ，
所以函数 的定义域为
（2）解：函数 为奇函数，
理由如下：
由（1）知定义域关于原点对称，.
，
所以函数 为奇函数
（3）解： ，即 ，
当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意利用函数的解析式、对数的性质，求得函数的定义域；
（2）由题意利用函数的奇偶性的定义，做出判断；
（3）分类讨论对数的底数，利用对数函数的单调性和定义域，解对数不等式，求得x的范围。
21．【答案】（1）解：由题意 得 ， 得 ，
故实数 ，
（2）解：由(1)知 ，则有 ，则不等式 可化为 ，令函数 易知在区间 上单调递增，可得函数 ，故要使不等式 恒成立则需
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题中条件得关系式 ，求解实数 的值即可；(2)分离参数 ，令函数 ，利用函数的单调性，求解 即可得出答案.
22．【答案】解：（Ⅰ）由题意 ，
∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，又 ，∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
设 ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴当 时， ，即 ， 在 上单调递增；
当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
（Ⅲ）由 得 ，
∴ ，由（Ⅱ）知， 在 上单调递减，
由 利用奇偶性得 ，
∴ ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意 ，由奇函数的特征得 ，利用对数的运算性质求实数 的值；（Ⅱ）设 ，且 ，利用作差法用定义证明 的单调性；（Ⅲ）由 可得 的范围，得函数 的单调性，由 利用奇偶性得 ，再根据单调性求实数 的取值范围．
1 / 1人教版2019必修一 4.4 对数函数同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：D.
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解，即可得出答案。
2．（2021·丰台模拟）将函数 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】将函数 的图象向下平移1个单位长度,可得
再向右平移1个单位长度，可得
所以
故答案为：D
【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得出答案。
3．（2021·如皋模拟）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以
故答案为：D
【分析】首先由对数的运算性质整理化简c结合对数函数的单调性即可比较出a与c，再由指数函数的单调性比较出a、b、c的大小即可。
4．（2020高一上·泉州期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，即
又函数 在 上单调递增，
函数 ，在 单调递减，在 上单调递增，
结合复合函数单调性以及函数的定义域可知，
该函数的单调递增区间为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合对数函数和二次函数的单调性即可得出x的取值范围。
5．（2021·长春模拟）如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数图象特征及 与 的图象关于 轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的图象与性质即可得出答案。
6．（2020高一上·赣县月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得 ，即 恒成立，由于 时， 在 上不恒成立，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
7．（2020高一上·扬州月考）已知函数 ，若 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的内层函数为 ，外层函数为 ，
由于函数 在 上为减函数，且外层函数 为增函数，
则内层函数 在 上为减函数， ，得 ，
且 在 上恒成立，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】函数是复合函数，在 上为减函数，外层函数 为增函数，则内层函数 在 上为减函数，即且 在 上恒成立，则 ，解得实数 的取值范围。
8．（2018高一上·浙江期中）已知函数 ，若正实数m，n（ ）满足 ，且 在区间 上的最大值为4，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】∵ ，正实数 ， （ ）满足 ，
∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
又∵ 在区间 上的最大值为4，
∴ 或 ，即 或 ，
解得 或 ，
当 时，由 可得 ，此时 ；
当 时，由 可得 ，这与 矛盾，应舍去．
故答案为：B．
【分析】利用对数的运算法则结合函数在给定区间最值的求解方法，用已知条件求出n-m的值。
二、多选题
9．（2019高一上·瓦房店月考）已知实数 ， 满足等式 ，则下列五个关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， .所以CD选项不可能出现.
故答案为：CD
【分析】对等式变形处理设 ，所以 ，对m分类讨论即可得到大小关系.
