人教版2019 必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习

人教版2019 必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·滨海月考）函数 的零点个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2020高一上·合肥期末）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·南充期末）若函数 （ 且 ）有两个不同零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·宁夏期中）下列函数中，没有零点的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·成都期末）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一上·遂宁期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）可以是（　　）
A．1.25 B．0.39 C．1.41 D．1.5
7．（2020高一上·呼和浩特期中）函数 在定义域内的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021高一下·衢州月考）函数 ，若函数 有3个不同的零点 ， ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一上·海安期末）在下列区间中，存在函数 的零点的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·济宁期末）若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（　　）
A．-3 B． C． D．1
11．（2020高一上·肇庆期末）下列说法中正确的是（　　）
A．函数 只有一个零点，且该零点在区间 上
B．若 是定义在 上的奇函数， ，且当 时， ，则
C．已知 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则 一定是奇函数
D．实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件
12．（2020高一上·长沙期中）已知 ，分析该函数图象的特征，若方程 一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2020高一上·北京期中）函数 的零点个数是　 　
14．（2020高一上·钦州期末）已知 有四个零点，则m的取值范围　 　.
15．（2020高一上·焦作期中）已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根，则数 的取值范围是　 　.
16．（2019高一上·浙江期中）已知 ，函数 ，若 恰有两个不同的零点，则 的取值范围为　 　．
四、解答题
17．（2020高一上·咸阳期末）已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）证明：函数 是偶函数；
（Ⅱ）求函数 的零点.
18．已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
19．（2020高一上·温州期末）已知函数
（1）用定义证明 在(0，1)内单调递减；
（2）证明 存在两个不同的零点 ， ，且 .
20．（2017高一上·武汉期中）经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足 ，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）= ．
（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．
21．（2020高一上·洛阳期中）已知函数 .
（1）若 存在一正，一负两个零点，求实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上是减函数，求 在[1，a]上的最大值.
22．（2020高一上·枣庄期末）已知函数 ， .
（1）证明： 为偶函数；
（2）若函数 的图象与直线 没有公共点，求a的取值范围；
（3）若函数 ，是否存在m，使 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 或
解得 或
故函数 有两个零点 ，
故答案为：B
【分析】直接利用函数的零点的求法，通过方程的根的个数得到零点的个数。
2．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵ ，
，则 ，
∴函数 的零点所在区间是 ，
当 ，且 时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B为正确答案.
故答案为：B.
【分析】根据题意由零点存在定理即可判断出选项A正确，同理即可判断出ACD中函数在区间端点的函数值均同号由此得出选项ACD错误，进而得到答案。
3．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， 在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意；
当 时，根据函数 有两个不同零点，可得方程 有两个不等实根，
即函数 与直线 有两不同零点，指数函数 恒过点 ；直线 过点 ，作出函数 与 的大致图象如下：
因为 ，所以点 在 的上方，因此 时， 与 必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；
综上 。
故答案为：B.
【分析】利用分类讨论的方法结合函数的零点与两函数的交点的等价关系，从而结合两函数 与 的大致图象，再结合已知条件函数 （ 且 ）有两个不同零点，从而求出实数a的取值范围。
4．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】A选项，由 可得 ，即函数 有零点；
B选项，由 得 ，即函数 有零点；
C选项，由 解得， 不存在，即函数 没有零点；
D选项，由 解得 或 ，即函数 有零点.
故答案为：C.
【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.
5．【答案】A
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，
故答案为：A.
【分析】根据题意首先由二分法求出函数零点，再由零点的左右两侧的函数值符号相反，由此分析选项即可得答案．
6．【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度 ；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ， ，所以函数在 内有零点，
因为 ，所以满足精确度0.05，
所以方程 的一个近似根（精确度0.05）是区间 内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故答案为：C
【分析】 由二分法及函数零点的判定定理可知函数的零点在（1.4375，1.40625）之间；从而判断．
7．【答案】C
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 得 ，
则 的零点个数，即是方程 根的个数，
即是函数 与 图像交点个数，
在同一直角坐标系内画出 与 的图像如下，
由图像可得， 与 的图像有两个不同的交点，
所以函数 在定义域内的零点的个数为 个.
故答案为：C.
