人教A版2019选修三 6.2 排列组合同步练习

人教A版2019选修三 6.2 排列组合同步练习
一、单选题
1．（2017·重庆模拟）如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
2．（2021·安阳模拟）为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲 乙 丙 丁 戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲 乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．64种
3．（2021高二下·天津期中）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
4．（2021·丰台模拟）某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（　　）
A．15 B．45 C．60 D．75
5．（2021·昆明模拟）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是（　　）
A．90 B．180 C．220 D．360
6．（2021·德州模拟）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（　　）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
7．（2021·榆林模拟）将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（　　）
A．120种 B．240种 C．200种 D．180种
8．（2021·邯郸模拟）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（　　）
A．960 B．1024 C．1296 D．2021
二、多选题
9．（2020高二下·连云港期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021高二下·江苏月考）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（　　）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
11．（2021高二下·苏州月考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（　　）
A．所有可能的方法有 种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
12．（2021·梅县模拟）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（　　）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节
三、填空题
13．（2021·毕节模拟）　 　（用数字作答）．
14．（2021高二下·天津期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　 　种.
15．（2021·江西模拟）用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有　 　个．（用数字作答）
16．（2020高二下·常熟期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有　 　种不同的涂色方法.（用数字回答）
四、解答题
17．（2021高二下·湖南月考）甲、乙、丙三位教师指导五名学生 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.
（1）若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
（2）若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.
18．（2020·扬州模拟）
（1）证明： ；
（2）计算： ；
（3）计算： .
19．（2020高二上·南京月考）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、432等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
20．（2020高二下·高安期中）某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
21．（2020高二下·北京期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
22．（2020高二上·建瓯月考）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：分为以下两类：
第一类，从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路，共有4种方法；
第二类，一个村最多修两条路，但是像下面这样的两个排列对应一种修路方法，A﹣B﹣C﹣D，D﹣C﹣B﹣A，要去掉重复的这样，因此共有=12种方法．
根据分类计数原理，知道共有4+12=16种，
故选：C．
【分析】由修路的方式可以分为两类：从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条，一个村最多修两条路，利用排列的计算公式即可得出．
2．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若按照3：1：1进行分配，则有 种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有 种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故答案为：B
【分析】利用排列组合的计数原理计算出答案即可。
3．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有 种，所以不同的演讲次序有4×120= 480种，
故答案为：C.
【分析】根据题意由排列的定义，结合已知条件计算出答案。
4．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有 种选法.
语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有
故答案为：C
【分析】根据题意由排列组合以及乘法计数原理计算出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】依题意，6个冬季节气和6个春季节气各至少选出1个，小明可以选1冬2春、2冬1春.
1冬2春的不同情况有： 种，
2冬1春的不同情况有： 种，
故小华选取节气的不同方法种数是 种.
故答案为：B.
【分析】 分两类讨论，即选冬季节气2个和春季节气1个和选冬季节气1个和春季节气2个，由此即可求解．
6．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先安排甲场馆的3名同学，即 ；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即 ；
最后安排2名同学到丙场馆，即 .
所以不同的安排方法有： 种.
故答案为：D.
【分析】首先安排甲场馆的3名同学，再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，最后安排2名同学到丙场馆，进行计算即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有： 种，
故答案为：B．
【分析】结合题意由排列的定义计算出答案即可。
8．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，排课可分为以下两大类：
⑴“丝”被选中，不同的方法总数为 种；
⑵“丝”不被选中，不同的方法总数为 种．
故共有 种．
故答案为：C
【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理解已知条件计算出答案即可。
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】根据组合数的性质或组合数的计算公式 ，可知A，B选项正确；
，而 ，C选项错误；
，
D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据排列与组合的计算公式一一验证选项正误即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为 种，A不符合题意
对于B，若物理和化学选一门，有 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有 种选法
若物理和化学选两门，有 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有 种选法
由分步乘法计数原理知，总数为 种选法，B不符合题意
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为 种，C符合题意
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有 种选法
选化学，不选物理，有 种选法
物理与化学都选，不选历史，有 种选法
故总数为 种，D不符合题意
故答案为：ABD
【分析】 A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；
B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；
C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；
D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
11．【答案】B,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】所有可能的方法有 种，A不符合题意.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为 ，另外两名同学的安排方法有 种，此种情况共有 种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有 ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有 种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有 种安排方法，B符合题意.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有 种安排，C符合题意.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有 种安排，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出说法正确的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，
则地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有 种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，
则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有 种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
故答案为：BD.
