初中数学北师大版七年级下学期 第五章 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·綦江期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·云阳期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则点 到 边的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2021八上·日喀则期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个角的度数是（ ）
A．80°、20° B．50°、50°
C．80°、50° D．80°、20°或50°、50°
4．（2021八下·东坡开学考）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）cm
A．9 B．12 C．15 D．18
5．（2021八上·温州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图所示，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样作的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
6．（2021八上·九龙坡期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
7．（2020八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．35° C．60° D．70°
8．（2020八上·宜城期中）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
二、填空题
9．（2021八上·丹徒期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 .
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
11．（2021八上·河池期末）等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 .
12．（2021八上·奉化期末）正五角星形共有 条对称轴.
13．（2021八上·鞍山期末）如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）.
14．（2021八上·新洲期末）如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm.点D是AC上一点，沿过BD折叠，使点C落在AB上的点E处，则 AED的周长为 cm.
15．（2020八上·伊通期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为acm，则△DEF的周长为 ．
16．（2021七上·大东期末）如图，将长方形纸片进行折叠， ， 为折痕， 与 ， 与 ， 与C′重合，若 则 的度数为 .
三、解答题
17．（2019八上·恩施期中）如图1，已知三角形纸片ABC， ， ，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求 的大小.
18．（2019八上·信阳期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD.若DC:DB=3:5，求DC的长.
19．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
20．（2020八下·龙岗期中）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．
21．（2020七上·平谷期末）已知：OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠COD＝40°．分别求∠AOD和∠BOC的度数．
22．（2020八上·北京期中）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
23．如图，A点是牧马营地．每天牧马人都要从营地出发，赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地．问：怎样的放牧路线，路程最短
24．（2020七上·西安期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， 两点落在 点处，若 ，求 的度数.
25．（2020八上·海珠期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
求证：AE=CE．
26．（2021八下·东坡开学考）如图所示,沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处,已知AB=8 ,BC=10 ，求EC的长。
27．（2019七下·河南期中）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是 的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出点D到AB边的距离等于CD长，即可选择.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角是20°，故另外两个角为20°，80°.
故答案为：D.
【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，AE=3cm，
∴BD=AD，AB=2AE=6cm
∵△ADC的周长为9cm，
∴AD+CD+AC=9
∴BD+CD+AD=9即BC+AC=9
∴△ABC的周长为：BC+AC+AB=9+6=15.
故答案为：C.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=AD，同时可求出AB的长；再由△ACD的周长为9，可求出BC+AC=9，然后求出△ABC得周长.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过两把直尺的交点P作PE⊥OA，PF⊥OB，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：B.
【分析】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
AD=BD， ∠ABC=∠BAD=50°，
∠BAC=20°，
∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠ABC=∠BAD=50°，进而根据角的和差可得∠CAD的度数.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE= ∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故答案为：B.
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE= ∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴ ×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5.
故答案为：C.
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B＝∠C＝70°，（等边对等角）
故答案为： .
【分析】直接根据等边对等角的性质写出结果即可.
10．【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：22.
【分析】根据题意可得MN为AB的垂直平分线，故 ，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差和等量代换即可求解.
11．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，根据题意得：
x+2（x+30）＝180
解得：x＝40.
故答案为：40°.
【分析】直接设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，接着根据三角形内角和为180°，列出方程，求解即可.
12．【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据对称的性质，过五角星的每个角的顶点都有一条对称轴，
所以五角星有5条对称轴.
故答案为：5.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，根据定义即可得出答案.
13．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点.
故答案为：C.
【分析】点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，据此即得结论.
14．【答案】7
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴△BCD≌△BED，
∴BE＝BC＝6cm，CD＝DE，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝7cm.
故答案为：7.
【分析】根据折叠的性质可得BE＝BC＝6cm，CD＝DE，进而根据线段的和差可得AE＝2cm，即可求△AED的周长.
15．【答案】3a
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠B=∠EDB=30°，∠FDC=∠C=90°，
∴∠FED=60°，∠EFD=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF=a，
∴△DEF的周长为3a，
故答案为：3a．
【分析】根据折叠的性质可得∠B=∠EDB=30°，∠FDC=∠C=90°，可求出∠FED=60°，∠EFD=60°，可证明△DEF是等边三角形，即可求出△DEF的周长。
16．【答案】64°28′
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可知，∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，
∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′=180°，
∴∠AED+∠BEF=90°，
又∵ ，
∴∠BEF=64°28′.
故答案为：64°28′.
【分析】根据翻折的性质可知∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，由于∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′
=180°，可得∠AED+∠BEF=90°，从而求出结论.
