人教A版2019必修二概率单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一下·郑州期末）如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】设中心圆的半径为 ，所以中心圆的面积为 ，
8环面积为 ，
射击靶的面积为 ，
所以命中深色部分的概率为 .
故答案为：D
【分析】分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.
2．（2020高一下·萍乡期末）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 （ ）
A．都相等，且为 B．不全相等
C．都相等，且为 D．都不相等
【答案】C
【知识点】系统抽样方法；概率的基本性质
【解析】【解答】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，
所以每个个体被抽到包括两个过程；一是被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，
所以每人入选的概率
故答案为：C
【分析】系统抽样方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，结合概率的定义，即可判断每个个体被抽取的概率。
3．（2020高一下·汪清期中）袋内分别有红 白 黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红 黑球各一个
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红 黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2020高一下·广东月考）把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，
但事件“甲分得红牌”不发生时，
事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而得出事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
5．（2020高一下·河西期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有： 五种情况，
故 .
故答案为：D.
【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有： 五种情况，得到答案.
6．（2020高一下·河西期中）设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D．P（A）+P（B）≤1
【答案】C
【知识点】随机事件；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），A不符合题意；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，B不符合题意，C符合题意；
若事件A，B相互独立，且P（A） ，P（B） ，则P（A）+P（B）＞1，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
7．（2020高一下·番禺期中）12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）
A．抽得3件正品 B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品 D．抽得3件正品或2件次品1件正品
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;
对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.
故答案为：A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
8．（2019高一下·湛江期末）已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为 ，
所以三人中至少有一人被录取的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
二、多选题
9．（2020高一下·泰州期末）从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个红球”和“都是红球”
B．“恰有一个红球”和“都是红球”
C．“恰有一个红球”和“都是黑球”
D．“至少一个红球”和“都是黑球”
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，
在 中，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在 中，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确；
在 中，“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故C正确；
在 中，“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】 利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
10．（2020高一下·常熟期中）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A不符合题意
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B符合题意
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C不符合题意
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
11．（2019高一下·化州期末）若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．
故答案为：BCD．
【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．
12．（2020高一下·枣庄开学考）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件
C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,A符合题意；
在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,B符合题意；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,C不符合题意；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由互斥事件和对立事件的定义对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2020高一上·蚌埠期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用独立事件概率乘法求解公式，进而结合已知条件求出恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率。
14．（2020高一下·烟台期末）已知三个事件A，B，C两两互斥且 ，则P(A∪B∪C)= .
【答案】0.9
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】
故答案为：0.9
【分析】先计算 ，再计算 .
15．（2020高一下·河西期中）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一次是红球： ；第一次是黄球： .
故 .
故答案为： .
【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.
16．（2019高一上·沈阳月考）我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量/mm [ 100, 150 ) [ 150, 200 ) [ 200, 250 ) [ 250, 300 ]
概率 0.21 0.16 0.13 0. 12
则年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率是
【答案】0.25
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】年降水量在 [ 200，300 ] （mm）包括[ 200, 250 )与[ 250, 300 ]而且是互斥的，所以年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率=0.13+0.12=0.25.
【分析】由已知表格得到年降水量在 [ 200，300 ] （mm）包括[ 200, 250 )与[ 250, 300 ]而且互斥，利用概率的加法公式即可得结果.
四、解答题
17．（2019高一下·菏泽月考）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
【答案】解：（Ⅰ）所有的可能结果 共有 种，
而满足 的 有 、 、 共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率为
（Ⅱ） 所有的可能结果 共有 种
满足“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的 有 、 、 共计三个
故“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的概率为
所以“抽取的卡片上的数字 、 、 不完全相同”的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式求出“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率。
（2）利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
18．（2020高一下·河西期中）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
【答案】（1）解：设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P（A） ，P（B） ，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A ）＝P（A）P（ ）+P（ ）P（B） （1 ） ．
（2）解：任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（1 ）（1 ）
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出 ， ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： ，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为 ，由此能求出结果.
