人教版2019 选修二 5.3 导数在函数研究中的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·安徽月考）已知函数 在 处有极值，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，则 ，
由题意知 ，即 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由函数 在x=1处有极值为2，利用导数的性质列出方程组求出a和b，由此能求出f（2）．
2．（2021·昆明模拟）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，
所以，曲线 在 处的切线斜率为 ，且 ，
所以， 在 处的切线方程为 ，即 ，
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
因此，所求三角形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0，求得切线与坐标轴的交点，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．
3．（2021·肇庆模拟）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】由 ，
设 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ， ，
因为函数 有三个零点，故 ．
故答案为：B
【分析】 由已知条件结合零点的定义 构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出，从而求出a的取值范围。
4．（2020高二上·常德期末）若 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题得
令 因为x>0，所以x>2.
故答案为：D.
【分析】利用导函数的性质即可得出原函数的单调性以及单调区间。
5．（2021·铁岭模拟）若 ，“ ”是“函数 在 上有极值”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，函数 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极小值，
若函数 在 上有极值，则 ，解得 ．
因此“ ”是“函数 在 上有极值”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
6．（2021·甘肃模拟）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在 单调递减
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在 单调递减
D．是偶函数，且在 单调递增
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ， ,定义域关于原点对称，
且 ，
所以 是偶函数，
当 时， ，
所以 在 单调递增，
故答案为：D
【分析】 根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性．
7．（2021·上饶模拟）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由 得： ，即
∴ 在 上恒成立；
∵ 在 上单调递增，
∴ 在 上恒成立；
∴ 在 上恒成立，
构造函数 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
∴ ，∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】 根据题意把问题转化为lna≥lnx-x在x∈(0,+∞)上恒成立，构造函数h(x)=lnx-x,根据函数的单调性求出h(x)的最大值，求出a的取值范围即可．
8．（2020高一上·漳州期末）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当 时， ， ，函数 单调递减，故排除答案B，
故答案为：D．
【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A、C，再由导数与原函数对选项的关系对函数求导即可排除选项B，由此得到答案。
二、多选题
9．（2021·重庆模拟）已知函数 ，则（ ）
A．存在a使得 恰有三个单调区间
B． 有最小值
C．存在a使得 有小于0的极值点
D．当 且 时，
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，
当 时， ， 单增，
又 ， ，∴ 在 内存在唯一零点，记为 ，则 在 上单减，在 上单增， 既是极小值又是最小值；
当 时， 在 和 上单增，在 上单减， ， ，
若 ，则 ， 在 上有两个零点，记为 ，在 上有一个零点，记为 ，则 在 和 上单减，在 和 上单增， 为小于0的极小值点， 和 中的较小者即为 的最小值；
若 ，则 ， 只在 上存在唯一零点，记为 ， 在 上单减，在 上单增， 为最小值；B、C符合题意，A不符合题意；
对于D，当 时， ，
，
取 ，则有 ，D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而推出不存在a使得 恰有三个单调区间，再利用函数的单调性求出存在a使得 有小于0的极值点，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用比较法求出函数的最小值，当 时， ，取 ，则有 ，从而选出正确选项。
10．（2021·湛江模拟）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）
A．f(x)的极大值为0
B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C．f(x)的最小值为0
D．f(x)在定义域内单调
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为 ，
令 ，得 ，
列表得：
x (0,1) 1 (1,+∞)
- 0 +
f(x) 单减 单增
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；C符合题意，A、D不符合题意；
对于B:由f(1)=0及 ，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程 ，即 .B符合题意.
故答案为：BC
【分析】 求导得分析导数的正负，f（x）单调性，极值，最值，逐个判断即可得出答案．
11．（2021高二下·江苏月考）已知函数 的定义域为 ，部分函数值如表1， 的导函数 的图象如图1.下列关于函数 的性质，正确的有（ ）
A．函数 在 是减函数
B．如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4
C．函数 有4个零点，则
D．函数 在 取得极大值
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由导函数 的图像可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减；
A符合题意；
B.如果当 时， 的最大值是2，由函数单调性可知： 的最大值为 ，B不符合题意；
C.函数 有4个零点，即 图像与 有 个交点，由 的定义域为 ，且 ， 取得最大值为 ，所以 时，有两个交点，因此 ；C符合题意；
D.因为函数 在 上单调递增，所以 处不可能取得极值，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据导函数的图象，先判断函数的单调性，再逐项判断即可得出结果。
12．（2021高二下·湖北月考）定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意 ，
由 ，得 ，
构造函数 ，
，
所以 在 上递减，
， ，
，
所以 ， 。
故答案为：CD
【分析】依题意 ，由 ，再利用导数的运算法则，得出,构造函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上递减，再利用函数的单调性，进而得出 ， 。
三、填空题
13．（2021·长安模拟）已知 是定义域为 的函数 的导函数，若对任意实数 都有 ，且有 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，
，所以 在 上递增.
