初中数学苏科版八年级上册3.1勾股定理 同步练习

初中数学苏科版八年级上册3.1勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·邗江期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（　　）
A．29 B．32 C．36 D．45
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2）
＝AC2 AB2
＝45.
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中利用勾股定理可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果.
2．（2020八上·无锡期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞1)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x2+y2=49 B．x－y＝2 C．2xy+4=49 D．x+y=9
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到x2+y2=49，故正确；
B中，根据小正方形的边长是2即可得到x－y＝2，故正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到2xy+4=49，故正确；
D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得（x+y）2= x2+y2+2xy =94，
∴x+y = 或 （不符合实际，舍去），故错误.
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形的性质和勾股定理可得：x2+y2=大正方形的面积；x-y=小正方形的边长；4个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积；再结合各选项即可判断求解.
3．（2020八上·苏州期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ， ， ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 的值为（　　）
A．60 B．79 C．84 D．90
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】由图可知 ，
，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b-a）,可得（b-a）2=6,再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab,然后利用完全平方公式整理即可求解.
4．（2020八上·宜兴期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴小正方形的面积＝（a b）2＝a2＋b2 2ab＝25 16＝9，
∴小正方形的边长为3
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得出a2+b2=25,小正方形的面积为（a b）2，从而根据完全平方公式展开后整体代入即可得出答案.
5．（2020八上·无锡期中）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（　　）
A．16 B．32 C．34 D．64
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
根据题意得：EF2=25，FG2=9，
根据勾股定理得：EG2=25+9=34，
则以斜边为边长的正方形的面积为34.
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方和勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）可得 正方形A的面积 .
6．（2020八下·江苏月考）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形ADEC的面积为： ，
正方形BCFG的面积为： ；
在Rt△ABC中， = + ，AB=15，
+ =225cm2，
故答案为：C.
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方，两正方形面积的和为 + ，对于Rt△ABC，由勾股定理得 = + ，AB=15，故可以求出两正方形面积的和.
7．（2020八上·邳州期末）如图，一棵大树在离地面3 ，5 两处折成三段，中间一段 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 处，则大树折断前的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m，
∵OC=6m，
∴DC=6-2=4m，
∴由勾股定理得：BC= =5m，
∴旗杆的高度为5+5=10m，
故答案为：D.
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可.
8．（2019八上·泗洪月考）在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 （　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，
在Rt△ABD中，BD= ，
在Rt△ACD中，CD= ，
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=
在Rt△ACD中，CD=
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况讨论求解：①当△ABC为锐角三角形时，用勾股定理可分别求得DB和CD的长，则BC=BD+CD，根据三角形的周长=三边之和可求解；
②当△ABC为钝角三角形时，用勾股定理可分别求得DB和CD的长，则BC=BD-CD，根据三角形的周长=三边之和可求解.
9．（2019八上·泗洪月考）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2＝4，
则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8.
故答案为：D.
【分析】由题意用勾股定理可求得两直角边的平方和，再代入AB2＋BC2＋AC2即可求解.
10．（2019八上·通州期末）锐角△ABC中，AB=a-1，AC=a，BC=a+1（a＞4），BD⊥AC于点D.则CD-DA的值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则AD=a-x，
在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2，
在Rt△CBD中，BD2=BC2-CD2，
∴AB2-AD2=BC2-CD2，即（a-1）2-（a-x）2=（a+1）2-x2，
整理得，a2-2a+1-a2+2ax-x2=a2+2a+1-x2，
则a-2x=-4，
CD-DA=2x-a=4，
故答案为：D.
【分析】设CD=x，根据勾股定理列出算式，得到关于a与x的关系式，根据题意计算即可.
11．（2018八上·镇江月考）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　　）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45.
故答案为：C
【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM和Rt△CDM中，利用勾股定理进行等量代换即可求出答案.
