人教A版2019 选修二 4.4 数学归纳法

人教A版2019 选修二 4.4 数学归纳法
一、单选题
1．（2020高二下·横峰月考）观察下列式子: ， ， ，…，则可归纳出 小于（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高二下·肥东月考）用数学归纳法证明等式 时，从 到 等式左边需增添的项是（　　）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明“ 能被 整除”的过程中， 时，为了使用假设，应将 变形为（　　）
A． B．
C． D．
4．对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 时， ，不等式成立.（2）假设当 时，不等式 成立，当 时 .
当 时，不等式成立，则上述证法（　　）
A．过程全部正确 B． 验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
5．用数学归纳法证明 ，当 时，等式左边应在 时的基础上加的项是（　　）
A． B．
C． D．1
6．（2020高二上·宝山期中）用数学归纳法证明： ( )的过程中，从“ 到 ”左端需增加的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高二上·上海月考）用数学归纳法证明等式 时，当 时，左边等于（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2020高三上·松原月考）已知不等式1+ ，1+ ，1+ ，……均成立，照此规律，第五个不等式应为1+ <（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高二上·长治期中）用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明：“ ”时，从 到 ，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020高二下·驻马店期末）用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”等式左边的变化结果是（　　）
A．增乘一个因式
B．增乘两个因式 和
C．增乘一个因式
D．增乘 同时除以
二、填空题
13．（2020高二下·横峰月考）观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有　 　小圆圈.
14．（2020高二上·上海期末）用数学归纳法证明 能被 整除时，从 到 添加的项数共有　 　项（填多少项即可）．
15．（2020高一下·湖州期末）若数列 满足 ， ，则 　 　．
16．（2020高一下·上海期末）已知 ，则 　 　.
三、解答题
17．用数学归纳法证明：
18．观察下列等式：
．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立．
19．（2021高二下·河南月考）已知数列 的前 项和 ，满足 ，且 ．
（1）求 、 、 ；
（2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．（2020高三上·浙江月考）已知数列 ， ，其中 为等差数列，且满足 ， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求证： ．
21．（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
22．（2021·静安模拟） 个正数排成 行 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数 的等比数列.
已知 ， ， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）设 ，求证： ( )；
（3）设 ，请用数学归纳法证明： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由已知式子可知所猜测分式的分母为 ，分子第 个正奇数，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】 根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．
2．【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，左边 ，共 个连续自然数相加，
当 时，左边 ，
所以从 到 ，等式左边需增添的项是 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而推出从 到 ，等式左边需增添的项。
3．【答案】A
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：假设当 时，命题成立，
即 能被3整除，
则当 时，
。
故答案为：A.
【分析】假设当 时，命题成立，即 能被3整除，再利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出应将 变形为。
4．【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确。
5．【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】等号左边加的项是
,
,
故答案为：C
【分析】利用数学归纳法证明步骤结合已知条件，得出等式左边应在 时的基础上加的项。
6．【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当 时，左端为 ，当 时，左端为 ，故增加的代数式为 .
故答案为：D.
【分析】分别写出 时和 时的表达式，由此判断出增加的代数式.
7．【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】用数学归纳法证明： ，
在验证 时，
令 代入左边的代数式，得到左边 .
故答案为：C
【分析】根据题意，将 直接代入，即可求出结果。
8．【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】前三个不等式右边依次是 ，可归纳为：第 个为 ．因此第4个应为 ，第5个应为 ，
故答案为：C．
【分析】从不等式右边的分数的分子和分母综合考虑归纳出结论．
9．【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】因为用数学归纳法证明 ，
所以第一步先验证，当 时，
不等式 是否成立.
故答案为：C
【分析】由数学归纳法的步骤结合题意即可求出n的值。
10．【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
所以由 到 时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
【分析】根据条件分别求出 和 时左边的式子，从而可求得由 到 时需要增乘的代数式.
11．【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
12．【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当 时，则有 ；
当 时，则有 .
，故从“ 到 ”等式左边的变化结果是：增乘一个因式 .
故答案为：C.
【分析】根据题意得出当 和 时等式的左边，比较之后可得出结论.
13．【答案】n2-n+1
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
故答案为：n2-n+1
【分析】仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数。
14．【答案】5
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，原式为： ，
当 时，原式为 ，
比较后可知多了 ，共5项.
故答案为：5
【分析】结合题意由数学归纳法的步骤即可得出当 时比当 时多了5项。
15．【答案】
【知识点】数列的递推公式；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，或 （舍去），
∴ ，解得 ，或 （舍去），
依次代入有， ， ，……，
∴猜想 ，
下面用数学归纳法证明
当 时，显然成立；
假设当 时，令 ，
则当 时，
由 得， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，或 （舍去），即假设成立.
∴ ， ，即 .
