初中数学北师大版八年级下学期 第六章 6.3 三角形的中位线
一、单选题
1．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
2．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．（2021·南海模拟）如图，现有一等腰直角三角形 的腰长为4， ，将 沿 折叠，使 的顶点恰好落在 边的中点 处，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·叙州期中）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
6．（2021·苏州模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ；将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）.
A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
7．（2021·西安模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．3 C．6 D．8
二、填空题
8．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
9．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
10．（2020八下·抚顺期末）如图，在 中， 分别是 的中点，连接 ，若 ，则四边形 的周长是 .
11．（2020八下·南京期末）已知三角形的周长为20cm，连接各边中点所得的三角形的周长为 cm.
12．（2021八下·慈溪期中）如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC，BD的长都为10 cm，则四边形EFGH的周长是 cm．
13．（2021九下·东坡开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则 ABCD的周长等于 .
14．（2021八下·重庆开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5，BC=12，则EF= ；
15．（2020九上·双阳期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC=18，则DE= ．
三、解答题
16．（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
17．（2020八下·永城期末）如图，在四边形 中， ，接 ，E，F，M分别是 ， ， 的中点，连接 ， .求证： .
18．（2020八下·九江期末）如图，依次连接四边形 四边的中点 ，得到的新四边形 是什么四边形？请证明．
19．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接 ，交MN于点O，
∵等腰直角三角形 中， 的顶点恰好落在 边的中点 处，
∴ ⊥AB， ⊥MN， ，
∴AB∥MN，
∴AM=CM，CN=BN，
∴MN是三角形 的中位线，
∵等腰直角三角形 的腰长为4， ，
∴AB=4 ，
∴ =2 ．
故答案为：B．
【分析】连接 ，交MN于点O，可得AB∥MN，根据平行线分线段定理，可得MN是三角形 的中位线，进而即可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠C=∠ANM=45°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°，
故答案为：D.
【分析】根据中位线的性质可得MN∥BC，则由平行线的性质求出∠C的大小，然后由三角形内角和定理求∠B即可.
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°
∴ ，
∴
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，即
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
∵
∴阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可将AC用含BC的代数式表示出来，由旋转的性质得BC=DC，∠CDF=∠B=60°，于是∠BDC=∠B=∠BCD=60°，由等角对等边和直角三角形的性质可得BC=CD=BD=AD，旋转角n=60°，∠DCF=30°，结合三角形内角和定理可求得∠CFD=90°，由线段中点定义可得CF=AF=AC=BC，由三角形的中位线定理可得DF=BC，于是S阴影=S△CDF=DF×CF可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： F为DE的中点，
∠ACB＝90°，CD为中线，
故答案为：C.
【分析】 由题意可知BF是△ECD的中位线，利用三角形的中位线定理看求出CD的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长；然后利用勾股定理求出BC的长.
8．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
9．【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
10．【答案】22cm
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 的中点， ，
∴ ， ，
， ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为： .
【分析】通过线段中点和三角形的中位线可求出各边的长，然后即可求出四边形 的周长.
11．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：10.
【分析】根据中位线定理分别求出DE、EF和DF各边的长，则△DEF的周长可求.
12．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，
∴EH=BD=5cm，FG=BD=5cm，EF=AC=5cm，HG=AC=5cm，
∴四边形EFGH的周长=EH+HG+FG+EF=5+5+5+5=20cm.
故答案为20.
【分析】首先由题意可得EF为△ABC的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，然后根据中位线的性质以及周长的概念求解即可.
13．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴AE=ED，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE；
∵△AOE的周长等于5，OA=1，
∴OA＋AE＋OE＝5，
∴AE＋OE＝5 OA＝5 1＝4，
∴AB＋AD＝2（AE＋OE）＝2×4=8，
∴ ABCD的周长＝2×（AB＋AD）＝2×8＝16.
故答案为：16．
【分析】由平行四边形的性质，可证得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，由OE∥AB可得到点E是AD的中点，由此可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可得到AB＝2OE，AD＝2AE，再利用已知条件可求出AE+OE的长，从而可求出AB+AD的长；然后求出平行四边形ABCD的周长.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OC= AC，AD=BC=12，
∴AC= =13，
∴OC= ，
∵点E、F分别是BO、BC的中点，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF= OC= ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，由此可求出OC的值；再证明EF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
15．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BC=18，
∴DE= BC=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理，可得DE= BC，从而得出结论.
16．【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴ ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
17．【答案】证明： ，F分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
.
， 是 的中点，
.
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据中位线与直角三角形斜边上的中线性质即可求解.
18．【答案】解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
连接BD
∵E，H分别是AB，AD的中点
∴EH∥BD，EH=
同理FG∥BD，FG=
∴EH∥FG且EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理，再判定平行四边形即可．
19．【答案】（1）证明：∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC.
∴ ∠B＝∠ADE.
又 ∠B＝∠DEF.
∴ ∠ADE＝∠DEF.
∴ BD∥EF.
∵ DE∥BC，BD∥EF，
∴ 四边形BDEF是平行四边形.
（2）证明：答案不唯一，如AB＝BC.
