初中数学北师大版七年级下学期 第五章 5.3 简单的轴对称图形
一、单选题
1．（2021八下·台州开学考）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个、第二个、第四个图形是轴对称图形，故共有3个.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．（2021八上·睢县期末）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）
A． B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，在图中标数的位置涂上阴影，能构成轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴，根据特点在图中找出符合条件的小正方形即可。
3．（2020八上·永年期末）如图，与线段a、b可以构成轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】与线段 a 、 b 可以构成轴对称图形的是f，
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形定义解题即可．
4．（2020八上·上思月考）一个正五边形的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．10条
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，
共有5条对称轴，
故答案为：C.
【分析】先画出五边形，再作出所有的对称轴即可解答.
5．（2020九上·孝南开学考）下列图形中，其对称轴条数最多的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：∵正方形的对称轴有4条；矩形的对称轴有2条；菱形的对称轴有2条；等边三角形的对称轴有3条，
∴正方形的对称轴条数最多.
故答案为：A.
【分析】利用轴对称图形的性质可得到正方形，矩形，菱形，等边三角形的对称轴的条数，即可得到对称轴条数最多的图形。
6．（2020七下·双阳期末）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为正方形面积一半： ×22＝2．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式及阴影部分的面积进行计算求解即可。
二、填空题
7．（2019八上·高安期中）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．
【答案】4
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有4个.
故答案为：4.
【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
8．（2019八上·阳东期中）在圆、正六边形、正方形、等边三角形中，对称轴的条数最少的图形是 ．
【答案】等边三角形
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴；故对称轴的条数最少的图形是等边三角形．
【分析】根据对称轴的定义，分别得出各选项图形的对称轴的条数，即可得出答案．
9．（2018八上·东台期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有 种选择.
【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如下图，这样的白色小方格共有3种选择.
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义和网格图的特征可求解。
10．（2021九下·金牛月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（ASA）
∴CE=BD=9.
故答案为：9.
【分析】利用等边对等角，可证得∠B=∠C；再利用ASA证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长.
11．（2021九下·武汉月考）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝33°，则∠C的大小是 .
【答案】71°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝CB，AC＝AD，
∴ ， ，
∵∠BAD＝33°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为71°.
【分析】由等边对等角得出，， 利用三角形外角的性质得出 ，由，据此即可求出结论.
12．（2021八下·北京开学考）如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点 均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且 ， .如果点 也在此 的正方形网格的格点上，且 是等腰三角形，那么当 的面积最大时，点 的坐标为 ．
【答案】（0，-1）；（2,0）
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，故以AB为腰作等腰直角三角形面积最大，
∴当 的面积最大时，点 的坐标为（0，-1）；（2,0）.
故填：（0，-1）；（2,0）
【分析】以 ， 为条件建立坐标系，然后结合网格结构可知，构成格点三角形只有以AB为腰的等腰三角形，其中等腰直角三角形时 的面积最大时点 的坐标
三、解答题
13．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
【答案】解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；
相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称的性质：把图形沿AF对折，凡是重合的线段都相等，重合的角也都相等．
14．如图，在△ABC中，高线CD将∠ACB分成20°和50°的两个小角．请你判断一下△ABC是轴对称图形吗？并说明你的理由．
【答案】解：△ABC是轴对称图形．
∵∠BCD=20°，
∴∠B=90°﹣∠BCD=70°，
∴∠ACB=∠B=70°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是轴对称图形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】求出∠CBD=70°，可得出△ABC为等腰三角形，继而可判断△ABC是轴对称图形．
15．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由
（2）四边形ABCD是轴对称图形吗？试说明理由
【答案】（1）解：
AB∥CD．理由如下：
在△ABD和△BAC中
．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．
∴OA=OB．
∴AC﹣OA=BD﹣OB．
∴OD=OC．
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠ODC+∠COD=180°．
2∠OBA+∠AOB=180°．
又∠COD=∠AOB，
∴∠CDO=∠OBA．
∴AB∥CD．
（2）解：
四边形ABCD是轴对称图形．理由如下：
延长AD、BC交于点P，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
又OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB，
∴点A与点B关于直线OP对称①．
∵AB∥DC，
∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．
∴∠PDC=∠PCD．
∴DP=CP，∴点P在DC的垂直平分线上．
又OD=OC，∴点O在DC的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段DC．
∴点C与点D关于直线OP对称②．
所以，综上①②所述，四边形ABCD是轴对称图形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】（1）根据已知条件发现△ABD≌△BAC（SAS），运用全等三角形的性质求得AC=BD，∠OAB=∠OBA．再根据等角对等边证明OA=OB，从而证明OC=OD．再根据等边对等角，有目的证明一对内错角相等即可证明AB∥CD；
（2）由（1）的证明，明确了该三角形是等腰梯形，故又称两腰即可得到一个等腰三角形，再根据等腰三角形的性质进行证明即可．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是上任意一点，PE∥AB，PF∥AC．