19．（2020高一上·石景山期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成 五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米）
成绩 不合格 及格 优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知 ,解得 .
所以此次测试总人数为 .
故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件 .
由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,
成绩优秀的频率为 ,
则估计 .
（Ⅲ）记事件 ：第 名男生成绩优秀，其中 .两人中恰有一人成绩优秀可以表示为 ，
因为 相互独立， 相互独立，
所以 ， ，
又因为 互斥，
所以 .
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件 ：第 名男生成绩优秀，其中 .两人中恰有一人成绩优秀可以表示为 ，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.
20．（2019高一下·北海期中）某港口船舶停靠的方案是先到先停.
（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从 中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由.
（2）根据已往经验，甲船将于早上 到达，乙船将于早上 到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记 都是 之间的均匀随机数，用计算机做了 次试验，得到的结果有 次满足 ，有 次满足 .
【答案】（1）解：这种规则是不公平的，原因如下：
设甲先停靠为事件 ，乙先停靠为事件 ，基本事件总数为： 种
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 个：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
甲先停靠的概率 ，乙先停靠的概率
这种游戏规则是不公平
（2）解：设甲船到达的时间为 ，乙船到达的时间为
可看做平面中的点，则实验的全部结果构成的区域为：
设事件 为“甲船先到达”，记 ，
，即
由随机数模拟实验数据知“” 次试验，得到的结果有 次满足
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）列举出所有基本事件，从中找到甲先停靠的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得甲先停靠的概率，由对立事件概率公式求得乙先停靠的概率；由两个概率不相等可知游戏不公平；（2）设甲、乙到达时间分别为 ，构成区域 ，记 ， ，可知所求概率为 的概率，根据随机数模拟实验数据可计算得到结果.
21．（2019高一下·南宁期中）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ， ， ， ， 进行分组，得到频率分布条形图如图.
（1）求图中 的值；
（2）空气质量状况分别为轻微污染或轻度污染定为空气质量Ⅲ级，求一年中空气质量为Ⅲ级的天数
（3）小张到该城市出差一天，这天空气质量为优良的概率是多少？
【答案】（1）解：由图可知：
（2）解：一年中空气质量为Ⅲ级的概率为：
天数为： 天；
（3）解：空气质量分别为优良的概率为：
【知识点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据频率和为 可求得 ；（2）根据条形图得到对应的概率，利用总数乘以概率得到结果；（3）由条形图可知空气质量为优和良的概率，加和得到结果.
22．（2017高一下·福州期中）设AB=6，在线段AB上任取两点C、D（端点A、B除外），将线段AB分成三条线段AC、CD、DB．
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件A）的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件B）的概率；
（3）根据以下用计算机所产生的20组随机数，试用随机数模拟的方法，来近似计算（2）中事件B的概率，
20组随机数如下：
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 0.52 0.36 0.58 0.73 0.41 0.6 0.05 0.32 0.38 0.73
Y 0.76 0.39 0.37 0.01 0.04 0.28 0.03 0.15 0.14 0.86
组别 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 0.67 0.47 0.58 0.21 0.54 0.64 0.36 0.35 0.95 0.14
Y 0.41 0.54 0.51 0.37 0.31 0.23 0.56 0.89 0.17 0.03
（X和Y都是0～1之间的均匀随机数）
【答案】（1）解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1，
共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=
（2）解：由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6﹣x﹣y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，
则还要满足 ，即为 ，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P= =
（3）解：步骤如下：
①产生两组0～1之间的均匀随机数X、Y（题目给出）
②经平移和伸缩变换，a=6X，b=6Y，
③数出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6的点（a，b）的个数N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6﹣x﹣y＜6，6﹣x﹣y+y＞x，x+y＞6﹣x﹣y
的点（a，b）的个数N1，由已知中的20组随机数可数得N=13，N1=3
④由 = ，故P（B）= ．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【分析】（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．（3）根据随机数模拟的方法和步骤即可近似计算（2）中事件B的概率．
1 / 1人教A版2019必修二概率单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一下·郑州期末）如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·萍乡期末）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 （ ）
A．都相等，且为 B．不全相等
C．都相等，且为 D．都不相等
3．（2020高一下·汪清期中）袋内分别有红 白 黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红 黑球各一个
4．（2020高一下·广东月考）把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上都不对
5．（2020高一下·河西期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·河西期中）设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D．P（A）+P（B）≤1
7．（2020高一下·番禺期中）12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）
A．抽得3件正品 B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品 D．抽得3件正品或2件次品1件正品
8．（2019高一下·湛江期末）已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一下·泰州期末）从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个红球”和“都是红球”
B．“恰有一个红球”和“都是红球”
C．“恰有一个红球”和“都是黑球”
D．“至少一个红球”和“都是黑球”
10．（2020高一下·常熟期中）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
11．（2019高一下·化州期末）若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
12．（2020高一下·枣庄开学考）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件
C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
三、填空题
13．（2020高一上·蚌埠期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 .
