初中数学苏科版七年级下册12.2 证明 同步训练
一、单选题
1．（2021七下·长兴开学考）下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若x＝y，则5﹣x＝5+y
C．若2x＝3，则x＝ D．若a＝b，则 ＝
【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A、若a＝b，则ac＝bc ，正确；
B、 若x＝y，则5+x＝5+y ，错误；
C、 若2x＝3，则x= ，错误；
D、 若a＝b，则 ＝ （c≠0）；
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
2．（2021七下·柯桥月考）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AD∥BC
B．若∠1=∠2，则AB∥CD
C．若∠A=∠3，则AD∥BC
D．若∠3+∠ADC=180° ，则AB∥CD
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】AB、若∠1=∠2，则AB∥CD，则A错误，B正确；
C、若∠A=∠3，无法判断平行，错误；
D、若∠3+∠ADC=180° ，无法判断平行，错误；
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等两直线平行对AB作判断；∠A和∠3是同旁内角，但不互补，无法判断AD∥BC；∠3和∠ADC不是同旁内角无法对D作判断.
3．（2020七上·松桃月考）如图，在 中， 是 延长线上点， ， ，则 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠A=120°-40°=80°.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，可得到∠ACD=∠A+∠B，代入计算可求出∠A的度数.
4．（2021七下·长春开学考）如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C．∠5=∠B D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．
B．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），并不能证明 ，故该选项符合题意．
C．由∠5=∠B，得 （同位角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．
D．由 ，得 （同旁内角互补，两直线平行），故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由平行线的判定方法逐项判断即可．
5．（2021七上·海陵期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠3＝∠5 B．∠4＝∠7
C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＝∠3
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A选项，
∵∠3＝∠5（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
B选项，∠4＝∠7，∠4与∠7无关系，不能判定平行；
C选项，∠2＋∠3＝180°，∠2与∠3为邻补角，不能判定平行；
D选项，∠1＝∠3，∠1与∠3为对顶角，不能判定两直线平行；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，根据∠3＝∠5即可判断a∥b.
6．（2021七上·卫辉期末）如图，已知直线 ， ， ，则 等于（ ）
A．110° B．100° C．130° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】如图，作直线c// ，
直线 ，直线c// ，
c// ，
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
故答案为：A.
【分析】作直线c∥a，利用已知条件可推出b∥c，再利用平行线的性质可推出∠1=∠4，∠2=∠5，再由∠3=∠4+∠5，可求出∠3的度数.
7．（2020七上·宽城期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、∠1、∠2互为对顶角，对顶角相等，故A符合题意；
B、根据三角形外角定理，∠2=∠3+∠A，∠2>∠3，故不符合题意；
C、根据三角形外角定理，∠1=∠4+∠5，∠2=∠3+∠A，∠3和∠4不一定相等，故不符合题意；
D、根据三角形外角定理，∠1=∠5+∠4，∠1>∠5，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质和三角形外角的性质逐一进行判断即可.
8．（2020七上·宽城期末）如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC；
∴能得到AB∥CD的条件是①③.
故答案为：B
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行逐一判断即可.
9．（2021七上·肇源期末）如图，下列推理错误的是（ ）
A．∵ ， B．∵
C． D．∵
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】A. ∵ ， ，不符合题意；
B. ∵ ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ∵∴ ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法，对每个选项一一判断进行作答即可。
10．（2021七上·长沙期末）如图，已知 .则结论① ；② 平分 ；③ ；④ .正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴ ，
∴③正确；
∵ ，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得出∠FGB=∠ADB=90°，可证FG∥AD，利用平行线的性质得出∠ADE+∠BDE=90°，据此判断①；由∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，可得，据此判断③；由 得出∠BDE=∠C，利用直角三角形两锐角互余得出∠C+∠CFG=90°，即得∠BDE+∠CFG=90°，据此判断④；由∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°即可判断③.