，
，
所以不等式 的解集
故答案为：
【分析】 依题意，可构造函数，求导后可判断函数g（x）在R上单调递增，且 ，脱去“g”可得答案．
14．（2021·岳阳模拟）已知函数 对 均有 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(-∞,-e]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，
∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，
∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．
∵f（x）≥lnx恒成立，∴m 恒成立，
∴只需m ．
令 ，则g'（x） ，
令g'（x）＝0，则x ，
∴g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
∴ ，∴m≤﹣e，
∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．
故答案为：（﹣∞，﹣e]．
【分析】先求出 的解析式，再根据f（x）≥lnx恒成立，转化为m 恒成立，即只需m ，令 ，求导可得单调性，进而得出最值，即可得出实数m的取值范围。
15．（2021·桂林模拟）已知函数 ，有下列命题：
①函数 的图像在点 处的切线为 ；
②函数 有3个零点；
③函数 在 处取得极大值；
④函数 的图像关于点 对称
上述命题中，正确命题的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】① ， ，且 ，
函数 的图像在点 处的切线为 ，①正确；
②令 解得 或 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
在 上各有一点 使 ，即函数 有3个零点，②正确；
③由②知函数 在 处取得极小值，③错误；
④令 ，因为 ，
所以函数 为奇函数，则 的图像关于原点对称，
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数 ，
所以函数 的图像关于点 对称，④正确.
【分析】根据题意首先 求出f（x）的导函数，求出f′（1）和f（1）利用点斜式求得切线方程，即可判断①；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断③；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断②；令g（x）=f（x+1）-1，可得g（x）为奇函数，即可判断出④，由此得到答案。
16．（2021高二下·贵溪月考）函数 在区间 上的最小值为 ．
【答案】-2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 ，得 .
令 ，解得 ， .
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以最小值为 .
故答案为：-2.
【分析】 利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．
四、解答题
17．（2021·丰台模拟）已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）求函数 的单调区间.
【答案】（1）解：若 ， 定义域为 ，
，
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ；
（2）解：
①当 时， ，由 可得 ，
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
②当 时，由 可得 或
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
③当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，
④当 时，由 可得 或 ，
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)首先求出f(x)的导数，结合导函数的性质即可求出f(x)的极值点，可得随
x的变化，由此得出f(x)的变化情况，从而可求得f(x)的最小值。
(2)对f(x)求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调区间.
18．（2021·平顶山模拟）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求正整数 的最大值．
参考数据： ．
【答案】（1）解： ，因为 则
当 ，即 时， 对 恒成立，∴ 在 上单调递减．
当 ，即 时，令 ，得 ，
由 ，解得： ，由 ．解得： ．
所以 在 单调递增，在 单调递减
综上所述，当 ， 在 上单调递减；
当 时，在 单调递增，在 单调递减．
（2）解：∵当 时， ，即 对 恒成立．
令 ，得 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 是增函数，
因为 ，
，
所以 ，使 ，
由 ，得： ，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增．
所以 时， 取得最小值，为 ，所以 ，
又 为正整数，所以 ，所以正整数 的最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2)首先对函数求导并构造函数，结合导函数的正弦即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值由此得出从而得证出结论。
19．（2021·昆明模拟）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明∶对任意的 ，都有 .
【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，由题得 .
又 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解： .
由于 ，令 ，得 ；
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以对任意的 ，都有 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最小值，进而证出 对任意的 ，都有 。
20．（2021·昆明模拟）已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）证明： ， .
【答案】（1）解： ，
若 在 上单调递增，则 ，即 ，
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
故 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
（2）证明：设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 时， ，当 时，显然 ，
故 时， .
设 ，则 ， ，
则 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 .
所以 .
所以 ，
只需证 ，即证 .