故答案为： ．
【分析】先根据递推公式求出前几项，然后得出猜想，再用数学归纳法证明即可．
16．【答案】
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】 ，
故答案为
【分析】根据题意 共有 项且各项的分母从 变到 ，故得到 的代数式，再用 表示
17．【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
②假设 时等式成立，
即
那么当 时，
可得 ，
即等式成立.
综合①②可得等式成立
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证出
。
18．【答案】（1）解：第5个等式为 ．第 个等式为 ，
（2）证明：①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立．
②假设 时，命题成立，即 ，
则当 时，
，
即 时等式成立．
根据①和②，可知对任意 等式都成立
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】（1）利用已知条件找出规律，进而写出第5个等式，并猜想第 个等式 。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出所猜想的第 个等式成立。
19．【答案】（1）解：对任意的 ， ，且 ．
当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ；
当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ；
当 时， ，整理得 ，且 ，所以
（2）解：由（1）猜想 ， ，
下面用数学归纳法加以证明：
①当 时，由（1）知 成立；
②假设当 时， 成立．
当 时， ，
所以 ，且 ，
所以 ，即当 时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切 都成立．
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 与 的关系式，进而求出 、 、 的值。
（2）利用（1）中的前三项找出规律，进而猜想出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明猜想。
20．【答案】（1）解：当 ，时， ，
已知 ， ，解得 ，公差 ， .
因此 ，
，
累加得 ;
（2）解：法一：
,
.
法二：因为 时， ，成立， 时， 成立.
下面用数学归纳法证明 时不等式 成立.
①当 时， 成立.
②假设 时， 成立,
那么 时， .
要证 成立,
只要证 成立,
只要证 ,
只要证 ，显然成立,
所以，当 时，不等式 成立.
根据（1）（2）不等式对任意 ， 成立.
所以对任意 ，不等式 成立.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；数列的递推公式；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】（1）由已知易得 ，将已知递推关系 ，利用累加法得到 ；（2）法一：利用指数的运算法则化简，并裂项得到 ，相加消项求和后，利用不等式的基本性质即可证得；法二：验证 时结论成立， 时，利用数学归纳法证明即可.
21．【答案】（1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意，数列 是等差数列，设首项为 ，公差为 ，
由 ， 得
解得 ， .
故数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）可得 ，再由已知 ，得
，解得 ，由题意舍去 .
.
由指数函数的性质，有 ( ).
（3）解：(i)当 时， ，等式成立.
(ii)假设当 时等式成立，即，
当 时，
，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定， 对任何的 都成立.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】 （1）由题意，数列{bn}是等差数列，根据等差数列的通项公式可得关于首项和公差的方程组，解得即可；
（2）根据等比数列的求和公式和数列的函数性质即可求出；
（3）利用数学归纳法即可证明．
1 / 1人教A版2019 选修二 4.4 数学归纳法
一、单选题
1．（2020高二下·横峰月考）观察下列式子: ， ， ，…，则可归纳出 小于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由已知式子可知所猜测分式的分母为 ，分子第 个正奇数，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】 根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．
2．（2021高二下·肥东月考）用数学归纳法证明等式 时，从 到 等式左边需增添的项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，左边 ，共 个连续自然数相加，
当 时，左边 ，
所以从 到 ，等式左边需增添的项是 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而推出从 到 ，等式左边需增添的项。
3．用数学归纳法证明“ 能被 整除”的过程中， 时，为了使用假设，应将 变形为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：假设当 时，命题成立，
即 能被3整除，
则当 时，
。
故答案为：A.
【分析】假设当 时，命题成立，即 能被3整除，再利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出应将 变形为。
4．对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 时， ，不等式成立.（2）假设当 时，不等式 成立，当 时 .
当 时，不等式成立，则上述证法（　　）
A．过程全部正确 B． 验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确。
5．用数学归纳法证明 ，当 时，等式左边应在 时的基础上加的项是（　　）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】等号左边加的项是
,
,
故答案为：C
【分析】利用数学归纳法证明步骤结合已知条件，得出等式左边应在 时的基础上加的项。
6．（2020高二上·宝山期中）用数学归纳法证明： ( )的过程中，从“ 到 ”左端需增加的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当 时，左端为 ，当 时，左端为 ，故增加的代数式为 .
故答案为：D.
【分析】分别写出 时和 时的表达式，由此判断出增加的代数式.
7．（2020高二上·上海月考）用数学归纳法证明等式 时，当 时，左边等于（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】用数学归纳法证明： ，
在验证 时，
令 代入左边的代数式，得到左边 .
故答案为：C
【分析】根据题意，将 直接代入，即可求出结果。
8．（2020高三上·松原月考）已知不等式1+ ，1+ ，1+ ，……均成立，照此规律，第五个不等式应为1+ <（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】前三个不等式右边依次是 ，可归纳为：第 个为 ．因此第4个应为 ，第5个应为 ，
故答案为：C．
【分析】从不等式右边的分数的分子和分母综合考虑归纳出结论．
9．（2020高二上·长治期中）用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】因为用数学归纳法证明 ，
所以第一步先验证，当 时，
不等式 是否成立.
