高中数学人教A版（2019）必修二 8.2 立体图形的直观图

高中数学人教A版（2019）必修二 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．（2020高二上·怀仁月考）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 ，且直观图 的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2020高二上·嘉兴期中）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·保山月考）若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（　　）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
4．（2020高一下·包头期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（　　）
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019高一上·衡阳月考）如图所示的是水平放置的三角形直观图， 是 中 边上的一点，且 离 比 离 近，又 轴，那么原 的 、 、 三条线段中（　　）
A．最长的是 ，最短的是 B．最长的是 ，最短的是
C．最长的是 ，最短的是 D．最长的是 ，最短的是
6．（2020高二上·宁波期中）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·通化期中）用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为 ，则原图形面积为（　　）
A．4 B． C．2 D．1
8．（2020高二上·辽源月考）水平放置的 的斜二测直观图如图所示，若 ， 的面积为 ，则 的长为（　　）
A． B． C．2 D．8
二、填空题
9．（2020高二上·重庆月考）如图所示， 为水平放置的 的直观图，其中 ， ，则 的面积是　 　．
10．（2020高二上·宿州期中）如图，平行四边形 是四边形 的直观图.若 ， ，则原四边形 的周长为　 　.
11．（2020高二上·洪洞期中）等边三角形 的边长为 ，建立如图所示的直角坐标系 ，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是　 　．
12．（2020高一下·滨海期中）水平放置 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则 边上的中线的长度为　 　.
13．（2020高一下·黄梅开学考）如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是　 　．
14．（2019高一上·蒙山月考）如图所示是 用斜二测画法画出的直观图，则 的面积是　 　．
15．（2019高二上·庐阳月考）一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，则原平面四边形的面积为　 　．
16．（2019高二下·南昌期中）一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 轴，底角为 ，两腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　 　．
三、解答题
17．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
18．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
19．用斜二测画法画出下列水平放置的正五边形和四边形的直观图．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设等腰梯形 对应该平面图形 ，则 ， ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为，直接解题即可。
2．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】用斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为45°，底为2，高为的平行四边形，平行四边形的面积为，
故答案为：B。
【分析】由斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为，底为2，高为的平行四边形，再利用平行四边形的面积公式，从而求出所得的直观图的面积。
3．【答案】D
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是三棱锥
故答案为：D
【分析】根据几何体的特征可得答案.
4．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于 轴的线段，长度不变，平行于 轴的线段，变为原来的 ，所以②错误；
对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是 和 ，所以③错误；
对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；
综上，正确的命题序号是①，共1个．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而得出平面图形的直观图，进而找出正确结论的个数。
5．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意得到原 的平面图为：
其中， ， ，所以 ，所以 的 、 、 三条线段中最长的是 ，最短的是 .
故答案为：B.
【分析】作出原 的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果．
6．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图，恢复后的原图形为一个直角梯形，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用斜二测画法得出的直观图还原为原图为一个直角梯形，再利用已知条件结合梯形面积公式，从而求出原平面图形的面积。
7．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为 ，而原图形面积是直观图的面积的 ，
所以原图形面积为 ，
故答案为：A
【分析】利用平面图形的面积与其直观图面积的关系进行求解即可
8．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】依题意，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，又因为 ，
由勾股定理得： ．
故答案为：B．
【分析】依题意由 的面积为 ，解得 ，所以 ， ，根据勾股定理即可求 ．
9．【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形,则有 ，
所以
故答案为：
【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．
10．【答案】14
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为平行四边形 是四边形 的直观图，且 ，
所以四边形 是矩形，且 ，
所以四边形 的周长为 ，
故答案为：14
【分析】由四边形的直观图画法结合边之间的关系计算出结果即可。
11．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过 作 ，则 ，作 轴和 轴，使得 ，在 轴上取点 ，
使得 ，在 轴上取点 ，使得 ，过点 轴，使得 ，连接 ，则 的直观图，由直观图作法可知 ，过 作 于 ，则 ，所以 。
【分析】利用等边三角形的性质结合用斜二测画法画直观图的方法，从而结合三角形的面积公式，从而求出它的直观图的面积。
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在直观图中， ， ，所以在 中， ， ， 为直角，
，因此， 边上的中线的长度为 .
故答案为： .
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出 实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
13．【答案】16
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意得，由图象中可知， ，则对应三角形 中， ，又与 平行的线段的长度为 ，则对应三角形 的高为 ，所以三角形 的面积为 ．
【分析】由斜二次画法即可得出直观图中三角形的边长，再由三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
14．【答案】32
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】斜二测画法作图时，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段长度变为原来的 ，
由直观图可得： .
故答案为：
【分析】根据斜二测画法的原则，结合题中直观图，可直接求出结果.
15．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，故其直观图的面积为 ，又直观图与原图面积之比为 ，所以原平面四边形的面积为 ．
故答案为： ．
【分析】根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．
16．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图过点 作， ，
则四边形 是一个内角为45°的平行四边形且 ， 中， ，则对应可得四边形 是矩形且 ， 是直角三角形， ，所以 。
【分析】利用直观图的斜二测画法结合已知条件，再利用等腰梯形的结构特征，从而用长方形和三角形的面积公式求和，从而求出这个平面图形的面积。
17．【答案】解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
18．【答案】解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则，画出几何体的直观图.