二、填空题
11．（2021七上·西区期末）已知AD//BE ，∠1=∠2，试说明∠A=∠E的理由.
解：因为∠1=∠2（已知），
所以 // ，
所以∠E+∠ =180°
因为AD//BE（已知），
所以∠A+∠ =180°
所以∠A=∠E
【答案】DE；AC；A内错角相等，两直线平行；ABE；两直线平行，同旁内角互补；ABE；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：因为∠1=∠2（已知），
所以DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
所以∠E+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为AD//BE（已知），
所以∠A+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠A=∠E（等量代换），
故答案为：DE；AC；内错角相等，两直线平行；ABE；两直线平行，同旁内角互补；ABE；两直线平行，同旁内角互补；等量代换.
【分析】由已知的∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行得到DE∥AC，然后根据两直线平行，同旁内角互补得∠E+∠ABE=180°，由AD∥BE，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABE=180°，等量代换即可得出∠A=∠E.
12．（2020七上·南岗期末）如图， ， 相交于点 ， ， ，过 作 ，垂足为 ．求证： ．
证明：∵ ，
又 （ ）
∴
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
【答案】对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】证明：∵ ， ，
又 （对顶角相等），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （垂直定义），
∴ ，
∴ ．
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．
【分析】先求出，可得，再求出，进行作答即可。
13．（2021七上·越城期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4.试说明DF∥AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整.
证明：∵ （ ）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（ ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）.
【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：如图：
∵ CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° （ 垂直定义 ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 （ 等角的余角相等 ），
∴DF∥AE （ 内错角相等，两直线平行 ）.
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行.
【分析】先利用垂直定义得出∠CDA=90°，∠DAB=90° ，再利用等角的余角相等得出∠2=∠3 ，最后利用内错角相等，两直线平行证明结论.
14．（2020七下·泸县期末）推理填空，如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
解：∵∠A=∠F（ ），
∴AC∥DF（ ），
∴∠D=∠1（ ），
又∵∠C=∠D（ ），
∴∠1=∠C（ ），
∴BD∥CE（ ）．
【答案】已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠1（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠1=∠C（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案是：已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】根据图中线与角的关系，联系平行线的判定方法即可作出解答．
15．（2020七下·自贡期末）已知：如图，在△ 中， 于点D，E是 上一点，且 ．求证： ．
请在括号内填写出证明依据．
证明：∵ （已知）
∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ （ ）
【答案】垂直定义；已知；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3=90°（垂直定义），
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠3=∠2（同角的余角相等），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：垂直定义；已知；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】利用平行线的判定和性质结合垂直的定义分析得出答案．
16．（2020七下·韶关期末）填写推理理由，将过程补充完整：
如图， ， 试说明
解： ，
（ ），
，
（等量代换），
，
，即 ，
（等量代换），
（ ）．
【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
（两直线平行，同位角相等）
，
（等量代换），
，
，即 ，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【分析】根据平行线的性质和已知条件可得 ，由 可得 ，进而可得 ，再根据平行线的判定即得结论．
17．（2020七下·昌平期末）补全解答过程：
如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3＝∠D（ ）．
又∵∠3＝∠A，
∴ ．
∴AB∥CD（ ）．
∴∠B＝∠C（ ）．
【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3=∠D（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠3=∠A，
∴∠A=∠D．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3=∠D，进而得出∠A=∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论．
18．（2020七下·门头沟期末）完成下面的证明：
（1）已知：如图，AB∥CD
求证：∠1+∠3 = 180°
证明：∵AB∥CD（已知），
∴ ∠1+∠2 = 180°（ ）
又∵ ∠2 = ∠3（ ）
∴ ∠1+∠3=180°（ ）
（2）已知：如图，AM∥EF，∠1 = ∠B．
求证：∠2 = ∠C．
证明：∵ ∠1 = ∠B（已知），
∴EF∥BC（ ）
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（ ）
∴ ∠2 = ∠C（ ）
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换
（2）同位角相等，两直线平行；平行公理推论；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵ （已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵ （ 对顶角相等 ）
∴ （ 等量代换 ）；（2）证明：∵ （已知）
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ）
∵ （已知）
∴ （ 平行公理推论 ）
∴ （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等、等量代换即可得证；（2）先根据平行线的判定可得 ，再根据平行公理推论可得 ，然后根据平行线的性质即可得证．
三、解答题
19．（2021七下·凤山月考）如图，已知∠1=∠2，∠C=∠F.请指出∠A与∠D 的数量关系，并说明理由.
