人教版初中数学七年级下册 第八章 平面直角坐标系 8.2 消元—解二元一次方程组
一、单选题
1．（2021七下·丽水期中）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当3x+y＝81时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
2．（2021七下·普定月考）用加减消元法解方程组 时，如果先消去y，最简捷的方法是（ ）
A．①② B．①+② C．①② D．①②
3．（2021八上·成华期末）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
4．（2020八上·南山月考）以方程组 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2020八上·深圳期中）解方程组 时，把①代入②，得（ ）
A．2（3y-2）-5x=10 B．2y-（3y-2）=10
C．（3y-2）-5x=10 D．2y-5（3y-2）=10
6．（2020·黑龙江）若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
二、填空题
7．（2021八上·通川期末）对于每个非零自然数 ， 轴上有 ， 两点，以 表示这两点间的距离，其中 ， 的横坐标分别是方程组 的解，则 的值等于 .
8．（2020八上·高台月考）若方程2x2a＋b－4＋4y3a－2b－3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ ，b＝ .
三、计算题
9．（2021七下·丽水期中）解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
10．（2021七下·柯桥月考）解方程组：
（1）
（2）
四、综合题
11．（2021七下·柯桥月考）一个水池，上部装有若干个粗细相同的进水管，每个进水管1小时的注水量为 ，底部装有一个常开的排水管，排水管1小时的排水量为b，当打开4个进水管时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15个小时才能注满水池，问：
（1）请找出注水量a和排水量b的数量关系；
（2）现需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多小个进水管？
12．（2020八上·巨野期末）如图，∠α和∠β的度数满足方程组 ，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求∠C的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ①，∴不论a取何值，方程组总有一组解，正确；
② 当a=-2， ，∴①+②得x+y=0，∴x、y互为相反数，正确；
③∵ ， 解得, ∴x+2y=2a+1+2-2a=3，正确；
④∵x+3y+x-y=4-a+3a，∴2x+2y=4+2a，x+y=2+a，∴2+a=4，解得a=2，正确；
故答案为：A
【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断 ① ；把方程组的两边直接相加化简即可判断②解方程组，把方程组的解用a表示，代入x+2y=3中判断③ ；先根据方程组求得x+y=2+a，代入 3x+y＝81中求解即可.
2．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程 时，最简捷的方法是：①+② ，消去y,
故答案为：B.
【分析】观察方程组可知：未知数y的系数的绝对值成2倍，于是由①+②可消去y，得到关于x的一元一次方程，解这个关于x的一元一次方程，可求得x的值，再把求得x的值代入其中一个方程可求得y的值，最后写出结论即可求解.
3．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意.
故答案为：D.
【分析】方程组利用加减消元法变形的时候，方程组的两个方程中某一个未知数的系数必须变为相同或互为相反数，进而根据等式的性质将两个方程相减或相加即可达到消元的目的，从而根据各选项分别计算，即可解答.
4．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
把 代入 中，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点 在第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据代入消元法解方程组，然后判断即可；
5．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】直接把②中的x变成3y-2，将3y-2看作整体代入， 得2y-5（3y-2）=10
故答案为：D
【分析】考查了代入消元法解二元一次方程组，注意整体代入加括号。
6．【答案】C
【知识点】算术平方根；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程 中，
得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，
∴ ，
∴x＋2y的算术平方根为 ，
故答案为：C．
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
7．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；两点间的距离
【解析】【解答】解：方程组 ，
①+②得 ，即 ，
将 代入①得： ，
∴ ，
∵n＞0，
∴ 是该方程组的根，
∴ ，
则原代数式 .
故答案为： .
【分析】将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果.
8．【答案】2；1
【知识点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
解得： .
【分析】根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程”可得关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求解.
9．【答案】（1）解： ，
①×3+②×2得13x=26，
∴x=1，
把x=1代入①得y=1，
∴；
（2）解：化简整理得
①+②×7得15x=17，
∴x=，
把x=代入①得y=，
∴.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 （1）用加减法消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简整理成一般式，用加减法消元法解二元一次方程组即可.
10．【答案】（1）解：∵x-y=4，
∴x=y+4，
∴3x+4y=3（y+4）+4y=19，
∴7y=7，
∴y=1，
∴x=y+4=5，
∴方程组的解为：；
（2）解：
①+②得4x=12，
∴x=3，
∴x+2y=3+2y=1，
解得：y=-1，
∴.
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）直接利用消元法解二元一次方程组即可.
11．【答案】（1）解：因为每个进水管1小时的注水量为 ，排水管1小时的排水量为b，
（4a－b)×5=（2a－b)×15
得到
即
（2）解：若想两小时注满水池需打开x个进水管
（xa－b)×2=（4a－b)×5
把 代入得：
由于水管不可能半个，所以至少要9个进水管才能在两个小时内注满水池。
答：至少开9个进水管。
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设每个进水管每小时的注水量为a，排水管每小时的排水量为b，根据两种情况注满水的水量相等列方程化简即可；
（2）设两小时注满水池需打开x个进水管，根据当打开4个进水管时，需要5小时注满水池列方程，结合（1）的结果即可求解．
12．【答案】（1）解：解方程组 ，
得
（2）解：∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，
∴AB∥EF，又∵CD∥EF
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°
【知识点】平行线的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组求解即可；
（2）先证明 AB∥EF， 再求出 ∠CAE＝90°， 最后计算求解即可。
1 / 1人教版初中数学七年级下册 第八章 平面直角坐标系 8.2 消元—解二元一次方程组
一、单选题
1．（2021七下·丽水期中）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当3x+y＝81时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ①，∴不论a取何值，方程组总有一组解，正确；
② 当a=-2， ，∴①+②得x+y=0，∴x、y互为相反数，正确；
③∵ ， 解得, ∴x+2y=2a+1+2-2a=3，正确；
④∵x+3y+x-y=4-a+3a，∴2x+2y=4+2a，x+y=2+a，∴2+a=4，解得a=2，正确；
故答案为：A
【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断 ① ；把方程组的两边直接相加化简即可判断②解方程组，把方程组的解用a表示，代入x+2y=3中判断③ ；先根据方程组求得x+y=2+a，代入 3x+y＝81中求解即可.