【分析】把函数的零点个数转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合求解即可。
8．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出函数 的图象，如图，作直线 ，只有当 时，它们才可能是三个交点，
不妨设 ，则 ，所以 ，而 ， ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】由指数函数以及一次函数的图象结合题意由数形结合法即可得出a、b、c的大小关系，在意指数函数的性质即可得出取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，可得 ，求 的零点，即求 与 交点所在的区间，作出 与 的图象，如图所示
对于A：当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以在 存在零点，A符合题意；
对于B：因为 ， ，所以 ，
所以在 内没有零点，B不符合题意；
对于C： ，所以 ，所以在 内没有零点，C不符合题意；
对于D：当x=3时， ，即 ，所以 ，所以在 内有零点，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，再结合两函数 与 的图象，进而结合零点存在性定理，得出存在函数 的零点的区间。
10．【答案】B,C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意 在 上有解．
∵ ，∴ ，
故答案为：BC．
【分析】 利用二次方程，与对应的函数的对称轴，结合零点判断定理，转化求解即可．
11．【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇函数；函数的奇偶性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】函数 在 上单调递增，又 ，
所以该零点在区间 上，A不符合题意；
由 得， ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
故 ，所以 ，B符合题意；
由 为奇函数，得 ，
由 为偶函数，得 ，
所以 ，
所以函数 的周期为8，故 ，所以 一定是奇函数，C符合题意；
命题“ ”为假命题，则“ ”为真命题，
当 时，“ ”为真命题，
当 时，由 可得
所以命题“ ”为假命题的充要条件是
故实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理、奇函数的定义、奇函数和偶函数的定义判断函数奇偶性的方法、充分条件、必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】依题意抛物线 开口向上，与 轴有两个交点，
所以 ，故 ，B成立；
方程 一根大于3，另一根小于2，则 ， ，C D成立，
而对称轴无限制，A不成立.
故答案为：BCD.
【分析】根据二次函数零点存在定理结合 得到答案.
13．【答案】1
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可知 的定义域为 ，令 ，
可得 ， 解得 （舍去）或 ，
；
所以函数 的零点个数为 个．
故答案为：1．
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数。
14．【答案】(0,1)
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为 有四个零点，
所以 有四个零点，
在同一坐标系中作函数 的图象如图所示：
由图象知： ，
故答案为：(0,1)
【分析】根据 有四个零点，转化为函数有四个交点，在同一坐标系中作函数 的图象，利用数形结合法求解即可。
15．【答案】（0,1）
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】当 时， 即为 ，解得 ，
当 时， 即为 ，解得 ，
因为关于 的方程 有两个不同的实根，所以 且 ，
解得 且 ，
所以 .
故答案为：（0,1）.
【分析】首先求出两种情况下方程的根，再由 当中x的取值范围，对其进行限制 且 ，从而得到k的取值范围。
16．【答案】（0,1）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， 无零点，
则 在 内有两个零点，
对称轴 ，则 即 ，该不等式无解；
当 时， 只有一个零点，
则 在 内有一个零点，
所以 或 ，前者即为 ，后者无解，
所以 .
综上可得 的取值范围是（0,1）．
故答案为：（0,1）．
【分析】当 时， 无零点，则 有两个零点即可求解 的取值范围，当 时， 有一个零点，结合二次函数的性质讨论即可得 的取值范围．
17．【答案】解：（Ⅰ）由 ，解得 ，
所以函数的定义域为 关于原点对称，
又∵ ，
∴ 是偶函数.
（Ⅱ） .
令 ，
∴ ，解得 （经检验符合题意）.
∴函数 的零点为 和 .
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 是偶函数。
（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。
18．【答案】（1）解：∵f（﹣1）=﹣2
∴1﹣（a+2）+b=﹣2即b﹣a=﹣1 ①
∵方程f（x）=2x有唯一的解即x2+ax+b=0唯一的解
∴△=a2﹣4b=0 ②
由①②可得a=2，b=1
（2）解：由（1）可知b=a﹣1
∴f（x）=x2+（a+2）x+b=x2+（a+2）x+a﹣1
其对称轴为x=﹣
∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数
∴﹣2＜﹣ ＜2解得﹣6＜a＜2
∴实数a的取值范围为﹣6＜a＜2
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据f（﹣1）=﹣2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可；（2）根据函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，可得其对称轴在区间[﹣2，2]上，从而可求出a的取值范围．
19．【答案】（1）解：设 ，且 ，
则
因为 ，且 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 在 内单调递减
（2）解：由（1）可知 在 内单调递减，当 时， ， ， ，可得 ，所以
所以 在 内单调递增，
又 ， ， ， ，根据零点存在性定理可得函数在 及 上各存在一个零点，即 存在两个不同的零点 ， ，令 ， 则 ， ，所以
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）判断 在 内单调递增，利用函数与方程的关系，结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断即可。
20．【答案】（1）解：当1≤t＜25时， ；
当25≤t≤30时， ；
所以 （t∈N）
（2）解：（i）当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，
因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，
所以当t=10时，W（t）最小值为12100，当t=1时，W（t）最大值为20200
（ii）当25≤t≤30时， ，y= 和y=﹣t在[25，30]单减，则
W（t）在区间[25，30]单减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400
综上，当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【分析】1、由题意可得当1≤t＜25时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 100 + t ) ( 1 + ) = 100 ( t + + 101 ) ；当25≤t≤30时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 150 t ) ( 1 + 1 t ) = 100 ( t + 149 )，综合两种情况得函数的解析式。
2、根据函数的单调性可得最值，当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 W ( t）在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，当25≤t≤30时， W ( t )在[25，30]单减，则W（t）在区间[25，30】减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400。当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100。
21．【答案】（1）解：若存在一正 一负两个零点，则 ， ，
解得 < < ，∴ 的取值范围为( ).