12．（2018八上·泗阳期中）在△ABC中， ， 边上的高 ，则边 的长为（　　）
A．4 B．14 C．4 或14 D．8或14
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】（1）如图1，
锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，
由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，
故BC的长为BD+DC=9+5=14；
（ 2 ）如图2，
钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD﹣CD=9﹣5=4．
综上可得BC的长为14或4．
故答案为：C．
【分析】分两种情况讨论：当△ABC时锐角三角形时，作BC边上的高AD，利用勾股定理分别求出BD、CD的长，就可得出BC的长；当△ABC是钝角三角形时，作BC边上高AD，利用勾股定理分别求出BD、CD的长，就可得出BC的长。
13．（2018八上·大丰期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、因为 ， ， ， ，即2、3、4不是勾股数，不符合题意;
B、因为 ， ， ， ，即3、4、5是勾股数，符合题意;
C、因为 ， ， ， ，即4、5、6不是勾股数，不符合题意;
D、因为 ， ， ， ，即5、6、7不是勾股数，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。由勾股定理的逆定理即可求解。
14．（2018八上·宜兴期中）下列各组数中，是勾股数的（　　）
A． ， ，1 B．1，2，3
C．1.5，2，2.5 D．9，40，41
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是，因为
，
不是正整数，故该不符合题意；
B、不是，因为12+22≠32，故该不符合题意；
C、不是，因为1.5，2.5不是正整数，故该不符合题意；
D、是，因为92+402=412，且9，40，41是正整数；
故答案为：D．
【分析】（1）因为
和
不是整数，所以不是勾股数；
（2）因为12+22=5,32=9，不满足a2+b2=c2,所以不是勾股数；
（3）因为 1.5和2.5 不是整数，所以不是勾股数；
（4）因为92+402=412，且9，40，41是正整数，所以由勾股定理的逆定理即可判断9，40，41是勾股数。
15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169
所以x=13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选：C．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
二、填空题
16．（2021八上·建邺期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为　 　.
【答案】29
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得： ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
则正方形丁的面积为 ，
故答案为：29.
【分析】连接AC，由正方形的面积=边长2可得AB2=30，BC2=16，CD2=17，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC2的值，在直角三角形ADC中，用勾股定理可求解.
17．（2020八上·赣榆期中）若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边长的平方为　 　
【答案】9或41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为4、斜边为5时，第三边的平方为52-42=9；
当两直角边为4和5时，第三边的平方为42+52=41；
故答案为：9或41.
【分析】分两种情况，①当直角边为4、斜边为5时,②当两直角边为4和5时，利用勾股定理分别解答即可.
18．（2020八上·盐城期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为　 　.
【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴9+BC2=25，
∴BC2=25-9=16，
∴BC=4，
∴Rt△ABC的面积=4× ÷2=6.
故答案为：6.
【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由正方形的性质可得BC2=25-9=16，求出BC=4，根据三角形的面积公式进行解答即可.
19．（2020八上·无锡期中）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49.则b的值为　 　.
【答案】21或35
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c，
∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49-a，
故b2=492-98a=49（49-2a），
其中a＜b＜c，∴a＜24，
b=7 ，
由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29，
∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意，
故答案为：21或35.
【分析】根据a＜b＜c，a+c=49和a2+b2=c2讨论a、b、c的值，计算符合题意的a、b、c的值，即可求出b的值.
20．（2020八上·阜宁月考）直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=　 　.
【答案】169或119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当x为直角边时，x2=122﹣52=119；
当x为斜边时，x2=52+122=169.
故答案为169或119.
【分析】利用勾股定理，分情况讨论可求出x2的值。
21．（2020八上·常熟月考）一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为　 　
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设一条直角边为a，则斜边为a+2，
∵另一直角边长为6，
∴ ，解得a=8，
∴a+2=8+2=10.
故答案为10.
【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，再根据勾股定理求出a的值即可.
22．（2020八上·南京月考）已知直角三角形两直角边长分别为5与12，则第三边长为　 　
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵直角三角形两直角边长分别为5与12，
∴第三边长为： .
故答案为13.
【分析】直接根据勾股定理求解即可.
23．（2020八上·东台期末）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是　 　cm2.
【答案】48
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
由勾股定理可知：长方形的另一条边= cm
∴长方形的面积为：6×8=48 cm2.
故答案为：48.
【分析】先根据勾股定理求出长方形的另一条边，然后根据面积公式计算即可.
24．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　 　步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
25．（2019八上·建湖月考）一直角三角形两边分别为5，12，则这个直角三角形第三边的长　 　.
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当12是斜边时，第三边长= = cm；
当12是直角边时，第三边长= =13cm；
故答案为： cm或13cm.