14．（2020高一下·烟台期末）已知三个事件A，B，C两两互斥且 ，则P(A∪B∪C)= .
15．（2020高一下·河西期中）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是 ．
16．（2019高一上·沈阳月考）我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量/mm [ 100, 150 ) [ 150, 200 ) [ 200, 250 ) [ 250, 300 ]
概率 0.21 0.16 0.13 0. 12
则年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率是
四、解答题
17．（2019高一下·菏泽月考）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
18．（2020高一下·河西期中）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
19．（2020高一上·石景山期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成 五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米）
成绩 不合格 及格 优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
20．（2019高一下·北海期中）某港口船舶停靠的方案是先到先停.
（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从 中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由.
（2）根据已往经验，甲船将于早上 到达，乙船将于早上 到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记 都是 之间的均匀随机数，用计算机做了 次试验，得到的结果有 次满足 ，有 次满足 .
21．（2019高一下·南宁期中）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ， ， ， ， 进行分组，得到频率分布条形图如图.
（1）求图中 的值；
（2）空气质量状况分别为轻微污染或轻度污染定为空气质量Ⅲ级，求一年中空气质量为Ⅲ级的天数
（3）小张到该城市出差一天，这天空气质量为优良的概率是多少？
22．（2017高一下·福州期中）设AB=6，在线段AB上任取两点C、D（端点A、B除外），将线段AB分成三条线段AC、CD、DB．
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件A）的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件B）的概率；
（3）根据以下用计算机所产生的20组随机数，试用随机数模拟的方法，来近似计算（2）中事件B的概率，
20组随机数如下：
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 0.52 0.36 0.58 0.73 0.41 0.6 0.05 0.32 0.38 0.73
Y 0.76 0.39 0.37 0.01 0.04 0.28 0.03 0.15 0.14 0.86
组别 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 0.67 0.47 0.58 0.21 0.54 0.64 0.36 0.35 0.95 0.14
Y 0.41 0.54 0.51 0.37 0.31 0.23 0.56 0.89 0.17 0.03
（X和Y都是0～1之间的均匀随机数）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】设中心圆的半径为 ，所以中心圆的面积为 ，
8环面积为 ，
射击靶的面积为 ，
所以命中深色部分的概率为 .
故答案为：D
【分析】分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.
2．【答案】C
【知识点】系统抽样方法；概率的基本性质
【解析】【解答】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，
所以每个个体被抽到包括两个过程；一是被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，
所以每人入选的概率
故答案为：C
【分析】系统抽样方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，结合概率的定义，即可判断每个个体被抽取的概率。
3．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红 黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，
但事件“甲分得红牌”不发生时，
事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而得出事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
5．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有： 五种情况，
故 .
故答案为：D.
【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有： 五种情况，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】随机事件；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），A不符合题意；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，B不符合题意，C符合题意；
若事件A，B相互独立，且P（A） ，P（B） ，则P（A）+P（B）＞1，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
7．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;
对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.