（2）解：若 在区间 上是减函数，则对称轴 ，解得 ，
当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递増，
且 ，
∴ = ，
∵ ，∴ .
故 在[1，a]上的最大值为 .
【知识点】函数单调性的性质；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)由零点和方程根的情况即可判断出a的取值范围。
(2)利用二次函数的图象和性质得出当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递，再由已知条件函数的最值情况计算出从而得出结论。
22．【答案】（1）证明：因为 ，又
，
即 ，
所以 为偶函数
（2）解：原题意等价于方程 无解，
即方程 无解.
令 ，
因为 ，
显然 ，
于是 ，即函数 的值域是 .
因此当 时满足题意.
所以a的取值范围是
（3）解：由题意 ， .
令 ，则 .
则 ， .
①当 时， ，
，解得 ；
②当 时，
，解得 （舍去）；
③当 时，
，解得 （舍去）.
综上，存在 ，使得 最小值为0
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 （1）根据偶函数的定义即可证明f（-x）=f（x）；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定a取不同值时，函数零点个数，进而得到答案；
（3）根据题意化简g（x）的解析式，令得到，求出函数的对称轴t=- ，通过讨论对称轴的位置确定函数的最大值，求出m的值即可．
1 / 1人教版2019 必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·滨海月考）函数 的零点个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 或
解得 或
故函数 有两个零点 ，
故答案为：B
【分析】直接利用函数的零点的求法，通过方程的根的个数得到零点的个数。
2．（2020高一上·合肥期末）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵ ，
，则 ，
∴函数 的零点所在区间是 ，
当 ，且 时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B为正确答案.
故答案为：B.
【分析】根据题意由零点存在定理即可判断出选项A正确，同理即可判断出ACD中函数在区间端点的函数值均同号由此得出选项ACD错误，进而得到答案。
3．（2020高一上·南充期末）若函数 （ 且 ）有两个不同零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， 在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意；
当 时，根据函数 有两个不同零点，可得方程 有两个不等实根，
即函数 与直线 有两不同零点，指数函数 恒过点 ；直线 过点 ，作出函数 与 的大致图象如下：
因为 ，所以点 在 的上方，因此 时， 与 必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；
综上 。
故答案为：B.
【分析】利用分类讨论的方法结合函数的零点与两函数的交点的等价关系，从而结合两函数 与 的大致图象，再结合已知条件函数 （ 且 ）有两个不同零点，从而求出实数a的取值范围。
4．（2020高一上·宁夏期中）下列函数中，没有零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】A选项，由 可得 ，即函数 有零点；
B选项，由 得 ，即函数 有零点；
C选项，由 解得， 不存在，即函数 没有零点；
D选项，由 解得 或 ，即函数 有零点.
故答案为：C.
【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.
5．（2020高一上·成都期末）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，
故答案为：A.
【分析】根据题意首先由二分法求出函数零点，再由零点的左右两侧的函数值符号相反，由此分析选项即可得答案．
6．（2020高一上·遂宁期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）可以是（　　）
A．1.25 B．0.39 C．1.41 D．1.5
【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度 ；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以不满足精确度0.05；
因为 ， ，所以函数在 内有零点，
因为 ，所以满足精确度0.05，
所以方程 的一个近似根（精确度0.05）是区间 内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故答案为：C
【分析】 由二分法及函数零点的判定定理可知函数的零点在（1.4375，1.40625）之间；从而判断．
7．（2020高一上·呼和浩特期中）函数 在定义域内的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 得 ，
则 的零点个数，即是方程 根的个数，
即是函数 与 图像交点个数，
在同一直角坐标系内画出 与 的图像如下，
由图像可得， 与 的图像有两个不同的交点，
所以函数 在定义域内的零点的个数为 个.
