广东省广州市天河外国语学校2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正三角形 D．等腰梯形
2．（2021九下·广州开学考）方程 的二次系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，2，9 B．3，-2，9 C．-3，-2，-9 D．3，-2，-9
3．（2021九下·广州开学考）若一个正 边形的每个内角为150°，则这个正 边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
5．（2021九下·广州开学考）抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．（2021九下·广州开学考）把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12（x+1）2﹣3 B．y=12（x﹣1）2﹣3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x﹣1）2+1
7．直角三角形两直角边长分别为 和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021九下·广州开学考）有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．135°
9．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
10．（2021九下·广州开学考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．（2021九下·广州开学考）二次函数 的图象的顶点坐标是 ．
12．（2021九下·广州开学考）方程 的解是 ．
13．（2021九下·广州开学考）点P1（-2，3）与点P2关于原点对称，则P2的坐标是 ．
14．（2021九下·广州开学考）已知 的半径为 ，弦 ，则圆心O到弦 的距离是 ．
15．（2021九下·广州开学考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
16．（2020九上·东莞期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
三、解答题
17．（2019九上·南昌期中）解方程： .
18．（2021九下·广州开学考）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，将 绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点 ， ， 处，请画出旋转后的 ．
19．（2021九下·广州开学考）袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．
20．（2021九下·广州开学考）如图，AB是 的直径，弦 于点E，若 ， ，求 的长．
21．（2021九下·广州开学考）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求．某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
22．（2016九上·东海期末）如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．
23．（2021九下·广州开学考）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转90°得到 ，连接 ， ，延长 交 于点F，过点C作 交 于点P．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
24．（2021九下·广州开学考）如图,⊙O 的半径为1,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．
（1）当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
（2）当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立 请说明理由;
（3）当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．
25．（2021九下·广州开学考）如图，抛物线 与 轴相交于 两点，点 在点 的右侧，与 轴相交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
（3）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使以 四点构成的四边形为平行四边形 若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误。
故选B。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-2，-9，
故答案为：D．
【分析】根据 b，c是常数且 特别要注意 的条件，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的每一个内角都等于 ，
∴它的每一个外角= ．
∵多边形外角和为 ，
∴它的边数= ÷ =12．
故答案为：C
【分析】先根据内角度数求出外角度数，再利用多边形的外角和定理求出边数．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2(x-1)2-2是二次函数解析式的顶点式，
∴抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是直线x=1，
故答案为：B．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，即可得答案．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为y=12（x﹣1）2﹣3，
故答案为：B．
【分析】二次函数图象与几何变换．
7．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长= =2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
8．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，2π＝ ，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是180°．
故答案为：C．
【分析】根据弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
9．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①符合题意；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③不符合题意；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断：根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断，由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断，通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
11．【答案】（5，-3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 图象的顶点坐标是：（5，-3）．
故答案为：（5，-3）．
【分析】直接利用二次函数顶点式的图象与性质求解即可．
12．【答案】0；-2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
所以 ， ，
故答案为0，-2．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
13．【答案】（2，-3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点P1（-2，3）与点P2关于原点对称，
故P2的坐标是：（2，-3）．
【分析】关于原点对称的点的坐标．
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
过点O作 于点E，
连接 ，
∵弦 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4.
【分析】过圆心作出到弦的距离，连接过弦的端点的半径，构造直角三角形，用勾股定理计算即可．
15．【答案】11
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
16．【答案】y＝2x﹣8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD，
∴∠ABO＝∠CAD，
在△ACD和△BAO中
，
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4，
∴C（6，4）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将点A，点C坐标代入得
，
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8．
故答案为：y＝2x﹣8．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（4，0），B（0，2），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
17．【答案】解： ∴ 或 ∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解.
18．【答案】解：
， ， ，
， ， ．
【知识点】点的坐标；作图﹣旋转
【解析】【分析】由△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1O1B1可得OA1⊥OA，OB1⊥OB， OA1=OA，OB1=OB，A1B1=AB，故可画出△A1O1B1的图形；
19．【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6，
所以摸出两球是一红一白的概率＝ ＝
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找摸出两球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解．
20．【答案】解：如图,连接OC.
∵弦 于点E， ，
∴ ．
∵在 中， ， ， ，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
21．【答案】解：设应将每个口罩涨价 元，则每天可售出 个，
依题意，得： ，
化简，得： ，
解得： ， ．
又 要让顾客得到实惠，
．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设应将每个口罩涨价 元，则每天可售出 个，根据总利润 每个的利润 销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
22．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，
又∵抛物线过点C（0，﹣3），
∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）解：∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．
令y=4，则x2﹣2x﹣3=4，解得x1=1+2 ，x2=1﹣2 ．
∴点P的坐标为（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）．
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），由顶点式得到抛物线的函数关系式；（2）由S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，得到点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，得到点P的纵坐标一定为4；得到点P的坐标.
