初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．（2021九上·淮安期末）已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．（2021九上·舞阳期末）已知 的半径是 ，圆心 到同一平面内直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．（2021九上·新吴期末）⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．（2021九上·南丹期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
6．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7．（2021·常州模拟）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
9．（2021·崇明模拟）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
10．（2021·绍兴模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
11．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， 是 的中点， 的延长线上的点 满足 . 的内切圆与边 ， 的切点分别为 ， ，延长 分别与 ， 的延长线交于 ， ，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
12．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
13．（2020九上·昌平期末）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
14．（2021九上·北仑期末）若 的半径 ，点O到直线 的距离为3，下列图中位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
16．（2020九上·文登期末）以坐标原点 为圆心，1为半径作圆，直线 与 相交，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2021九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的半圆，直线AB：y＝x+b与x轴交于点P（x，0），若直线AB与半圆弧有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣3≤x≤3 B．﹣3≤x≤3
C．﹣3 ≤x≤3 D．0≤x≤3
18．（2021九上·鄞州月考）已知圆的直径为10 cm，圆心到直线l的距离为5 cm，那么直线l和这个圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
19．（2020九上·赣州月考）已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且 ，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相交或相离 D．相切或相交
20．（2020九上·福州月考）已知圆O的直径为12 ，圆心到直线 的距离为6 ，则直线 与圆O的公共点的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
21．（2020九上·邯郸月考）平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为5，那么 与 轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
二、填空题
22．（2021·绍兴模拟）圆的直径是 ，如果圆心与直线的距离是 ，那么该直线和圆的位置关系是 .
23．（2020九上·弥勒月考）已知 的半径3cm，圆心O到直线 的距离7cm，则直线 与 的位置关系是 .
24．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
25．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
26．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为 cm.
27．（2020九上·朝阳期末）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm．
28．（2020九上·路北期末）已知⊙O的半径为 ，圆心O到直线L的距离为 ，则直线L与⊙O的位置关系是 ．
29．（2020九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
30．（2020九上·赣州月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下面问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”．请你计算其结果为 步．
31．（2020九上·福州月考）已知 的两直角边分别是6和8，则其内切圆半径为 ．
32．（2020九上·东阿期中）已知圆的直径是 圆心到直线 的距离是 ，那么直线 与该圆的位置关系是 ．
33．（2020九上·厦门期中）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为m，若m满足方程 ，则⊙O与直线l的位置关系是
34．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则△ABC内切圆的半径为 cm．
35．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，△ABC中，∠A=60°，若O为△ABC的内心，则∠BOC的度数为 度．
三、解答题
36．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
四、综合题
37．（2021·于洪模拟）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是 上不与B，D重合的点，sinA＝ ．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2 ，求证：DF与⊙O相切．
38．（2021九下·射洪月考）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，∠C＝60°，BC＝2 .
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求MD的长度.
39．（2021·禹州模拟）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长.
40．（2020九上·丰台期末）如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=40°，
∴∠POA=90°-40°=50°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°，
故答案为：C.
【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，用直角三角形的两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据等边对等角得∠B=∠BCO并结合三角形外角的性质可求解.
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，
的半径 点O到直线m的距离
与直线m相切，
故答案为：B.
【分析】根据圆心到直线的距离和半径的大小关系来确定圆与直线的位置关系.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意可知：4＞3，
∴直线与圆相交；
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交；
故答案为：A.
【分析】 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，据此判断即可．
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径r为6cm，
如果圆心O到一条直线的距离d为7cm，
d>r，
这条直线与这个圆的位置关系是相离.
故答案为：A.
【分析】这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE=2，
在OE上取一点D，使DE=2，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
故答案为：3.
【分析】根据平行线间的距离相等，先在OE上取一点D，使DE=2，过点D作AB⊥OC交圆O于A、B两点，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数.
8．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
9．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm
∴点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙O上
当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切；
当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切
故答案为：D．
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出当AB⊥OB时，直线AB与⊙O相切；当AB与OB不垂直时，可求出点O到AB的距离，可得出点O到AB的距离小于OB，从而得出直线AB与⊙O相交；据此判断即可.
10．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝ AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故答案为：D.
【分析】要判定BC是⊙A切线，由题意只需证得∠B＝90°即可。结合各选项可判断求解.