【分析】分两种情况讨论，当12是斜边时或当12是直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
26．（2019八下·海安期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2019的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在图中标上字母E，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1，
观察，发现规律：S1=22=4，S2=
S1=2，S3=
S2=1，S4=
S3=
，…，
∴Sn=(
)n-3，
当n=2019时，S2019=
，
故答案为：
.
【分析】根据勾股定理可得DE2+CE2=CD2，根据等腰三角形的性质可得S2+S2=S1，然后根据数的变化找出变化规律即可求解.
27．（2019八上·沛县期末）若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　 　.
【答案】10或2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得 .
故第三边长为10或 .
故答案为：10或 .
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.
28．（2019八上·连云港期末）如图， ， ， ，则加固小树的木棒DE的长是　 　
【答案】1.7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =1.3m，
∵AD=CE=0.2m，
∴DE=AD+AC+CE=0.2+1.3+0.2=1.7m，
故答案为：1.7．
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长，由图得DE=AD+AC+CE，把已知条件代入计算即可求解。
29．（2019八上·建邺期末）如图，在△ABC中，∠ABC
＝ 90°，AB ＝ 2BC
＝ 2，在AC上截取CD ＝ CB．在AB上截取AP ＝ AD，则AP ＝ 　 　．
【答案】 －1
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 ∠ABC ＝ 90°
AC2=AB2+BC2，
AB ＝ 2BC ＝ 2，
AC2=4+1=5，即AC= ，
AC=AD+DC，且BC=CD，AP=AD
AP=AC-AD=AC-CD= -1
故答案为 －1
【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据CD ＝ CB求出CD，进而可求AD即AP的长.
30．（2018八上·泰州期中）为了推广城市绿色出行，小蓝车公司准备在十圩港沿岸AB段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D（如图），CA⊥AB于A、DB⊥AB于B，AB=4km，CA=2km，DB=1km．则停放点E应建在距点A　 　km处，才能使它到两广场的距离相等．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AE=xkm时，它到两广场的距离相等，则BE=（4﹣x）km，由题意得：
22+x2=（4﹣x）2+12
解得：x= ．
故这个单车停放点E应建在距点A km处，它到两广场的距离相等．
故答案为： ．
【分析】设AE=xkm时，则BE=（4﹣x）km，在三角形AEC中利用勾股定理得出CE2=22+x2,在三角形BDE中利用勾股定理得出DE2=（4﹣x）2+12,根据共享单车停放点它到两广场的距离相等，即CE=DE列出方程，求解即可。
31．（2018八上·泗阳期中）在Rt△ABC中， ，则 　 　
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
∵∠C=90°，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=4．
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理，可求出AC2+BC2的值。
三、解答题
32．（2021八上·滨海期末）定义：如图，点M、N把线段 分割成 、 和 ，若以 、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段 的勾股分割点.已知点M、N是线段 的勾股分割点，若 ， ，求 的长.
【答案】解：分两种情况：
①当 为最大线段时，
∵点M、N是线段 的勾股分割点，
∴
②当 为最大线段时，
∵点M、N是线段 的勾股分割点，
∴
综上所述： 的长为 或 .
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，分①当MN为最大线段时， ②当BN为最大线段时， 根据勾股定理，可以求得BN的长，本题得以解决.
33．（2021八上·苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为 ，斜边长为 的 个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
【答案】证明：总面积
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】根据总面积=以c为边的正方形的面积+2个直角边长为 的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此列式求解．
34．（2019八上·泰州月考）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法"来证明 .请你写出证明过程.
【答案】解：如图，因为 ，
即 ，
所以 ，
所以
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】利用割补法，根据 建立方程即可得出结论.
35．（2019八上·泗洪月考）直角三角形两直角边长分别为AB=5和BC=12，求它斜边 AC 上的高.
【答案】解：设斜边上的高为h，
∵直角三角形的两直角边长分别为AB=5和BC=12，
∴斜边
AC＝ ，
∴ ，解得h＝ .
答：斜边 AC 上的高为
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】用勾股定理可求得斜边的长，再用面积法可列方程求解.
36．（2018八上·东台月考）如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片
，绕点
顺时针旋转
得到长方形
，连接
，则四边形
为梯形，请通过该图验证勾股定理（求证：
）.
