初中数学苏科版八年级上册第二章轴对称图形 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·滨海期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·滨海期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．29°
3．（2021八上·太仓期末）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式.下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·兴化期末）在 中， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或70°
5．（2020八上·无锡期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论；①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PA：PB；③PB垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（2020八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．35° C．60° D．70°
二、填空题
7．（2021八上·建邺期末）如图，线段 、 的垂直平分线 、 相交于点 ，若 ， ，则 .
8．（2021八上·丹徒期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 .
9．（2021八上·淮安期末）等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则这个三角形的周长为 cm
10．（2021八上·邗江期末）如图所示，在 中， ， ，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则 的度数为 。
11．（2020八上·无锡期中）如图，A.B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个.
12．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 .
13．（2020八上·丹徒期中）△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B= °.
14．（2020八上·丹徒期中）已知等腰三角形的周长为12，底边长为5，则腰长为 .
15．（2020八上·丹徒期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点.
16．（2020八上·扬州期中）下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线； ④一条线段只有一条对称轴.不正确的有 .
三、解答题
17．（2020八上·江阴月考）已知 ABC中∠BAC=130°，BC=18cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G.求：∠EAF的度数.
18．（2020八上·建湖月考）已知：△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N.AB＝4，AC＝7，BC＝10.求△AMN的周长.
19．（2020八上·东台期末）如图，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
20．（2019八上·淮安期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AD于点E，EF⊥ AB，垂足为F.
求证：EF＝ED.
21．（2019八上·泰州月考）如图,在△ABC中,∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，
求 的面积.
22．（2018八上·东台月考）已知如图，四边形 中， ， ，求证： .
四、综合题
23．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE∥BC
（1）求证：DE=CE；
（2）若∠A=90°，S△BCD=26，BC=13，求AD.
24．（2020八上·扬州期中）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为5.
（1）AD与BD的数量关系为 .
（2）求BC的长.
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13，求OA的长.
25．（2020八上·东台月考）如图，在 中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E.
（1）若∠BAC=120°，则∠DAE= .
（2）连接OA、OB、OC， 的周长为6cm， 的周长为14cm，求OA的长.
26．（2019八上·泗洪月考）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是边CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形.由∠BAC的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关为 ；
（2）当点D是BC上任意一点（不与点B、C重合）时，结合图1，探究（1）中线段BE与DE之间的数量关系是否还成立？并证明你的结论.
（3）如图3，若点P为直线BC上一点，若△PAB为等腰三角形，请你求出∠APB的度数.
27．（2018八上·桥东期中）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．
（1）如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC= °；
（2）如图②，若∠BAC=135°，求证：BM2＋CN2＝MN2．
（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB=4，CB=10，求AH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念分析如下：
A、是轴对称图形，有3条对称轴，此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，此选项符合题意；
C、是轴对称图形，有4条对称轴，此选项不符合题意；
D、 是轴对称图形，有1条对称轴，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠ABC=∠ACB=69°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=42°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=27°.
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可求出∠ABC=∠ACB=69°，利用线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等边对等角求出∠A=∠DCA，最后代入∠BCD=∠ACB-∠ACD求出∠BCD的度数.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
故答案为：A．
【分析】由三角形的等边对等角的性质可知，∠C和∠B相等可得答案.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB，故正确；②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，但不定等于PA：PB，故错误；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴PB垂直平分CE(三线合一)，故正确；④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠PCF，
又∵PG∥AD，
∴∠CPF=∠DCP，
∴∠PCF＝∠CPF，故正确.
故①③④都正确.
故答案为：D.
【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE= ∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故答案为：B.
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE= ∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.
7．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
垂直平分 ，
垂直平分 ，
故答案为： .
【分析】连接OB，由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，OB=OC，由等边对等角可得∠ABO=∠BAO，∠C=∠OBC，然后根据三角形内角和定理和周角的定义可求解.
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B＝∠C＝70°，（等边对等角）
故答案为： .
【分析】直接根据等边对等角的性质写出结果即可.
