人教版2019必修一 4.3 对数同步练习

人教版2019必修一 4.3 对数同步练习
一、单选题
1．（2021·汕头模拟）若 ，则 （　　）
A．-1 B．1 C． D．3
2．（2020高一上·黄陵期末）已知 ，则x等于（　　）
A．±4 B．4 C．16 D．2
3．（2021·浙江会考） （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·凉山州模拟）方程 的解集为（　　）
A． B．{4} C． D．
5．（2021·海南模拟）设 ，则 （　　）
A．2 B．4 C．8 D．-2或4
6．（2021·贵阳二模）若 ，则 的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．（2020高一上·徐州期中）已知 ，且 ，则 的值为（　　）
A．6 B． C．2 D．3
8．（2021·新疆模拟） ，顾名思义是第五代通信技术.技术中信息容量公式就是著名的香农公式： ，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率 取决于信道宽度 ，信道内信息的平均功率 及信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变信道宽度 ，而将信噪比从 提高到 ，则传送速率 大约增加了（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
二、多选题
9．（2021·苏州开学考）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高三上·常熟月考）下列结论正确的有（　　）
A．若 ，则
B．函数 的定义域为
C．若 ，且 ，则
D．函数 的值域为
11．（2020高二下·沧县开学考）已知 ， 均为正实数，若 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．2
12．（2020高一上·如皋期中）任何一个正整数 可以表示成 ，此时， .
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A． 是 位数
B． 是 位数
C． 是48位数
D．一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
三、填空题
13．（2021·中卫模拟）　 　.
14．（2021·浦东模拟）方程 的解是　 　.
15．（2021·成都模拟）已知 ，若 ，则 　 　．
16．（2021高一上·海安期末）若下表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　 　，其正确的值为　 　.
对数
值 a+b
四、解答题
17．（2020高一上·泰州期末）计算：
（1） ；
（2） 1.
18．（2020高一上·金华期末）计算下列各式：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
19．（2020高三上·双峰月考）
（1）化简：
（2）已知 ， ，求 （用 表示）.
20．（2020高一上·连云港期中）
（1）已知 ，求 及 的值；
（2）已知 ， ，用 ， 分别表示 和 .
21．（2020高一下·黄浦期末）
（1）证明对数换底公式： （其中 且 ， 且 ， ）
（2）已知 ，试用m表示 .
22．（2019高一上·项城月考）已知函数 为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）记集合 ， ，判断t与集合A的关系；
（3）当 时，若函数 的值域为 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知： ，即 .
故答案为：B.
【分析】 先利用指数与对数的互化表示出a，然后利用对数的运算法则求解即可．
2．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由对数与指数式运算可得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数与指数的运算即可求得结果。
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数的运算性质计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，所以 且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】先化简原方程，再根据指数函数的单调性将问题转化为对数方程，由此求解出方程的解集。
5．【答案】B
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】条件中的等式左边 ，
所以 ，
解得 或 (舍去)。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合换底公式得出 ，再利用一元二次方程求根公式，进而结合对数型函数的定义域，从而求出满足要求的m的值。
6．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为4，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，从而结合对数函数的定义域，进而求出 ，从而利用均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值。
7．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， ， ，
， ，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，从而求出x与y的对数，进而求出的对数，再利用对数的运算法则，从而求出k的值。
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设前后传送速率分别为 ， ，则
，
∵ ，
∴ ，即
故答案为：B
【分析】由对数的运算性质结合已知条件即可计算出结果，再由题意与标准值进行对比由此得出答案。
9．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得 ，
因为 ，A不符合题意；
由 ，B符合题意；
因为 ， ，
又 ， ，且
所以 故 ，所以C符合题意；
因为 且 所以 ，D符合题意
故答案为：BCD
【分析】根据题意由指对互化公式整理得出，，结合对数的运算性质即可判断出选项A错误，B正确；由对数函数的单调性即可得出选项C正确，由基本不等式即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A中，由 ，可得 ，所以A不正确；
对于B中，函数 ，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，所以B是正确的；
对于C中，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以C是正确的；
对于D中，设 ，则 ，
函数 ，
当 时，函数取得最小值，最小值为 ，所以函数的值域为 ，
所以D不正确的.
故答案为：BC
【分析】根据对数的运算性质，可判定A不正确；根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，可判定B符合题意，根据指数与对数的互化，以及对数的运算性质，可判定C符合题意；利用换元法求得函数的值域，可判定D不正确.
11．【答案】A,D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】令 ，
则 ，
， ，
或 ，
或
或
，代入得
或
， 或 ，
．或
故答案为：AD.
【分析】令 ，代入化解求出t的值，得到的关系式，由 ，可求出 的值。
12．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
由于10是两位数，则x是n＋1位数，A符合题意，B不正确;
设 ，则 ，
，所以 是 位数，C符合题意；
对于D，只需要说明 是否为一个11位数正整数，
若 ，则
则 ，
故 为一个11位数正整数，D符合题意.