【答案】∠A=∠D
理由：∠A与∠D 的数量关系为∠A=∠D.
理由：∵∠2=∠AGC，∠1=∠2，
∴∠1=∠AGC，
∴BF∥CE,
∴∠F=∠DEC
∵∠C=∠F，
∴∠C=∠DEC，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠D.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用已知条件及对顶角相等可证得∠1=∠AGC，利用同位角相等，两直线平行，可证得BF∥CE，利用平行线的性质可推出∠F=∠DEC；再证明∠C=∠DEC，由此可证得DF∥AC；然后利用平行线的性质，可证得结论.
20．（2021七下·绍兴月考）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 试说明：AC∥DF.
【答案】证明：∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3,
∴DB∥EC，
∴∠C=∠ABD，
∵ ∠C＝∠D ,
∴∠ABD，
∵ ∠ABD＝∠D ,
∴AC∥DF.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】 根据已知条件∠1=∠2及对顶角相等求得同位角∠2=∠3，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C=∠ABD；然后由已知条件∠C=∠D推知内错角∠D=∠ABD，所以两直线AC∥DF．
21．（2021七下·普定月考）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E，证明：∠A=∠EBC.
【答案】证明：
∵∠1=∠2（已知），
∴DB∥EC（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠4（两直线平行，内错角相等），
又∵∠E=∠3（已知），
∴∠3=∠4（ 等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠EBC（两直线平行，同位角相等），
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定以及性质，即可得到∠E＝∠4，再根据等量代换即可得出∠3＝∠4，由内错角相等两直线平行可得AD∥BE，最后根据两直线平行，同位角相等即可求解．
22．（2021七下·长春开学考）完善下列证明过程，已知：如图，已知∠DAF=∠F，∠B=∠D.证明：AB∥DC
证明：∵∠DAF=∠F ( ▲ )
∴ ▲ ∥ ▲ （ ▲ ）
∴∠D=∠DCF ( ▲ )
∵∠B=∠D（ ▲ ）
∴∠ ▲ =∠DCF (等量代换)
∴AB∥DC ( ▲ )
【答案】证明：∵∠DAF＝∠F（已知），
∴AD∥BF（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠B＝∠DCF（等量代换），
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】首先求出AD∥BF，进而得到∠D＝∠DCF，等量代换求出∠B＝∠DCF，再利用同位角相等证明两直线平行即可．
23．（2021七上·东坡期末）已知：如图，在△ABC中CD交AB边于点D，直线DE平分 且与直线BE相交于点E， ， .
求证：
证明：理由如下：
平分 （已知）
（已知）
（等量代换）
又 （已知）
（等量代换）
【答案】解：
理由如下：
平分 （已知）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又 （已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由 平分 可得 由 可得 可推出 利用平行线性质可得 由 利用传递性可得 利用判定定理可得 .
24．（2021七上·内江期末）如图，已知 ，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 (1)、本题利用 平行线的性质和判定做题即可.两直线平行，同位角相等;内错角相等，两直线平行，从而 .
(2)、本题利用 平行线的性质，两直线平行，内错角相等，联系已知∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC即可求解.