9．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若2为腰长，4为底边长，由于2+2=4，则三角形不存在；
（2）若4为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】分两种情况讨论，即当腰为2时，当腰为4时，首先根据三角形三边的关系判断是否成立，然后再计算周长即可.
10．【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
DE垂直平分AB
∴ AE=BE，
故答案为：30° .
【分析】利用等腰三角形的性质可及三角形的内角和得出∠ABC的度数，再根据垂直平分线定理得出AD=BD，进而再根据等边对等角得出 ，继而可得出答案.
11．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.
所以符合条件的点C共有9个.
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边.
12．【答案】1或
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：分为3种情况：①当 时，
， ，
，
点与 点关于直线 对称，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，
；②当 时，
，
，
，
根据三角形外角性质得： ，
这种情况不存在；③当 时，
，
，
设 ，则
在 中， ，
，
解得： ；
当 为等腰三角形时， 或 ；
【分析】分为三种情况：① ，② ，③ ，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.
13．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形内角和求解即可.
14．【答案】3.5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设等腰三角形的一条腰为x，
∵腰三角形的周长为12，底边长为5，
∴ ，
解得 ；
故答案为：3.5.
【分析】设等腰三角形的一条腰为x，利用等腰三角形的性质及周长可得方程，解出x的值即可.
15．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是：D.
故答案为：D.
【分析】根据对称的性质进行作图，利用图形即得结论.
16．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①直角三角形不一定是轴对称图形，故不正确；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不正确；
③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，故不正确；
④一条线段有两条对称轴，故不正确.
故答案为：①②③④.
【分析】直角三角形不一定是轴对称图形,等腰直角三角形才是轴对称图形；对称轴是直线，中线是线段，高是线段， 垂直平分线是直线，不能说直线是线段，只能说它们重合；线段的确是有两条对称轴的,一条是它的垂直平分线,另一条是过这条线段的直线，综上可得命题中不正确的序号.
17．【答案】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠FAC)=80°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB=EA，FA=FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案.
18．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，
∴BM＝AM，AN＝CN，
∵BC＝10，
∴BM+MN+CN＝10，
∴AM+MN+AN＝10，
∴△AMN的周长为10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可知BM＝AM，AN＝CN，然后将△AMN的周长转化成BC的长度，从而可得出答案.
19．【答案】解：连接AE、AG，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，
∵∠AEG与∠AGE分别是△AEB与△AGC的外角，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，
∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，
∴BE= EG= CG =2cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AE、AG，根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C=30°，然后根据垂直平分线的性质可得：BE=AE，AG=CG，从而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根据三角形外角的性质可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根据等边三角形的判定可得：△AEG是等边三角形，从而得出：AE=EG=AG，即可求出BE= EG= CG =2cm.
20．【答案】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF=ED.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 EF=ED.
21．【答案】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=CD=3 ，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
22．【答案】解：连接 ，
∵AB=AC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即 .
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接 ， 根据等边对等角得出 ∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， 根据等式的性质将两个等式直接相加即可得出结论。
23．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD，又∵DE∥BC ∴∠BCD＝∠CDE.
∴∠ECD＝∠EDC ∴DE＝CE；
（2）解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，∴AD＝FD，
∵S△BCD＝26，BC＝13，∴ ×13×DF＝26，∴DF＝4，∴AD＝4.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠BCD=∠ECD=∠CDE，进而利用等角对等边判定DE=CE；（2）过D作DF⊥BC于F，依据角平分线的性质，即可得到AD=FD，再根据S△BCD=26，即可得出DF得到长，进而得到AD的长.
24．【答案】（1）相等
（2）解：∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为5，
∴AD+DE+AE=5，
∴BD+DE+EC=5，即BC=5；
（3）解：l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为13，BC=5，
∴OB+OC=8，
∴OA=OB=OC=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：相等.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
25．【答案】（1）60°
（2）解：如图，由题意得：OA=OB=OC，
由（2）知，BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=△ADE的周长=6
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=BC+2OA=14，∴2OA=14-6=8，OA=4（cm）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DM、EN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴DB=DA，EA=EC
∴
∴
∴
【分析】（1）由垂直平分线的性质可以得到两组边相等，再可得两组角相等，接下来根据三角形的内角和定理和角的加减计算可以得到解答；（2）利用垂直平分线的性质和三角形的周长定义可以得到解答.