【分析】由已知图表中的数据结合排列组合以及计数原理对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 =
=10-45+120-210+252-210+12—45+10-1=1
【分析】根据题意由组合数的运算性质计算出结果即可。
14．【答案】144
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先将甲乙捆绑再与另一男生排列有 种站法，
三名女生任选两名捆绑，再与另一女生插入男生的3个空位中有 种站法，
所以不同的站法有 种站法，
故答案为：144
【分析】由排列的定义结合计数原理计算出答案即可。
15．【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】先安排三位奇数，得到四个空位，再从四个空位中选出两个空位安排偶数，共有 个。
故答案为：72。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出满足条件的五位数的个数。
16．【答案】240
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从 开始涂色， 有4种方法， 有3种方法，
①若 与 涂色相同，则 共有 种涂色方法；
②若 与 涂色不相同，则 有2种涂色方法，
当 涂色相同时， 有3种涂色方法；当 涂色不相同时， 有2种涂法， 有2种涂色方法.
共有 种涂色方法.
故答案为：240。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而求出 相邻区域所涂颜色不同的涂色方法种数。
17．【答案】（1）解：5名学生分成3组，人数分别为 分配方案有 种
（2）解：从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为 ，
分配方案有 种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出每位教师至多指导两名学生共有的分配方案种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出教师甲只指导其中一名学生共有的分配方案种数。
18．【答案】（1）证明： ；
（2）解：
（3）解：设 ，
则
.
所以 ，
又 ，所以 .
所以
.（结果没化简，不扣分）
方法二：
.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出.（3）方法一：设 ，可得 ，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二： ，根据组合数的运算即可求解
19．【答案】（1）解：偶数分为二类：
若个位数 ，则共有 个；
若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有 个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为
（2）解：“凹数”分三类：
若十位是1，则有 个；
若十位是1，则有 个；
若十位是2，则有 个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为 ．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）对 个位数是否为 进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果；
（2）对十位数字进行分类讨论，结合“凹数”的定义与分类加法计数原理可求得答案。
20．【答案】（1）解：采用 “插空法”，先排4名男生，有 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有 种不同的出场顺序.
（2）解：4男3女的全排列共有 种，其中女生甲在女生乙的前面与女生甲在女生乙的后面各占一半，则女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），有 种不同的出场顺序.
（3）解：3名女生看成一人有 种，3名女生再排顺序有 种，则3名女生相邻时共有 种
其中女生甲在第一位时，第二、三位只能是其余两名女生有 种，再排4名男生有 种，则女生甲在第一位且3名女生相邻时，共有 种
所以3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，有 种不同的出场顺序.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将7人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；
（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名nv生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将3名女生和4名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
21．【答案】（1）解：将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为 种；
（2）解：将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为 种；
（3）解：第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为 种；、（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
解：在5个节目进行全排的排法种数中减去前 个节目中没有相声节目的排法种数，
可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为 .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.