10．（2021高一下·衢州月考）若 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B． 有最小值
C．
D．若 ，则 的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 ， ，
则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，构造函数 ，任取 、 且 ，则 ，
，
， ， ， ，即 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，
，则 ，即 无最小值，
从而可知， 无最小值，B选项错误；
对于C选项，因为 ， ，则 ， ，所以， ，C选项正确；
对于D选项， ，可得 ，
因为 ， ，解得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假可得结论．
11．（2020高一上·湖北期末）已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，正数 、 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】在函数 的解析式中，令 可得 ，且 ，
所以，函数 的图象过定点 ， ，所以 ，所以A符合题意；
由重要不等式 ，可得 ，故 ，
当且仅当 时取等号，所以B符合题意；
由基本不等式可得， ，当且仅当 时取等号，C不符合题意；
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合对数函数图象恒过定点的性质，进而求出函数 （ 且 ）的图象过的定点坐标，从而结合 ， 进而求出m+n的值；再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出，即 时取等号，从而选出正确答案。
12．（2020高三上·丹东月考）关于函数 ，正确的结论是（ ）
A． 是单调递减函数
B．当 时，则
C．当 时，则 只有一个零点
D．当 时，则 的图象关于点 对称
【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】对于A：当 时， 为减函数，且 （1） ，
当 时， 为减函数，且 ，无法比较 与0的关系，故无法得到 是单调递减函数，A不符合题意；
对于B：当 时， ， ，B符合题意；
对于C：当 ， ，故函数 在 只有一个零点，在 上没有零点，故 正确；
对于D：当 时，函数 的图象为：由图象可知函数没有对称中心，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】结合指数函数和对数函数的单调性以及函数的值域和函数的图象逐一怕选项即可得出B、C正确。
三、填空题
13．（2020高一上·威海期末）函数 的定义域为 ．
【答案】{x｜-1＜x＜3}
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】 ，得
故答案为：{x|-1＜x＜3}
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
14．（2020高一上·南康月考）若函数 的反函数的图象经过点 ，则 .
【答案】2
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】 函数 的反函数的图象经过点 ，
的图象经过点 ，
，解得 ，
故答案为：2。
【分析】利用互为反函数图象上点的横、纵坐标交换的规律，则由函数 的反函数的图象经过点 ， 的图象经过点 ，从而结合代入法求出a的值。
15．（2020高一上·钦州期末）函数 的最大值是 ．
【答案】2
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设 ，则 ，即求 在 上的最大值，
由 在 上是单调递增函数，
所以当 ，即 时，函数有最大值2.
故答案为：2.
【分析】设 ，则 ，即求 在 上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案。
16．（2020高一上·贵州期中）若定义在（－1,0）内的函数f （x）＝log 2a （x＋1）满足f （x）＞0，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，要使得函数 满足 ，则需要 ，解得 。
【分析】利用定义域求出x的取值范围，再利用x的取值范围求出x+1的取值范围，要使得函数 满足 ，则需要 ，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题
17．（2020高一上·东丽期末）已知集合 ， ．
（1）求集合A、B；
（2）求 ．
【答案】（1）解：
① 时，
② 时，
所以
．
，即
（2）解：
所以
【知识点】交、并、补集的混合运算；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而求出集合A，再利用指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出集合B。
（2）利用（1）求出的集合A和集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 。．
18．（2020高三上·潍坊月考）已知定义域为R的函数 满足 ，当x＞0时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）解关于x的不等式： ．
【答案】（1）解：由 得函数 为奇函数，
当 时， ，则 ，
，
.
（2）解：由（1）知当 时， ，为减函数，
可将不等式 转化为 ，
，
所以不等式的解集为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意得 为奇函数，当 时， ，根据 可得结果；（2）将原不等式转化为 ，结合单调性即可得解.
19．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
20．（2020高一上·张家界期末）已知函数 （ 且 ），设 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1）解：依题意得 ，.
由 ，
所以函数 的定义域为
（2）解：函数 为奇函数，
理由如下：
由（1）知定义域关于原点对称，.
，
所以函数 为奇函数
（3）解： ，即 ，
当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由题意利用函数的解析式、对数的性质，求得函数的定义域；
（2）由题意利用函数的奇偶性的定义，做出判断；
（3）分类讨论对数的底数，利用对数函数的单调性和定义域，解对数不等式，求得x的范围。
21．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意 得 ， 得 ，
故实数 ，
（2）解：由(1)知 ，则有 ，则不等式 可化为 ，令函数 易知在区间 上单调递增，可得函数 ，故要使不等式 恒成立则需
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题中条件得关系式 ，求解实数 的值即可；(2)分离参数 ，令函数 ，利用函数的单调性，求解 即可得出答案.
22．（2019高一上·温州期中）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）判断并用定义证明 的单调性；
（Ⅲ）若 ，且 成立，求实数 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）由题意 ，
∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，又 ，∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
设 ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴当 时， ，即 ， 在 上单调递增；
当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
（Ⅲ）由 得 ，
∴ ，由（Ⅱ）知， 在 上单调递减，
由 利用奇偶性得 ，
∴ ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意 ，由奇函数的特征得 ，利用对数的运算性质求实数 的值；（Ⅱ）设 ，且 ，利用作差法用定义证明 的单调性；（Ⅲ）由 可得 的范围，得函数 的单调性，由 利用奇偶性得 ，再根据单调性求实数 的取值范围．
1 / 1