（1）PE，PF，AB之间有什么关系？并说明理由
（2）点P在什么位置时，这个图形是轴对称图形？说明这时四边形AEPF是什么图形？
【答案】（1）解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AB，PF∥AC．
∴∠BPF=∠C，四边形AEPF是平行四边形．
∴∠B=∠BPF，AF=PE，
∴BF=PF，
∴PE+PF=AF+BF=AB．
（2）解：P为中点时是轴对称图形，四边形AEPF是为菱形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行四边形的判定和性质可求PE，PF，AB之间的关系；
（2）根据轴对称图形的概念可知P为中点时是轴对称图形，根据等腰三角形、平行线的性质及菱形的判定可知四边形AEPF的形状．
17．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．
【答案】
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．
【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可．
18．（2021八上·卧龙期末）为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m、n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到区域S内的两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置并标出点P（不写作法但保留作图痕迹）.
【答案】解：如图所示，点P即为所求作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点.
19．（2021八上·潜江期末）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.
（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）在图2中，画出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且点P是格点（画出一个即可）.
【答案】（1）如图所示，线段CM即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求.
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分，故连接DE，DE与AB的交点M就是AB的中点，连接CM即可；
（2）先分析出A、B、C在一个同一个圆上，接着作AB、BC、AC任意两边垂直平分线交点找到圆心O，以OA为半径把圆画出来，在优弧ABC上随便找一点即可.
20．（2021九上·港南期末）如图，已知等腰三角形 的顶角 .
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）.
（2）写出 的度数.
【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知，只需作出线段AC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
（2）连接AD，由等边对等角可得∠B=∠C=∠DAC，根据三角形内角和等于180°可求得∠C的度数，再根据角的构成可求解.
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第五章 5.3 简单的轴对称图形
一、单选题
1．（2021八下·台州开学考）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021八上·睢县期末）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）
A． B．5个 C．4个 D．3个
3．（2020八上·永年期末）如图，与线段a、b可以构成轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．（2020八上·上思月考）一个正五边形的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．10条
5．（2020九上·孝南开学考）下列图形中，其对称轴条数最多的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
6．（2020七下·双阳期末）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
二、填空题
7．（2019八上·高安期中）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．
8．（2019八上·阳东期中）在圆、正六边形、正方形、等边三角形中，对称轴的条数最少的图形是 ．
9．（2018八上·东台期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有 种选择.
10．（2021九下·金牛月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．
11．（2021九下·武汉月考）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝33°，则∠C的大小是 .
12．（2021八下·北京开学考）如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点 均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且 ， .如果点 也在此 的正方形网格的格点上，且 是等腰三角形，那么当 的面积最大时，点 的坐标为 ．
三、解答题
13．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
14．如图，在△ABC中，高线CD将∠ACB分成20°和50°的两个小角．请你判断一下△ABC是轴对称图形吗？并说明你的理由．
15．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由
（2）四边形ABCD是轴对称图形吗？试说明理由
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是上任意一点，PE∥AB，PF∥AC．
（1）PE，PF，AB之间有什么关系？并说明理由
（2）点P在什么位置时，这个图形是轴对称图形？说明这时四边形AEPF是什么图形？
17．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．
18．（2021八上·卧龙期末）为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m、n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到区域S内的两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置并标出点P（不写作法但保留作图痕迹）.
19．（2021八上·潜江期末）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.
（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）在图2中，画出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且点P是格点（画出一个即可）.
20．（2021九上·港南期末）如图，已知等腰三角形 的顶角 .
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）.
（2）写出 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个、第二个、第四个图形是轴对称图形，故共有3个.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，在图中标数的位置涂上阴影，能构成轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴，根据特点在图中找出符合条件的小正方形即可。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】与线段 a 、 b 可以构成轴对称图形的是f，
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形定义解题即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，
共有5条对称轴，
故答案为：C.
【分析】先画出五边形，再作出所有的对称轴即可解答.