故答案为：ACD。
【分析】利用表中数据，从而结合常用对数求值的方法，再利用已知条件任何一个正整数 可以表示成 ，此时， ，再利用对数的运算法则，从而求出x的值，进而确定x是几位数和 的位数，再利用指数与对数的互化公式，得出一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5 。
13．【答案】6
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： lg10+5＝6．
故答案为6．
【分析】 利用对数的性质、运算法则直接求解．
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为
【分析】由已知条件可得，求解即可得出。
15．【答案】6
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得： ， ，
所以 ，则 ，
故答案为：6
【分析】首先由指、对互化的公式整理原式再由已知条件结合对数的运算性质计算出a的值即可。
16．【答案】lg25；2a+2c
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：假设 与 正确，即 ， ，则 ，故 成立，
，故 也成立，故 ， ， ， 都成立，所以 错误；
所以 。
故答案为：lg25,2a+2c。
【分析】假设 与 正确，即 ， ，则利用对数的运算法则，进而得出，故 成立，再利用对数的运算法则，进而得出 ，故 也成立，故 ， ， ， 都成立，所以 错误，进而结合对数的运算法则，进而求出。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则和根式与分数指数幂的互化公式，进而化简求值。
（2）利用对数的运算法则化简求值。
18．【答案】解：（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
【知识点】n次方根与根式；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化公式结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
（2）利用对数的运算法则和换底公式、指数恒等式公式，进而化简求值。
19．【答案】（1）解： ，
，
（2）解：因为 ， ，
所以 ， .
因为
所以 .
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】(1)利用对数的换底公式结合对数的运算法则和指数幂的运算法则、根式与分数指数幂的互化根式，从而化简求值。
（2） 因为 ， ， 结合指数式与对数式的互化公式， 所以 ， ，再利用换底公式结合对数的运算法则，从而用 表示 。
20．【答案】（1）解：由 知 ，
因为 ，即 ，
所以 ；
又 ，且 ，
所以 .
（2）解：因为 ， ，所以 ；
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将 平方可计算出 的结果，根据 平方的结果即可计算出的值；
（2）利用换底公式对式子变形，再结合已知条件求解结果即可。
21．【答案】（1）解：设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以，
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
22．【答案】（1）解：∵ 为奇函数，∴ ，
即
即： ， 且 ，∴
（2）解：由（1）可知： ，
当 时， ；当 时，
∴ ，
而 ，
∴ .
（3）解：∵ ， ，
∴ 在 上单调递增.
∴ ，∴ ，即 ，
∴ 是方程 的两个根，
又题意可知 ，且 ， ，∴
∴ ，
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由奇函数定义求得 ；（2）求出集合A，再化简实数t，可得它们的关系；（3）先确定函数 在 上单调递增.，题意说明 ， ， 是方程 的两个根，由此可得．
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一、单选题
1．（2021·汕头模拟）若 ，则 （　　）
A．-1 B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知： ，即 .
故答案为：B.
【分析】 先利用指数与对数的互化表示出a，然后利用对数的运算法则求解即可．
2．（2020高一上·黄陵期末）已知 ，则x等于（　　）
A．±4 B．4 C．16 D．2
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由对数与指数式运算可得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数与指数的运算即可求得结果。
3．（2021·浙江会考） （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数的运算性质计算出结果即可。
4．（2021·凉山州模拟）方程 的解集为（　　）
A． B．{4} C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，所以 且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】先化简原方程，再根据指数函数的单调性将问题转化为对数方程，由此求解出方程的解集。
5．（2021·海南模拟）设 ，则 （　　）
A．2 B．4 C．8 D．-2或4
【答案】B
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】条件中的等式左边 ，
所以 ，
解得 或 (舍去)。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合换底公式得出 ，再利用一元二次方程求根公式，进而结合对数型函数的定义域，从而求出满足要求的m的值。
6．（2021·贵阳二模）若 ，则 的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为4，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，从而结合对数函数的定义域，进而求出 ，从而利用均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值。
7．（2020高一上·徐州期中）已知 ，且 ，则 的值为（　　）
A．6 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， ， ，
， ，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，从而求出x与y的对数，进而求出的对数，再利用对数的运算法则，从而求出k的值。
8．（2021·新疆模拟） ，顾名思义是第五代通信技术.技术中信息容量公式就是著名的香农公式： ，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率 取决于信道宽度 ，信道内信息的平均功率 及信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变信道宽度 ，而将信噪比从 提高到 ，则传送速率 大约增加了（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设前后传送速率分别为 ， ，则
，
∵ ，
∴ ，即
故答案为：B
【分析】由对数的运算性质结合已知条件即可计算出结果，再由题意与标准值进行对比由此得出答案。
二、多选题
9．（2021·苏州开学考）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得 ，
因为 ，A不符合题意；
由 ，B符合题意；
因为 ， ，
又 ， ，且
所以 故 ，所以C符合题意；
因为 且 所以 ，D符合题意
故答案为：BCD
【分析】根据题意由指对互化公式整理得出，，结合对数的运算性质即可判断出选项A错误，B正确；由对数函数的单调性即可得出选项C正确，由基本不等式即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．（2020高三上·常熟月考）下列结论正确的有（　　）
A．若 ，则
B．函数 的定义域为
C．若 ，且 ，则
D．函数 的值域为
【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A中，由 ，可得 ，所以A不正确；
对于B中，函数 ，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，所以B是正确的；
对于C中，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以C是正确的；
对于D中，设 ，则 ，
函数 ，
当 时，函数取得最小值，最小值为 ，所以函数的值域为 ，
所以D不正确的.