23．【答案】（1）证明：∵ 绕点C顺时针旋转90°得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴
（2）证明：连接 ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接PD，根据全等三角形的性质得到AC＝EC，DC＝BC，求得∠AEC＝45°，得到∠B＝∠BAE＝67.5°，根据平行线的性质得到∠BPC＝∠BAE＝67.5°，∠BCP＝∠AEC＝45°，根据全等三角形的性质得到∠DPC＝∠BPC＝67.5°，PB＝PD，得到∠FPD＝180° 67.5° 67.5°＝45°，根据等腰直角三角形的判定及勾股定理即可得到结论．
24．【答案】（1）解：PN 与⊙O 相切．证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．又∵∠AMO＝∠PMN，
∴∠PNM＝∠AMO．
∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN 与⊙O 相切
（2）解：成立．理由如下：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．
在Rt△AOM中,∠OMA＋∠OAM＝90°．∴∠PNM＋∠ONA＝90°,
∴∠PNO＝180°－90°＝90°．即PN 与⊙O 相切
（3）解：连接ON，由(2)可知∠ONP＝90°．
∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，
∴∠PON＝60°,∠AON＝30°．
过点N 作NE⊥OD，垂足为点E．则OE＝ ．∴NE＝ ．
∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝ OC·OA＋ － CO·NE
＝ ＋ －
∴图中阴影部分的面积为 ＋ －
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）PN 与⊙O 相切．要证明ON PN即可，连接ON，PM＝PN，所以∠PNM＝∠PMN，∠AMO＝∠PMN，AB⊥CD,所以∠PMN+∠MAO=90°，又因∠MAO=∠MNO,所以∠PNM+∠MNO=90°，所以PN 与⊙O 相切．
（2）成立，进行等量代换，∠MAO+∠OMA=90°，因∠OMA=∠PNM，∠MAO=∠ONA,所以∠PNM+∠ONA=90°，所以∠ONP=90°；
（3）阴影部分的面积可通过S AOC+S扇形AOC-S AON求得.
25．【答案】（1）解：当 时，
当 时， ，化简，得
.
解得 .
（2）解：连接 ，交对称轴于点 ，连接 .
点 和点 关于抛物线的对称轴对称，
.要使 的值最小，则应使 的值最小，
所以 与对称轴的交点 使得 的值最小.
设 的解析式为 .
将 代入，
可得 ，
解得 ，
抛物线的对称轴为直线
当 时， ，
（3）解：①当 在 轴上方，
此时 ，且 .则
四边形 是平行四边形.
②当 在 轴下方;
作 ，交 于点 .
如果四边形 是平行四边形.
.
.
又 ，
.
当 时，
，
综上所述，点 的坐标为 ， 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标.（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标；（3）分两种情况：①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为（4， ）；②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明 得 ，即N点的纵坐标为- ，列方程可得N的坐标．
1 / 1广东省广州市天河外国语学校2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正三角形 D．等腰梯形
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误。
故选B。
2．（2021九下·广州开学考）方程 的二次系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，2，9 B．3，-2，9 C．-3，-2，-9 D．3，-2，-9
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-2，-9，
故答案为：D．
【分析】根据 b，c是常数且 特别要注意 的条件，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
3．（2021九下·广州开学考）若一个正 边形的每个内角为150°，则这个正 边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的每一个内角都等于 ，
∴它的每一个外角= ．
∵多边形外角和为 ，
∴它的边数= ÷ =12．
故答案为：C
【分析】先根据内角度数求出外角度数，再利用多边形的外角和定理求出边数．
4．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
5．（2021九下·广州开学考）抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2(x-1)2-2是二次函数解析式的顶点式，
∴抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是直线x=1，
故答案为：B．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，即可得答案．
6．（2021九下·广州开学考）把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=12（x+1）2﹣3 B．y=12（x﹣1）2﹣3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x﹣1）2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为y=12（x﹣1）2﹣3，
故答案为：B．
【分析】二次函数图象与几何变换．
7．直角三角形两直角边长分别为 和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长= =2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
8．（2021九下·广州开学考）有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．135°
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，2π＝ ，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是180°．
故答案为：C．
【分析】根据弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
9．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
10．（2021九下·广州开学考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①符合题意；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③不符合题意；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断：根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断，由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断，通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
二、填空题
11．（2021九下·广州开学考）二次函数 的图象的顶点坐标是 ．
【答案】（5，-3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 图象的顶点坐标是：（5，-3）．
故答案为：（5，-3）．
【分析】直接利用二次函数顶点式的图象与性质求解即可．
12．（2021九下·广州开学考）方程 的解是 ．
【答案】0；-2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
所以 ， ，
故答案为0，-2．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
13．（2021九下·广州开学考）点P1（-2，3）与点P2关于原点对称，则P2的坐标是 ．
【答案】（2，-3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点P1（-2，3）与点P2关于原点对称，
故P2的坐标是：（2，-3）．
【分析】关于原点对称的点的坐标．
14．（2021九下·广州开学考）已知 的半径为 ，弦 ，则圆心O到弦 的距离是 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
过点O作 于点E，
连接 ，
∵弦 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4.