22．【答案】（1）解：第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 种方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有 种方法.根据分步乘法计数原理，一共有 种
（2）解：第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有 种方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有 种，根据分步乘法计数原理，一共有 种
（3）解：若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 种排法
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）相邻问题利用捆绑法；（2）不相邻问题采用插空法；（3）使用倍分法分析：先求出10个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案；
1 / 1人教A版2019选修三 6.2 排列组合同步练习
一、单选题
1．（2017·重庆模拟）如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：分为以下两类：
第一类，从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路，共有4种方法；
第二类，一个村最多修两条路，但是像下面这样的两个排列对应一种修路方法，A﹣B﹣C﹣D，D﹣C﹣B﹣A，要去掉重复的这样，因此共有=12种方法．
根据分类计数原理，知道共有4+12=16种，
故选：C．
【分析】由修路的方式可以分为两类：从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条，一个村最多修两条路，利用排列的计算公式即可得出．
2．（2021·安阳模拟）为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲 乙 丙 丁 戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲 乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．64种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若按照3：1：1进行分配，则有 种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有 种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故答案为：B
【分析】利用排列组合的计数原理计算出答案即可。
3．（2021高二下·天津期中）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有 种，所以不同的演讲次序有4×120= 480种，
故答案为：C.
【分析】根据题意由排列的定义，结合已知条件计算出答案。
4．（2021·丰台模拟）某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（　　）
A．15 B．45 C．60 D．75
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有 种选法.
语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有
故答案为：C
【分析】根据题意由排列组合以及乘法计数原理计算出结果即可。
5．（2021·昆明模拟）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是（　　）
A．90 B．180 C．220 D．360
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】依题意，6个冬季节气和6个春季节气各至少选出1个，小明可以选1冬2春、2冬1春.
1冬2春的不同情况有： 种，
2冬1春的不同情况有： 种，
故小华选取节气的不同方法种数是 种.
故答案为：B.
【分析】 分两类讨论，即选冬季节气2个和春季节气1个和选冬季节气1个和春季节气2个，由此即可求解．
6．（2021·德州模拟）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（　　）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先安排甲场馆的3名同学，即 ；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即 ；
最后安排2名同学到丙场馆，即 .
所以不同的安排方法有： 种.
故答案为：D.
【分析】首先安排甲场馆的3名同学，再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，最后安排2名同学到丙场馆，进行计算即可得出答案。
7．（2021·榆林模拟）将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（　　）
A．120种 B．240种 C．200种 D．180种
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有： 种，
故答案为：B．
【分析】结合题意由排列的定义计算出答案即可。
8．（2021·邯郸模拟）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（　　）
A．960 B．1024 C．1296 D．2021
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，排课可分为以下两大类：
⑴“丝”被选中，不同的方法总数为 种；
⑵“丝”不被选中，不同的方法总数为 种．
故共有 种．
故答案为：C
【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理解已知条件计算出答案即可。
二、多选题
9．（2020高二下·连云港期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】根据组合数的性质或组合数的计算公式 ，可知A，B选项正确；
，而 ，C选项错误；
，
D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据排列与组合的计算公式一一验证选项正误即可.
10．（2021高二下·江苏月考）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（　　）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为 种，A不符合题意
对于B，若物理和化学选一门，有 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有 种选法
若物理和化学选两门，有 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有 种选法
由分步乘法计数原理知，总数为 种选法，B不符合题意
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为 种，C符合题意
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有 种选法
选化学，不选物理，有 种选法
物理与化学都选，不选历史，有 种选法
故总数为 种，D不符合题意
故答案为：ABD
【分析】 A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；
B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；
C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；
D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
11．（2021高二下·苏州月考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（　　）
A．所有可能的方法有 种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】B,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】所有可能的方法有 种，A不符合题意.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为 ，另外两名同学的安排方法有 种，此种情况共有 种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有 ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有 种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有 种安排方法，B符合题意.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有 种安排，C符合题意.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有 种安排，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出说法正确的选项。
12．（2021·梅县模拟）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（　　）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节
【答案】B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，
则地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有 种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，
则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有 种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
故答案为：BD.