26．【答案】（1）60°；AB的中点处；BE＝DE
（2）解：BE＝DE依然成立.
证明：如图3.取AB的中点F，连接EF.
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1＝60°，CF＝AF＝ AB，
∴△ACF是等边三角形.
∴AC＝AF①，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2＝60°，AD＝AE②，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠CAD＝∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）.
∴∠ACD＝∠AFE＝90°.
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴BE＝DE；
（3）解：如图4，
∵△PAB为等腰三角形，
∴①当AP＝AB时，即：AP1＝AB，
∴∠AP1B＝∠ABP1＝30°；
②当BP＝AB时，
Ⅰ、BP2＝AB，
∴∠AP2B＝ （180° ∠ABC）＝75°，
Ⅱ、BP4＝AB，
∴∠BAP4＝∠AP4B，
∵∠ABC＝30°＝∠BAP4＋∠AP4B，
∴∠AP4B＝15°；
③当AP＝BP时，即：AP3＝BP3，
∴∠BAP3＝∠ABC＝30°，
∴∠AP3B＝180° ∠ABC ∠BAP3＝120°，
综上所述，若△PAB为等腰三角形，∠APB的度数为15°或30°或75°或120°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE＝CE＝BE＝DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE＝DE；
【分析】（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形的性质即可求解；
（2）根据题意画出图形，猜想：BE＝DE，理由：取AB的中点F，连接EF，由∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可知∠1＝60°，CF＝AF＝AB，由等边三角形的判定可得△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD＝∠FAE，用边角边可证可知△ACD≌△AFE，故∠ACD＝∠AFE＝90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，进而可得出△ADE是等边三角形，故DE＝AE，BE＝DE；
（3）分三种情况“①当AP＝AB时， ②当BP＝AB时， ③当AP＝BP时”讨论即可求解.
27．【答案】（1）120
（2）解：如图②，连接AM、AN
∵∠BAC=135°
∴∠B+∠C=45°，
又∵点M在AB的垂直平分线上
∴AM=BM
∴∠BAM=∠B，
同理AN=CN，∠CAN=∠C
∴∠BAM+∠CAN=45°
∴∠MAN=90°，
∴AM2+AN2=MN2；
∴BM2+CN2=MN2；
（3）解：如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC
∴PH=PE
∵点P在AC的垂直平分线上
∴AP=CP
在Rt△APH和Rt△CPE中
∴Rt△APH≌Rt△CPE
∴AH=CE，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC
∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°
∵BP=BP
∴Rt△BPH≌Rt△BPE
∴BH=BE，
∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH
∴AH=（BC-AB）÷2=3．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵△AMN是等边三角形，
∴∠AMN=60°，
∵MG是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴∠B=∠BAM=30°
同理：∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
故答案为：120；
【分析】（1）由等边三角形性质可知∠AMN=60°，由线段垂直平分线性质可知AM=BM，AN=CN，从而∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，再由三角形内角和定理可求得∠BAC=120°；（2）连接AM、AN，由三角形内角和定理可知∠B+∠C=45°，由线段垂直平分线性质可得AM=BM，AN=CN，从而证得∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，从而可知三角形ANM为直角三角形，利用勾股定理即可的AM2+AN2=MN2，等量代换后得证BM2+CN2=MN2；（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，由角平分线的性质可得PH=PE，线段垂直平分线性质可得AP=CP，进而利用HL证得Rt△APH≌Rt△CPE，得到AH=CE，从而利用HL可证得Rt△BPH≌Rt△BPE，故BH=BE，经过等量代换即可得到BC=AB+2AH，即可求得AH的长.