19．【答案】解：（1）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
连结EC交y轴为F，
在x′轴上作线段A′B′=AB，
则y′轴上分别作线段O′D′=OD，O′F′=OF，
过F′作线段E′C′=EC，且E′C′∥O′x′，
连结A′B′C′D′E′，即为正五边形的直观图．
（2）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上作线段O′C′=OC，
则y′轴上分别作线段O′A′=OA，
过A′作线段A′B′=AB，且A′B′∥O′x′，
连结A′B′C′O′，即为四边形的直观图．
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】根据斜二测画法的原则即可得到结论．
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．（2020高二上·怀仁月考）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 ，且直观图 的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设等腰梯形 对应该平面图形 ，则 ， ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为，直接解题即可。
2．（2020高二上·嘉兴期中）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】用斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为45°，底为2，高为的平行四边形，平行四边形的面积为，
故答案为：B。
【分析】由斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为，底为2，高为的平行四边形，再利用平行四边形的面积公式，从而求出所得的直观图的面积。
3．（2020高一上·保山月考）若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（　　）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
【答案】D
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是三棱锥
故答案为：D
【分析】根据几何体的特征可得答案.
4．（2020高一下·包头期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（　　）
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于 轴的线段，长度不变，平行于 轴的线段，变为原来的 ，所以②错误；
对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是 和 ，所以③错误；
对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；
综上，正确的命题序号是①，共1个．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而得出平面图形的直观图，进而找出正确结论的个数。
5．（2019高一上·衡阳月考）如图所示的是水平放置的三角形直观图， 是 中 边上的一点，且 离 比 离 近，又 轴，那么原 的 、 、 三条线段中（　　）
A．最长的是 ，最短的是 B．最长的是 ，最短的是
C．最长的是 ，最短的是 D．最长的是 ，最短的是
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意得到原 的平面图为：
其中， ， ，所以 ，所以 的 、 、 三条线段中最长的是 ，最短的是 .
故答案为：B.
【分析】作出原 的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果．
6．（2020高二上·宁波期中）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图，恢复后的原图形为一个直角梯形，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用斜二测画法得出的直观图还原为原图为一个直角梯形，再利用已知条件结合梯形面积公式，从而求出原平面图形的面积。
7．（2020高二上·通化期中）用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为 ，则原图形面积为（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为 ，而原图形面积是直观图的面积的 ，
所以原图形面积为 ，
故答案为：A
【分析】利用平面图形的面积与其直观图面积的关系进行求解即可
8．（2020高二上·辽源月考）水平放置的 的斜二测直观图如图所示，若 ， 的面积为 ，则 的长为（　　）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】依题意，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，又因为 ，
由勾股定理得： ．
故答案为：B．
【分析】依题意由 的面积为 ，解得 ，所以 ， ，根据勾股定理即可求 ．
二、填空题
9．（2020高二上·重庆月考）如图所示， 为水平放置的 的直观图，其中 ， ，则 的面积是　 　．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形,则有 ，
所以
故答案为：
【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．
10．（2020高二上·宿州期中）如图，平行四边形 是四边形 的直观图.若 ， ，则原四边形 的周长为　 　.
【答案】14
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为平行四边形 是四边形 的直观图，且 ，
所以四边形 是矩形，且 ，
所以四边形 的周长为 ，
故答案为：14
【分析】由四边形的直观图画法结合边之间的关系计算出结果即可。
11．（2020高二上·洪洞期中）等边三角形 的边长为 ，建立如图所示的直角坐标系 ，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是　 　．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过 作 ，则 ，作 轴和 轴，使得 ，在 轴上取点 ，
使得 ，在 轴上取点 ，使得 ，过点 轴，使得 ，连接 ，则 的直观图，由直观图作法可知 ，过 作 于 ，则 ，所以 。
【分析】利用等边三角形的性质结合用斜二测画法画直观图的方法，从而结合三角形的面积公式，从而求出它的直观图的面积。
12．（2020高一下·滨海期中）水平放置 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则 边上的中线的长度为　 　.
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在直观图中， ， ，所以在 中， ， ， 为直角，
，因此， 边上的中线的长度为 .
故答案为： .
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出 实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
13．（2020高一下·黄梅开学考）如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是　 　．
【答案】16
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由题意得，由图象中可知， ，则对应三角形 中， ，又与 平行的线段的长度为 ，则对应三角形 的高为 ，所以三角形 的面积为 ．
【分析】由斜二次画法即可得出直观图中三角形的边长，再由三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
14．（2019高一上·蒙山月考）如图所示是 用斜二测画法画出的直观图，则 的面积是　 　．
【答案】32
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】斜二测画法作图时，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段长度变为原来的 ，
由直观图可得： .
故答案为：
【分析】根据斜二测画法的原则，结合题中直观图，可直接求出结果.
15．（2019高二上·庐阳月考）一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，则原平面四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形，故其直观图的面积为 ，又直观图与原图面积之比为 ，所以原平面四边形的面积为 ．
故答案为： ．
【分析】根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．
16．（2019高二下·南昌期中）一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 轴，底角为 ，两腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图过点 作， ，
则四边形 是一个内角为45°的平行四边形且 ， 中， ，则对应可得四边形 是矩形且 ， 是直角三角形， ，所以 。
【分析】利用直观图的斜二测画法结合已知条件，再利用等腰梯形的结构特征，从而用长方形和三角形的面积公式求和，从而求出这个平面图形的面积。
三、解答题
17．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
【答案】解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
18．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
【答案】解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则，画出几何体的直观图.
19．用斜二测画法画出下列水平放置的正五边形和四边形的直观图．
【答案】解：（1）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
连结EC交y轴为F，
在x′轴上作线段A′B′=AB，
则y′轴上分别作线段O′D′=OD，O′F′=OF，
过F′作线段E′C′=EC，且E′C′∥O′x′，
连结A′B′C′D′E′，即为正五边形的直观图．
（2）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上作线段O′C′=OC，
则y′轴上分别作线段O′A′=OA，
过A′作线段A′B′=AB，且A′B′∥O′x′，
连结A′B′C′O′，即为四边形的直观图．
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】根据斜二测画法的原则即可得到结论．
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