11．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】 取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，易证四边形AEOF是正方形，由正方形的性质得AE＝AF，由等边对等角得∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得求出AM＝MC=BM=BC，推出∠MCA＝∠MAC，根据∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，求出∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ，由等式的性质得∠Q＝∠NPQ，由等角对等边得PN＝NQ即可求解．
12．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
13．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，
∴直线l垂直于过点P的半径，
∵PB⊥l，
∴PB的长是圆的半径，
故答案为：B．
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径求解即可。
14．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A： 的半径 ，点O到直线l的距离为3，故A正确
B：点O到直线l的距离为6，故B错误
C：点O到直线l的距离大于6，故C错误
D：点O到直线l的距离为0，故D错误
故选：A．
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；利用已知圆的半径和圆心到直线l的距离，可作出判断.
15．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
16．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当直线 与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：
在 中，令x=0，y=b，则与y轴的交点为B(0，b)，
令x=b，y=0，则与x轴的交点为A(b，0)，
则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形，
连接圆心O与切点C，则OC=1，
∴ △BOC也是等腰直角三角形，
∴ BC=OC=1，
∴ ，
同理当直线 与圆相切时且函数经过二、三、四象限，b= ，
∴ 当直线 与圆相交时，b的取值范围是 ；
故答案为：B．
【分析】先求出与x轴的交点为A(b，0)，再利用勾股定理和函数的性质进行求解即可。
17．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∵直线AB：y=x+b，
tan∠OPH==1，
∴∠OPH=45°，
∵OP=|x|，
∴OH=|x|，
∵AB与O有公共点，
∴OH≤3，
∴|x|≤3，
∴ ﹣3≤x≤3 ，
故答案为：A.
【分析】 作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤3，然后解绝对值不等式即可．
18．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的直径为10 cm，圆心到直线l的距离为5 cm，
∴直线与圆相切，
∴直线与圆只有一个公共点.
故答案为：B.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线l的距离等于r，则直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点；
若圆的半径为r，圆心到直线l的距离小于r，则直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点；
若圆的半径为r，圆心到直线l的距离大于r，则直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点.
19．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：若OA⊥l，
则圆心O到直线l的距离就是OA的长，
又∵OA=10=r，
∴直线l与⊙O相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于10，即小于半径，所以直线l与⊙O相交；
故答案为：D．
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定求解即可。
20．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
又圆心距为6cm，
即d=r，
∴直线L与⊙O相切，
∴直线L与⊙O的公共点有1个．
故答案为：B．
【分析】先求出圆心到直线的距离，利用半径和距离的大小做比较，再判断即可。
21．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵ 的圆心坐标为 ，
∴点P到y轴的距离为4，
∵ 的半径为5，5＞4，
∴ 与 轴的位置关系是相交，
故答案为：A．
【分析】求出圆心到y轴的距离，根半径比较求出圆与直线的位置关系即可。
22．【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 圆的直径是 ，
圆的半径是 ，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
23．【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为7cm，
∵3＜7，
∴直线l与⊙O相离.
故答案为：相离.
【分析】若设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离。再比较d与r的大小，可得答案。
24．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
25．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
26．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
27．【答案】1.5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为：1.5．
【分析】如图，过圆O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，根据切线的性质得OD、OE为圆O的半径，再证明四边形ODAE为正方形，所以OE=AD，然后量出AD即可。
28．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
故答案为：相交．
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
29．【答案】115
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°-130°=230°，
∴∠BEC= ×230°=115°，
故答案为115．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
30．【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，
∴AB= =17，
∴S△ABC= AC BC= ×8×15=60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，设内切圆的半径为r，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×r(AB+BC+AC)=20r，
∴20r=60，解得r=3，
∴内切圆的直径为6步，
故答案为：6．
【分析】先利用内切圆半径的公式求出内切圆的半径：，再乘2即可。
31．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
设内切圆的半径为r，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ．
故答案是2．
【分析】利用内切圆的半径计算公式求解即可。
32．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心到直线的距离6cm，
∴圆的半径＞圆心到直线的距离，
∴直线与圆相交，
故答案为：相交．
【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
33．【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 得： ，
是圆心O到直线 的距离，
，
又 满足方程 ，
，
的半径为3，
与直线 的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【分析】先解一元二次方程求出m的值，再根据圆与直线的位置关系即可得．
34．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵
∴
∴△ABC为直角三角形
∵ 、 且OD=OE
∴四边形ODCE为正方形
∴CD=CE=OD=OE
∵AD、AB、BC为圆的切线
∴AD=AF，BE=BF
∴
故答案为：2．
【分析】利用内接圆的半径计算公式：（S为三角形的面积，C为三角形的周长）计算即可。
35．【答案】120
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ， 为 的内心，
，
故答案是：120．
【分析】根据三角形的内心是三角形内角平分线的交点，结合公式计算即可。
36．【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
37．【答案】（1）解：连接OB，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，
∴∠BED＝ ∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝2 ，OB＝2，
∴tan∠BOF= = ，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三家函数求出∠A，由三角形的外角求得∠BOD，最后由圆周角与圆心角的关系求解即可；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得到∠OBF＝∠ODF＝90°，便可得出结论。
38．【答案】（1）证明：在⊙O中点M是弧AE的中点，
∴ ，
∵OA=OE=半径，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵ ，即圆的半径AO，BO，EO，MO均为3，
∴ ，
∴ ，
∴MD长度为 .