25．（2020七上·南岗期末）已知：直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，并且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为 ．
【答案】（1）证明：∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：由（1）知AB CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,
∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，
∴度数为135°的角有： 、 、 、 ．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠AEF+∠CFE=180° ，再求出 ∠AEF=∠CFE=90°， 进行计算求解即可。
26．（2021七下·东坡开学考）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F.
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 .
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，PN交CD于点H.请猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明.
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求∠N的度数.
【答案】（1）∠AEM+∠PFD=90°
（2）猜想：∠PFD-∠AEM=90°
证明：∵∠P=90°，∠PEB=∠AEM，∠PHE=∠BHN
∴∠PEB+∠PHE=90°
∴∠AEM+∠BHN=90°即∠BHN=90°-∠AEM
∵AB∥CD，
∴∠BHN+∠PFD=180°
∴90°-∠AEM+∠PFD=180°
∴∠PFD-∠AEM=90°.
（3）解：∵∠PEB=∠AEM=15°，∠PFD-∠AEM=90°.
∴∠PFD=∠OFN=90°+15°=105°，
∵∠N=180°-∠DON-∠OFN=180°-105°-20°=55°.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解（1）过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD ∥PG，
∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，
∵∠MPN=∠MPG+∠NPG=90°，
∴∠AEM+∠PFD=90°
故答案为：∠AEM+∠PFD=90°.
【分析】（1）过点P作PG∥AB，可推出AB∥CD ∥PG，利用平行线的性质可证得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG；再根据∠MPG+∠NPG=90°，可得到∠PFD与∠AEM的数量关系.
（2）利用对顶角相等及∠P=90°，可证得∠PEB+∠PHE=90°，由此可推出∠BHN=90°-∠AEM，再利用平行线的性质证明∠BHN+∠PFD=180°；然后代入可得到∠PFD与∠AEM的数量关系.
（3）利用对顶角相等可证得∠PEB=∠AEM=15°，再由∠PFD-∠AEM=90°，可求出∠PFD的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠N的度数.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册12.2 证明 同步训练
一、单选题
1．（2021七下·长兴开学考）下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若x＝y，则5﹣x＝5+y
C．若2x＝3，则x＝ D．若a＝b，则 ＝
2．（2021七下·柯桥月考）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AD∥BC
B．若∠1=∠2，则AB∥CD
C．若∠A=∠3，则AD∥BC
D．若∠3+∠ADC=180° ，则AB∥CD
3．（2020七上·松桃月考）如图，在 中， 是 延长线上点， ， ，则 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（2021七下·长春开学考）如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判断 的是（ ）
A． B．
C．∠5=∠B D．
5．（2021七上·海陵期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠3＝∠5 B．∠4＝∠7
C．∠2＋∠3＝180° D．∠1＝∠3
6．（2021七上·卫辉期末）如图，已知直线 ， ， ，则 等于（ ）
A．110° B．100° C．130° D．120°
7．（2020七上·宽城期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
8．（2020七上·宽城期末）如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2021七上·肇源期末）如图，下列推理错误的是（ ）
A．∵ ， B．∵
C． D．∵
10．（2021七上·长沙期末）如图，已知 .则结论① ；② 平分 ；③ ；④ .正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2021七上·西区期末）已知AD//BE ，∠1=∠2，试说明∠A=∠E的理由.
解：因为∠1=∠2（已知），
所以 // ，
所以∠E+∠ =180°
因为AD//BE（已知），
所以∠A+∠ =180°
所以∠A=∠E
12．（2020七上·南岗期末）如图， ， 相交于点 ， ， ，过 作 ，垂足为 ．求证： ．
证明：∵ ，
又 （ ）
∴
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
13．（2021七上·越城期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4.试说明DF∥AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整.
证明：∵ （ ）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（ ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）.