故答案为：A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
8．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为 ，
所以三人中至少有一人被录取的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，
在 中，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在 中，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确；
在 中，“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故C正确；
在 中，“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】 利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
10．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A不符合题意
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B符合题意
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C不符合题意
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．
故答案为：BCD．
【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．
12．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,A符合题意；
在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,B符合题意；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,C不符合题意；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由互斥事件和对立事件的定义对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用独立事件概率乘法求解公式，进而结合已知条件求出恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率。
14．【答案】0.9
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】
故答案为：0.9
【分析】先计算 ，再计算 .
15．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一次是红球： ；第一次是黄球： .
故 .
故答案为： .
【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.
16．【答案】0.25
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】年降水量在 [ 200，300 ] （mm）包括[ 200, 250 )与[ 250, 300 ]而且是互斥的，所以年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率=0.13+0.12=0.25.
【分析】由已知表格得到年降水量在 [ 200，300 ] （mm）包括[ 200, 250 )与[ 250, 300 ]而且互斥，利用概率的加法公式即可得结果.
17．【答案】解：（Ⅰ）所有的可能结果 共有 种，
而满足 的 有 、 、 共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率为
（Ⅱ） 所有的可能结果 共有 种
满足“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的 有 、 、 共计三个
故“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的概率为
所以“抽取的卡片上的数字 、 、 不完全相同”的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式求出“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率。
（2）利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
18．【答案】（1）解：设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P（A） ，P（B） ，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A ）＝P（A）P（ ）+P（ ）P（B） （1 ） ．
（2）解：任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（1 ）（1 ）
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出 ， ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： ，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为 ，由此能求出结果.
19．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知 ,解得 .
所以此次测试总人数为 .
故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件 .
由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,
成绩优秀的频率为 ,
则估计 .
（Ⅲ）记事件 ：第 名男生成绩优秀，其中 .两人中恰有一人成绩优秀可以表示为 ，
因为 相互独立， 相互独立，
所以 ， ，
又因为 互斥，
所以 .
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件 ：第 名男生成绩优秀，其中 .两人中恰有一人成绩优秀可以表示为 ，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.
20．【答案】（1）解：这种规则是不公平的，原因如下：
设甲先停靠为事件 ，乙先停靠为事件 ，基本事件总数为： 种
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 个：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
甲先停靠的概率 ，乙先停靠的概率
这种游戏规则是不公平
（2）解：设甲船到达的时间为 ，乙船到达的时间为
可看做平面中的点，则实验的全部结果构成的区域为：
设事件 为“甲船先到达”，记 ，
，即
由随机数模拟实验数据知“” 次试验，得到的结果有 次满足
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）列举出所有基本事件，从中找到甲先停靠的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得甲先停靠的概率，由对立事件概率公式求得乙先停靠的概率；由两个概率不相等可知游戏不公平；（2）设甲、乙到达时间分别为 ，构成区域 ，记 ， ，可知所求概率为 的概率，根据随机数模拟实验数据可计算得到结果.
21．【答案】（1）解：由图可知：
（2）解：一年中空气质量为Ⅲ级的概率为：
天数为： 天；
（3）解：空气质量分别为优良的概率为：
【知识点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据频率和为 可求得 ；（2）根据条形图得到对应的概率，利用总数乘以概率得到结果；（3）由条形图可知空气质量为优和良的概率，加和得到结果.
22．【答案】（1）解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1，
共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=
（2）解：由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6﹣x﹣y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，
则还要满足 ，即为 ，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P= =
（3）解：步骤如下：
①产生两组0～1之间的均匀随机数X、Y（题目给出）
②经平移和伸缩变换，a=6X，b=6Y，
③数出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6的点（a，b）的个数N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6﹣x﹣y＜6，6﹣x﹣y+y＞x，x+y＞6﹣x﹣y
的点（a，b）的个数N1，由已知中的20组随机数可数得N=13，N1=3
④由 = ，故P（B）= ．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【分析】（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．（3）根据随机数模拟的方法和步骤即可近似计算（2）中事件B的概率．
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