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠BOE=∠A+∠AEO，结合已知可求得∠A=∠AEO=∠BOE，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=90°，由圆的切线的判定可求解；
（2）由直角三角形的性质和勾股定理可求得AB的值，同理可得OD=OA，再由线段的构成MD=OM-OD可求解.
39．【答案】（1）证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
又OB为半径，
∴BE是⊙O的切线
（2）解：延长BO交AD于F，
由（1）得∠DBO=∠ABO，
∵BD=BA，
∴BF⊥AD，DF=AF= =3，
∵∠ABC=∠OBE=90 ，
∴∠ABF=∠CBE，
又∵∠AFB=∠CEB=90 ，BE=2CE，
∴△AFB △CEB，
∴ ，
∴BF=2AF=6，
∴BD=
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 (1)本题考查切线的判定，先利用全等三角形的判定，证出 △ABO≌△DBO ，再利用性质，推导出EB⊥BO，又OB为半径，从而证出BE是⊙O的切线 ；
(2)利用相似三角形的判定，得到 △AFB △CEB，再利用相似三角形的性质，联系已知 BE＝2CE，从而求出BD的长.
40．【答案】（1）解：证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴△AOD≌△AOC，
∴∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴ ，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中， ，
即： ，
解得：AC=6；
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得到∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC,根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得到∠AOC=∠AOD，进而证出 △AOD≌△AOC， 得到 ∠ADO=∠ACO=90°， 即可得出结论；（2）根据勾股定理求得BO，得到BC=8，然后根据勾股定理列出关于AC的方程求解即可。
1 / 1初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=40°，
∴∠POA=90°-40°=50°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°，
故答案为：C.
【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，用直角三角形的两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据等边对等角得∠B=∠BCO并结合三角形外角的性质可求解.
2．（2021九上·淮安期末）已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，
的半径 点O到直线m的距离
与直线m相切，
故答案为：B.
【分析】根据圆心到直线的距离和半径的大小关系来确定圆与直线的位置关系.
3．（2021九上·舞阳期末）已知 的半径是 ，圆心 到同一平面内直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意可知：4＞3，
∴直线与圆相交；
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
4．（2021九上·新吴期末）⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交；
故答案为：A.
【分析】 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，据此判断即可．
5．（2021九上·南丹期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径r为6cm，
如果圆心O到一条直线的距离d为7cm，
d>r，
这条直线与这个圆的位置关系是相离.
故答案为：A.
【分析】这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可.
6．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
7．（2021·常州模拟）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE=2，
在OE上取一点D，使DE=2，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
故答案为：3.
【分析】根据平行线间的距离相等，先在OE上取一点D，使DE=2，过点D作AB⊥OC交圆O于A、B两点，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数.
8．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
9．（2021·崇明模拟）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm
∴点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙O上
当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切；
当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切
故答案为：D．
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出当AB⊥OB时，直线AB与⊙O相切；当AB与OB不垂直时，可求出点O到AB的距离，可得出点O到AB的距离小于OB，从而得出直线AB与⊙O相交；据此判断即可.
10．（2021·绍兴模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝ AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故答案为：D.
【分析】要判定BC是⊙A切线，由题意只需证得∠B＝90°即可。结合各选项可判断求解.