14．（2020七下·泸县期末）推理填空，如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
解：∵∠A=∠F（ ），
∴AC∥DF（ ），
∴∠D=∠1（ ），
又∵∠C=∠D（ ），
∴∠1=∠C（ ），
∴BD∥CE（ ）．
15．（2020七下·自贡期末）已知：如图，在△ 中， 于点D，E是 上一点，且 ．求证： ．
请在括号内填写出证明依据．
证明：∵ （已知）
∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ （ ）
16．（2020七下·韶关期末）填写推理理由，将过程补充完整：
如图， ， 试说明
解： ，
（ ），
，
（等量代换），
，
，即 ，
（等量代换），
（ ）．
17．（2020七下·昌平期末）补全解答过程：
如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3＝∠D（ ）．
又∵∠3＝∠A，
∴ ．
∴AB∥CD（ ）．
∴∠B＝∠C（ ）．
18．（2020七下·门头沟期末）完成下面的证明：
（1）已知：如图，AB∥CD
求证：∠1+∠3 = 180°
证明：∵AB∥CD（已知），
∴ ∠1+∠2 = 180°（ ）
又∵ ∠2 = ∠3（ ）
∴ ∠1+∠3=180°（ ）
（2）已知：如图，AM∥EF，∠1 = ∠B．
求证：∠2 = ∠C．
证明：∵ ∠1 = ∠B（已知），
∴EF∥BC（ ）
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（ ）
∴ ∠2 = ∠C（ ）
三、解答题
19．（2021七下·凤山月考）如图，已知∠1=∠2，∠C=∠F.请指出∠A与∠D 的数量关系，并说明理由.
20．（2021七下·绍兴月考）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 试说明：AC∥DF.
21．（2021七下·普定月考）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E，证明：∠A=∠EBC.
22．（2021七下·长春开学考）完善下列证明过程，已知：如图，已知∠DAF=∠F，∠B=∠D.证明：AB∥DC
证明：∵∠DAF=∠F ( ▲ )
∴ ▲ ∥ ▲ （ ▲ ）
∴∠D=∠DCF ( ▲ )
∵∠B=∠D（ ▲ ）
∴∠ ▲ =∠DCF (等量代换)
∴AB∥DC ( ▲ )
23．（2021七上·东坡期末）已知：如图，在△ABC中CD交AB边于点D，直线DE平分 且与直线BE相交于点E， ， .
求证：
证明：理由如下：
平分 （已知）
（已知）
（等量代换）
又 （已知）
（等量代换）
24．（2021七上·内江期末）如图，已知 ，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数.
25．（2020七上·南岗期末）已知：直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，并且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为 ．
26．（2021七下·东坡开学考）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F.
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 .
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，PN交CD于点H.请猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明.
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求∠N的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A、若a＝b，则ac＝bc ，正确；
B、 若x＝y，则5+x＝5+y ，错误；
C、 若2x＝3，则x= ，错误；
D、 若a＝b，则 ＝ （c≠0）；
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】AB、若∠1=∠2，则AB∥CD，则A错误，B正确；
C、若∠A=∠3，无法判断平行，错误；
D、若∠3+∠ADC=180° ，无法判断平行，错误；
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等两直线平行对AB作判断；∠A和∠3是同旁内角，但不互补，无法判断AD∥BC；∠3和∠ADC不是同旁内角无法对D作判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠A=120°-40°=80°.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，可得到∠ACD=∠A+∠B，代入计算可求出∠A的度数.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．
B．由 ，得 （内错角相等，两直线平行），并不能证明 ，故该选项符合题意．
C．由∠5=∠B，得 （同位角相等，两直线平行），故该选项不符合题意．
D．由 ，得 （同旁内角互补，两直线平行），故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由平行线的判定方法逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A选项，
∵∠3＝∠5（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
B选项，∠4＝∠7，∠4与∠7无关系，不能判定平行；
C选项，∠2＋∠3＝180°，∠2与∠3为邻补角，不能判定平行；
D选项，∠1＝∠3，∠1与∠3为对顶角，不能判定两直线平行；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，根据∠3＝∠5即可判断a∥b.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】如图，作直线c// ，
直线 ，直线c// ，
c// ，
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
故答案为：A.