【答案】证明：∵S梯形ABGE= （EG+AB） BG= （a+b） （a+b）= （a+b）2，
∵Rt△ABC≌Rt△CGE，
∴∠ACB=∠CEG，
∵∠CEG+∠GCE=90°，
∴∠ACB+∠GCE=90°，
即∠ACE=90°，
∵S梯形ABEF=S△ABC+S△CEG+S△ACE，
∴S梯形ABEF= ab+ ab+ c2，
∴ （a+b）2= ab+ ab+ c2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】根据梯形的面积计算公式得出S梯形ABGE=
（EG+AB） BG=
（a+b） （a+b）=
（a+b）2， 根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ACB=∠CEG，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CEG+∠GCE=90°，根据等量代换得出∠ACB+∠GCE=90°，再根据三角形的内角和得出∠ACE=90°，利用割补法由S梯形ABEF=S△ABC+S△CEG+S△ACE，得出S梯形ABEF=
ab+
ab+
c2，用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子的值相等，从而列出方程整理即可得出结论。
37．（2018八上·江都期中）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？
【答案】解：设 米，则 米，由题意得： 解得： . 故：超市应建在距离E处150米的位置.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理由题意可知AP=BP，因此设EP=x表示出PF，然后根据AP2=BP2建立关于x的方程，求解即可。
四、综合题
38．（2020八上·大丰期末）如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1）解： ，
，
在 中， ， ，
，
（2）解：在 中 ， ，
.
，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，由CD2＝BC2 BD2可得答案；（2）在Rt△ACD中，先根据AD2＝AC2 CD2求得AD＝16，再由AB＝AD＋DB可得答案.
39．（2017八上·南京期末）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连结CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c.
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理： .
【答案】（1）解：勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
即：
（2）解： ≌ ，又
.
整理，得
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）直接写出勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）由RtΔABC≌RtΔFGA ，得到对应角相等，得到∠FAC=90°，根据梯形的面积S梯形BCFG=SRtΔABC+SRtΔACF+SRtΔAFG ， ；得到a2+b2=c2 .
40．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，

大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册3.1勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·邗江期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（　　）
A．29 B．32 C．36 D．45
2．（2020八上·无锡期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞1)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x2+y2=49 B．x－y＝2 C．2xy+4=49 D．x+y=9
3．（2020八上·苏州期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ， ， ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 的值为（　　）
A．60 B．79 C．84 D．90
4．（2020八上·宜兴期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1.5
5．（2020八上·无锡期中）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（　　）
A．16 B．32 C．34 D．64
6．（2020八下·江苏月考）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
7．（2020八上·邳州期末）如图，一棵大树在离地面3 ，5 两处折成三段，中间一段 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 处，则大树折断前的高度是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019八上·泗洪月考）在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 （　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
9．（2019八上·泗洪月考）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2019八上·通州期末）锐角△ABC中，AB=a-1，AC=a，BC=a+1（a＞4），BD⊥AC于点D.则CD-DA的值为（　　）
A． B．2 C． D．4
11．（2018八上·镇江月考）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　　）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
12．（2018八上·泗阳期中）在△ABC中， ， 边上的高 ，则边 的长为（　　）
A．4 B．14 C．4 或14 D．8或14
13．（2018八上·大丰期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
14．（2018八上·宜兴期中）下列各组数中，是勾股数的（　　）
A． ， ，1 B．1，2，3
C．1.5，2，2.5 D．9，40，41
15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
二、填空题
16．（2021八上·建邺期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为　 　.
17．（2020八上·赣榆期中）若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边长的平方为　 　
18．（2020八上·盐城期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为　 　.
19．（2020八上·无锡期中）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49.则b的值为　 　.
20．（2020八上·阜宁月考）直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=　 　.
21．（2020八上·常熟月考）一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为　 　
22．（2020八上·南京月考）已知直角三角形两直角边长分别为5与12，则第三边长为　 　
23．（2020八上·东台期末）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是　 　cm2.
24．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　 　步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
25．（2019八上·建湖月考）一直角三角形两边分别为5，12，则这个直角三角形第三边的长　 　.
26．（2019八下·海安期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2019的值为　 　.
27．（2019八上·沛县期末）若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　 　.