【分析】由已知图表中的数据结合排列组合以及计数原理对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2021·毕节模拟）　 　（用数字作答）．
【答案】1
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 =
=10-45+120-210+252-210+12—45+10-1=1
【分析】根据题意由组合数的运算性质计算出结果即可。
14．（2021高二下·天津期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　 　种.
【答案】144
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先将甲乙捆绑再与另一男生排列有 种站法，
三名女生任选两名捆绑，再与另一女生插入男生的3个空位中有 种站法，
所以不同的站法有 种站法，
故答案为：144
【分析】由排列的定义结合计数原理计算出答案即可。
15．（2021·江西模拟）用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有　 　个．（用数字作答）
【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】先安排三位奇数，得到四个空位，再从四个空位中选出两个空位安排偶数，共有 个。
故答案为：72。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出满足条件的五位数的个数。
16．（2020高二下·常熟期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有　 　种不同的涂色方法.（用数字回答）
【答案】240
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从 开始涂色， 有4种方法， 有3种方法，
①若 与 涂色相同，则 共有 种涂色方法；
②若 与 涂色不相同，则 有2种涂色方法，
当 涂色相同时， 有3种涂色方法；当 涂色不相同时， 有2种涂法， 有2种涂色方法.
共有 种涂色方法.
故答案为：240。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而求出 相邻区域所涂颜色不同的涂色方法种数。
四、解答题
17．（2021高二下·湖南月考）甲、乙、丙三位教师指导五名学生 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.
（1）若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
（2）若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.
【答案】（1）解：5名学生分成3组，人数分别为 分配方案有 种
（2）解：从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为 ，
分配方案有 种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出每位教师至多指导两名学生共有的分配方案种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出教师甲只指导其中一名学生共有的分配方案种数。
18．（2020·扬州模拟）
（1）证明： ；
（2）计算： ；
（3）计算： .
【答案】（1）证明： ；
（2）解：
（3）解：设 ，
则
.
所以 ，
又 ，所以 .
所以
.（结果没化简，不扣分）
方法二：
.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出.（3）方法一：设 ，可得 ，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二： ，根据组合数的运算即可求解
19．（2020高二上·南京月考）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、432等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
【答案】（1）解：偶数分为二类：
若个位数 ，则共有 个；
若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有 个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为
（2）解：“凹数”分三类：
若十位是1，则有 个；
若十位是1，则有 个；
若十位是2，则有 个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为 ．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）对 个位数是否为 进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果；
（2）对十位数字进行分类讨论，结合“凹数”的定义与分类加法计数原理可求得答案。
20．（2020高二下·高安期中）某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
【答案】（1）解：采用 “插空法”，先排4名男生，有 种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有 种，最后由分步乘法计数原理可得，共有 种不同的出场顺序.
（2）解：4男3女的全排列共有 种，其中女生甲在女生乙的前面与女生甲在女生乙的后面各占一半，则女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），有 种不同的出场顺序.
（3）解：3名女生看成一人有 种，3名女生再排顺序有 种，则3名女生相邻时共有 种
其中女生甲在第一位时，第二、三位只能是其余两名女生有 种，再排4名男生有 种，则女生甲在第一位且3名女生相邻时，共有 种
所以3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，有 种不同的出场顺序.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将7人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；
（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名nv生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将3名女生和4名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
21．（2020高二下·北京期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
【答案】（1）解：将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为 种；
（2）解：将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为 种；
（3）解：第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为 种；、（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
解：在5个节目进行全排的排法种数中减去前 个节目中没有相声节目的排法种数，
可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为 .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.
22．（2020高二上·建瓯月考）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【答案】（1）解：第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 种方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有 种方法.根据分步乘法计数原理，一共有 种
（2）解：第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有 种方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有 种，根据分步乘法计数原理，一共有 种
（3）解：若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 种排法
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）相邻问题利用捆绑法；（2）不相邻问题采用插空法；（3）使用倍分法分析：先求出10个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案；
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