设 ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增， .
故 成立，所以，当 时， .
综上所述， ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，问题转化为a≤ex+sinx，设g（x）=ex+sinx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的取值范围；
（2）求出 ，问题转化为
只需证 ，即证 ，设 设 ，根据函数的单调性证明结论成立即可．
21．（2021·遂宁模拟）设函数 .
（1）若 ， 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）解：当 时， .则 ，
若 ， ， 单调递增，不合题意.
若 ，由 得 .
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
此时，所以 的极小值为 ，
有两个零点，则 ，即 ，所以 ，
故 的取值范围是 .
（2）解：由题意可得： ，
若 ， ， 单调递增，当 时， ，此时存在 ，使得 ，不符合题意.
若 ，由 ，知 ，即 ，满足 .
若 ，由 得 ，当 时， ，当 时， ，
则 在 时极小值，也即为最小值，
则有 ，
所以 ，则 .
令 ，则 ，
可知 单调递减，由于 ， ，
故存在 ，使得 ，即有 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以，当 时， 取得最大值.
，
由于 在 单调递增，故 .
所以， .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)把b的值代入求出函数的解析式再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值结合已知条件利用零点的定义即可得出即求出a的取值范围即可。
(2)由(1)的结论结合函数的单调性对a分情况讨论即可得出不同情况下导函数的正负情况，由此得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值和最值从而得出，构造函数解其导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，再结合函数的单调性即可得出即成立。
22．（2021·宝鸡模拟）已知 ，
（1）求函数 的单调区间；
（2）已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 的定义域是 ，又 ，
令 ，解得： 或 ，
， ， 的变化如下：
0 2
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
故 在 递增，在 递减，在 递增；
（2）解： 的定义域是 ，
当 时，由 可知：
，
令 ，（ ），
则
，
令 ，则 或 ，
故 在 递减，在 递增，
故 在 上的最小值是 ，
故 ，即 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调区间。
（2）利用函数 的定义域是 ，当 时，不等式 恒成立， 所以当 时，可知 ， 令 ，（ ）， 再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，从而求出函数h(x)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
1 / 1人教版2019 选修二 5.3 导数在函数研究中的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·安徽月考）已知函数 在 处有极值，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·昆明模拟）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．e B． C． D．
3．（2021·肇庆模拟）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·常德期末）若 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·铁岭模拟）若 ，“ ”是“函数 在 上有极值”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·甘肃模拟）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在 单调递减
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在 单调递减
D．是偶函数，且在 单调递增
7．（2021·上饶模拟）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·漳州期末）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021·重庆模拟）已知函数 ，则（ ）
A．存在a使得 恰有三个单调区间
B． 有最小值
C．存在a使得 有小于0的极值点
D．当 且 时，
10．（2021·湛江模拟）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）
A．f(x)的极大值为0
B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C．f(x)的最小值为0
D．f(x)在定义域内单调
11．（2021高二下·江苏月考）已知函数 的定义域为 ，部分函数值如表1， 的导函数 的图象如图1.下列关于函数 的性质，正确的有（ ）
A．函数 在 是减函数
B．如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4
C．函数 有4个零点，则
D．函数 在 取得极大值
12．（2021高二下·湖北月考）定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·长安模拟）已知 是定义域为 的函数 的导函数，若对任意实数 都有 ，且有 ，则不等式 的解集为 ．
14．（2021·岳阳模拟）已知函数 对 均有 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是 .
15．（2021·桂林模拟）已知函数 ，有下列命题：
①函数 的图像在点 处的切线为 ；
②函数 有3个零点；
③函数 在 处取得极大值；
④函数 的图像关于点 对称
上述命题中，正确命题的序号是 ．
16．（2021高二下·贵溪月考）函数 在区间 上的最小值为 ．
四、解答题
17．（2021·丰台模拟）已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）求函数 的单调区间.
18．（2021·平顶山模拟）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求正整数 的最大值．
参考数据： ．
19．（2021·昆明模拟）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明∶对任意的 ，都有 .
20．（2021·昆明模拟）已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）证明： ， .
21．（2021·遂宁模拟）设函数 .
（1）若 ， 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 ，求证： .