2．（2021七下·普定月考）用加减消元法解方程组 时，如果先消去y，最简捷的方法是（ ）
A．①② B．①+② C．①② D．①②
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程 时，最简捷的方法是：①+② ，消去y,
故答案为：B.
【分析】观察方程组可知：未知数y的系数的绝对值成2倍，于是由①+②可消去y，得到关于x的一元一次方程，解这个关于x的一元一次方程，可求得x的值，再把求得x的值代入其中一个方程可求得y的值，最后写出结论即可求解.
3．（2021八上·成华期末）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意.
故答案为：D.
【分析】方程组利用加减消元法变形的时候，方程组的两个方程中某一个未知数的系数必须变为相同或互为相反数，进而根据等式的性质将两个方程相减或相加即可达到消元的目的，从而根据各选项分别计算，即可解答.
4．（2020八上·南山月考）以方程组 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
把 代入 中，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点 在第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据代入消元法解方程组，然后判断即可；
5．（2020八上·深圳期中）解方程组 时，把①代入②，得（ ）
A．2（3y-2）-5x=10 B．2y-（3y-2）=10
C．（3y-2）-5x=10 D．2y-5（3y-2）=10
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】直接把②中的x变成3y-2，将3y-2看作整体代入， 得2y-5（3y-2）=10
故答案为：D
【分析】考查了代入消元法解二元一次方程组，注意整体代入加括号。
6．（2020·黑龙江）若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
【答案】C
【知识点】算术平方根；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程 中，
得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，
∴ ，
∴x＋2y的算术平方根为 ，
故答案为：C．
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
二、填空题
7．（2021八上·通川期末）对于每个非零自然数 ， 轴上有 ， 两点，以 表示这两点间的距离，其中 ， 的横坐标分别是方程组 的解，则 的值等于 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；两点间的距离
【解析】【解答】解：方程组 ，
①+②得 ，即 ，
将 代入①得： ，
∴ ，
∵n＞0，
∴ 是该方程组的根，
∴ ，
则原代数式 .
故答案为： .
【分析】将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果.
8．（2020八上·高台月考）若方程2x2a＋b－4＋4y3a－2b－3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ ，b＝ .
【答案】2；1
【知识点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
解得： .
【分析】根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程”可得关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可求解.
三、计算题
9．（2021七下·丽水期中）解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解： ，
①×3+②×2得13x=26，
∴x=1，
把x=1代入①得y=1，
∴；
（2）解：化简整理得
①+②×7得15x=17，
∴x=，
把x=代入①得y=，
∴.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 （1）用加减法消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简整理成一般式，用加减法消元法解二元一次方程组即可.
10．（2021七下·柯桥月考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵x-y=4，
∴x=y+4，
∴3x+4y=3（y+4）+4y=19，
∴7y=7，
∴y=1，
∴x=y+4=5，
∴方程组的解为：；
（2）解：
①+②得4x=12，
∴x=3，
∴x+2y=3+2y=1，
解得：y=-1，
∴.
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）直接利用消元法解二元一次方程组即可.
四、综合题
11．（2021七下·柯桥月考）一个水池，上部装有若干个粗细相同的进水管，每个进水管1小时的注水量为 ，底部装有一个常开的排水管，排水管1小时的排水量为b，当打开4个进水管时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15个小时才能注满水池，问：
（1）请找出注水量a和排水量b的数量关系；
（2）现需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多小个进水管？
【答案】（1）解：因为每个进水管1小时的注水量为 ，排水管1小时的排水量为b，
（4a－b)×5=（2a－b)×15
得到
即
（2）解：若想两小时注满水池需打开x个进水管
（xa－b)×2=（4a－b)×5
把 代入得：
由于水管不可能半个，所以至少要9个进水管才能在两个小时内注满水池。
答：至少开9个进水管。
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设每个进水管每小时的注水量为a，排水管每小时的排水量为b，根据两种情况注满水的水量相等列方程化简即可；
（2）设两小时注满水池需打开x个进水管，根据当打开4个进水管时，需要5小时注满水池列方程，结合（1）的结果即可求解．
12．（2020八上·巨野期末）如图，∠α和∠β的度数满足方程组 ，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求∠C的度数．
【答案】（1）解：解方程组 ，
得
（2）解：∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，
∴AB∥EF，又∵CD∥EF
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°
【知识点】平行线的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组求解即可；
（2）先证明 AB∥EF， 再求出 ∠CAE＝90°， 最后计算求解即可。
1 / 1