【分析】作直线c∥a，利用已知条件可推出b∥c，再利用平行线的性质可推出∠1=∠4，∠2=∠5，再由∠3=∠4+∠5，可求出∠3的度数.
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、∠1、∠2互为对顶角，对顶角相等，故A符合题意；
B、根据三角形外角定理，∠2=∠3+∠A，∠2>∠3，故不符合题意；
C、根据三角形外角定理，∠1=∠4+∠5，∠2=∠3+∠A，∠3和∠4不一定相等，故不符合题意；
D、根据三角形外角定理，∠1=∠5+∠4，∠1>∠5，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质和三角形外角的性质逐一进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC；
∴能得到AB∥CD的条件是①③.
故答案为：B
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】A. ∵ ， ，不符合题意；
B. ∵ ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ∵∴ ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法，对每个选项一一判断进行作答即可。
10．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴ ，
∴③正确；
∵ ，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得出∠FGB=∠ADB=90°，可证FG∥AD，利用平行线的性质得出∠ADE+∠BDE=90°，据此判断①；由∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，可得，据此判断③；由 得出∠BDE=∠C，利用直角三角形两锐角互余得出∠C+∠CFG=90°，即得∠BDE+∠CFG=90°，据此判断④；由∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°即可判断③.
11．【答案】DE；AC；A内错角相等，两直线平行；ABE；两直线平行，同旁内角互补；ABE；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：因为∠1=∠2（已知），
所以DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
所以∠E+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为AD//BE（已知），
所以∠A+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠A=∠E（等量代换），
故答案为：DE；AC；内错角相等，两直线平行；ABE；两直线平行，同旁内角互补；ABE；两直线平行，同旁内角互补；等量代换.
【分析】由已知的∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行得到DE∥AC，然后根据两直线平行，同旁内角互补得∠E+∠ABE=180°，由AD∥BE，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABE=180°，等量代换即可得出∠A=∠E.
12．【答案】对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】证明：∵ ， ，
又 （对顶角相等），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （垂直定义），
∴ ，
∴ ．
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．
【分析】先求出，可得，再求出，进行作答即可。
13．【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：如图：
∵ CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° （ 垂直定义 ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 （ 等角的余角相等 ），
∴DF∥AE （ 内错角相等，两直线平行 ）.
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行.
【分析】先利用垂直定义得出∠CDA=90°，∠DAB=90° ，再利用等角的余角相等得出∠2=∠3 ，最后利用内错角相等，两直线平行证明结论.
14．【答案】已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠1（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠1=∠C（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案是：已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】根据图中线与角的关系，联系平行线的判定方法即可作出解答．
15．【答案】垂直定义；已知；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3=90°（垂直定义），
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠3=∠2（同角的余角相等），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：垂直定义；已知；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】利用平行线的判定和性质结合垂直的定义分析得出答案．
16．【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
（两直线平行，同位角相等）
，
（等量代换），
，
，即 ，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【分析】根据平行线的性质和已知条件可得 ，由 可得 ，进而可得 ，再根据平行线的判定即得结论．
17．【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3=∠D（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠3=∠A，
∴∠A=∠D．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3=∠D，进而得出∠A=∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论．
18．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换
（2）同位角相等，两直线平行；平行公理推论；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵ （已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵ （ 对顶角相等 ）
∴ （ 等量代换 ）；（2）证明：∵ （已知）
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ）
∵ （已知）
∴ （ 平行公理推论 ）
∴ （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等、等量代换即可得证；（2）先根据平行线的判定可得 ，再根据平行公理推论可得 ，然后根据平行线的性质即可得证．
19．【答案】∠A=∠D
理由：∠A与∠D 的数量关系为∠A=∠D.
