人教版2019必修一 5.3 诱导公式同步练习

人教版2019必修一 5.3 诱导公式同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·张家界期末） （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用诱导公式化简即可求解。
2．（2020高一上·肇庆期末） （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：A。
【分析】利用诱导公式化简求值。
3．（2021高一下·恩施月考）已知角θ的终边过点 ， （　　）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为已知角θ的终边过点 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．
4．（2020高一上·合肥期末）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由诱导公式整理化简再由整体思想即可得出答案。
5．（2021高一下·蕲春月考）已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】 首先，化简已知 ，借助于诱导公式求解．
6．（2021高一下·西安月考）已知 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由诱导公式以及同角三角函数的平方关系式求出再同角三角函数的商数关系式计算出结果即可。
7．（2020高一上·温州期末）在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】∵角a终边过点 ，
∴
∴ ，
故 ．
故答案为：B．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求出 的值。
8．（2020高一上·公主岭期末）已知角 终边经过点 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由三角函数的定义可得 ，
因此， .
故答案为：C.
【分析】利用任意角的三角函数的定义计算出再由诱导公式整理化简计算出答案即可。
二、多选题
9．（2020高一上·湖北期末）已知 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 可得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 ，
由 可知 不可能成立，故 ，即 ，所以 ，且 ，故 。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，由 可得 ，再利用两角和的余弦公式结合二倍角的余弦公式，进而结合平方差公式得出 或 ，再利用辅助角公式化简为正弦型函数，则由 可知 不可能成立，故 ，即 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而变形求出角的正切值，进而求出角的值，从而求出的值，进而选出结论正确的选项。
10．（2020高一上·福建期末）在 中,下列关系恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】A选项： ，不正确；
B选项： ,正确；
C选项： ,不正确；
D选项： ,正确.
故答案为：BD
【分析】利用诱导公式结合三角形内角和为180度，从而找出在 中关系恒成立的选项。
11．（2020高一上·湖州月考）已知 ，则下列恒等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：A、 ，错误；
B、 , 错误；
C、 ，正确；
D、 ,正确；
故答案为：CD.
【分析】分别根据三角函数的诱导公式转化化简即可得出结果.
12．（2020高一上·滨州期末）在平面直角坐标系中，若角 的终边与单位圆交于点 ，将角 的终边按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，记角 的终边与单位圆的交点为 ，则下列结论正确的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题意 ， 在第一象限，则 ，
，
， ，
可得AB符合题意，CD不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】 由三角函数的定义可求cosα，然后根据同角平方关系可求sinα，将角α的终边按逆时针方向旋转 后得到角β的终边，可得 ，利用诱导公式及三角函数的定义即可求解．
三、填空题
13．（2020高一上·南充期末）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ， ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合诱导公式，从而求出的值。
14．（2020高一上·合肥期末）　 　.
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】原式
.
故答案为： .
【分析】利用诱导公式化简求值即可。
15．（2020高一下·山西月考）以下四个命题：
①若 是第一象限角，则 ；
②存在 使 同时成立；
③若 则 终边在第一、二象限；
④若 且 则 .
其中正确命题的序号是　 　．
【答案】①④
【知识点】三角函数值的符号；单位圆与三角函数线；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】①、 是第一象限角， 根据正弦和余弦线知， ，故①正确；②、由 知，不存在角 满足条件，故②不对；③、 ， ，即 ，
，故③不对；④、 ， ，再由 知， 是第四象限角，
由同角的三角函数的基本关系求出 ， ，故④正确，
故答案为：①④．
【分析】根据三角函数线判断①对，根据平方关系判断②不对，根据三角函数值的符号判断③不对，根据三角函数值的符号、诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简和求值，判断④对，综合可得答案．
16．（2020高一上·合肥期末）已知 ，其中 是第三象限角，且 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
，
由 化简得 ，
因为 是第三象限角，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先利用诱导公式对函数 进行化简，再求解出 ，进而求解出 的值.
四、解答题
17．（2019高一上·宾县月考）求值
【答案】解：由诱导公式 ；
，
所以，原式
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】利用诱导公式化简求值。
18．（2020高一上·诸暨期末）已知 ，且 ．
（1）确定角 的象限并求 ， ， 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：因为 , 可知角 为第四象限角,
.
又
（2）解：原式 .
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可.