故答案为：BC
【分析】根据对数的运算性质，可判定A不正确；根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，可判定B符合题意，根据指数与对数的互化，以及对数的运算性质，可判定C符合题意；利用换元法求得函数的值域，可判定D不正确.
11．（2020高二下·沧县开学考）已知 ， 均为正实数，若 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．2
【答案】A,D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】令 ，
则 ，
， ，
或 ，
或
或
，代入得
或
， 或 ，
．或
故答案为：AD.
【分析】令 ，代入化解求出t的值，得到的关系式，由 ，可求出 的值。
12．（2020高一上·如皋期中）任何一个正整数 可以表示成 ，此时， .
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A． 是 位数
B． 是 位数
C． 是48位数
D．一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
由于10是两位数，则x是n＋1位数，A符合题意，B不正确;
设 ，则 ，
，所以 是 位数，C符合题意；
对于D，只需要说明 是否为一个11位数正整数，
若 ，则
则 ，
故 为一个11位数正整数，D符合题意.
故答案为：ACD。
【分析】利用表中数据，从而结合常用对数求值的方法，再利用已知条件任何一个正整数 可以表示成 ，此时， ，再利用对数的运算法则，从而求出x的值，进而确定x是几位数和 的位数，再利用指数与对数的互化公式，得出一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5 。
三、填空题
13．（2021·中卫模拟）　 　.
【答案】6
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： lg10+5＝6．
故答案为6．
【分析】 利用对数的性质、运算法则直接求解．
14．（2021·浦东模拟）方程 的解是　 　.
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为
【分析】由已知条件可得，求解即可得出。
15．（2021·成都模拟）已知 ，若 ，则 　 　．
【答案】6
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得： ， ，
所以 ，则 ，
故答案为：6
【分析】首先由指、对互化的公式整理原式再由已知条件结合对数的运算性质计算出a的值即可。
16．（2021高一上·海安期末）若下表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　 　，其正确的值为　 　.
对数
值 a+b
【答案】lg25；2a+2c
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：假设 与 正确，即 ， ，则 ，故 成立，
，故 也成立，故 ， ， ， 都成立，所以 错误；
所以 。
故答案为：lg25,2a+2c。
【分析】假设 与 正确，即 ， ，则利用对数的运算法则，进而得出，故 成立，再利用对数的运算法则，进而得出 ，故 也成立，故 ， ， ， 都成立，所以 错误，进而结合对数的运算法则，进而求出。
四、解答题
17．（2020高一上·泰州期末）计算：
（1） ；
（2） 1.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则和根式与分数指数幂的互化公式，进而化简求值。
（2）利用对数的运算法则化简求值。
18．（2020高一上·金华期末）计算下列各式：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【答案】解：（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
【知识点】n次方根与根式；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化公式结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
（2）利用对数的运算法则和换底公式、指数恒等式公式，进而化简求值。
19．（2020高三上·双峰月考）
（1）化简：
（2）已知 ， ，求 （用 表示）.
【答案】（1）解： ，
，
（2）解：因为 ， ，
所以 ， .
因为
所以 .
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】(1)利用对数的换底公式结合对数的运算法则和指数幂的运算法则、根式与分数指数幂的互化根式，从而化简求值。
（2） 因为 ， ， 结合指数式与对数式的互化公式， 所以 ， ，再利用换底公式结合对数的运算法则，从而用 表示 。
20．（2020高一上·连云港期中）
（1）已知 ，求 及 的值；
（2）已知 ， ，用 ， 分别表示 和 .
【答案】（1）解：由 知 ，
因为 ，即 ，
所以 ；
又 ，且 ，
所以 .
（2）解：因为 ， ，所以 ；
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将 平方可计算出 的结果，根据 平方的结果即可计算出的值；
（2）利用换底公式对式子变形，再结合已知条件求解结果即可。
21．（2020高一下·黄浦期末）
（1）证明对数换底公式： （其中 且 ， 且 ， ）
（2）已知 ，试用m表示 .
【答案】（1）解：设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以，
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
22．（2019高一上·项城月考）已知函数 为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）记集合 ， ，判断t与集合A的关系；
（3）当 时，若函数 的值域为 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 为奇函数，∴ ，
即
即： ， 且 ，∴
（2）解：由（1）可知： ，
当 时， ；当 时，
∴ ，
而 ，
∴ .
（3）解：∵ ， ，
∴ 在 上单调递增.
∴ ，∴ ，即 ，
∴ 是方程 的两个根，
又题意可知 ，且 ， ，∴
∴ ，
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由奇函数定义求得 ；（2）求出集合A，再化简实数t，可得它们的关系；（3）先确定函数 在 上单调递增.，题意说明 ， ， 是方程 的两个根，由此可得．
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