11．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， 是 的中点， 的延长线上的点 满足 . 的内切圆与边 ， 的切点分别为 ， ，延长 分别与 ， 的延长线交于 ， ，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】 取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，易证四边形AEOF是正方形，由正方形的性质得AE＝AF，由等边对等角得∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得求出AM＝MC=BM=BC，推出∠MCA＝∠MAC，根据∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，求出∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ，由等式的性质得∠Q＝∠NPQ，由等角对等边得PN＝NQ即可求解．
12．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
13．（2020九上·昌平期末）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，
∴直线l垂直于过点P的半径，
∵PB⊥l，
∴PB的长是圆的半径，
故答案为：B．
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径求解即可。
14．（2021九上·北仑期末）若 的半径 ，点O到直线 的距离为3，下列图中位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A： 的半径 ，点O到直线l的距离为3，故A正确
B：点O到直线l的距离为6，故B错误
C：点O到直线l的距离大于6，故C错误
D：点O到直线l的距离为0，故D错误
故选：A．
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；利用已知圆的半径和圆心到直线l的距离，可作出判断.
15．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
16．（2020九上·文登期末）以坐标原点 为圆心，1为半径作圆，直线 与 相交，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当直线 与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：
在 中，令x=0，y=b，则与y轴的交点为B(0，b)，
令x=b，y=0，则与x轴的交点为A(b，0)，
则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形，
连接圆心O与切点C，则OC=1，
∴ △BOC也是等腰直角三角形，
∴ BC=OC=1，
∴ ，
同理当直线 与圆相切时且函数经过二、三、四象限，b= ，
∴ 当直线 与圆相交时，b的取值范围是 ；
故答案为：B．
【分析】先求出与x轴的交点为A(b，0)，再利用勾股定理和函数的性质进行求解即可。
17．（2021九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的半圆，直线AB：y＝x+b与x轴交于点P（x，0），若直线AB与半圆弧有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣3≤x≤3 B．﹣3≤x≤3
C．﹣3 ≤x≤3 D．0≤x≤3
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∵直线AB：y=x+b，
tan∠OPH==1，
∴∠OPH=45°，
∵OP=|x|，
∴OH=|x|，
∵AB与O有公共点，
∴OH≤3，
∴|x|≤3，
∴ ﹣3≤x≤3 ，
故答案为：A.
【分析】 作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤3，然后解绝对值不等式即可．
18．（2021九上·鄞州月考）已知圆的直径为10 cm，圆心到直线l的距离为5 cm，那么直线l和这个圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的直径为10 cm，圆心到直线l的距离为5 cm，
∴直线与圆相切，
∴直线与圆只有一个公共点.
故答案为：B.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线l的距离等于r，则直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点；
若圆的半径为r，圆心到直线l的距离小于r，则直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点；
若圆的半径为r，圆心到直线l的距离大于r，则直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点.
19．（2020九上·赣州月考）已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且 ，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相交或相离 D．相切或相交
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：若OA⊥l，
则圆心O到直线l的距离就是OA的长，
又∵OA=10=r，
∴直线l与⊙O相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于10，即小于半径，所以直线l与⊙O相交；
故答案为：D．
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定求解即可。
20．（2020九上·福州月考）已知圆O的直径为12 ，圆心到直线 的距离为6 ，则直线 与圆O的公共点的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
又圆心距为6cm，
即d=r，
∴直线L与⊙O相切，
∴直线L与⊙O的公共点有1个．
故答案为：B．
【分析】先求出圆心到直线的距离，利用半径和距离的大小做比较，再判断即可。
21．（2020九上·邯郸月考）平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为5，那么 与 轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵ 的圆心坐标为 ，
∴点P到y轴的距离为4，
∵ 的半径为5，5＞4，
∴ 与 轴的位置关系是相交，
故答案为：A．
【分析】求出圆心到y轴的距离，根半径比较求出圆与直线的位置关系即可。
二、填空题
22．（2021·绍兴模拟）圆的直径是 ，如果圆心与直线的距离是 ，那么该直线和圆的位置关系是 .
【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 圆的直径是 ，
圆的半径是 ，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
23．（2020九上·弥勒月考）已知 的半径3cm，圆心O到直线 的距离7cm，则直线 与 的位置关系是 .
【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为7cm，
∵3＜7，
∴直线l与⊙O相离.
故答案为：相离.
【分析】若设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离。再比较d与r的大小，可得答案。
24．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
25．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
26．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为 cm.