19．已知f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣π）=，求f（α）的值；
（3）若α=﹣π，求f（α）的值．
【答案】解：（1）f（α）==﹣cosα．
（2）∵cos（α﹣π）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，
又∵α为第三象限角，
∴cosα=﹣=﹣，
∴f（α）=．
（3）∵﹣π=﹣6×2π+π
∴f（﹣π）=﹣cos（﹣π）
=﹣cos（﹣6×2π+π）
=﹣cosπ=﹣cos=﹣．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，求得函数的解析式．
（2）利用诱导公式和已知条件求得sinα的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，代入（1）中的函数解析式求得答案．
（3）利用函数的值和诱导公把函数解析式整理后利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．
20．（2020高一上·遂宁期末）在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为角的始边，如果角 终边与单位圆交于点 ，角 的终边落在射线 上.
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解： 点到原点 的距离
由三角函数的定义知
设角 的终边落在射线 上任意一点
则 ，
所以
（2）解：由三角函数的定义知 ，
=
或者求出 （各1分）代入计算
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)根据题意由任意角三角函数的定义分别求出以及的值，由此即可得出答案。
(2)首先由任意角的三角函数的定义求出各个三角函数值，再利用诱导公式把原式化简代入数值计算出结果即可。
21．（2020高一下·丽江开学考）
（1）设 ，直接用任意角的三角函数的定义证明： .
（2）给出两个公式：① ；② .请仅以上述两个公式为已知条件证明 .
【答案】（1）解：将a角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与 轴的正半轴重合，设a角终边一点 （非原点），其坐标为 .
∵ ，∴ ， .
（2）解：由于 ，将 换成 后，就有
即 ， .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】(1)根据题意由任意角的定义整理即可得证出结论。
(2)首先由诱导公式利用整体思想即可得出以及再由同角三角函数的商数关系即可得出由此即可得证出结论。
22．（2020高一上·郴州期末）①点 在角 的终边上，② ，③ ，在这三个条件下任选一个，完成下列问题.
问题：已知在条件___________下，
（1）计算 的值；
（2）计算 的值.
【答案】（1）解：若选择①，则 ，
原式
若选择②，则 ，
原式
若选择③， ，所以 ，
整理可得 ，即 .
原式
（2）解：若选择①，
上下同除 ，则原式
若选择②， ，
上下同除 ，则原式 ；
若选择③，
上下同除 ，则原式
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】 若选择①，则 ； 若选择②，则 ； 若选择③， ， 整理可得 ，即 .
（1）利用诱导公式，化简可得原式 ，代入，即可得出答案；
（2）利用二倍角公式，化简整理，可得原式 ，上下同除 代入，即可得出答案。
1 / 1人教版2019必修一 5.3 诱导公式同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·张家界期末） （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·肇庆期末） （　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·恩施月考）已知角θ的终边过点 ， （　　）
A． B． C．-1 D．1
4．（2020高一上·合肥期末）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·蕲春月考）已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·西安月考）已知 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·温州期末）在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·公主岭期末）已知角 终边经过点 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·湖北期末）已知 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·福建期末）在 中,下列关系恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高一上·湖州月考）已知 ，则下列恒等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020高一上·滨州期末）在平面直角坐标系中，若角 的终边与单位圆交于点 ，将角 的终边按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，记角 的终边与单位圆的交点为 ，则下列结论正确的为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2020高一上·南充期末）若 ，则 　 　．
14．（2020高一上·合肥期末）　 　.
15．（2020高一下·山西月考）以下四个命题：
①若 是第一象限角，则 ；
②存在 使 同时成立；
③若 则 终边在第一、二象限；
④若 且 则 .
其中正确命题的序号是　 　．
16．（2020高一上·合肥期末）已知 ，其中 是第三象限角，且 ，则 　 　.
四、解答题
17．（2019高一上·宾县月考）求值
18．（2020高一上·诸暨期末）已知 ，且 ．
（1）确定角 的象限并求 ， ， 的值；
（2）求 的值．
19．已知f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣π）=，求f（α）的值；
（3）若α=﹣π，求f（α）的值．
20．（2020高一上·遂宁期末）在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为角的始边，如果角 终边与单位圆交于点 ，角 的终边落在射线 上.
（1）求 的值；
（2）求 的值．
21．（2020高一下·丽江开学考）
（1）设 ，直接用任意角的三角函数的定义证明： .
（2）给出两个公式：① ；② .请仅以上述两个公式为已知条件证明 .
22．（2020高一上·郴州期末）①点 在角 的终边上，② ，③ ，在这三个条件下任选一个，完成下列问题.
问题：已知在条件___________下，
（1）计算 的值；
（2）计算 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用诱导公式化简即可求解。
2．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：A。
【分析】利用诱导公式化简求值。
3．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为已知角θ的终边过点 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．
4．【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由诱导公式整理化简再由整体思想即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】 首先，化简已知 ，借助于诱导公式求解．
6．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由诱导公式以及同角三角函数的平方关系式求出再同角三角函数的商数关系式计算出结果即可。
7．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】∵角a终边过点 ，
∴
∴ ，
故 ．
故答案为：B．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求出 的值。
8．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由三角函数的定义可得 ，
因此， .