∵ DE是△ABC的中位线
∴BD= AB ，BF= BC
∵ AB=BC
∴BD=BF
∴ BDEF是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后证明DB∥EF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据三角形的中位线定理结合AB=BC推出BD=BF，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第六章 6.3 三角形的中位线
一、单选题
1．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
2．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
3．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
4．（2021·南海模拟）如图，现有一等腰直角三角形 的腰长为4， ，将 沿 折叠，使 的顶点恰好落在 边的中点 处，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接 ，交MN于点O，
∵等腰直角三角形 中， 的顶点恰好落在 边的中点 处，
∴ ⊥AB， ⊥MN， ，
∴AB∥MN，
∴AM=CM，CN=BN，
∴MN是三角形 的中位线，
∵等腰直角三角形 的腰长为4， ，
∴AB=4 ，
∴ =2 ．
故答案为：B．
【分析】连接 ，交MN于点O，可得AB∥MN，根据平行线分线段定理，可得MN是三角形 的中位线，进而即可求解．
5．（2021九下·叙州期中）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠C=∠ANM=45°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°，
故答案为：D.
【分析】根据中位线的性质可得MN∥BC，则由平行线的性质求出∠C的大小，然后由三角形内角和定理求∠B即可.
6．（2021·苏州模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ；将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）.
A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°
∴ ，
∴
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，即
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
∵
∴阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可将AC用含BC的代数式表示出来，由旋转的性质得BC=DC，∠CDF=∠B=60°，于是∠BDC=∠B=∠BCD=60°，由等角对等边和直角三角形的性质可得BC=CD=BD=AD，旋转角n=60°，∠DCF=30°，结合三角形内角和定理可求得∠CFD=90°，由线段中点定义可得CF=AF=AC=BC，由三角形的中位线定理可得DF=BC，于是S阴影=S△CDF=DF×CF可求解.
7．（2021·西安模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： F为DE的中点，
∠ACB＝90°，CD为中线，
故答案为：C.
【分析】 由题意可知BF是△ECD的中位线，利用三角形的中位线定理看求出CD的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长；然后利用勾股定理求出BC的长.
二、填空题
8．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
9．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
10．（2020八下·抚顺期末）如图，在 中， 分别是 的中点，连接 ，若 ，则四边形 的周长是 .
【答案】22cm
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 的中点， ，
∴ ， ，
， ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为： .
【分析】通过线段中点和三角形的中位线可求出各边的长，然后即可求出四边形 的周长.
11．（2020八下·南京期末）已知三角形的周长为20cm，连接各边中点所得的三角形的周长为 cm.
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：10.
【分析】根据中位线定理分别求出DE、EF和DF各边的长，则△DEF的周长可求.
12．（2021八下·慈溪期中）如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC，BD的长都为10 cm，则四边形EFGH的周长是 cm．
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，
∴EH=BD=5cm，FG=BD=5cm，EF=AC=5cm，HG=AC=5cm，
∴四边形EFGH的周长=EH+HG+FG+EF=5+5+5+5=20cm.
故答案为20.
【分析】首先由题意可得EF为△ABC的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，然后根据中位线的性质以及周长的概念求解即可.
13．（2021九下·东坡开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则 ABCD的周长等于 .
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴AE=ED，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE；
∵△AOE的周长等于5，OA=1，
∴OA＋AE＋OE＝5，
∴AE＋OE＝5 OA＝5 1＝4，
∴AB＋AD＝2（AE＋OE）＝2×4=8，
∴ ABCD的周长＝2×（AB＋AD）＝2×8＝16.
故答案为：16．
【分析】由平行四边形的性质，可证得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，由OE∥AB可得到点E是AD的中点，由此可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可得到AB＝2OE，AD＝2AE，再利用已知条件可求出AE+OE的长，从而可求出AB+AD的长；然后求出平行四边形ABCD的周长.
14．（2021八下·重庆开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5，BC=12，则EF= ；
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OC= AC，AD=BC=12，
∴AC= =13，
∴OC= ，
∵点E、F分别是BO、BC的中点，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF= OC= ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，由此可求出OC的值；再证明EF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
15．（2020九上·双阳期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC=18，则DE= ．
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BC=18，
∴DE= BC=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理，可得DE= BC，从而得出结论.
三、解答题
16．（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴ ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
17．（2020八下·永城期末）如图，在四边形 中， ，接 ，E，F，M分别是 ， ， 的中点，连接 ， .求证： .
【答案】证明： ，F分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
.
， 是 的中点，
.
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据中位线与直角三角形斜边上的中线性质即可求解.
18．（2020八下·九江期末）如图，依次连接四边形 四边的中点 ，得到的新四边形 是什么四边形？请证明．
【答案】解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
连接BD
∵E，H分别是AB，AD的中点
∴EH∥BD，EH=
同理FG∥BD，FG=
∴EH∥FG且EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理，再判定平行四边形即可．
19．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形.
【答案】（1）证明：∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC.
∴ ∠B＝∠ADE.
又 ∠B＝∠DEF.
∴ ∠ADE＝∠DEF.
∴ BD∥EF.
∵ DE∥BC，BD∥EF，
∴ 四边形BDEF是平行四边形.
（2）证明：答案不唯一，如AB＝BC.
∵ DE是△ABC的中位线
∴BD= AB ，BF= BC
∵ AB=BC
∴BD=BF
∴ BDEF是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后证明DB∥EF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据三角形的中位线定理结合AB=BC推出BD=BF，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
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