故答案为：C
【分析】由数学归纳法的步骤结合题意即可求出n的值。
10．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明：“ ”时，从 到 ，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
所以由 到 时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
【分析】根据条件分别求出 和 时左边的式子，从而可求得由 到 时需要增乘的代数式.
11．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
12．（2020高二下·驻马店期末）用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”等式左边的变化结果是（　　）
A．增乘一个因式
B．增乘两个因式 和
C．增乘一个因式
D．增乘 同时除以
【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当 时，则有 ；
当 时，则有 .
，故从“ 到 ”等式左边的变化结果是：增乘一个因式 .
故答案为：C.
【分析】根据题意得出当 和 时等式的左边，比较之后可得出结论.
二、填空题
13．（2020高二下·横峰月考）观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有　 　小圆圈.
【答案】n2-n+1
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
故答案为：n2-n+1
【分析】仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数。
14．（2020高二上·上海期末）用数学归纳法证明 能被 整除时，从 到 添加的项数共有　 　项（填多少项即可）．
【答案】5
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当 时，原式为： ，
当 时，原式为 ，
比较后可知多了 ，共5项.
故答案为：5
【分析】结合题意由数学归纳法的步骤即可得出当 时比当 时多了5项。
15．（2020高一下·湖州期末）若数列 满足 ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，或 （舍去），
∴ ，解得 ，或 （舍去），
依次代入有， ， ，……，
∴猜想 ，
下面用数学归纳法证明
当 时，显然成立；
假设当 时，令 ，
则当 时，
由 得， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，或 （舍去），即假设成立.
∴ ， ，即 .
故答案为： ．
【分析】先根据递推公式求出前几项，然后得出猜想，再用数学归纳法证明即可．
16．（2020高一下·上海期末）已知 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】 ，
故答案为
【分析】根据题意 共有 项且各项的分母从 变到 ，故得到 的代数式，再用 表示
三、解答题
17．用数学归纳法证明：
【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
②假设 时等式成立，
即
那么当 时，
可得 ，
即等式成立.
综合①②可得等式成立
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证出
。
18．观察下列等式：
．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立．
【答案】（1）解：第5个等式为 ．第 个等式为 ，
（2）证明：①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立．
②假设 时，命题成立，即 ，
则当 时，
，
即 时等式成立．
根据①和②，可知对任意 等式都成立
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】（1）利用已知条件找出规律，进而写出第5个等式，并猜想第 个等式 。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出所猜想的第 个等式成立。
19．（2021高二下·河南月考）已知数列 的前 项和 ，满足 ，且 ．
（1）求 、 、 ；
（2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）解：对任意的 ， ，且 ．
当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ；
当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ；
当 时， ，整理得 ，且 ，所以
（2）解：由（1）猜想 ， ，
下面用数学归纳法加以证明：
①当 时，由（1）知 成立；
②假设当 时， 成立．
当 时， ，
所以 ，且 ，
所以 ，即当 时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切 都成立．
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 与 的关系式，进而求出 、 、 的值。
（2）利用（1）中的前三项找出规律，进而猜想出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明猜想。
20．（2020高三上·浙江月考）已知数列 ， ，其中 为等差数列，且满足 ， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求证： ．
【答案】（1）解：当 ，时， ，
已知 ， ，解得 ，公差 ， .
因此 ，
，
累加得 ;
（2）解：法一：
,
.
法二：因为 时， ，成立， 时， 成立.
下面用数学归纳法证明 时不等式 成立.
①当 时， 成立.
②假设 时， 成立,
那么 时， .
要证 成立,
只要证 成立,
只要证 ,
只要证 ，显然成立,
所以，当 时，不等式 成立.
根据（1）（2）不等式对任意 ， 成立.
所以对任意 ，不等式 成立.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；数列的递推公式；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】（1）由已知易得 ，将已知递推关系 ，利用累加法得到 ；（2）法一：利用指数的运算法则化简，并裂项得到 ，相加消项求和后，利用不等式的基本性质即可证得；法二：验证 时结论成立， 时，利用数学归纳法证明即可.
21．（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.
22．（2021·静安模拟） 个正数排成 行 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数 的等比数列.
已知 ， ， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）设 ，求证： ( )；
（3）设 ，请用数学归纳法证明： .
【答案】（1）解：由题意，数列 是等差数列，设首项为 ，公差为 ，
由 ， 得
解得 ， .
故数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）可得 ，再由已知 ，得
，解得 ，由题意舍去 .
.
由指数函数的性质，有 ( ).
（3）解：(i)当 时， ，等式成立.
(ii)假设当 时等式成立，即，
当 时，
，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定， 对任何的 都成立.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】 （1）由题意，数列{bn}是等差数列，根据等差数列的通项公式可得关于首项和公差的方程组，解得即可；
（2）根据等比数列的求和公式和数列的函数性质即可求出；
（3）利用数学归纳法即可证明．
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