22．（2021·宝鸡模拟）已知 ，
（1）求函数 的单调区间；
（2）已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】 ，则 ，
由题意知 ，即 ，所以 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由函数 在x=1处有极值为2，利用导数的性质列出方程组求出a和b，由此能求出f（2）．
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，
所以，曲线 在 处的切线斜率为 ，且 ，
所以， 在 处的切线方程为 ，即 ，
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
因此，所求三角形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0，求得切线与坐标轴的交点，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】由 ，
设 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ， ，
因为函数 有三个零点，故 ．
故答案为：B
【分析】 由已知条件结合零点的定义 构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出，从而求出a的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题得
令 因为x>0，所以x>2.
故答案为：D.
【分析】利用导函数的性质即可得出原函数的单调性以及单调区间。
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，函数 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极小值，
若函数 在 上有极值，则 ，解得 ．
因此“ ”是“函数 在 上有极值”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ， ,定义域关于原点对称，
且 ，
所以 是偶函数，
当 时， ，
所以 在 单调递增，
故答案为：D
【分析】 根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性．
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由 得： ，即
∴ 在 上恒成立；
∵ 在 上单调递增，
∴ 在 上恒成立；
∴ 在 上恒成立，
构造函数 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
∴ ，∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】 根据题意把问题转化为lna≥lnx-x在x∈(0,+∞)上恒成立，构造函数h(x)=lnx-x,根据函数的单调性求出h(x)的最大值，求出a的取值范围即可．
8．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当 时， ， ，函数 单调递减，故排除答案B，
故答案为：D．
【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A、C，再由导数与原函数对选项的关系对函数求导即可排除选项B，由此得到答案。
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，
当 时， ， 单增，
又 ， ，∴ 在 内存在唯一零点，记为 ，则 在 上单减，在 上单增， 既是极小值又是最小值；
当 时， 在 和 上单增，在 上单减， ， ，
若 ，则 ， 在 上有两个零点，记为 ，在 上有一个零点，记为 ，则 在 和 上单减，在 和 上单增， 为小于0的极小值点， 和 中的较小者即为 的最小值；
若 ，则 ， 只在 上存在唯一零点，记为 ， 在 上单减，在 上单增， 为最小值；B、C符合题意，A不符合题意；
对于D，当 时， ，
，
取 ，则有 ，D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而推出不存在a使得 恰有三个单调区间，再利用函数的单调性求出存在a使得 有小于0的极值点，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用比较法求出函数的最小值，当 时， ，取 ，则有 ，从而选出正确选项。
10．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为 ，
令 ，得 ，
列表得：
x (0,1) 1 (1,+∞)
- 0 +
f(x) 单减 单增
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；C符合题意，A、D不符合题意；
对于B:由f(1)=0及 ，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程 ，即 .B符合题意.
故答案为：BC
【分析】 求导得分析导数的正负，f（x）单调性，极值，最值，逐个判断即可得出答案．
11．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由导函数 的图像可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减；
A符合题意；
B.如果当 时， 的最大值是2，由函数单调性可知： 的最大值为 ，B不符合题意；
C.函数 有4个零点，即 图像与 有 个交点，由 的定义域为 ，且 ， 取得最大值为 ，所以 时，有两个交点，因此 ；C符合题意；
D.因为函数 在 上单调递增，所以 处不可能取得极值，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据导函数的图象，先判断函数的单调性，再逐项判断即可得出结果。
12．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意 ，
由 ，得 ，
构造函数 ，
，
所以 在 上递减，
， ，
，
所以 ， 。
故答案为：CD
【分析】依题意 ，由 ，再利用导数的运算法则，得出,构造函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上递减，再利用函数的单调性，进而得出 ， 。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，
，所以 在 上递增.
，
，
所以不等式 的解集
故答案为：
【分析】 依题意，可构造函数，求导后可判断函数g（x）在R上单调递增，且 ，脱去“g”可得答案．
14．【答案】(-∞,-e]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，
∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，
∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．
∵f（x）≥lnx恒成立，∴m 恒成立，
∴只需m ．
令 ，则g'（x） ，
令g'（x）＝0，则x ，
∴g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
∴ ，∴m≤﹣e，
∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．
故答案为：（﹣∞，﹣e]．
【分析】先求出 的解析式，再根据f（x）≥lnx恒成立，转化为m 恒成立，即只需m ，令 ，求导可得单调性，进而得出最值，即可得出实数m的取值范围。
15．【答案】①②④
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】① ， ，且 ，
函数 的图像在点 处的切线为 ，①正确；
②令 解得 或 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
在 上各有一点 使 ，即函数 有3个零点，②正确；
③由②知函数 在 处取得极小值，③错误；
④令 ，因为 ，
所以函数 为奇函数，则 的图像关于原点对称，
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数 ，
所以函数 的图像关于点 对称，④正确.