【分析】过圆心作出到弦的距离，连接过弦的端点的半径，构造直角三角形，用勾股定理计算即可．
15．（2021九下·广州开学考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 m．
【答案】11
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
16．（2020九上·东莞期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
【答案】y＝2x﹣8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD，
∴∠ABO＝∠CAD，
在△ACD和△BAO中
，
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4，
∴C（6，4）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将点A，点C坐标代入得
，
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8．
故答案为：y＝2x﹣8．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（4，0），B（0，2），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
三、解答题
17．（2019九上·南昌期中）解方程： .
【答案】解： ∴ 或 ∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解.
18．（2021九下·广州开学考）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，将 绕点O逆时针旋转90°后，点A，O，B分别落在点 ， ， 处，请画出旋转后的 ．
【答案】解：
， ， ，
， ， ．
【知识点】点的坐标；作图﹣旋转
【解析】【分析】由△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1O1B1可得OA1⊥OA，OB1⊥OB， OA1=OA，OB1=OB，A1B1=AB，故可画出△A1O1B1的图形；
19．（2021九下·广州开学考）袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．
【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6，
所以摸出两球是一红一白的概率＝ ＝
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找摸出两球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解．
20．（2021九下·广州开学考）如图，AB是 的直径，弦 于点E，若 ， ，求 的长．
【答案】解：如图,连接OC.
∵弦 于点E， ，
∴ ．
∵在 中， ， ， ，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
21．（2021九下·广州开学考）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求．某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
【答案】解：设应将每个口罩涨价 元，则每天可售出 个，
依题意，得： ，
化简，得： ，
解得： ， ．
又 要让顾客得到实惠，
．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设应将每个口罩涨价 元，则每天可售出 个，根据总利润 每个的利润 销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
22．（2016九上·东海期末）如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，
又∵抛物线过点C（0，﹣3），
∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）解：∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．
令y=4，则x2﹣2x﹣3=4，解得x1=1+2 ，x2=1﹣2 ．
∴点P的坐标为（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）．
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），由顶点式得到抛物线的函数关系式；（2）由S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，得到点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，得到点P的纵坐标一定为4；得到点P的坐标.
23．（2021九下·广州开学考）如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转90°得到 ，连接 ， ，延长 交 于点F，过点C作 交 于点P．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
【答案】（1）证明：∵ 绕点C顺时针旋转90°得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴
（2）证明：连接 ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接PD，根据全等三角形的性质得到AC＝EC，DC＝BC，求得∠AEC＝45°，得到∠B＝∠BAE＝67.5°，根据平行线的性质得到∠BPC＝∠BAE＝67.5°，∠BCP＝∠AEC＝45°，根据全等三角形的性质得到∠DPC＝∠BPC＝67.5°，PB＝PD，得到∠FPD＝180° 67.5° 67.5°＝45°，根据等腰直角三角形的判定及勾股定理即可得到结论．
24．（2021九下·广州开学考）如图,⊙O 的半径为1,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．
（1）当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
（2）当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立 请说明理由;
（3）当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：PN 与⊙O 相切．证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．又∵∠AMO＝∠PMN，
∴∠PNM＝∠AMO．
∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN 与⊙O 相切
（2）解：成立．理由如下：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．
在Rt△AOM中,∠OMA＋∠OAM＝90°．∴∠PNM＋∠ONA＝90°,
∴∠PNO＝180°－90°＝90°．即PN 与⊙O 相切
（3）解：连接ON，由(2)可知∠ONP＝90°．
∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，
∴∠PON＝60°,∠AON＝30°．
过点N 作NE⊥OD，垂足为点E．则OE＝ ．∴NE＝ ．
∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝ OC·OA＋ － CO·NE
＝ ＋ －
∴图中阴影部分的面积为 ＋ －
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）PN 与⊙O 相切．要证明ON PN即可，连接ON，PM＝PN，所以∠PNM＝∠PMN，∠AMO＝∠PMN，AB⊥CD,所以∠PMN+∠MAO=90°，又因∠MAO=∠MNO,所以∠PNM+∠MNO=90°，所以PN 与⊙O 相切．
（2）成立，进行等量代换，∠MAO+∠OMA=90°，因∠OMA=∠PNM，∠MAO=∠ONA,所以∠PNM+∠ONA=90°，所以∠ONP=90°；
（3）阴影部分的面积可通过S AOC+S扇形AOC-S AON求得.
25．（2021九下·广州开学考）如图，抛物线 与 轴相交于 两点，点 在点 的右侧，与 轴相交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
（3）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使以 四点构成的四边形为平行四边形 若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当 时，
当 时， ，化简，得
.
解得 .
（2）解：连接 ，交对称轴于点 ，连接 .
点 和点 关于抛物线的对称轴对称，
.要使 的值最小，则应使 的值最小，
所以 与对称轴的交点 使得 的值最小.
设 的解析式为 .
将 代入，
可得 ，
解得 ，
抛物线的对称轴为直线
当 时， ，
（3）解：①当 在 轴上方，
此时 ，且 .则
四边形 是平行四边形.
②当 在 轴下方;
作 ，交 于点 .
如果四边形 是平行四边形.
.
.
又 ，
.
当 时，
，
综上所述，点 的坐标为 ， 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标.（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标；（3）分两种情况：①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为（4， ）；②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明 得 ，即N点的纵坐标为- ，列方程可得N的坐标．
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