17．【答案】解： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而 ∠A=50°，∴∠ABC=（180°-50°）=65° ∵ 使点A与点B重合，折痕为ED，∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理得出∠ABC=65°，根据折叠的性质得出∠ABD=∠A=50°，进而根据角的和差，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可算出答案.
18．【答案】解：∵CD：DB=3：5，
∴设DC=3x，BD=5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
∴CD=3cm，
故答案是：3cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由于CD：DB=3：5，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答.
19．【答案】证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质进行作答即可。
20．【答案】解：因为BE平分∠ABC交AC于E，
所以 ，
因为DE垂直平分AB交AB于D，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为∠C=90°，
所以 ，
所以∠A=30°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出 ，利用线段垂直平分线的性质得出 ，最后根据 进行求解．
21．【答案】解： OC平分∠AOD，
又∵∠COD=40°
∵OB平分∠AOC
综上： ，
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先通过角平分线求出 ，再求出 ∠BOC=20°，即可求解。
22．【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
23．【答案】解：如图：最短路线为：A—B—C—A.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】分别作点A关于河边和草地的对称点A1，A2，连结A1A2交河和草地于点B、C，即可得最短路线A—B—C—A.
24．【答案】解：根据折叠得：∠B′OG＝∠BOG，
∵∠AOB′＝50°，
∴∠B′OG+∠BOG＝130°，
∴ ＝ ×130°＝65°.
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝50°，可得出 的度数.
25．【答案】证明：由对折可得：
长方形ABCD，
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由对折可得： 由长方形ABCD，可得 证明 可得 从而可得结论．
26．【答案】解：∵沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中
∴CF=BC-BF=10-6=4
设EC=x，则DE=EF=8-x
在Rt△EFC中
EC2+CF2=EF2
∴x2+42=(8-x)2
解之：x=3
∴EC的长为3cm.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用折叠的性质可得到AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，利用勾股定理求出BF的长，即可得到CF的长；设EC=x，可表示出EF的长；然后在Rt△EFC中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
27．【答案】∠BAF应为55度
理由是：∵∠ADB = 20°，四边形ABCD是长方形
∴∠ABD
=70°.
∵要
使AB′∥BD，需使∠BAB′= 110°
由折叠可知∠BAF = ∠B′AF
∴∠BAF应为55度
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论.
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第五章 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·綦江期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此一一判断得出答案.
2．（2021八上·云阳期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则点 到 边的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是 的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出点D到AB边的距离等于CD长，即可选择.
3．（2021八上·日喀则期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个角的度数是（ ）
A．80°、20° B．50°、50°
C．80°、50° D．80°、20°或50°、50°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角是20°，故另外两个角为20°，80°.
故答案为：D.
【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可.
4．（2021八下·东坡开学考）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）cm
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，AE=3cm，
∴BD=AD，AB=2AE=6cm
∵△ADC的周长为9cm，
∴AD+CD+AC=9
∴BD+CD+AD=9即BC+AC=9
∴△ABC的周长为：BC+AC+AB=9+6=15.
故答案为：C.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=AD，同时可求出AB的长；再由△ACD的周长为9，可求出BC+AC=9，然后求出△ABC得周长.
5．（2021八上·温州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图所示，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样作的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过两把直尺的交点P作PE⊥OA，PF⊥OB，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：B.
【分析】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.
6．（2021八上·九龙坡期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
AD=BD， ∠ABC=∠BAD=50°，
∠BAC=20°，
∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠ABC=∠BAD=50°，进而根据角的和差可得∠CAD的度数.
7．（2020八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．35° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE= ∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故答案为：B.
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE= ∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.
8．（2020八上·宜城期中）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴ ×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5.
故答案为：C.
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解.
二、填空题
9．（2021八上·丹徒期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B＝∠C＝70°，（等边对等角）
故答案为： .
【分析】直接根据等边对等角的性质写出结果即可.
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：22.
【分析】根据题意可得MN为AB的垂直平分线，故 ，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差和等量代换即可求解.
11．（2021八上·河池期末）等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 .
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，根据题意得：
x+2（x+30）＝180
解得：x＝40.
故答案为：40°.
【分析】直接设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，接着根据三角形内角和为180°，列出方程，求解即可.
12．（2021八上·奉化期末）正五角星形共有 条对称轴.
【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据对称的性质，过五角星的每个角的顶点都有一条对称轴，
所以五角星有5条对称轴.
故答案为：5.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，根据定义即可得出答案.
13．（2021八上·鞍山期末）如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）.
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点.
故答案为：C.