故答案为：C.
【分析】把函数的零点个数转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合求解即可。
8．（2021高一下·衢州月考）函数 ，若函数 有3个不同的零点 ， ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出函数 的图象，如图，作直线 ，只有当 时，它们才可能是三个交点，
不妨设 ，则 ，所以 ，而 ， ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】由指数函数以及一次函数的图象结合题意由数形结合法即可得出a、b、c的大小关系，在意指数函数的性质即可得出取值范围。
二、多选题
9．（2021高一上·海安期末）在下列区间中，存在函数 的零点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，可得 ，求 的零点，即求 与 交点所在的区间，作出 与 的图象，如图所示
对于A：当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以在 存在零点，A符合题意；
对于B：因为 ， ，所以 ，
所以在 内没有零点，B不符合题意；
对于C： ，所以 ，所以在 内没有零点，C不符合题意；
对于D：当x=3时， ，即 ，所以 ，所以在 内有零点，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，再结合两函数 与 的图象，进而结合零点存在性定理，得出存在函数 的零点的区间。
10．（2020高一上·济宁期末）若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（　　）
A．-3 B． C． D．1
【答案】B,C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意 在 上有解．
∵ ，∴ ，
故答案为：BC．
【分析】 利用二次方程，与对应的函数的对称轴，结合零点判断定理，转化求解即可．
11．（2020高一上·肇庆期末）下列说法中正确的是（　　）
A．函数 只有一个零点，且该零点在区间 上
B．若 是定义在 上的奇函数， ，且当 时， ，则
C．已知 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则 一定是奇函数
D．实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件
【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇函数；函数的奇偶性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】函数 在 上单调递增，又 ，
所以该零点在区间 上，A不符合题意；
由 得， ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
故 ，所以 ，B符合题意；
由 为奇函数，得 ，
由 为偶函数，得 ，
所以 ，
所以函数 的周期为8，故 ，所以 一定是奇函数，C符合题意；
命题“ ”为假命题，则“ ”为真命题，
当 时，“ ”为真命题，
当 时，由 可得
所以命题“ ”为假命题的充要条件是
故实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理、奇函数的定义、奇函数和偶函数的定义判断函数奇偶性的方法、充分条件、必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。
12．（2020高一上·长沙期中）已知 ，分析该函数图象的特征，若方程 一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】依题意抛物线 开口向上，与 轴有两个交点，
所以 ，故 ，B成立；
方程 一根大于3，另一根小于2，则 ， ，C D成立，
而对称轴无限制，A不成立.
故答案为：BCD.
【分析】根据二次函数零点存在定理结合 得到答案.
三、填空题
13．（2020高一上·北京期中）函数 的零点个数是　 　
【答案】1
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可知 的定义域为 ，令 ，
可得 ， 解得 （舍去）或 ，
；
所以函数 的零点个数为 个．
故答案为：1．
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数。
14．（2020高一上·钦州期末）已知 有四个零点，则m的取值范围　 　.
【答案】(0,1)
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为 有四个零点，
所以 有四个零点，
在同一坐标系中作函数 的图象如图所示：
由图象知： ，
故答案为：(0,1)
【分析】根据 有四个零点，转化为函数有四个交点，在同一坐标系中作函数 的图象，利用数形结合法求解即可。
15．（2020高一上·焦作期中）已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根，则数 的取值范围是　 　.
【答案】（0,1）
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】当 时， 即为 ，解得 ，
当 时， 即为 ，解得 ，
因为关于 的方程 有两个不同的实根，所以 且 ，
解得 且 ，
所以 .
故答案为：（0,1）.
【分析】首先求出两种情况下方程的根，再由 当中x的取值范围，对其进行限制 且 ，从而得到k的取值范围。
16．（2019高一上·浙江期中）已知 ，函数 ，若 恰有两个不同的零点，则 的取值范围为　 　．
【答案】（0,1）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， 无零点，
则 在 内有两个零点，
对称轴 ，则 即 ，该不等式无解；
当 时， 只有一个零点，
则 在 内有一个零点，
所以 或 ，前者即为 ，后者无解，
所以 .