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
27．（2020九上·朝阳期末）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm．
【答案】1.5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为：1.5．
【分析】如图，过圆O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，根据切线的性质得OD、OE为圆O的半径，再证明四边形ODAE为正方形，所以OE=AD，然后量出AD即可。
28．（2020九上·路北期末）已知⊙O的半径为 ，圆心O到直线L的距离为 ，则直线L与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
故答案为：相交．
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
29．（2020九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
【答案】115
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°-130°=230°，
∴∠BEC= ×230°=115°，
故答案为115．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
30．（2020九上·赣州月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下面问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”．请你计算其结果为 步．
【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，
∴AB= =17，
∴S△ABC= AC BC= ×8×15=60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，设内切圆的半径为r，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= ×r(AB+BC+AC)=20r，
∴20r=60，解得r=3，
∴内切圆的直径为6步，
故答案为：6．
【分析】先利用内切圆半径的公式求出内切圆的半径：，再乘2即可。
31．（2020九上·福州月考）已知 的两直角边分别是6和8，则其内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
设内切圆的半径为r，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ．
故答案是2．
【分析】利用内切圆的半径计算公式求解即可。
32．（2020九上·东阿期中）已知圆的直径是 圆心到直线 的距离是 ，那么直线 与该圆的位置关系是 ．
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心到直线的距离6cm，
∴圆的半径＞圆心到直线的距离，
∴直线与圆相交，
故答案为：相交．
【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
33．（2020九上·厦门期中）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为m，若m满足方程 ，则⊙O与直线l的位置关系是
【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 得： ，
是圆心O到直线 的距离，
，
又 满足方程 ，
，
的半径为3，
与直线 的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【分析】先解一元二次方程求出m的值，再根据圆与直线的位置关系即可得．
34．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则△ABC内切圆的半径为 cm．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵
∴
∴△ABC为直角三角形
∵ 、 且OD=OE
∴四边形ODCE为正方形
∴CD=CE=OD=OE
∵AD、AB、BC为圆的切线
∴AD=AF，BE=BF
∴
故答案为：2．
【分析】利用内接圆的半径计算公式：（S为三角形的面积，C为三角形的周长）计算即可。
35．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，△ABC中，∠A=60°，若O为△ABC的内心，则∠BOC的度数为 度．
【答案】120
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ， 为 的内心，
，
故答案是：120．
【分析】根据三角形的内心是三角形内角平分线的交点，结合公式计算即可。
三、解答题
36．（2020九上·古蔺期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
【答案】解：连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】根据切线的判定定理作答即可。
四、综合题
37．（2021·于洪模拟）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是 上不与B，D重合的点，sinA＝ ．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若⊙O的半径为2，点F在AB的延长线上，且BF＝2 ，求证：DF与⊙O相切．
【答案】（1）解：连接OB，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，
∴∠BED＝ ∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝2 ，OB＝2，
∴tan∠BOF= = ，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三家函数求出∠A，由三角形的外角求得∠BOD，最后由圆周角与圆心角的关系求解即可；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得到∠OBF＝∠ODF＝90°，便可得出结论。
38．（2021九下·射洪月考）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，∠C＝60°，BC＝2 .
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求MD的长度.
【答案】（1）证明：在⊙O中点M是弧AE的中点，
∴ ，
∵OA=OE=半径，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵ ，即圆的半径AO，BO，EO，MO均为3，
∴ ，
∴ ，
∴MD长度为 .
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠BOE=∠A+∠AEO，结合已知可求得∠A=∠AEO=∠BOE，再根据三角形内角和定理可得∠ABC=90°，由圆的切线的判定可求解；
（2）由直角三角形的性质和勾股定理可求得AB的值，同理可得OD=OA，再由线段的构成MD=OM-OD可求解.
39．（2021·禹州模拟）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
又OB为半径，
∴BE是⊙O的切线
（2）解：延长BO交AD于F，
由（1）得∠DBO=∠ABO，
∵BD=BA，
∴BF⊥AD，DF=AF= =3，
∵∠ABC=∠OBE=90 ，
∴∠ABF=∠CBE，
又∵∠AFB=∠CEB=90 ，BE=2CE，
∴△AFB △CEB，
∴ ，
∴BF=2AF=6，
∴BD=
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 (1)本题考查切线的判定，先利用全等三角形的判定，证出 △ABO≌△DBO ，再利用性质，推导出EB⊥BO，又OB为半径，从而证出BE是⊙O的切线 ；
(2)利用相似三角形的判定，得到 △AFB △CEB，再利用相似三角形的性质，联系已知 BE＝2CE，从而求出BD的长.
40．（2020九上·丰台期末）如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【答案】（1）解：证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴△AOD≌△AOC，
∴∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴ ，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中， ，
即： ，
解得：AC=6；
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得到∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC,根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得到∠AOC=∠AOD，进而证出 △AOD≌△AOC， 得到 ∠ADO=∠ACO=90°， 即可得出结论；（2）根据勾股定理求得BO，得到BC=8，然后根据勾股定理列出关于AC的方程求解即可。
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