故答案为：C.
【分析】利用任意角的三角函数的定义计算出再由诱导公式整理化简计算出答案即可。
9．【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由 可得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 ，
由 可知 不可能成立，故 ，即 ，所以 ，且 ，故 。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，由 可得 ，再利用两角和的余弦公式结合二倍角的余弦公式，进而结合平方差公式得出 或 ，再利用辅助角公式化简为正弦型函数，则由 可知 不可能成立，故 ，即 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而变形求出角的正切值，进而求出角的值，从而求出的值，进而选出结论正确的选项。
10．【答案】B,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】A选项： ，不正确；
B选项： ,正确；
C选项： ,不正确；
D选项： ,正确.
故答案为：BD
【分析】利用诱导公式结合三角形内角和为180度，从而找出在 中关系恒成立的选项。
11．【答案】C,D
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：A、 ，错误；
B、 , 错误；
C、 ，正确；
D、 ,正确；
故答案为：CD.
【分析】分别根据三角函数的诱导公式转化化简即可得出结果.
12．【答案】A,B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题意 ， 在第一象限，则 ，
，
， ，
可得AB符合题意，CD不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】 由三角函数的定义可求cosα，然后根据同角平方关系可求sinα，将角α的终边按逆时针方向旋转 后得到角β的终边，可得 ，利用诱导公式及三角函数的定义即可求解．
13．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ， ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合诱导公式，从而求出的值。
14．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】原式
.
故答案为： .
【分析】利用诱导公式化简求值即可。
15．【答案】①④
【知识点】三角函数值的符号；单位圆与三角函数线；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】①、 是第一象限角， 根据正弦和余弦线知， ，故①正确；②、由 知，不存在角 满足条件，故②不对；③、 ， ，即 ，
，故③不对；④、 ， ，再由 知， 是第四象限角，
由同角的三角函数的基本关系求出 ， ，故④正确，
故答案为：①④．
【分析】根据三角函数线判断①对，根据平方关系判断②不对，根据三角函数值的符号判断③不对，根据三角函数值的符号、诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简和求值，判断④对，综合可得答案．
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
，
由 化简得 ，
因为 是第三象限角，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先利用诱导公式对函数 进行化简，再求解出 ，进而求解出 的值.
17．【答案】解：由诱导公式 ；
，
所以，原式
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】利用诱导公式化简求值。
18．【答案】（1）解：因为 , 可知角 为第四象限角,
.
又
（2）解：原式 .
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可.
19．【答案】解：（1）f（α）==﹣cosα．
（2）∵cos（α﹣π）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，
又∵α为第三象限角，
∴cosα=﹣=﹣，
∴f（α）=．
（3）∵﹣π=﹣6×2π+π
∴f（﹣π）=﹣cos（﹣π）
=﹣cos（﹣6×2π+π）
=﹣cosπ=﹣cos=﹣．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，求得函数的解析式．
（2）利用诱导公式和已知条件求得sinα的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，代入（1）中的函数解析式求得答案．
（3）利用函数的值和诱导公把函数解析式整理后利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．
20．【答案】（1）解： 点到原点 的距离
由三角函数的定义知
设角 的终边落在射线 上任意一点
则 ，
所以
（2）解：由三角函数的定义知 ，
=
或者求出 （各1分）代入计算
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)根据题意由任意角三角函数的定义分别求出以及的值，由此即可得出答案。
(2)首先由任意角的三角函数的定义求出各个三角函数值，再利用诱导公式把原式化简代入数值计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：将a角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与 轴的正半轴重合，设a角终边一点 （非原点），其坐标为 .
∵ ，∴ ， .
（2）解：由于 ，将 换成 后，就有
即 ， .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】(1)根据题意由任意角的定义整理即可得证出结论。
(2)首先由诱导公式利用整体思想即可得出以及再由同角三角函数的商数关系即可得出由此即可得证出结论。
22．【答案】（1）解：若选择①，则 ，
原式
若选择②，则 ，
原式
若选择③， ，所以 ，
整理可得 ，即 .
原式
（2）解：若选择①，
上下同除 ，则原式
若选择②， ，
上下同除 ，则原式 ；
若选择③，
上下同除 ，则原式
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】 若选择①，则 ； 若选择②，则 ； 若选择③， ， 整理可得 ，即 .
（1）利用诱导公式，化简可得原式 ，代入，即可得出答案；
（2）利用二倍角公式，化简整理，可得原式 ，上下同除 代入，即可得出答案。
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