1 / 1初中数学苏科版八年级上册第二章轴对称图形 单元测试卷
一、单选题
1．（2021八上·滨海期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念分析如下：
A、是轴对称图形，有3条对称轴，此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，此选项符合题意；
C、是轴对称图形，有4条对称轴，此选项不符合题意；
D、 是轴对称图形，有1条对称轴，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可.
2．（2021八上·滨海期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．29°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠ABC=∠ACB=69°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=42°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=27°.
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可求出∠ABC=∠ACB=69°，利用线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等边对等角求出∠A=∠DCA，最后代入∠BCD=∠ACB-∠ACD求出∠BCD的度数.
3．（2021八上·太仓期末）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式.下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
4．（2021八上·兴化期末）在 中， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或70°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
故答案为：A．
【分析】由三角形的等边对等角的性质可知，∠C和∠B相等可得答案.
5．（2020八上·无锡期中）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论；①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PA：PB；③PB垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB，故正确；②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，但不定等于PA：PB，故错误；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴PB垂直平分CE(三线合一)，故正确；④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠PCF，
又∵PG∥AD，
∴∠CPF=∠DCP，
∴∠PCF＝∠CPF，故正确.
故①③④都正确.
故答案为：D.
【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果.
6．（2020八上·南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．35° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE= ∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故答案为：B.
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据轴对称的性质可得∠BAC=∠B'AC，根据等腰三角形的三线合一可得∠DAE=∠B'AE，从而得出∠CAE= ∠BAD=55°，利用直角三角形的性质可得∠ACB'的度数，从而得出∠ACB的度数.
二、填空题
7．（2021八上·建邺期末）如图，线段 、 的垂直平分线 、 相交于点 ，若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
垂直平分 ，
垂直平分 ，
故答案为： .
【分析】连接OB，由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，OB=OC，由等边对等角可得∠ABO=∠BAO，∠C=∠OBC，然后根据三角形内角和定理和周角的定义可求解.
8．（2021八上·丹徒期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B＝∠C＝70°，（等边对等角）
故答案为： .
【分析】直接根据等边对等角的性质写出结果即可.
9．（2021八上·淮安期末）等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则这个三角形的周长为 cm
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若2为腰长，4为底边长，由于2+2=4，则三角形不存在；
（2）若4为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】分两种情况讨论，即当腰为2时，当腰为4时，首先根据三角形三边的关系判断是否成立，然后再计算周长即可.
10．（2021八上·邗江期末）如图所示，在 中， ， ，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则 的度数为 。
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
DE垂直平分AB
∴ AE=BE，
故答案为：30° .
【分析】利用等腰三角形的性质可及三角形的内角和得出∠ABC的度数，再根据垂直平分线定理得出AD=BD，进而再根据等边对等角得出 ，继而可得出答案.
11．（2020八上·无锡期中）如图，A.B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个.
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.
所以符合条件的点C共有9个.
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边.
12．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 .
【答案】1或
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：分为3种情况：①当 时，
， ，
，
点与 点关于直线 对称，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，
；②当 时，
，
，
，
根据三角形外角性质得： ，
这种情况不存在；③当 时，
，
，
设 ，则
在 中， ，
，
解得： ；
当 为等腰三角形时， 或 ；
【分析】分为三种情况：① ，② ，③ ，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.
13．（2020八上·丹徒期中）△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B= °.
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形内角和求解即可.
14．（2020八上·丹徒期中）已知等腰三角形的周长为12，底边长为5，则腰长为 .
【答案】3.5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设等腰三角形的一条腰为x，
∵腰三角形的周长为12，底边长为5，
∴ ，
解得 ；
故答案为：3.5.
【分析】设等腰三角形的一条腰为x，利用等腰三角形的性质及周长可得方程，解出x的值即可.
15．（2020八上·丹徒期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 点.
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是：D.
故答案为：D.
【分析】根据对称的性质进行作图，利用图形即得结论.
16．（2020八上·扬州期中）下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线； ④一条线段只有一条对称轴.不正确的有 .
【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①直角三角形不一定是轴对称图形，故不正确；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不正确；
③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，故不正确；
④一条线段有两条对称轴，故不正确.