综上可得 的取值范围是（0,1）．
故答案为：（0,1）．
【分析】当 时， 无零点，则 有两个零点即可求解 的取值范围，当 时， 有一个零点，结合二次函数的性质讨论即可得 的取值范围．
四、解答题
17．（2020高一上·咸阳期末）已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）证明：函数 是偶函数；
（Ⅱ）求函数 的零点.
【答案】解：（Ⅰ）由 ，解得 ，
所以函数的定义域为 关于原点对称，
又∵ ，
∴ 是偶函数.
（Ⅱ） .
令 ，
∴ ，解得 （经检验符合题意）.
∴函数 的零点为 和 .
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 是偶函数。
（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。
18．已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（﹣1）=﹣2
∴1﹣（a+2）+b=﹣2即b﹣a=﹣1 ①
∵方程f（x）=2x有唯一的解即x2+ax+b=0唯一的解
∴△=a2﹣4b=0 ②
由①②可得a=2，b=1
（2）解：由（1）可知b=a﹣1
∴f（x）=x2+（a+2）x+b=x2+（a+2）x+a﹣1
其对称轴为x=﹣
∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数
∴﹣2＜﹣ ＜2解得﹣6＜a＜2
∴实数a的取值范围为﹣6＜a＜2
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据f（﹣1）=﹣2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可；（2）根据函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，可得其对称轴在区间[﹣2，2]上，从而可求出a的取值范围．
19．（2020高一上·温州期末）已知函数
（1）用定义证明 在(0，1)内单调递减；
（2）证明 存在两个不同的零点 ， ，且 .
【答案】（1）解：设 ，且 ，
则
因为 ，且 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 在 内单调递减
（2）解：由（1）可知 在 内单调递减，当 时， ， ， ，可得 ，所以
所以 在 内单调递增，
又 ， ， ， ，根据零点存在性定理可得函数在 及 上各存在一个零点，即 存在两个不同的零点 ， ，令 ， 则 ， ，所以
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）判断 在 内单调递增，利用函数与方程的关系，结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断即可。
20．（2017高一上·武汉期中）经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足 ，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）= ．
（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．
【答案】（1）解：当1≤t＜25时， ；
当25≤t≤30时， ；
所以 （t∈N）
（2）解：（i）当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，
因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，
所以当t=10时，W（t）最小值为12100，当t=1时，W（t）最大值为20200
（ii）当25≤t≤30时， ，y= 和y=﹣t在[25，30]单减，则
W（t）在区间[25，30]单减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400
综上，当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【分析】1、由题意可得当1≤t＜25时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 100 + t ) ( 1 + ) = 100 ( t + + 101 ) ；当25≤t≤30时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 150 t ) ( 1 + 1 t ) = 100 ( t + 149 )，综合两种情况得函数的解析式。
2、根据函数的单调性可得最值，当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 W ( t）在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，当25≤t≤30时， W ( t )在[25，30]单减，则W（t）在区间[25，30】减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400。当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100。
21．（2020高一上·洛阳期中）已知函数 .
（1）若 存在一正，一负两个零点，求实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上是减函数，求 在[1，a]上的最大值.
【答案】（1）解：若存在一正 一负两个零点，则 ， ，
解得 < < ，∴ 的取值范围为( ).
（2）解：若 在区间 上是减函数，则对称轴 ，解得 ，
当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递増，
且 ，
∴ = ，
∵ ，∴ .
故 在[1，a]上的最大值为 .
【知识点】函数单调性的性质；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)由零点和方程根的情况即可判断出a的取值范围。
(2)利用二次函数的图象和性质得出当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递，再由已知条件函数的最值情况计算出从而得出结论。
22．（2020高一上·枣庄期末）已知函数 ， .
（1）证明： 为偶函数；
（2）若函数 的图象与直线 没有公共点，求a的取值范围；
（3）若函数 ，是否存在m，使 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：因为 ，又
，
即 ，
所以 为偶函数
（2）解：原题意等价于方程 无解，
即方程 无解.
令 ，
因为 ，
显然 ，
于是 ，即函数 的值域是 .
因此当 时满足题意.
所以a的取值范围是
（3）解：由题意 ， .
令 ，则 .
则 ， .
①当 时， ，
，解得 ；
②当 时，
，解得 （舍去）；
③当 时，
，解得 （舍去）.
综上，存在 ，使得 最小值为0
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 （1）根据偶函数的定义即可证明f（-x）=f（x）；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定a取不同值时，函数零点个数，进而得到答案；
（3）根据题意化简g（x）的解析式，令得到，求出函数的对称轴t=- ，通过讨论对称轴的位置确定函数的最大值，求出m的值即可．
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