28．（2019八上·连云港期末）如图， ， ， ，则加固小树的木棒DE的长是　 　
29．（2019八上·建邺期末）如图，在△ABC中，∠ABC
＝ 90°，AB ＝ 2BC
＝ 2，在AC上截取CD ＝ CB．在AB上截取AP ＝ AD，则AP ＝ 　 　．
30．（2018八上·泰州期中）为了推广城市绿色出行，小蓝车公司准备在十圩港沿岸AB段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D（如图），CA⊥AB于A、DB⊥AB于B，AB=4km，CA=2km，DB=1km．则停放点E应建在距点A　 　km处，才能使它到两广场的距离相等．
31．（2018八上·泗阳期中）在Rt△ABC中， ，则 　 　
三、解答题
32．（2021八上·滨海期末）定义：如图，点M、N把线段 分割成 、 和 ，若以 、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段 的勾股分割点.已知点M、N是线段 的勾股分割点，若 ， ，求 的长.
33．（2021八上·苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为 ，斜边长为 的 个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
34．（2019八上·泰州月考）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法"来证明 .请你写出证明过程.
35．（2019八上·泗洪月考）直角三角形两直角边长分别为AB=5和BC=12，求它斜边 AC 上的高.
36．（2018八上·东台月考）如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片
，绕点
顺时针旋转
得到长方形
，连接
，则四边形
为梯形，请通过该图验证勾股定理（求证：
）.
37．（2018八上·江都期中）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？
四、综合题
38．（2020八上·大丰期末）如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
39．（2017八上·南京期末）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连结CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c.
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理： .
40．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2）
＝AC2 AB2
＝45.
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中利用勾股定理可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到x2+y2=49，故正确；
B中，根据小正方形的边长是2即可得到x－y＝2，故正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到2xy+4=49，故正确；
D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得（x+y）2= x2+y2+2xy =94，
∴x+y = 或 （不符合实际，舍去），故错误.
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形的性质和勾股定理可得：x2+y2=大正方形的面积；x-y=小正方形的边长；4个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积；再结合各选项即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】由图可知 ，
，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b-a）,可得（b-a）2=6,再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab,然后利用完全平方公式整理即可求解.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴小正方形的面积＝（a b）2＝a2＋b2 2ab＝25 16＝9，
∴小正方形的边长为3
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得出a2+b2=25,小正方形的面积为（a b）2，从而根据完全平方公式展开后整体代入即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
根据题意得：EF2=25，FG2=9，
根据勾股定理得：EG2=25+9=34，
则以斜边为边长的正方形的面积为34.
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方和勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）可得 正方形A的面积 .
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形ADEC的面积为： ，
正方形BCFG的面积为： ；
在Rt△ABC中， = + ，AB=15，
+ =225cm2，
故答案为：C.
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方，两正方形面积的和为 + ，对于Rt△ABC，由勾股定理得 = + ，AB=15，故可以求出两正方形面积的和.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m，
∵OC=6m，
∴DC=6-2=4m，
∴由勾股定理得：BC= =5m，
∴旗杆的高度为5+5=10m，
故答案为：D.
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，
在Rt△ABD中，BD= ，
在Rt△ACD中，CD= ，
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=
在Rt△ACD中，CD=
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况讨论求解：①当△ABC为锐角三角形时，用勾股定理可分别求得DB和CD的长，则BC=BD+CD，根据三角形的周长=三边之和可求解；
②当△ABC为钝角三角形时，用勾股定理可分别求得DB和CD的长，则BC=BD-CD，根据三角形的周长=三边之和可求解.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2＝4，
则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8.
故答案为：D.
【分析】由题意用勾股定理可求得两直角边的平方和，再代入AB2＋BC2＋AC2即可求解.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则AD=a-x，
在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2，
在Rt△CBD中，BD2=BC2-CD2，
∴AB2-AD2=BC2-CD2，即（a-1）2-（a-x）2=（a+1）2-x2，
整理得，a2-2a+1-a2+2ax-x2=a2+2a+1-x2，
则a-2x=-4，
CD-DA=2x-a=4，
故答案为：D.
【分析】设CD=x，根据勾股定理列出算式，得到关于a与x的关系式，根据题意计算即可.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45.