故答案为：①②③④.
【分析】直角三角形不一定是轴对称图形,等腰直角三角形才是轴对称图形；对称轴是直线，中线是线段，高是线段， 垂直平分线是直线，不能说直线是线段，只能说它们重合；线段的确是有两条对称轴的,一条是它的垂直平分线,另一条是过这条线段的直线，综上可得命题中不正确的序号.
三、解答题
17．（2020八上·江阴月考）已知 ABC中∠BAC=130°，BC=18cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G.求：∠EAF的度数.
【答案】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠FAC)=80°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB=EA，FA=FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案.
18．（2020八上·建湖月考）已知：△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N.AB＝4，AC＝7，BC＝10.求△AMN的周长.
【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，
∴BM＝AM，AN＝CN，
∵BC＝10，
∴BM+MN+CN＝10，
∴AM+MN+AN＝10，
∴△AMN的周长为10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可知BM＝AM，AN＝CN，然后将△AMN的周长转化成BC的长度，从而可得出答案.
19．（2020八上·东台期末）如图，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
【答案】解：连接AE、AG，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，
∵∠AEG与∠AGE分别是△AEB与△AGC的外角，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，
∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，
∴BE= EG= CG =2cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AE、AG，根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C=30°，然后根据垂直平分线的性质可得：BE=AE，AG=CG，从而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根据三角形外角的性质可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根据等边三角形的判定可得：△AEG是等边三角形，从而得出：AE=EG=AG，即可求出BE= EG= CG =2cm.
20．（2019八上·淮安期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AD于点E，EF⊥ AB，垂足为F.
求证：EF＝ED.
【答案】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF=ED.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 EF=ED.
21．（2019八上·泰州月考）如图,在△ABC中,∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，
求 的面积.
【答案】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=CD=3 ，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
22．（2018八上·东台月考）已知如图，四边形 中， ， ，求证： .
【答案】解：连接 ，
∵AB=AC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即 .
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接 ， 根据等边对等角得出 ∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， 根据等式的性质将两个等式直接相加即可得出结论。
四、综合题
23．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE∥BC
（1）求证：DE=CE；
（2）若∠A=90°，S△BCD=26，BC=13，求AD.
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD，又∵DE∥BC ∴∠BCD＝∠CDE.
∴∠ECD＝∠EDC ∴DE＝CE；
（2）解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，∴AD＝FD，
∵S△BCD＝26，BC＝13，∴ ×13×DF＝26，∴DF＝4，∴AD＝4.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠BCD=∠ECD=∠CDE，进而利用等角对等边判定DE=CE；（2）过D作DF⊥BC于F，依据角平分线的性质，即可得到AD=FD，再根据S△BCD=26，即可得出DF得到长，进而得到AD的长.
24．（2020八上·扬州期中）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为5.
（1）AD与BD的数量关系为 .
（2）求BC的长.
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13，求OA的长.
【答案】（1）相等
（2）解：∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为5，
∴AD+DE+AE=5，
∴BD+DE+EC=5，即BC=5；
（3）解：l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为13，BC=5，
∴OB+OC=8，
∴OA=OB=OC=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：相等.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
25．（2020八上·东台月考）如图，在 中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E.
（1）若∠BAC=120°，则∠DAE= .
（2）连接OA、OB、OC， 的周长为6cm， 的周长为14cm，求OA的长.
【答案】（1）60°
（2）解：如图，由题意得：OA=OB=OC，
由（2）知，BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=△ADE的周长=6
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=BC+2OA=14，∴2OA=14-6=8，OA=4（cm）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DM、EN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴DB=DA，EA=EC
∴
∴
∴
【分析】（1）由垂直平分线的性质可以得到两组边相等，再可得两组角相等，接下来根据三角形的内角和定理和角的加减计算可以得到解答；（2）利用垂直平分线的性质和三角形的周长定义可以得到解答.
26．（2019八上·泗洪月考）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是边CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形.由∠BAC的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关为 ；
（2）当点D是BC上任意一点（不与点B、C重合）时，结合图1，探究（1）中线段BE与DE之间的数量关系是否还成立？并证明你的结论.