理由：∵∠2=∠AGC，∠1=∠2，
∴∠1=∠AGC，
∴BF∥CE,
∴∠F=∠DEC
∵∠C=∠F，
∴∠C=∠DEC，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠D.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】利用已知条件及对顶角相等可证得∠1=∠AGC，利用同位角相等，两直线平行，可证得BF∥CE，利用平行线的性质可推出∠F=∠DEC；再证明∠C=∠DEC，由此可证得DF∥AC；然后利用平行线的性质，可证得结论.
20．【答案】证明：∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3,
∴DB∥EC，
∴∠C=∠ABD，
∵ ∠C＝∠D ,
∴∠ABD，
∵ ∠ABD＝∠D ,
∴AC∥DF.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】 根据已知条件∠1=∠2及对顶角相等求得同位角∠2=∠3，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C=∠ABD；然后由已知条件∠C=∠D推知内错角∠D=∠ABD，所以两直线AC∥DF．
21．【答案】证明：
∵∠1=∠2（已知），
∴DB∥EC（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠4（两直线平行，内错角相等），
又∵∠E=∠3（已知），
∴∠3=∠4（ 等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠EBC（两直线平行，同位角相等），
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定以及性质，即可得到∠E＝∠4，再根据等量代换即可得出∠3＝∠4，由内错角相等两直线平行可得AD∥BE，最后根据两直线平行，同位角相等即可求解．
22．【答案】证明：∵∠DAF＝∠F（已知），
∴AD∥BF（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠B＝∠DCF（等量代换），
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】首先求出AD∥BF，进而得到∠D＝∠DCF，等量代换求出∠B＝∠DCF，再利用同位角相等证明两直线平行即可．
23．【答案】解：
理由如下：
平分 （已知）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又 （已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由 平分 可得 由 可得 可推出 利用平行线性质可得 由 利用传递性可得 利用判定定理可得 .
24．【答案】（1）证明：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 (1)、本题利用 平行线的性质和判定做题即可.两直线平行，同位角相等;内错角相等，两直线平行，从而 .
(2)、本题利用 平行线的性质，两直线平行，内错角相等，联系已知∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC即可求解.
25．【答案】（1）证明：∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：由（1）知AB CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,
∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，
∴度数为135°的角有： 、 、 、 ．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠AEF+∠CFE=180° ，再求出 ∠AEF=∠CFE=90°， 进行计算求解即可。
26．【答案】（1）∠AEM+∠PFD=90°
（2）猜想：∠PFD-∠AEM=90°
证明：∵∠P=90°，∠PEB=∠AEM，∠PHE=∠BHN
∴∠PEB+∠PHE=90°
∴∠AEM+∠BHN=90°即∠BHN=90°-∠AEM
∵AB∥CD，
∴∠BHN+∠PFD=180°
∴90°-∠AEM+∠PFD=180°
∴∠PFD-∠AEM=90°.
（3）解：∵∠PEB=∠AEM=15°，∠PFD-∠AEM=90°.
∴∠PFD=∠OFN=90°+15°=105°，
∵∠N=180°-∠DON-∠OFN=180°-105°-20°=55°.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解（1）过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD ∥PG，
∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，
∵∠MPN=∠MPG+∠NPG=90°，
∴∠AEM+∠PFD=90°
故答案为：∠AEM+∠PFD=90°.
【分析】（1）过点P作PG∥AB，可推出AB∥CD ∥PG，利用平行线的性质可证得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG；再根据∠MPG+∠NPG=90°，可得到∠PFD与∠AEM的数量关系.
（2）利用对顶角相等及∠P=90°，可证得∠PEB+∠PHE=90°，由此可推出∠BHN=90°-∠AEM，再利用平行线的性质证明∠BHN+∠PFD=180°；然后代入可得到∠PFD与∠AEM的数量关系.
（3）利用对顶角相等可证得∠PEB=∠AEM=15°，再由∠PFD-∠AEM=90°，可求出∠PFD的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠N的度数.
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