故答案为：C
【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM和Rt△CDM中，利用勾股定理进行等量代换即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】（1）如图1，
锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，
由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，
故BC的长为BD+DC=9+5=14；
（ 2 ）如图2，
钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD﹣CD=9﹣5=4．
综上可得BC的长为14或4．
故答案为：C．
【分析】分两种情况讨论：当△ABC时锐角三角形时，作BC边上的高AD，利用勾股定理分别求出BD、CD的长，就可得出BC的长；当△ABC是钝角三角形时，作BC边上高AD，利用勾股定理分别求出BD、CD的长，就可得出BC的长。
13．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、因为 ， ， ， ，即2、3、4不是勾股数，不符合题意;
B、因为 ， ， ， ，即3、4、5是勾股数，符合题意;
C、因为 ， ， ， ，即4、5、6不是勾股数，不符合题意;
D、因为 ， ， ， ，即5、6、7不是勾股数，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。由勾股定理的逆定理即可求解。
14．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是，因为
，
不是正整数，故该不符合题意；
B、不是，因为12+22≠32，故该不符合题意；
C、不是，因为1.5，2.5不是正整数，故该不符合题意；
D、是，因为92+402=412，且9，40，41是正整数；
故答案为：D．
【分析】（1）因为
和
不是整数，所以不是勾股数；
（2）因为12+22=5,32=9，不满足a2+b2=c2,所以不是勾股数；
（3）因为 1.5和2.5 不是整数，所以不是勾股数；
（4）因为92+402=412，且9，40，41是正整数，所以由勾股定理的逆定理即可判断9，40，41是勾股数。
15．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169
所以x=13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选：C．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
16．【答案】29
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得： ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
则正方形丁的面积为 ，
故答案为：29.
【分析】连接AC，由正方形的面积=边长2可得AB2=30，BC2=16，CD2=17，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC2的值，在直角三角形ADC中，用勾股定理可求解.
17．【答案】9或41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为4、斜边为5时，第三边的平方为52-42=9；
当两直角边为4和5时，第三边的平方为42+52=41；
故答案为：9或41.
【分析】分两种情况，①当直角边为4、斜边为5时,②当两直角边为4和5时，利用勾股定理分别解答即可.
18．【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴9+BC2=25，
∴BC2=25-9=16，
∴BC=4，
∴Rt△ABC的面积=4× ÷2=6.
故答案为：6.
【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由正方形的性质可得BC2=25-9=16，求出BC=4，根据三角形的面积公式进行解答即可.
19．【答案】21或35
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c，
∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49-a，
故b2=492-98a=49（49-2a），
其中a＜b＜c，∴a＜24，
b=7 ，
由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29，
∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意，
故答案为：21或35.
【分析】根据a＜b＜c，a+c=49和a2+b2=c2讨论a、b、c的值，计算符合题意的a、b、c的值，即可求出b的值.
20．【答案】169或119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当x为直角边时，x2=122﹣52=119；
当x为斜边时，x2=52+122=169.
故答案为169或119.
【分析】利用勾股定理，分情况讨论可求出x2的值。
21．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设一条直角边为a，则斜边为a+2，
∵另一直角边长为6，
∴ ，解得a=8，
∴a+2=8+2=10.
故答案为10.
【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，再根据勾股定理求出a的值即可.
22．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵直角三角形两直角边长分别为5与12，
∴第三边长为： .
故答案为13.
【分析】直接根据勾股定理求解即可.
23．【答案】48
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
由勾股定理可知：长方形的另一条边= cm
∴长方形的面积为：6×8=48 cm2.
故答案为：48.
【分析】先根据勾股定理求出长方形的另一条边，然后根据面积公式计算即可.
24．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
25．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当12是斜边时，第三边长= = cm；
当12是直角边时，第三边长= =13cm；
故答案为： cm或13cm.
【分析】分两种情况讨论，当12是斜边时或当12是直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
26．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在图中标上字母E，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1，
观察，发现规律：S1=22=4，S2=
S1=2，S3=
S2=1，S4=
S3=
，…，
∴Sn=(
)n-3，
当n=2019时，S2019=
，
故答案为：
.
【分析】根据勾股定理可得DE2+CE2=CD2，根据等腰三角形的性质可得S2+S2=S1，然后根据数的变化找出变化规律即可求解.
27．【答案】10或2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得 .