【分析】根据题意首先 求出f（x）的导函数，求出f′（1）和f（1）利用点斜式求得切线方程，即可判断①；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断③；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断②；令g（x）=f（x+1）-1，可得g（x）为奇函数，即可判断出④，由此得到答案。
16．【答案】-2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 ，得 .
令 ，解得 ， .
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以最小值为 .
故答案为：-2.
【分析】 利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．
17．【答案】（1）解：若 ， 定义域为 ，
，
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ；
（2）解：
①当 时， ，由 可得 ，
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
②当 时，由 可得 或
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
③当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，
④当 时，由 可得 或 ，
由 可得 ，
此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)首先求出f(x)的导数，结合导函数的性质即可求出f(x)的极值点，可得随
x的变化，由此得出f(x)的变化情况，从而可求得f(x)的最小值。
(2)对f(x)求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调区间.
18．【答案】（1）解： ，因为 则
当 ，即 时， 对 恒成立，∴ 在 上单调递减．
当 ，即 时，令 ，得 ，
由 ，解得： ，由 ．解得： ．
所以 在 单调递增，在 单调递减
综上所述，当 ， 在 上单调递减；
当 时，在 单调递增，在 单调递减．
（2）解：∵当 时， ，即 对 恒成立．
令 ，得 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 是增函数，
因为 ，
，
所以 ，使 ，
由 ，得： ，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增．
所以 时， 取得最小值，为 ，所以 ，
又 为正整数，所以 ，所以正整数 的最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2)首先对函数求导并构造函数，结合导函数的正弦即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值由此得出从而得证出结论。
19．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ，由题得 .
又 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解： .
由于 ，令 ，得 ；
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以对任意的 ，都有 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最小值，进而证出 对任意的 ，都有 。
20．【答案】（1）解： ，
若 在 上单调递增，则 ，即 ，
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
故 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
（2）证明：设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 时， ，当 时，显然 ，
故 时， .
设 ，则 ， ，
则 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 .
所以 .
所以 ，
只需证 ，即证 .
设 ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增， .
故 成立，所以，当 时， .
综上所述， ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，问题转化为a≤ex+sinx，设g（x）=ex+sinx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的取值范围；
（2）求出 ，问题转化为
只需证 ，即证 ，设 设 ，根据函数的单调性证明结论成立即可．
21．【答案】（1）解：当 时， .则 ，
若 ， ， 单调递增，不合题意.
若 ，由 得 .
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
此时，所以 的极小值为 ，
有两个零点，则 ，即 ，所以 ，
故 的取值范围是 .
（2）解：由题意可得： ，
若 ， ， 单调递增，当 时， ，此时存在 ，使得 ，不符合题意.
若 ，由 ，知 ，即 ，满足 .
若 ，由 得 ，当 时， ，当 时， ，
则 在 时极小值，也即为最小值，
则有 ，
所以 ，则 .
令 ，则 ，
可知 单调递减，由于 ， ，
故存在 ，使得 ，即有 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以，当 时， 取得最大值.
，
由于 在 单调递增，故 .
所以， .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)把b的值代入求出函数的解析式再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值结合已知条件利用零点的定义即可得出即求出a的取值范围即可。
(2)由(1)的结论结合函数的单调性对a分情况讨论即可得出不同情况下导函数的正负情况，由此得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值和最值从而得出，构造函数解其导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，再结合函数的单调性即可得出即成立。
22．【答案】（1）解： 的定义域是 ，又 ，
令 ，解得： 或 ，
， ， 的变化如下：
0 2
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
故 在 递增，在 递减，在 递增；
（2）解： 的定义域是 ，
当 时，由 可知：
，
令 ，（ ），
则
，
令 ，则 或 ，
故 在 递减，在 递增，
故 在 上的最小值是 ，
故 ，即 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调区间。
（2）利用函数 的定义域是 ，当 时，不等式 恒成立， 所以当 时，可知 ， 令 ，（ ）， 再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，从而求出函数h(x)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
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