（3）如图3，若点P为直线BC上一点，若△PAB为等腰三角形，请你求出∠APB的度数.
【答案】（1）60°；AB的中点处；BE＝DE
（2）解：BE＝DE依然成立.
证明：如图3.取AB的中点F，连接EF.
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1＝60°，CF＝AF＝ AB，
∴△ACF是等边三角形.
∴AC＝AF①，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2＝60°，AD＝AE②，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠CAD＝∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）.
∴∠ACD＝∠AFE＝90°.
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴BE＝DE；
（3）解：如图4，
∵△PAB为等腰三角形，
∴①当AP＝AB时，即：AP1＝AB，
∴∠AP1B＝∠ABP1＝30°；
②当BP＝AB时，
Ⅰ、BP2＝AB，
∴∠AP2B＝ （180° ∠ABC）＝75°，
Ⅱ、BP4＝AB，
∴∠BAP4＝∠AP4B，
∵∠ABC＝30°＝∠BAP4＋∠AP4B，
∴∠AP4B＝15°；
③当AP＝BP时，即：AP3＝BP3，
∴∠BAP3＝∠ABC＝30°，
∴∠AP3B＝180° ∠ABC ∠BAP3＝120°，
综上所述，若△PAB为等腰三角形，∠APB的度数为15°或30°或75°或120°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE＝CE＝BE＝DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE＝DE；
【分析】（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形的性质即可求解；
（2）根据题意画出图形，猜想：BE＝DE，理由：取AB的中点F，连接EF，由∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可知∠1＝60°，CF＝AF＝AB，由等边三角形的判定可得△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD＝∠FAE，用边角边可证可知△ACD≌△AFE，故∠ACD＝∠AFE＝90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，进而可得出△ADE是等边三角形，故DE＝AE，BE＝DE；
（3）分三种情况“①当AP＝AB时， ②当BP＝AB时， ③当AP＝BP时”讨论即可求解.
27．（2018八上·桥东期中）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．
（1）如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC= °；
（2）如图②，若∠BAC=135°，求证：BM2＋CN2＝MN2．
（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB=4，CB=10，求AH的长．
【答案】（1）120
（2）解：如图②，连接AM、AN
∵∠BAC=135°
∴∠B+∠C=45°，
又∵点M在AB的垂直平分线上
∴AM=BM
∴∠BAM=∠B，
同理AN=CN，∠CAN=∠C
∴∠BAM+∠CAN=45°
∴∠MAN=90°，
∴AM2+AN2=MN2；
∴BM2+CN2=MN2；
（3）解：如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC
∴PH=PE
∵点P在AC的垂直平分线上
∴AP=CP
在Rt△APH和Rt△CPE中
∴Rt△APH≌Rt△CPE
∴AH=CE，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC
∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°
∵BP=BP
∴Rt△BPH≌Rt△BPE
∴BH=BE，
∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH
∴AH=（BC-AB）÷2=3．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵△AMN是等边三角形，
∴∠AMN=60°，
∵MG是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴∠B=∠BAM=30°
同理：∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
故答案为：120；
【分析】（1）由等边三角形性质可知∠AMN=60°，由线段垂直平分线性质可知AM=BM，AN=CN，从而∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，再由三角形内角和定理可求得∠BAC=120°；（2）连接AM、AN，由三角形内角和定理可知∠B+∠C=45°，由线段垂直平分线性质可得AM=BM，AN=CN，从而证得∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，从而可知三角形ANM为直角三角形，利用勾股定理即可的AM2+AN2=MN2，等量代换后得证BM2+CN2=MN2；（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，由角平分线的性质可得PH=PE，线段垂直平分线性质可得AP=CP，进而利用HL证得Rt△APH≌Rt△CPE，得到AH=CE，从而利用HL可证得Rt△BPH≌Rt△BPE，故BH=BE，经过等量代换即可得到BC=AB+2AH，即可求得AH的长.
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