5．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：∵正方形的对称轴有4条；矩形的对称轴有2条；菱形的对称轴有2条；等边三角形的对称轴有3条，
∴正方形的对称轴条数最多.
故答案为：A.
【分析】利用轴对称图形的性质可得到正方形，矩形，菱形，等边三角形的对称轴的条数，即可得到对称轴条数最多的图形。
6．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为正方形面积一半： ×22＝2．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式及阴影部分的面积进行计算求解即可。
7．【答案】4
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有4个.
故答案为：4.
【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
8．【答案】等边三角形
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴；故对称轴的条数最少的图形是等边三角形．
【分析】根据对称轴的定义，分别得出各选项图形的对称轴的条数，即可得出答案．
9．【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如下图，这样的白色小方格共有3种选择.
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义和网格图的特征可求解。
10．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（ASA）
∴CE=BD=9.
故答案为：9.
【分析】利用等边对等角，可证得∠B=∠C；再利用ASA证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长.
11．【答案】71°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝CB，AC＝AD，
∴ ， ，
∵∠BAD＝33°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为71°.
【分析】由等边对等角得出，， 利用三角形外角的性质得出 ，由，据此即可求出结论.
12．【答案】（0，-1）；（2,0）
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，故以AB为腰作等腰直角三角形面积最大，
∴当 的面积最大时，点 的坐标为（0，-1）；（2,0）.
故填：（0，-1）；（2,0）
【分析】以 ， 为条件建立坐标系，然后结合网格结构可知，构成格点三角形只有以AB为腰的等腰三角形，其中等腰直角三角形时 的面积最大时点 的坐标
13．【答案】解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；
相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称的性质：把图形沿AF对折，凡是重合的线段都相等，重合的角也都相等．
14．【答案】解：△ABC是轴对称图形．
∵∠BCD=20°，
∴∠B=90°﹣∠BCD=70°，
∴∠ACB=∠B=70°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是轴对称图形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】求出∠CBD=70°，可得出△ABC为等腰三角形，继而可判断△ABC是轴对称图形．
15．【答案】（1）解：
AB∥CD．理由如下：
在△ABD和△BAC中
．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．
∴OA=OB．
∴AC﹣OA=BD﹣OB．
∴OD=OC．
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠ODC+∠COD=180°．
2∠OBA+∠AOB=180°．
又∠COD=∠AOB，
∴∠CDO=∠OBA．
∴AB∥CD．
（2）解：
四边形ABCD是轴对称图形．理由如下：
延长AD、BC交于点P，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
又OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB，
∴点A与点B关于直线OP对称①．
∵AB∥DC，
∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．
∴∠PDC=∠PCD．
∴DP=CP，∴点P在DC的垂直平分线上．
又OD=OC，∴点O在DC的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段DC．
∴点C与点D关于直线OP对称②．
所以，综上①②所述，四边形ABCD是轴对称图形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】（1）根据已知条件发现△ABD≌△BAC（SAS），运用全等三角形的性质求得AC=BD，∠OAB=∠OBA．再根据等角对等边证明OA=OB，从而证明OC=OD．再根据等边对等角，有目的证明一对内错角相等即可证明AB∥CD；
（2）由（1）的证明，明确了该三角形是等腰梯形，故又称两腰即可得到一个等腰三角形，再根据等腰三角形的性质进行证明即可．
16．【答案】（1）解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AB，PF∥AC．
∴∠BPF=∠C，四边形AEPF是平行四边形．
∴∠B=∠BPF，AF=PE，
∴BF=PF，
∴PE+PF=AF+BF=AB．
（2）解：P为中点时是轴对称图形，四边形AEPF是为菱形．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行四边形的判定和性质可求PE，PF，AB之间的关系；
（2）根据轴对称图形的概念可知P为中点时是轴对称图形，根据等腰三角形、平行线的性质及菱形的判定可知四边形AEPF的形状．
17．【答案】
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．
【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可．
18．【答案】解：如图所示，点P即为所求作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点.
19．【答案】（1）如图所示，线段CM即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求.
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分，故连接DE，DE与AB的交点M就是AB的中点，连接CM即可；
（2）先分析出A、B、C在一个同一个圆上，接着作AB、BC、AC任意两边垂直平分线交点找到圆心O，以OA为半径把圆画出来，在优弧ABC上随便找一点即可.
20．【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知，只需作出线段AC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
（2）连接AD，由等边对等角可得∠B=∠C=∠DAC，根据三角形内角和等于180°可求得∠C的度数，再根据角的构成可求解.
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