故第三边长为10或 .
故答案为：10或 .
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.
28．【答案】1.7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =1.3m，
∵AD=CE=0.2m，
∴DE=AD+AC+CE=0.2+1.3+0.2=1.7m，
故答案为：1.7．
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长，由图得DE=AD+AC+CE，把已知条件代入计算即可求解。
29．【答案】 －1
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 ∠ABC ＝ 90°
AC2=AB2+BC2，
AB ＝ 2BC ＝ 2，
AC2=4+1=5，即AC= ，
AC=AD+DC，且BC=CD，AP=AD
AP=AC-AD=AC-CD= -1
故答案为 －1
【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据CD ＝ CB求出CD，进而可求AD即AP的长.
30．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AE=xkm时，它到两广场的距离相等，则BE=（4﹣x）km，由题意得：
22+x2=（4﹣x）2+12
解得：x= ．
故这个单车停放点E应建在距点A km处，它到两广场的距离相等．
故答案为： ．
【分析】设AE=xkm时，则BE=（4﹣x）km，在三角形AEC中利用勾股定理得出CE2=22+x2,在三角形BDE中利用勾股定理得出DE2=（4﹣x）2+12,根据共享单车停放点它到两广场的距离相等，即CE=DE列出方程，求解即可。
31．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
∵∠C=90°，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=4．
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理，可求出AC2+BC2的值。
32．【答案】解：分两种情况：
①当 为最大线段时，
∵点M、N是线段 的勾股分割点，
∴
②当 为最大线段时，
∵点M、N是线段 的勾股分割点，
∴
综上所述： 的长为 或 .
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，分①当MN为最大线段时， ②当BN为最大线段时， 根据勾股定理，可以求得BN的长，本题得以解决.
33．【答案】证明：总面积
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】根据总面积=以c为边的正方形的面积+2个直角边长为 的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此列式求解．
34．【答案】解：如图，因为 ，
即 ，
所以 ，
所以
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】利用割补法，根据 建立方程即可得出结论.
35．【答案】解：设斜边上的高为h，
∵直角三角形的两直角边长分别为AB=5和BC=12，
∴斜边
AC＝ ，
∴ ，解得h＝ .
答：斜边 AC 上的高为
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】用勾股定理可求得斜边的长，再用面积法可列方程求解.
36．【答案】证明：∵S梯形ABGE= （EG+AB） BG= （a+b） （a+b）= （a+b）2，
∵Rt△ABC≌Rt△CGE，
∴∠ACB=∠CEG，
∵∠CEG+∠GCE=90°，
∴∠ACB+∠GCE=90°，
即∠ACE=90°，
∵S梯形ABEF=S△ABC+S△CEG+S△ACE，
∴S梯形ABEF= ab+ ab+ c2，
∴ （a+b）2= ab+ ab+ c2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】根据梯形的面积计算公式得出S梯形ABGE=
（EG+AB） BG=
（a+b） （a+b）=
（a+b）2， 根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ACB=∠CEG，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CEG+∠GCE=90°，根据等量代换得出∠ACB+∠GCE=90°，再根据三角形的内角和得出∠ACE=90°，利用割补法由S梯形ABEF=S△ABC+S△CEG+S△ACE，得出S梯形ABEF=
ab+
ab+
c2，用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子的值相等，从而列出方程整理即可得出结论。
37．【答案】解：设 米，则 米，由题意得： 解得： . 故：超市应建在距离E处150米的位置.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理由题意可知AP=BP，因此设EP=x表示出PF，然后根据AP2=BP2建立关于x的方程，求解即可。
38．【答案】（1）解： ，
，
在 中， ， ，
，
（2）解：在 中 ， ，
.
，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，由CD2＝BC2 BD2可得答案；（2）在Rt△ACD中，先根据AD2＝AC2 CD2求得AD＝16，再由AB＝AD＋DB可得答案.
39．【答案】（1）解：勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
即：
（2）解： ≌ ，又
.
整理，得
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）直接写出勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）由RtΔABC≌RtΔFGA ，得到对应角相等，得到∠FAC=90°，根据梯形的面积S梯形BCFG=SRtΔABC+SRtΔACF+SRtΔAFG ， ；得到a2+b2=c2 .
40．【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，

大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
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