【分析】点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，据此即得结论.
14．（2021八上·新洲期末）如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm.点D是AC上一点，沿过BD折叠，使点C落在AB上的点E处，则 AED的周长为 cm.
【答案】7
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴△BCD≌△BED，
∴BE＝BC＝6cm，CD＝DE，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝7cm.
故答案为：7.
【分析】根据折叠的性质可得BE＝BC＝6cm，CD＝DE，进而根据线段的和差可得AE＝2cm，即可求△AED的周长.
15．（2020八上·伊通期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为acm，则△DEF的周长为 ．
【答案】3a
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠B=∠EDB=30°，∠FDC=∠C=90°，
∴∠FED=60°，∠EFD=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF=a，
∴△DEF的周长为3a，
故答案为：3a．
【分析】根据折叠的性质可得∠B=∠EDB=30°，∠FDC=∠C=90°，可求出∠FED=60°，∠EFD=60°，可证明△DEF是等边三角形，即可求出△DEF的周长。
16．（2021七上·大东期末）如图，将长方形纸片进行折叠， ， 为折痕， 与 ， 与 ， 与C′重合，若 则 的度数为 .
【答案】64°28′
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可知，∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，
∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′=180°，
∴∠AED+∠BEF=90°，
又∵ ，
∴∠BEF=64°28′.
故答案为：64°28′.
【分析】根据翻折的性质可知∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，由于∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′
=180°，可得∠AED+∠BEF=90°，从而求出结论.
三、解答题
17．（2019八上·恩施期中）如图1，已知三角形纸片ABC， ， ，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求 的大小.
【答案】解： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而 ∠A=50°，∴∠ABC=（180°-50°）=65° ∵ 使点A与点B重合，折痕为ED，∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理得出∠ABC=65°，根据折叠的性质得出∠ABD=∠A=50°，进而根据角的和差，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可算出答案.
18．（2019八上·信阳期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD.若DC:DB=3:5，求DC的长.
【答案】解：∵CD：DB=3：5，
∴设DC=3x，BD=5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
∴CD=3cm，
故答案是：3cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由于CD：DB=3：5，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答.
19．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
【答案】证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质进行作答即可。
20．（2020八下·龙岗期中）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D，求∠A的度数．
【答案】解：因为BE平分∠ABC交AC于E，
所以 ，
因为DE垂直平分AB交AB于D，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为∠C=90°，
所以 ，
所以∠A=30°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出 ，利用线段垂直平分线的性质得出 ，最后根据 进行求解．
21．（2020七上·平谷期末）已知：OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠COD＝40°．分别求∠AOD和∠BOC的度数．
【答案】解： OC平分∠AOD，
又∵∠COD=40°
∵OB平分∠AOC
综上： ，
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先通过角平分线求出 ，再求出 ∠BOC=20°，即可求解。
22．（2020八上·北京期中）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
23．如图，A点是牧马营地．每天牧马人都要从营地出发，赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地．问：怎样的放牧路线，路程最短
【答案】解：如图：最短路线为：A—B—C—A.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】分别作点A关于河边和草地的对称点A1，A2，连结A1A2交河和草地于点B、C，即可得最短路线A—B—C—A.
24．（2020七上·西安期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， 两点落在 点处，若 ，求 的度数.
【答案】解：根据折叠得：∠B′OG＝∠BOG，
∵∠AOB′＝50°，
∴∠B′OG+∠BOG＝130°，
∴ ＝ ×130°＝65°.
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据折叠可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝50°，可得出 的度数.
25．（2020八上·海珠期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
求证：AE=CE．
【答案】证明：由对折可得：
长方形ABCD，
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由对折可得： 由长方形ABCD，可得 证明 可得 从而可得结论．
26．（2021八下·东坡开学考）如图所示,沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处,已知AB=8 ,BC=10 ，求EC的长。
【答案】解：∵沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中
∴CF=BC-BF=10-6=4
设EC=x，则DE=EF=8-x
在Rt△EFC中
EC2+CF2=EF2
∴x2+42=(8-x)2
解之：x=3
∴EC的长为3cm.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用折叠的性质可得到AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，利用勾股定理求出BF的长，即可得到CF的长；设EC=x，可表示出EF的长；然后在Rt△EFC中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
27．（2019七下·河南期中）如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD
【答案】∠BAF应为55度
理由是：∵∠ADB = 20°，四边形ABCD是长方形
∴∠ABD
=70°.
∵要
使AB′∥BD，需使∠BAB′= 110°
由折叠可知∠BAF = ∠B′AF
∴∠BAF应为55度
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论.
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